高一數(shù)學(xué)期中復(fù)習(xí)資料三角恒等式

1、2022 年 4 月期中高一復(fù)習(xí)資料 三角恒等變換【學(xué)問點(diǎn)】兩角和差公式：sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin 2 tan 2 1 tan cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin tan tan tan tan tan tan 1 tan tan 1 tan tan 二倍角公式：sin cos1 sin 2 2sin 2 2sin coscos 22 cos 2 sin 2 2 cos 2 1 1 2 sin tan 2變形一：降冪公式2 cos1 cos 2 ； sin 2 2 1 cos 22 變形二：半角公

2、式sin2sin cos 2 2 2 2 cos2 2 1 1 2sin2 2 cos2 cos2 sin2 tan2 tan 2 2 1 tan2幫助角公式函數(shù) f a sinb cos ,可以化為2 bcos 22 a2 bsin f 2 ab 2 a2 bsinb2 a2 a其中 tanb , cosa aa 2 b, sinb；2 a2 b（1）要求：齊一次,函數(shù)同角不同名；（題型一：兩角和差公式2）儲(chǔ)備公式：和差角公式,倍角公式,降冪公式等例 1 已知 a cos 2 ,sin, b1, 2sin1 ,2 ,如 a b2,就 tan 5 4 的值為【答案】1 7 tan3 ,再由和差

3、角公式綻開代入. 【思路點(diǎn)撥】由向量數(shù)量積,得到4 例 2 tan 70 tan 503tan 70 tan 50. 【答案】 - 3【思路點(diǎn)撥】由 tan120tan 70 tan 50,化簡移項(xiàng)即可；1 tan 70 tan 50題型二倍角公式運(yùn)用例 1 如tan 2 ,就 sin 2 cos 2 的值為【答案】 1 2 tan 1 【思路點(diǎn)撥】先有二倍角公式綻開,再齊次化簡得到 2 ,代入即可 . tan 1 變式 1 如 sin cos 1 ,就 tan 2sin cos 23 【答案】4 【思路點(diǎn)撥】由 sin cos 1 ,得到 tan 3 ,再由二倍角公式綻開代入即可sin co

4、s 2變式 2 如tan 1 ,就 sin 2 4 2 【答案】 - 35 【思路點(diǎn)撥】由 tan 1 ,利用和差角公式綻開得到 tan 1 ,4 2 3 又sin 2 2sin cos 2sin cos2 2 2tan2 ,代入即可sin cos 1 tan例 2 如3 , 2 2 ,就1 1 1 1 cos 2 等于2 2 2 2 【答案】 - cos 2【思路點(diǎn)撥】利用二倍角公式以及角度范疇得到1 1 cos 2cos 2 cos ,再由半角公式綻開,此時(shí)要注2 2 意角度的取值范疇變式 如 5 3 , 4 2 ,就1 cos3 2 2 4, 利 用【答案】 - sin cos【思路點(diǎn)撥

5、】由誘導(dǎo)公式得到cos32sin 2 ,再由二倍角公式綻開,同時(shí)留意角度范疇2 題型三 已知角求未知角 3例 1 已知, cos12 , sin 3 ,就 cos 22 【答案】 - 113 4 - 0 ,4 ,13 3,2 5 5 , cos【 思 路 點(diǎn) 撥 】 由可得 sin13 5 cos 2 cos綻開代入即可變式 已知為銳角,且 sin 4 1 , 就 sin = 3 【答案】4 62 【思路點(diǎn)撥】 sin sin綻開代入例 2 已知為銳角,如 sin4 4 6 . 3 , 就 sin2 6 【答案】 - 7 25 5 【思路點(diǎn)撥】 sin 26 sin 2 6 2 cos 2 2

6、 2 sin 1 ,代入即可 . 6 6 3 / 31 變式 設(shè)為銳角,如 cos6 4 ,就 sin25 的值為 12 6 24 , cos 2 25 6 725 , 又 因 為【答案】17 2 25 【 思 路 點(diǎn) 撥 】 由為 銳 角 , 得 到sin6 3, sin 2 5 sin 212 sin 26 4 ,綻開代入即可. 題型四綜合應(yīng)用例 1 已知函數(shù) f x 2 3sinxcosx 2cos 2 x 1 x R（1）求函數(shù) f x 的最小周期及在區(qū)間0,上的最小值和最大值；2 （2）如 f x6 , x ,求cos 2x的值 . , 0 4 2 6 ,所以函數(shù)的最小正周期為；由于

7、0 5 0【思路點(diǎn)撥】（ 1）由已知可得, f x3sin 2x cos 2x 2sin 2x f x2sin 2x 6 在 0 ,6 上是增函數(shù),在6 ,2 上是減函數(shù),所以f x 的最小值為 -1,最大值為2. （2）由（ 1）可知, f x 2sin 2x0 6 ,0 又由于 f x06 ,5所以 sin 2x0 6 3,5 由 x0 , ,得 2x0 27,4 2 6 3 6 從而cos 2x 0 62 1 sin 2x 06 4,5 所以cos 2x cos2x0 6 6 3 4 3 0104 / 31 例 2 函數(shù) f x 6 cos 2 x3 sin x 32 與 x 軸的交點(diǎn),

