湖北省數(shù)學(xué)（理）-2014年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學(xué)（理科）一選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1. 為虛數(shù)單位，則（ ） B. C. D. 2. 若二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)是84，則實(shí)數(shù)（ ）2 B. C. 1 D. 3. 設(shè)為全集，是集合，則“存在集合使得是“”的（ ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y4.02.50.5得到的回歸方程為，則（ ） B. C. D.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0,0,2），（

2、2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），給出編號(hào)、的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（ ）和 B.和 C. 和 D.和 若函數(shù)上的一組正交函數(shù)，給出三組函數(shù)：；其中為區(qū)間的正交函數(shù)的組數(shù)是（ ）A.0 B.1 C.2 D.3由不等式確定的平面區(qū)域記為，不等式，確定的平面區(qū)域記為，在中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在內(nèi)的概率為（ ）A. B. C. D.8.算數(shù)書竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“蓋”的術(shù)：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了有圓錐的底面周長(zhǎng)與高，計(jì)算其體積的近似公式它實(shí)際上是將圓錐體積公

3、式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的近似取為（ ）A. B. C. D.9.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是他們的一個(gè)公共點(diǎn)，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（ ）A. B. C.3 D.210.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 填空題：本大題共6小題，考生共需作答5小題，每小題5分，共25分.請(qǐng)將答案天災(zāi)答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上，答錯(cuò)位置，書寫不清，模棱兩可均不得分.必考題（1114題）11.設(shè)向量，若，則實(shí)數(shù)_.12.直線和將單位圓分成長(zhǎng)度相等的四段弧，則_.13.設(shè)是一個(gè)各位數(shù)字都不是0且沒

4、有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).將組成的3個(gè)數(shù)字按從小到大排成的三位數(shù)記為，按從大到小排成的三位數(shù)記為（例如，則，）.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，任意輸入一個(gè)，輸出的結(jié)果_.設(shè)是定義在上的函數(shù)，且，對(duì)任意，若經(jīng)過點(diǎn)的直線與軸的交點(diǎn)為，則稱為關(guān)于函數(shù)的平均數(shù)，記為，例如，當(dāng)時(shí)，可得，即為的算術(shù)平均數(shù).當(dāng)時(shí)，為的幾何平均數(shù)；當(dāng)當(dāng)時(shí)，為的調(diào)和平均數(shù)；（以上兩空各只需寫出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可）選考題（選修4-1：幾何證明選講）如圖，為的兩條切線，切點(diǎn)分別為，過的中點(diǎn)作割線交于兩點(diǎn)，若則（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）已知曲線的參數(shù)方程是，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方

5、程是，則與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_17、（本小題滿分11分）某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度（單位：）隨時(shí)間（單位;h）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系；求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差；若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于，則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫？18（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列滿足：=2，且，成等比數(shù)列.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由.19(本小題滿分12分)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在棱,上移動(dòng)，且.當(dāng)時(shí)，證明：直線平面;是否存在，使平面與面所成的二面角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.（本小題滿分12分）計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝

6、3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和.單位：億立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.求未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤為5000萬元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？（滿分14分）在平

7、面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1，記點(diǎn)M的軌跡為C.求軌跡為C的方程設(shè)斜率為k的直線過定點(diǎn)，求直線與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，兩個(gè)公共點(diǎn)，三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍。數(shù)學(xué)（理）（湖北卷）參考答案選擇題（1）A （2）C （3）C （4）B （5）D （6）C （7）D （8）B （9）A （10）B填空題（11） （12）2 （13）495 （14）；x 或； （15）4 （16）解答題（17）解：（I）因?yàn)?，又，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；于是在上取得最大值12，取得最小值8.故實(shí)驗(yàn)室這一天最高溫度為，最低溫度為，最大溫差為（II）依題意，當(dāng)時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫.由（1）得，所以，即，

