《蒙特卡羅方法及應(yīng)用》2.隨機數(shù)

1、第二章 隨機數(shù)隨機數(shù)的定義及產(chǎn)生方法 偽隨機數(shù)產(chǎn)生偽隨機數(shù)的方法偽隨機數(shù)的評價方法第二章 隨機數(shù) 從具有已知分布的總體中抽取簡單子樣，在蒙特卡羅方法中占有重要地位?？傮w和子樣的關(guān)系，屬于一般和個別的關(guān)系，或者說屬于共性和個性的關(guān)系。從具有已知分布的總體中產(chǎn)生簡單子樣，就是由簡單子樣中若干個性近似地反映總體的共性。 隨機數(shù)是實現(xiàn)由已知分布抽樣的基本量，在由已知分布的抽樣過程中，將隨機數(shù)作為已知量，用適當?shù)臄?shù)學(xué)方法可以由它產(chǎn)生具有任意已知分布的簡單子樣。 隨機數(shù)的定義及產(chǎn)生方法隨機數(shù)的定義隨機數(shù)表物理方法隨機數(shù)的定義 在連續(xù)型隨機變量的分布中，最簡單且最基本的分布是單位均勻分布。由該分布抽取的簡單

2、子樣稱隨機數(shù)序列，其中每一“個體”稱為隨機數(shù)。 單位均勻分布也稱為0，1上的均勻分布，其分布密度函數(shù)為：隨機數(shù)的定義 分布函數(shù)為： 隨機數(shù)用專門的符號表示。由隨機數(shù)序列的定義可知，1,2, 是相互獨立且具有相同單位均勻分布的隨機數(shù)序列。 獨立性、均勻性是隨機數(shù)必備的兩個特點。 隨機數(shù)表 可以使用隨機數(shù)表產(chǎn)生隨機數(shù)。隨機數(shù)表是由0，1，9十個數(shù)字組成，每個數(shù)字以0.1的等概率出現(xiàn)，數(shù)字之間相互獨立。這些數(shù)字序列稱為隨機數(shù)字序列。如果要得到n位有效數(shù)字的隨機數(shù)，只需將表中每n個相鄰的隨機數(shù)字合并在一起，且在最高位的前邊加上小數(shù)點即可。 例，某隨機數(shù)表的第一行數(shù)字為： 7 6 3 4 2 5 8 9

3、 1 0，要想得到三位有效數(shù)字的隨機數(shù)依次為0.763，0.425，0.891。 隨機數(shù)表方法占用計算機內(nèi)存大，而且也難以滿足蒙特卡羅方法對隨機數(shù)需求量大的要求，因此，該方法不適于在計算機上使用。隨機數(shù)表物理方法 用物理方法產(chǎn)生隨機數(shù)的基本原理利用某些物理現(xiàn)象，在計算機上增加特殊設(shè)備，可在計算機上直接產(chǎn)生隨機數(shù)，稱為隨機數(shù)發(fā)生器。 用作隨機數(shù)發(fā)生器的物理源主要有兩種：（1）根據(jù)放射性物質(zhì)的放射性，（2）利用計算機的固有噪聲。 方法： 一般情況下，任意一個隨機數(shù)用二進制數(shù)表示為： 其中i（i=1, 2, , m）或者為0，或者為1。 因此，利用物理方法在計算機上產(chǎn)生隨機數(shù)，就是要產(chǎn)生只取0或1的

4、隨機數(shù)字序列，數(shù)字之間相互獨立，每個數(shù)字取0或1的概率均為0.5。 不足： （1）用物理方法產(chǎn)生的隨機數(shù)序列無法重復(fù)實現(xiàn)，不能進行程序復(fù)算，給驗證結(jié)果帶來很大困難。 （2）需要增加隨機數(shù)發(fā)生器和電路等附加設(shè)備，費用昂貴。因此，該方法也不適合在計算機上使用。偽隨機數(shù)偽隨機數(shù)偽隨機數(shù)存在的兩個問題偽隨機數(shù)的周期和最大容量 偽隨機數(shù) 在計算機上產(chǎn)生隨機數(shù)最實用、最常見的方法是數(shù)學(xué)方法，即用如下遞推公式： 產(chǎn)生隨機數(shù)序列。 對于給定的初始值1,2，k，確定n+k，=1，2，。偽隨機數(shù)存在的兩個問題 用數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的隨機數(shù)，存在兩個問題：遞推公式和初始值1,2，k確定后，整個隨機數(shù)序列便被唯一確定。不滿