8、且 ABC 為正三角形 . 0 在一個(gè)周期內(nèi)的圖像如下列圖,A 為圖像的最高點(diǎn),B, C 為圖像（1） 求的值及函數(shù)f x 的值域；（2）如 f x8 3 ,且 x 10 , 2 ,求 f x 1的值 . 5 0 3 3 0.【思路點(diǎn)撥】（ 1）由已知可得, f x 3cos x 3 sin x 2 3 sin x ；所以 f x 的 值域?yàn)? 2 3,2 3；3 由于正三角形ABC 的高為2 3,所以 BC 4 ,就函數(shù) f x 的周期為 8,即；4（2） 由于 f x08 3 ,由（ 1）有： f x 0 5 2 3 sinx 0 4 3 8 3 ,5 所以 sin4 x0 3 4 . 5

9、 由于 x 10 , 2 ,就 x0, ,0 3 3 4 3 2 2 所以 cos4 x0 3 3 , 5 故 f x 1 2 3 sin x0 23 sinx0 7 6 ；0 44 3 43 4 5 5 / 31 2022 年 4 月期中高一復(fù)習(xí)資料 解三角形【學(xué)問點(diǎn)】正弦定理：ABC 中, a, b, c 分別為角 A, B, C 的對邊, R 為 ABC 的外接圓的半徑a b c 2R ； a : b : c sin A: sin B : sinCsin A sin B sin C 應(yīng)用范疇：（1） 已知三角形的兩角及任一邊,求其他的兩邊和一角；（2） 已知三角形的兩邊和其中一邊的對角,

10、求另一邊的對角,進(jìn)而求其他的邊角余弦定理：ABC 中, a, b, c 分別為角 A, B, C 的對邊a 2 b 2 c 2 2bc cos A；b 2 a 2 c 2 2ac cos B ；c 2 a 2 b 2 2ab cosC 應(yīng)用范疇：（1） 已知三角形的三條邊,求三個(gè)角；（2） 已知三角形的兩邊和任意一角,求第三邊和其他兩個(gè)角面積公式：ABC 中, a, b, c 分別為角A, B, C 的對邊 1 bc sin A 2 S 1 ab sin C 2 1 ac sin B 2 6 / 31 題型一：求邊角1 ,且 AC 2 32 ,求 sin C 的值例 1在ABC 中,已知 AB

11、 2 , cos B 【答案】2 3 【思路點(diǎn)撥】兩邊一對角可用正弦cos B 1 , B 0, sin B 1 cos 2 B 2 2 3 3 AB AC , AC 2 2, AB 2 sin C sin B 2sin C 3 變式 1-1.在 ABC 中, c 2 , sin B 1 , A 60 ,求 a 3 【答案】36 2-6 3 23 【思路點(diǎn)撥】已知兩角求第三角sin C sin A B sin Acos B cos Asin B - ,最大角即為鈍角C sin B 1 , sin A 3 , sin A sin B, 又A B 0,A B3 2 cos B 2 2 3 代入求出

12、 sin B 進(jìn)而用正弦定理求出a 例 2在ABC 中,已知 a 2 , b 6 , cos C 1 ,就邊 c 的長度為 3【答案】42 【思路點(diǎn)撥】已知兩邊及任一角求邊可通過余弦定理公式求第三邊2 ca2 b 2 2ab cos C 變式 2-1 如ABC 的三邊滿意 a 2 b2 c2 3ab ,就此三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)為【答案】5 6 【思路點(diǎn)撥】已知三邊關(guān)系用余弦公式變形轉(zhuǎn)化：cos C 2 a2 b2 c3ab 32ab 2ab 2 7 / 31 題型二：邊角互化例 1ABC 的內(nèi)角 A, B , C的對邊分別 a , b , c ,如 2bcos B acosC ccos A

13、,就 B 【答案】3【思路點(diǎn)撥】觀看,發(fā)覺等號(hào)兩邊有齊次的邊或角,即可邊角互化 2b cos B a cos C c cos A b sin B ,且外接圓半徑為2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sinA+C=sin B B 0,sin B 0 cos B 12變式 1-1. ABC 中,角 B, C所對的邊分別為 b,已知 1+ tan A 2b ,就tan C c A 【答案】3【思路點(diǎn)撥】看到tan 可考慮化為sin/cos 1+ tan A 2b = 2sinB tan C c sin C sin Acos C cos Asin C sin Acos C 1 co

14、s Asin C cos Asin C sin B 0,sin C 0 cos A 12 sin AC sin B 2sinB cos Asin C cos Asin C sin C 變式 1-2. ABC 的內(nèi)角 A, B, C的對邊分別 a , b , c , 2 2 sin 2 A sin 2 C a 2 【答案】3【思路點(diǎn)撥】看到有角的平方可考慮換成邊再結(jié)合余弦化簡2 2sin 2 A sin 2 2 C a b sin B 2 a c b2 2 2R 2R a b2R R 22 化簡得 a2 c2 ab bcos C 1 28 / 31 題型三：多解問題例 1,已知 ABC 的三個(gè)角

