第1課時(shí) 基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

1、第 第 頁(yè)2.2第1課時(shí)基本不等式教學(xué)目標(biāo) 1.理解基本不等式的內(nèi)容及證明；2.能熟練運(yùn)用基本不等式來(lái)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大?。?.能初步運(yùn)用基本不等式證明簡(jiǎn)單的不等式教學(xué)重點(diǎn) 基本不等式的內(nèi)容及證明教學(xué)難點(diǎn) 運(yùn)用基本不等式證明簡(jiǎn)單的不等式【要點(diǎn)整合】知識(shí)點(diǎn)兩個(gè)不等式 1重要不等式：a，bR，有a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立2基本不等式：如果a，bR，那么eq r(ab)eq f(ab,2)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立其中eq f(ab,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)所以?xún)蓚€(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)答一答1下面是基本不等式eq r(a

2、b)eq f(ab,2)的一種幾何解釋?zhuān)?qǐng)你補(bǔ)充完整如圖所示，AB為O的直徑，ACa，CBb，過(guò)點(diǎn)C作CDAB交O上半圓于D，連接OD，AD，BD.(1)由射影定理可知，CDeq r(ab)，而ODeq f(ab,2)；(2)因?yàn)镺DCD，所以eq f(ab,2)eq r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)C與O重合，即ab時(shí)，等號(hào)成立；(3)基本不等式eq r(ab)eq f(ab,2)的幾何意義是半徑不小于半弦2不等式a2b22ab和基本不等式eq r(ab)eq f(ab,2)成立的條件有什么不同？提示：不等式a2b22ab對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b都成立；eq r(ab)eq f(ab,2)中要求a，b都是正實(shí)數(shù)

3、3(1)基本不等式中的a，b可以是代數(shù)式嗎？(2)eq f(ab,2)eq r(ab)與eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2ab是等價(jià)的嗎？提示：(1)可以但代數(shù)式的值必須是正數(shù)，否則不成立(2)不等價(jià)，前者條件是a0，b0，后者是a，bR.【典例講練】類(lèi)型一 用基本不等式比較大小例1若0a1,0b1，且ab，試找出ab，a2b2,2eq r(ab)，2ab中的最大者解0a1,0b2eq r(ab)，a2b22ab，四個(gè)數(shù)中最大的應(yīng)從ab，a2b2中選擇而a2b2(ab)a(a1)b(b1)，0a1,0b1，a(a1)0，b(b1)0，a2b2(ab)0，即a2b20，b

4、0.變式訓(xùn)練1(1)已知a，bR，且ab0，則下列結(jié)論恒成立的是()Aa2b22ab Bab2eq r(ab)C.eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(2,r(ab) D.eq f(b,a)eq f(a,b)2【解析】對(duì)于A(yíng)，當(dāng)ab時(shí)，a2b22ab，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，C，ab0只能說(shuō)明a，b同號(hào)，當(dāng)a，b都小于0時(shí)，B，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閍b0，所以eq f(b,a)0，eq f(a,b)0，所以eq f(b,a)eq f(a,b)2eq r(f(b,a)f(a,b)，即eq f(b,a)eq f(a,b)2成立【答案】D(2)已知a，b是不相等的正數(shù)，xeq f(r(a)r(b

5、),r(2)，yeq r(ab)，試比較x，y的大小解：a，b是不相等的正數(shù)，由xeq f(r(a)r(b),r(2)得x2eq f(ab2r(ab),2)eq f(abab,2)ab，又yeq r(ab)，即y2ab，x2y2，即xeq r(ab)eq r(bc)eq r(ca).(2)已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且abc1，求證：eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,b)1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,c)1)8.證明(1)a0，b0，c0，ab2eq r(ab)0，bc2eq r(bc)0，ca2eq

6、 r(ca)0.2(abc)2(eq r(ab)eq r(bc)eq r(ca)，即abceq r(ab)eq r(bc)eq r(ca).由于a，b，c為不全相等的正實(shí)數(shù)，故等號(hào)不成立abceq r(ab)eq r(bc)eq r(ca).(2)a，b，c為正實(shí)數(shù)，且abc1，eq f(1,a)1eq f(1a,a)eq f(bc,a)eq f(2r(bc),a)，同理eq f(1,b)1eq f(2r(ac),b)，eq f(1,c)1eq f(2r(ab),c).由上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)1)eq blc(rc)(avs

7、4alco1(f(1,b)1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,c)1)eq f(2r(bc),a)eq f(2r(ac),b)eq f(2r(ab),c)8.當(dāng)且僅當(dāng)abceq f(1,3)時(shí)，等號(hào)成立通法提煉利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項(xiàng)1利用基本不等式證明不等式，關(guān)鍵是所證不等式中必須有“和”式或“積”式，通過(guò)將“和”式轉(zhuǎn)化為“積”式或?qū)ⅰ胺e”式轉(zhuǎn)化為“和”式，從而達(dá)到放縮的效果2注意多次運(yùn)用基本不等式時(shí)等號(hào)能否取到3解題時(shí)要注意技巧，當(dāng)不能直接利用基本不等式時(shí)，可將原不等式進(jìn)行組合、構(gòu)造，以滿(mǎn)足能使用基本不等式的形式變式訓(xùn)練2已知a，b，c為正數(shù)，且abc1，

8、證明：eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,c)9.證明：eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,c)eq f(abc,a)eq f(abc,b)eq f(abc,c)3(eq f(b,a)eq f(a,b)(eq f(c,a)eq f(a,c)(eq f(c,b)eq f(b,c)32229.當(dāng)且僅當(dāng)abceq f(1,3)時(shí)，等號(hào)成立【課堂達(dá)標(biāo)】1給出下列條件：ab0；ab0，b0；a0，b0，y0，且eq f(2,x)eq f(1,y)1，若x2ym恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()Am|m6 Bm|m6Cm|m8 Dm|mm恒成立，只需(x2y)minm.所以ma0

9、，且ab1，則四個(gè)數(shù)eq f(1,2)，2ab，a2b2，b中最大的是()Ab Ba2b2C2ab D.eq f(1,2)【解析】因?yàn)閎a0，所以a2b22ab.又因?yàn)閍b1，所以beq f(1,2).又bb(ba)b2abb2a2，所以b最大，故選A.【答案】A4若a0，b0，ab2，則下列不等式對(duì)一切滿(mǎn)足條件的a，b恒成立的是 (寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào))ab1；eq r(a)eq r(b)eq r(2)；a2b22；a3b33；eq f(1,a)eq f(1,b)2.【解析】因?yàn)閍0，b0，ab2，所以ab(eq f(ab,2)21，所以恒成立；eq r(a)eq r(b)2eq r(f(

10、r(a)2r(b)2,2)2，所以不恒成立；a2b2eq f(ab2,2)2，所以恒成立；當(dāng)ab1時(shí)，a3b320，eq f(y,x)0，eq f(y,x)eq f(x,y)2eq r(f(y,x)f(x,y)2，即eq f(y,x)eq f(x,y)2，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，等號(hào)成立(2)x，y都是正數(shù)，xy2eq r(xy)0，x2y22eq r(x2y2)0，x3y32eq r(x3y3)0.(xy)(x2y2)(x3y3)2eq r(xy)2eq r(x2y2)2eq r(x3y3)8x3y3，即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，等號(hào)成立【課堂小結(jié)】本課須掌握的兩大問(wèn)題1兩個(gè)不等式a2b22ab與eq f(ab,2)eq