多元多項式環(huán)課件

1、7.9 多元多項式環(huán)第七章 多項式環(huán) 前面介紹了一元多項式的基本性質，但是除了一元多項式外；還有含多個文字的多項式，即多元多項式，如下面簡單介紹有關多元多項式的一些概念。設F是一個數(shù)域，是n個文字，形如（1）的式子，其中是非負整數(shù)，稱為一個單項式。 如果兩個單項式中相同文字的冪全一樣，那么它們就稱為同類項。一些單項式的和就稱為n元多項式，簡稱多項式，記為（2） 和一元多項式一樣，n元多項式也可以定義相等，相加、相減、相乘。 相等：如果F上兩個n元多項式有完全相同的項（或者只差一些系數(shù)為零的項），則稱這兩個多項式是相等的。 相加：F上兩個n元多項式與 的和指的是把分別出現(xiàn)在這兩個多項式中對應的同

2、類項的系數(shù)相加多得的n元多項式。例如：設則f與g的和是 相減：設 把g的系數(shù)都換成各自的相反數(shù)，所得多項式叫做g的負多項式，記為 這樣定義的多項式的加法和乘法與中學代數(shù)里多項式的運算一致，n元多項式的運算滿足以下運算律：設則 （加法結合律）（加法交換律）（乘法結合律）（乘法交換律）（乘法分配律）我們把F上一切n個文字的集合，連同以上定義的加法和乘法叫做F上n個文字的多項式所成的多項式環(huán)，記作同一元多項式一樣，也可以談論n元多項式的次數(shù)。設 稱為單項式的次數(shù)， 對f來說其中系數(shù)不為零的單項式的最高次數(shù)就稱為這個多項式f的次數(shù)，記為 設f、g是F上兩個不等于零的n元多項式，則f與g的和與積的次數(shù)與

3、f、g的次數(shù)有如下關系：1、2、考慮如果有使 而 則稱n元數(shù)組先于數(shù)組記為于是對應于的單項式就排在對應于的單項式前面。例如，對多項式按字典排列法寫出來就是：應該注意的是， 把一個多項式按字典排列法書寫后，次數(shù)較高的項并不一定排在次數(shù)較低的項的前面，例如上面的首項次數(shù)為4，第二項的次數(shù)為6，而 關于多項式的首項有以下定理，這個定理在下一節(jié)討論對稱多項式時將要用到定理 1：數(shù)域F上兩個非零的n元多項式和 的乘積的首項等于這兩個多項式首項的乘積。證明：設的首項為的首項為為了證明它們的積為fg的首項，只要證明數(shù)組先于乘積中其他單項式所對應的有序數(shù)組就行了。的有序數(shù)組有三類：中其他單項式所對應 其中 于

4、是 這證明在乘積fg的首項。推論 1：則 的首項等于每個的首項的乘積。如果推論 2：如果則 現(xiàn)在回到兩個n元多項式的乘積的次數(shù)上來，設是一個n元多項式，則稱f是一個k次齊次多項式，簡稱k次齊次。如果中各項都有同一次數(shù)k，例如就是一個4次齊次多項式。 兩個齊次多項式的乘積仍是齊次多項式，它的次數(shù)就等于這兩個多項式的次數(shù)之和。任何一個m次多項式都可以唯一地表成幾組齊次多項式的和，即是i次齊次多項式，若就是f的一個i次齊次成分。數(shù)域F上兩個不等于零的n元多項式的乘積的次數(shù)等于這兩個多項式次數(shù)的和。定理 2：由推論 2：且是一個m+s次齊式，其余各項或者等于零，或者是一個次數(shù)低于m+s的齊式。因此 同一元多項式一樣，F(xiàn)上n元多項式與多項式函數(shù)是相同的。對于數(shù)域F上一個n元多項式對F中任意n個數(shù)如果在中，用代替就得到數(shù)域F中一個確定的數(shù)，稱為時多項式的值，用來表示。如果由此一個n元多項式就確定一個n元多項式函數(shù)。則數(shù)組叫做的一個零點。對 作映射：這個映射就確定一個由到F的函數(shù)，稱為多項式在 的值。證明思路： 當n=1時結論顯然成立，假設對于F上n-1個文字的多項式來說結論成立，現(xiàn)考慮n個文字的多項式，把