15、 A , B ,C 所對的邊分別為 a , b , c .以下條件中,能使得 ABC 的外形唯獨(dú)確定的有（）A a=1,b 2, c Z B. a sin A csin C 2a sin C bsin B, A 150 ,b 2 C. cos Asin B cosC cos B C cos Bsin C 0, C 60 , c 2D. a=1,b 3, A C 2B 【答案】 AD 【思路點(diǎn)撥】兩邊一對角判定解的個(gè)數(shù)需作圖求解A: 由三角形三邊關(guān)系得：|a b | c a b, c Z, 1c3,c=2 可唯獨(dú)確定B:邊角互化得 cos B 2 , B 135 ,又 A 150 ,不成立2 C

16、:化簡得 cos A sinB C=0, B C A 60 或C 90 不唯獨(dú)D: 可知 B 60 , 鄰邊為 a=1,可知以 C 為頂點(diǎn)的高為 3 , b 1,b 3 ,畫圖可知只有一解；2 2 變式 1-1 在 ABC 中,已知 a x, b 2, B 45 ,假如三角形有兩解,就 x 的取值范疇是（）A 2 x 2 2 B. x 2 2 C. 2 x 2 D 0 x 2 【答案】 A 【思路點(diǎn)撥】兩邊一對角判定解的個(gè)數(shù)需作圖求解由題得B 的鄰邊為a=x,如要有兩解,對邊b 要大于以C 為頂點(diǎn)的高并且小于x（畫圖可得此幾何關(guān)系）即2 2 x 2 x, 解得 2 x 2 29 / 31 題型

17、四：判定三角形外形例 1. ABC 中,如 sin 2 A sin 2 B sin 2 c ,就ABC 是（）D等腰三角形A 直角三角形B鈍角三角形C銳角三角形【答案】 B 【思路點(diǎn)撥】遇到平方角化邊sin 2 A sin 2 B sin 2 c 2 a2 b2 cABC 是（）D等腰直角三角形cos C 0 C是鈍角例 2在ABC 中,如 sin Bsin C cos 2 A ,就2 C等邊三角形A 直角三角形B等腰三角形【答案】 B 【思路點(diǎn)撥】sin B sin C cos 2 A = cos A 1 cos B C 12 2 2 2 sin B sin C cos B cos C si

18、n B sin C 1 ,cos B cos C sin B sin C 1 cos B C 1 B C變式 2-1. ABC 中,角 A , B , C 的對邊分別為 a , b , c ,以下四個(gè)論斷正確選項(xiàng)（）A. 如sin A cos B ,就 B ；a b 4 B.如 B 4,b 2 , a 3 就滿意條件的三角形共有兩個(gè)；C.如 b 2 ac 且2 sin B sin A sin C ,就 ABC 為正三角形；D如a 5 ,c 2 ,S ABC 4 ,就 cos B 3 5【答案】 AC 【思路點(diǎn)撥】A: sin A cos B ,由正弦定理可知 sin A sin B sin B

19、 cos B, B 0, B 45 ,A 對a b a b B:由題型三的方法畫圖判定,三角形唯獨(dú) ,B 錯(cuò)2 22sin B sin A sinC 2b a c 4b a cC: 2 2 2b ac 4ac a c a c 0 a c bC 對D S ABC1 ac sin B 4 2 sin B 4 cos B 3 ,D 錯(cuò)5 5 10 / 31 題型五：取值范疇問題A 2C ,就a 的范疇是 c例 1. 在銳角ABC 中,已知【答案】2, 3【思路點(diǎn)撥】A 2C,均為銳角, C 30 ,45a c sin A sin 2C 2 sin C cos B 2 cos Bsin C sin C

20、 sin C 例 2ABC 中, A 60 , a 7 ,求 ABC 的周長及面積的取值范疇【答案】 14,21 ,49 34【思路點(diǎn)撥】周長及面積最值需結(jié)合余弦及不等式2 bc 2 a2 2bc cos A 49 bc, b 2 c2 2bc 49 bc 2bc bc 49可求面積最大值b c2 2 bc 2 2bcb c2 2bc 49 bc, 2 3bc b c2 49bc b c24 b c2 49 3 b c4 b c 14可求周長最大值再利用兩邊之和大于第三邊可求周長最小值變式 2-1. 在ABC 中,角 A ,B ,C 所對的邊分別為a ,b , c ,ABC 120 ,ABC

21、的平分線交 AC 于點(diǎn) D ,且 BD 1 ,就 4a c 的最小值為【答案】 9 【思路點(diǎn)撥】結(jié)合不等式求最值,由角平分線可知面積關(guān)系為S ABD S BCD S 即1 c sin 60c1 a sin 601 ac sin120 9ABC, 2 2 2 a c ac,1 1 1, c 4a c a 1 1 a 利用“1” 的代換得： 4a c 11 / 31 題型六：多個(gè)三角形問題例 1 已知在ABC 中,點(diǎn) D 為 BC 中點(diǎn),ABC 的面積為AD22a3sin B 1 求 sin BAD sinBDA的值2 如 BC 6AB, AD 2 2,求 b 【答案】 1 ;b 3 33 【思路