8、又，因此，即，故在10時(shí)至18時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫.（18）解：（I）設(shè)數(shù)列的公差為，依題意，成等比數(shù)列，所以，化簡(jiǎn)得，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，從而得數(shù)列的通項(xiàng)公式為或.（II）當(dāng)時(shí)，顯然，不存在正整數(shù)，使得.成立當(dāng)時(shí)，令，即，解得或（舍去）此時(shí)存在正整數(shù)，使得成立，的最小值為41.綜上所述，當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意的；當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意的；的最小值為41.（19）解：（I）證明：如圖1，連結(jié)，由是正方體，知，當(dāng)時(shí)，是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以，所以，而平面，且平面，故直線平面.（II）如圖2，連結(jié)，因?yàn)椤⒎謩e是、的中點(diǎn)，所以，且，又，所以四邊形是平行四邊形，故，且，從而，且，在和中，因?yàn)?，于是，所以?/p>

9、邊形是等腰梯形，同理可證四邊形是等腰梯形，分別取、的中點(diǎn)為、，連結(jié)、，則，而，故是平面與平面所成的二面角的平面角，若存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角，則，連結(jié)、，則由，且，知四邊形是平行四邊形，連結(jié)，因?yàn)?、是、的中點(diǎn)，所以，在中，由得，解得，故存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角.向量法：以為原點(diǎn)，射線分別為軸的正半軸建立如圖3的空間直角坐標(biāo)系，由已知得，所以，（I）證明：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即，而平面，且平面，故直線平面.（II）設(shè)平面的一個(gè)法向量，由可得，于是取，同理可得平面的一個(gè)法向量為，若存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角，則，即，解得，故存在，使平面與平面所成的二面角

10、為直二面角.（20）解：（I）依題意，由二項(xiàng)分布，在未來4年中至多有1年入流量找過120的概率為：.（II）記水電站年總利潤為（單位：萬元） = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.由于水庫年入流量總大于40，所以一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對(duì)應(yīng)的年利潤，. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī).當(dāng)時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此，當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此.由此得的分布列如下：4200100000.20.8所以. = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī).依題意，當(dāng)時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此；當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)

11、運(yùn)行，此時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此，由此得的分布列如下：349200150000.20.80.1所以.綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).（21）解：（I）設(shè)點(diǎn)，依題意，即，整理的，所以點(diǎn)的軌跡的方程為.（II）在點(diǎn)的軌跡中，記，依題意，設(shè)直線的方程為，由方程組得 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 當(dāng)時(shí)，此時(shí)，把代入軌跡的方程得，所以此時(shí)直線與軌跡恰有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)時(shí)，方程 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 的判別式為 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，則由，令，得 = 3 * GB3 * ME

12、RGEFORMAT （ = 1 * roman * MERGEFORMAT i）若，由 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 解得或.即當(dāng)時(shí)，直線與沒有公共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn)，故此時(shí)直線與軌跡恰有一個(gè)公共點(diǎn).（ = 2 * roman * MERGEFORMAT ii）若或，由 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 解得或，即當(dāng)時(shí)，直線與有一個(gè)共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)時(shí) ，直線與有兩個(gè)共點(diǎn)，與沒有公共點(diǎn).故當(dāng)時(shí)，故此時(shí)直線與軌跡恰有兩個(gè)公共點(diǎn).（ = 3 * roman * MERGEFORMAT iii）若，由 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 解得或，即當(dāng)時(shí)，直線與有兩個(gè)共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn).故此時(shí)直線與軌跡恰有三個(gè)公共點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)直線與軌跡恰有一個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，故此時(shí)直線與軌跡恰有兩個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，故此時(shí)直線與軌跡恰有三個(gè)公共點(diǎn).（22）解：（I）函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（II）因?yàn)?，所以，即，于是根?jù)函數(shù)、在定義域上單調(diào)遞增，所以，故這6個(gè)數(shù)的最大數(shù)在與之中，最小數(shù)在與之中，由及（I）的結(jié)論