5、足隨機數(shù)相互獨立的要求。由于隨機數(shù)序列是由遞推公式確定的，這種方法產(chǎn)生的隨機數(shù)序列就不可能不出現(xiàn)重復(fù)。即，出現(xiàn)了周期性的循環(huán)現(xiàn)象，這與隨機數(shù)的要求是不相符的。 因這兩個問題的存在，所產(chǎn)生的隨機數(shù)為偽隨機數(shù)。 對上述存在的問題，具體分析如下。 對第一個問題，不能從本質(zhì)上改變，但只要遞推公式選得好，隨機數(shù)間的相互獨立性是可以近似滿足的。 對第二個問題，則不是本質(zhì)的。用蒙特卡羅方法解任何具體問題，所用的隨機數(shù)的個數(shù)總是有限的，只要所用隨機數(shù)的個數(shù)不超過偽隨機數(shù)序列出現(xiàn)循環(huán)時的長度就可以了。 優(yōu)點： （1）用數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的偽隨機數(shù)容易在計算機上得到； （2）可以進行復(fù)算； （3）不受計算機機型的限制。

6、 因此，這種方法雖然存在一些問題，但仍然廣泛使用。 偽隨機數(shù)的周期和最大容量 發(fā)生周期性循環(huán)現(xiàn)象的偽隨機數(shù)的個數(shù)稱為偽隨機數(shù)的周期。 從偽隨機數(shù)序列的初始值開始，到出現(xiàn)循環(huán)為止，所產(chǎn)生的偽隨機數(shù)的個數(shù)稱為偽隨機數(shù)的最大容量。產(chǎn)生偽隨機數(shù)的方法乘同余方法 一般形式：對于任一初始值x1，偽隨機數(shù)序列由下面遞推公式確定： 其中a為常數(shù)。 為了便于在計算機上使用，通常取=2s ， 其中，s為計算機中二進制數(shù)的最大可能有效位數(shù)。 可以取 x1= 奇數(shù)，a = 52k+1 ， 其中，k為使52k+1在計算機上所能容納的最大整數(shù)，即a為計算機上所能容納的5的最大奇次冪。 一般地，s=32時，a=513；s=

7、48，a=515等。此時，偽隨機數(shù)序列的最大容量(M)=2s-2 。 3.產(chǎn)生偽隨機數(shù)的方法乘加同余方法 產(chǎn)生偽隨機數(shù)的乘加同余方法有很多優(yōu)點，已成為僅次于乘同余方法產(chǎn)生偽隨機數(shù)的另一主要方法。 乘加同余方法的一般形式是，對任意初始值x1，偽隨機數(shù)序列由下面遞推公式確定： 其中，a和c為常數(shù)。 3. 產(chǎn)生偽隨機數(shù)的方法其它方法取中方法加同余方法 例1：Matlab中的rand函數(shù)用于產(chǎn)生隨機數(shù)均勻分布的隨機數(shù)或矩陣語法Y = rand(n)Y = rand(m,n)Y = rand(m n)描述rand函數(shù)產(chǎn)生由在(0, 1)之間均勻分布的隨機數(shù)組成的數(shù)組。Y = rand(n) 返回一個n

8、x n的隨機矩陣。如果n不是數(shù)量，則返回錯誤信息。Y = rand(m,n) 或 Y = rand(m n) 返回一個m x n的隨機矩陣。例2：Unifrnd函數(shù)R=unifrnd(a,b,m,n)：生成a,b區(qū)間上的連續(xù)型均勻分布m行n列隨機數(shù)矩陣。unifrnd(20,30,10,1)意思是：產(chǎn)生一個10*1 的矩陣，這個矩陣中的每個元素為20 到30之間連續(xù)均勻分布的隨機數(shù)如：a = unifrnd(20,30,5,1)產(chǎn)生（一種可能，因為是隨機數(shù)）如下結(jié)果：a = 29.5013 22.3114 26.0684 24.8598 28.91304. 偽隨機數(shù)的評價方法 判斷偽隨機數(shù)序列是否滿足均勻和相互獨立的要求，要靠統(tǒng)計檢驗的方法實現(xiàn)。 對于偽隨機數(shù)的統(tǒng)計檢驗，一般包括兩大類：均勻性檢驗和獨立性檢驗。 偽隨機數(shù)的均勻性 這里只考慮偽隨機數(shù)序列1,2，n全體作為子樣時的均勻性問題。其中n為偽隨機數(shù)序列的最大容量。 對于任意的0 x1，令Nn(x)表示偽隨機數(shù)序列1,2，n中適合不等式i x i=1，2，n 的個數(shù)，則 標志偽隨機數(shù)序列1,2，n的均勻程度，稱為均勻偏度。 它是描述偽隨機數(shù)序列均勻程度的基本量。對于固定的，(n)的值越小越好。偽隨