22、點(diǎn)撥】1 D為中點(diǎn),S ABC2 AD 2 1 AB BD sin B 3sin B 2 3sin 2 B AB BD 又 ABD AD 中,sin B AD2BD AB sin BAD sin BDA 3sin 2 B AB BD AD2 3sin 2 B sin BDA sin BAD sin 2 B 2所以 sin BAD sin BDA= 1 3 2BC 6AB,BD 3AB ABD中由正弦定理可得 sin BAD 3sin BDA 與1 中結(jié)論聯(lián)立得,sin BAD=1,sin BDA= 1 3 BAD= 2 再結(jié)合正余弦求出其他邊角變式 1-1 設(shè) ABC 的面積2 S b2 c2

23、 a,A, B, C 所對邊分別為a, b, c 滿意 c 4（1） 求C ；（2） 設(shè)ABC 內(nèi)一點(diǎn) P 滿意 AP AC , BP CP , 求PAC 的大小【答案】2 6 12 / 31 【思路點(diǎn)撥】1 結(jié)合余弦定理,面積公式及題中 2 S b2 c2 a,可得 sin A cos A A 4b cos C4 又c 2a ,由正弦定理得 C 2 ACP APC BPC 2 設(shè)PAC AP=AC 2 2 APC中, PC 2AC cos ACP 2AC sin 2 2a sin 2 CPB中,BC=2PC cos a 2 PC 2a sinsin1,0, ,4 = 6 2 2 2 cos

24、2例 2,在ABC 中, A , B , C 所對的邊分別為 a , b , c ,滿意 2a c cos B （1） 求 B 的大?。唬?） 如圖, AB AC ,在直線 AC 的右側(cè)取點(diǎn)D,使得 AD 2CD 4 ,當(dāng)角 D 為何值時(shí),四邊形ABCD 面積最大【答案】2 6 【思路點(diǎn)撥】1 由題型二邊角互化可得B 2ABCD的面積2 設(shè)D ,結(jié)合余弦定理及面積公式表示出四邊形S ABCDS ABC S ACD 534 3 cos 4 sin再結(jié)合幫助角公式求面積最值即可13 / 31 題型七：實(shí)際應(yīng)用例 1（18 年 10 月松柏高二文,15）如圖,為測量山高M(jìn)N ,挑選 A 和另一座山的

25、山頂C為測量觀測點(diǎn),從A 點(diǎn)測得 M 點(diǎn)的仰角MAN =60 , C點(diǎn)的仰角CAB 45 以及MAC 1n mile 的 B 處有一搜75 ,從 C點(diǎn)測得MCA=60 ,已知山高 BC=300m,就山高 MN m 【答案】 150 【思路點(diǎn)撥】留意設(shè)未知數(shù) MN=h ,利用垂直條件,構(gòu)建正余弦等量關(guān)系來求解例 2 （ 18 年 10 月雙十高二文, 12）在海岸 A 處,發(fā)覺北偏東 45 的防線,距離 A 處 3 走私船, 在 A 處北偏西 75 的方向, 距離 A 處 2n mile 的 C 處的緝私船奉命以10 3n mile / h 的速度從 B 處向北偏東 30 的方向逃跑, 文緝私船

26、沿什么方向才能最快追上走私船,追上走私船的時(shí)間 t 為多少？ （ n mile :海里）（）A.北偏東 60 ,t =6B.北偏東 60 ,t =210 10 C.北偏東 30 ,t =6D.北偏東 30 ,t =210 10 【答案】 A 【思路點(diǎn)撥】作圖,用時(shí)間 t 表示出各線段長度,通過余弦求邊,再利用正弦求角即可題型八：結(jié)合向量數(shù)列等綜合運(yùn)用例 1 在ABC 中,角 A, B, C 所對邊分別為 a, b, c, A ,13c 2b. 61求 C；2如CB CA 1 3,求 a, b, c.【答案】; a= 2,b 1 3, c 2 4【思路點(diǎn)撥】留意向量數(shù)量積公式 CB CA CB

27、CA cos BCA 14 / 31 例 2 在 ABC 中, a, b, c 成等比數(shù)列,且a 2 2 cac bc 就 A 的大小及b sin B 的值分別為c【答案】,3 【思路點(diǎn)撥】由3 2 b 2 ac 及a 2 c 2ac bc 結(jié)合余弦可求角A, 再利用正弦定理邊角互化得b sin B = sin A c15 / 31 2022 年 4 月期中高一復(fù)習(xí)資料 數(shù)列 等差數(shù)列題型一：等差數(shù)列定義【學(xué)問點(diǎn)】1.對于數(shù)列a n ,如 a a n n 1d （與 n 無關(guān)的數(shù)或字母） , n 2 , n N ,就此數(shù)列是等差數(shù)列,d 為公差2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an a1 n 1d 或

28、an am n md 例 1.在等差數(shù)列an中,已知 a5 10 , a12 31,求 a1 、d 、 a20 、 an【答案】： a1 2 , d 3, a20 55 , an 3n 5 題型二：等差數(shù)列性質(zhì)【學(xué)問點(diǎn)】如 a , A , b 成等差數(shù)列,那么 A 叫做 a 與b 的等差中項(xiàng), 2A=a b）3 3 下標(biāo)和定理：在等差數(shù)列中,如 m n p q ,就 am an ap aq例 1.已知數(shù)列 an 為等差數(shù)列,且a1 a7 a13 4 ,就 tana2 a12 的值為（A 3 B3 C3 D【答案】 B【思路點(diǎn)撥】利用等差中項(xiàng)定理,得到 a7 ,再運(yùn)算即可；16 / 31 例 2

29、.在等差數(shù)列 an 中, a1 a4 a7 45 , a2 a5 a8 29 ,求 a3 a6 a9 （）等于（）A 22 B18 C 20 D 13【答案】D【思路點(diǎn)撥】由中項(xiàng)性質(zhì)可得a4 , a5 的值,再求a6 ；題型三：等差數(shù)列前n 項(xiàng)和S2022 S2022 2 ,就 S 2022 2022 2022 D 6036 例 1在等差數(shù)列a 中, a 1 2022 , S 是其前 n 項(xiàng)和,如 nn A 2022 B 2022 C 6033 【答案】D n 項(xiàng)和；（）D 0 【思路點(diǎn)撥】利用等差數(shù)列前例 2等差數(shù)列an 中,如 S9 9 ,就 a4 a6 A 3 B 2 C1 【答案】B

30、【思路點(diǎn)撥】利用等差數(shù)列性質(zhì)；題型四：等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和性質(zhì)【學(xué)問點(diǎn)】1. 項(xiàng)數(shù)為偶數(shù) 2n 的等差數(shù)列 an ,有S2n na1 a2n na2 a2n 1 nan an 1 an , an 1為中間兩項(xiàng) S奇 nan , S偶 na n 1 , S偶 S奇 nd ,S 奇 an S偶 an 1 2. 項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n 1的等差數(shù)列 an ,有S2n 1 2n+1an+1 an為中間項(xiàng) ,S n+1 a , S na , S S a ,S 奇 n奇 n 偶 n 1 奇 偶 nS 偶 n 1 3. 對等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的最值問題有兩種方法 : （1） 利用 an ：當(dāng) a1 0, d 0 前

31、 n 項(xiàng)和有最大值,可由an 0, 且 an 1 0 ,求 n 當(dāng) a1 0, d 0 ,前 n 項(xiàng)和有最小值,可由an 0, 且 an 1 0 ,求得 n 的值n 的值（2） 利用 S ：由 S n n d n2 a 1 d n 利用二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)2 2 4.對于一個(gè)等差數(shù)列,Sn , S2n Sn , S3n S2n 仍成等差數(shù)列17 / 31 例1.等差數(shù)列 a , b 的前 n 項(xiàng)和分別為 S , T ,如 Sn 2n ,就 a10 3n 1 b10 ）n n n n T n 【答案】19 29 例 2.數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和為 S ,如 S 2n n n 2 17n ,就

32、當(dāng) S 取得最小值時(shí)n 的值為（A 4 或 5 【答案】 C B 5 或 6 C 4 D 5 S 0 的最大值 n 為（【思路點(diǎn)撥】把Sn 看成關(guān)于n 的二次函數(shù),找最接近對稱軸的正整數(shù)即可. 例 3.數(shù)列a n為等差數(shù)列,如a11 1,且它們的前 n 項(xiàng)和為 S 有最大值,就使得a 10 n nA 11 B19 C 20 D 21 n 項(xiàng)和符號(hào)；【答案】B 【思路點(diǎn)撥】依據(jù)題目條件運(yùn)算a10 , a11 的符號(hào),再依據(jù)對應(yīng)的求和公式,寫出對應(yīng)的前例 4.設(shè)等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ,如 S3 9 , S6 36 ,就 a7 a8 a9 （）A 63 B 45 C 36 D 81

33、 【答案】D 18 / 31 等比數(shù)列 題型一：等比數(shù)列通項(xiàng)公式【學(xué)問點(diǎn)】1.通項(xiàng)公式一： ana1q n 1 【注】已知首項(xiàng)和公比2.a qn m通項(xiàng)公式二： a n 【注】已知任一項(xiàng)和公比例 1.等比數(shù)列 an 中,已知 a2, a16 ,求數(shù)列a n的通項(xiàng)n 1【答案】 a 2例 2.已知等比數(shù)列a 中, a a310 , a a 5 ,就該數(shù)列的公比q 為（）A 2 n 1 4 6 4 1 D1 4 B1 C2 【答案】 C 題型二：等比數(shù)列性質(zhì)【學(xué)問點(diǎn)】1.等比中項(xiàng)：a 、 G 、 b 成等比數(shù)列G2 ab a b 0 . log4 a14 （）2.等比數(shù)列的性質(zhì)：如m n p q

34、,就 aman apaq 3.等比數(shù)列的增減性：當(dāng) q 1 , a1 0 或者 0 q 1, a1 0 時(shí),an 是遞增數(shù)列；當(dāng) q 1 , a1 0 或 0 q 1, a1 0 時(shí), an 是遞減數(shù)列；當(dāng) q 1 時(shí),an 是常數(shù)列；當(dāng) q 0 時(shí),an 是搖擺數(shù)列；例 1.設(shè)數(shù)列 an 是由正項(xiàng)組成的等比數(shù)列,且a7 a8 4 ,就 log 4 a1 log4 a2 A 5 B6 C7 D8 【答案】 C 【思路點(diǎn)撥】先依據(jù)對數(shù)運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算,再依據(jù)中項(xiàng)性質(zhì)；19 / 31 例 2.已知 1, a , a , 9 是等差數(shù)列, 1, b , b , b , 9 是等比數(shù)列,就1 2 1 2

35、3 a 1 b2（）a 2A 3 B3C3 D310 10 2 2 【答案】B 題型三：等比數(shù)列前n 項(xiàng)和【學(xué)問點(diǎn)】等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式：5 ,就 S （）當(dāng) q 1 時(shí), Sn a 1 1 q n 或a 1n a q 1； 當(dāng) q 1 q 1 時(shí), Sn na1 1q 1 q 例 1.已知首項(xiàng)為 1,公比為1 的等比數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和為 S ,就（）2 n n A.Sn 2an 1 B.Sn 3an 2C.Sn 4 2anD.Sn 2 an【答案】D 【思路點(diǎn)撥】利用公式求Sn 與 an 關(guān)系例 2.已知a 為等比數(shù)列, S 是它的前 n 項(xiàng)和,如 a a 2a ,且 a 與 2a

36、的等差中項(xiàng)為n n 2 3 1 4 7 4 5 A 35 B 33 C 31 D 29 【答案】 C 例 3.已知等比數(shù)列 an 的公比 q 2 ,其前 4 項(xiàng)和 S4 60 ,就 a3等于（）A 16 B 8 C16 D8 【答案】A 題型四：等比數(shù)列前n 項(xiàng)和性質(zhì)【學(xué)問點(diǎn)】等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式：1當(dāng) q 1時(shí),Sn a 1 1 q n 或a 1n a q 1； 當(dāng) q 1時(shí), Sn na1 1 q 1q 2等比數(shù)列Sn , S2n -Sn , S3n -S2n 也成等比數(shù)列,且公比為n q【注】 q 為原數(shù)列公比20 / 31 例 1.等比 an 數(shù)列中, Sn 為其前 n 項(xiàng)和,如

37、 S2 7 , S6 91 ,就 S4 為（）n 的值為A 28 B 32 C 35 D 49 【答案】A 【思路點(diǎn)撥】利用等比數(shù)列Sn , S2n -Sn , S3n -S2n 也成等比數(shù)列,求S4 . 例 2.正項(xiàng)遞增等比數(shù)列 an 中, Tn 表示其前n 項(xiàng)之積,且 T10 T20 ,就當(dāng) Tn 取最小值時(shí),【答案】 15 【思路點(diǎn)撥】 T10 T20 得 a11a12 a20 1 , a11a20 a12a19 a15a16 1,a15 1, a16 1, T15 最 2 1 n 2 27 n 2 ,小 例 3.設(shè)等比數(shù)列an 滿意 a1a3 10 , a2 a4 5 ,就 a1a2

38、L an 的最大值為【答案】 64 a 8 q 1 ,11 n 4,所以 a1a2 L an n1 23 Ln1n 1 n n 1 2 【思路點(diǎn)撥】由題可得,所以 an 2 a1 q8 2 2 所以當(dāng)n 3 或 n 4 時(shí),a1a2 Lan 的最大值為 64 ,給出例 4.設(shè)等比數(shù)列a 的公比為 q ,其前 n 項(xiàng)積為 T ,并且滿意條件 a n 1 , a a 99 100 ,a99 1 n a100 1 以下結(jié)論,其中正確的結(jié)論有（）A q B a99 a101 C T100 的值是Tn 中最大的D使 Tn 1成立的最大自然數(shù)n 等于 198 【答案】AD 【思路點(diǎn)撥】由題目條件得出a99

39、 1, a100 1,進(jìn)而得出q 的范疇及其余選項(xiàng)判定；21 / 31 數(shù)列求通項(xiàng) 題型一：累加法求數(shù)列通項(xiàng)【學(xué)問點(diǎn)】1.累加法an f n （ f n 可 求前 n 項(xiàng)和）,a1 f n 1f n 2f 1a1 ,求通項(xiàng)公式的方形如 an 1 通過 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 法叫累加法已知 a1 a , an 1 an f n, f n 可以是一次函數(shù),二次函數(shù),指數(shù)函數(shù),分式函數(shù),如 f n 是關(guān)于 n 的一次函數(shù),累加后可轉(zhuǎn)換成等差數(shù)列求和；如 f n 是關(guān)于 n 的二次函數(shù),累加后可分組求和；如 f n 是關(guān)于 n 的指數(shù)函數(shù),累加后可轉(zhuǎn)換成等比數(shù)列求和；如

40、f n是關(guān)于 n 的分式函數(shù),累加后可裂項(xiàng)求和2.特別數(shù)列求和常用數(shù)列的前n 項(xiàng)和：1 2 3 . n n n 1；1 3 5 . 2n 1n 221 2 2 2 3 2 . n 2 n n 12n 1；1 3 2 3 3 3 . n 3 n n 126 2 例 1.如數(shù)列的遞推公式為a1 3, a n 1 an 2 3n 1 n N ,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式n 1【答案】 4 3例 2.已知數(shù)列an , a1 1, an 1 an n n 1,求數(shù)列通項(xiàng)公式an 等于【答案】 1 n n 1 3 n 1【思路點(diǎn)撥】累加法應(yīng)用；22 / 31 題型二：累乘法求數(shù)列通項(xiàng)【學(xué)問點(diǎn)】形如 an 1 an

41、 f n （ f n 可求前 n 項(xiàng)和）,an 1 特別情形：等比數(shù)列 q （從其次項(xiàng)開頭,后一項(xiàng)比去前一項(xiàng)等于同一常數(shù)）an通過a an an 1 a2 a f n 1 f n 2 f 1 a ,求數(shù)列通項(xiàng)的方法叫累乘法n a n 1 a n 2 a 1 1 1an 1 累乘法解題關(guān)鍵是,先把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)換成如 f n an例 1.已知數(shù)列 a , a 2, a n a ,求 a n 1 n 1 n nn 22【答案】n 1n 1 的形式,然后累乘即可例 2.已知數(shù)列a 滿意 a 1, a 2 n a ,求通項(xiàng)公式n a nn n 1 2 n 1n 1 【答案】 an nn 1 2 【思路點(diǎn)撥

42、】由an 1 2 n a ,得an 1 2 a n ,所以n a n a a a 2 3 4 a a a 1 2 3a a n 2 1 2 2 2 3 n 1 1 n 1n 1 2 n 1 2 2 題型三：構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【學(xué)問點(diǎn)】待定常數(shù)法1.形如 an 1 Aan B （其中 A, B 均為常數(shù),且A 0 ）0 ）,求數(shù)列通項(xiàng)公式B ,就數(shù)列 ant已知 a1 a ,且 an 1 Aan B （其中 A, B 均為常數(shù),且A如 A 1 時(shí),數(shù)列an 為等差數(shù)列；at Aa n t ,其中 t 如 B 0 時(shí),數(shù)列an為等比數(shù)列；如 A 1, B 0 時(shí),數(shù)列a 為線性遞推數(shù)列,可將其轉(zhuǎn)化為

43、n n 1 A 1 為公比等于A 的等比數(shù)列,然后求an 即可23 / 31 2.形如 an 1 pa n f n 型,可分以下兩類p an 1 ,令 b an ,就可化為 b n 1p b n q 1,然后轉(zhuǎn)換為題型操作步驟：兩邊同除以 q n 1 ,得到 an 1 n 1 qn q qq n qnq 3 來解例 1.在數(shù)列 an 中,已知 a1 3, an 1 5an 4 ,求數(shù)列 an 的通項(xiàng)【答案】 a 4 5 n n 1 1 【思路點(diǎn)撥】構(gòu)造數(shù)列 an 1 1 5 an 1例 2.已知數(shù)列 a 滿意 a 3a 5 2 n , a 1,求數(shù)列 a 的通項(xiàng)公式n n 1 n 1 n【答案

44、】 a 11 3 n 1 5 2 n【思路點(diǎn)撥】構(gòu)造數(shù)列 a n 1 5 2 n 1 3 a 5 2 n 題型四： 利用 Sn 與 an 關(guān)系【學(xué)問點(diǎn)】（1） 知 Sn ,求 an已知數(shù)列 a 前 n 項(xiàng)和 S ,就 a n n n S1n 1 （留意：不能遺忘爭論n 1）S Sn 1 n 2 （2） Sn 與 an 混合顯現(xiàn)此類型一般可用a n S1n 1 消去 S 或者消去 n Sn 1 n 2 a n 的值為（）S 例 1.已知數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和,求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（1） S n n 2 2n ； （2） S n n 2 2n 1；（3） S 3 n 2 ；【答案】 an 2n 1

45、 a n 2, n 1 2n 3, n 2n N an 2 3 1, n 1n 1, n 2n N ）【思路點(diǎn)撥】利用Sn Sn 1 得到an ,記得驗(yàn)證n 1的情形是否符合；2 nSn取最大值時(shí)例 2.設(shè) S是數(shù)列SS ,就使a的前項(xiàng)和,且 a 1, an n 1 n 1n n 1 2 1 10S nA 2 B 5 C 4 D 3 【答案】D 24 / 31 【思路點(diǎn)撥】利用 S S 替換題中的 a n n 1 n +1 ,得到關(guān)于 S的表達(dá)式,再進(jìn)行運(yùn)算；n 題型五： 證明等差等比數(shù)列【學(xué)問點(diǎn)】證明題目已經(jīng)構(gòu)造好的新數(shù)列的某些性質(zhì)（如成等差或等比數(shù)列）詳細(xì)解題步驟為：（一）換元法換元：令所

46、證數(shù)列的通項(xiàng)為xnxn 反解：利用換元解出, an f 代入題目已知關(guān)系式（二）待定系數(shù)法：同數(shù)列通項(xiàng)構(gòu)造例 1.在數(shù)列an中, a11, a n 2an 11 nn 2且n N * 2n2 an 1n 1n 2且n N * ,當(dāng)（1） 證明：數(shù)列an n 是等比數(shù)列（2） 求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式 an【答案】（1） an n 是以 2 為公比的等比數(shù)列（2） ann 22, n1 n1【思路點(diǎn)撥】（ 1）由 a11, a n 2an 11 nn 2且 n N * 可得, a nn2 時(shí), a1 1 2 0, 所以 an n 是以 2 為公比的等比數(shù)列n 22, n2（2）由（ 1）知, an

47、n 2 2 n 1 2 n ,所以 a 2 n 2 ,所以 a n1 n125 / 31 數(shù)列求和題型一：公式法【學(xué)問點(diǎn)】題型二：分組求和法【學(xué)問點(diǎn)】例 1.已知數(shù)列an是等差數(shù)列,且a1 2 , a1 a2 a3 12 （17 年 10 月啟悟中學(xué)高二文,18）（1） 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；n 的前 n 項(xiàng)和 S 2 nn 2 n 2 （2） 令 b a 2 n ,求數(shù)列b n n n【答案】（1） an 2n ；（2） Sn2 2nn 22 n 1 2 2 1 26 / 31 【思路點(diǎn)撥】（1）利用等差性質(zhì)求出公差,進(jìn)而求得通項(xiàng)；（2）由（ 1）求得 bn 2n 2 ,再利用分組求和求得

48、nS ；n 題型三：倒序相加法【學(xué)問點(diǎn)】例 1.已知函數(shù) f x x 22 , f 1 f 2 L f 8 f 9 的值等于10 10 10 10 x 2【答案】9 2 xf 1x 為定值即可；【思路點(diǎn)撥】運(yùn)算f 例 2.有限項(xiàng)的等差數(shù)列an的前 4n 項(xiàng)之和為 26 ,末四項(xiàng)之和為 110 ,且全部項(xiàng)之和為 187 ,就項(xiàng)數(shù) n 等于【答案】 11 題型四：裂項(xiàng)相消法【學(xué)問點(diǎn)】形如 cnc （其中 an 是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列,c 為常數(shù)）an an 1 常見的裂項(xiàng)形式1.an1 nn 1 1 2n 12n 1 2 4n 2 12 6n 32n 1 1 nn 2 1 2.an3.an4.an

49、5.an6.ann 1 n 7 an n22 n 12 n 1 1 27 / 31 例 1.數(shù)列 a 的項(xiàng)分別為 1, 1 , 1 , 1 , 1 ,就他的前 20 項(xiàng)之和 S 等于（）n 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2n 20A 19 10 B 2 C40 21 D20 21 【答案】 C ；【思路點(diǎn)撥】 an2, Sn2n 2 S, S 在直線x y 1n N * 上n 1 n n 1例 2.設(shè)數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和為 S , a 2 ,點(diǎn)n n 1 n 1 nn 1 n （1） 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；T 3 T n 3 （2）設(shè) T Sn Sn 1 2 ,求證： 4 T T

50、 1 n Sn 1 Sn 3 【答案】（1） an 2n （2） 見解析【思路點(diǎn)撥】（ 1）點(diǎn) S , S 在直線 x y 1n N * 上,故 Sn 1 Sn 1,Sn 是首項(xiàng)為 2 ,公差為 1的n 1 nn 1 n n 1 n n 等差數(shù)列,Sn 2 n 1 n 1 ,Sn n 2 +n ,a n 2n n（2） S n n 2 +n , T n S Sn Sn 1 2 S 2 n n 2 2 ,T n 2 1 1 2 n 1 1 n 2 1 3 2 n 1 1 n 2 1 3 ,n 1 n 又 T 為增函數(shù) T 的最小值為 T 4 ,4 T 3 n n 1 n3 3 例 3.已知數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和為 S ,點(diǎn)n, S n N 均在函數(shù) y 3x 2 2x 的圖像上（ 16 年 11 月科技高二文, 22）（1） 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（2） 設(shè) b 1 , T 是數(shù)列 b 的前 n 項(xiàng)和,求使得 Tm 對全部 nN 都成立的最小正整數(shù)m nanan 1n n n 30【答案】（1） an 6n 5 ；（2） m的最小整數(shù)值為 10 【思路點(diǎn)撥】（ 1）點(diǎn) n, Sn n N 均在函數(shù) y 3x 2 2x 的圖像上,故 S n 3n 2 2n ；當(dāng) n 1 時(shí), S 1 ；當(dāng) n 2 時(shí), an Sn Sn 1 6n 5