第2018-2019平行線等分線段定理相似三角形的判定及有關性質(zhì)

1、新課標數(shù)學選修4 - 1第一講相似三角形的判定及有關性質(zhì)第一講相似三角 形的判 定及有關性質(zhì)第一講相似三角 形的判 定及有關性質(zhì)平行線等分線段定理銀的自主印學理教材白巖白測銀的自主印學理教材白巖白測閭基理自玉學“區(qū)4課標解讀1.掌握平行線等分線段定理及其兩個推論.課標解讀2,能運用平行線等分線段定理及其兩個推論進行簡單的證明或計算4椒理h.平行線等分線段定理 (1)文字語言：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等.(2)圖形語言如圖 1 1 1 , l 1 / l 2/ l 3, l 分別交 l 1, 12, 13于 A, B, C, l 分別交 l 1,

2、12, 13于 A1, B1,C1,若AB= BC,則 ABi= B1C1.2.平行線等分線段定理的推論(1)推論1:經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊.(2)推論2:經(jīng)過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰.1.平行線等分線段定理有哪些應用？1.平行線等分線段定理有哪些應用？【提示】定理既可證明同一直線上的線段相等，亦可等分已知線段.2.平行線等分線段定理的逆【提示】平行線等分線段定理的逆3 .如何證明平行線等分線段定理的推論1?【提示】如圖，在 ABC中,于點C,求證：3 .如何證明平行線等分線段定理的推論1?【提示】如圖，在 ABC中,于點C,求證：C是AC的中點

3、. BC/ B C , all BC/ B C.B為AB的中點，過BYB C /又. 又. AB =BB ,，AC =CC ,即C是AC的中點.銀堂互動探究破疑戒g銀堂互動探究破疑戒g生正動提“知解合作探究區(qū)I平行線等分線段定理平行線等分線段定理圖 11 2UI如圖1 12,UI如圖1 12,已知 AC!AB, DBAR O是CD的中點，求證:OA= OB.【思路探究】由于線段OA和OB有共同端點，則轉(zhuǎn)化為證明 OAB是等腰三角形即可.【自主解答】過O作AB的垂線，垂足為 E,如圖所示.又ACL AB, DB AB,OE/ AC/ DB.又O為CD的中點，E為AB的中點，又OE AB,. OA

4、覺等腰三角形，OA= OB.I規(guī)律方法I.本題中由 AC! AB, DB! AB知AC/ DR聯(lián)想到作 OEL AB,再根據(jù)平行線等分線段定理證明點E是AB的中占I 八、.平行線等分線段定理應在有線段的中點時應用，在沒有線段的中點時構造線段的中點來應用.、變ft訓練已知：如圖1 1 3, ?ABCD勺對角線AG BD交于點O,過點A, B, C, D, O分別作直線a的垂線，垂足分別為 A , B , C , D , O;求證：A D =B CA Df Of Bf C圖 11 3【證明】:？ABCDW對角線AC BD交于點O,，OA= OC OB= OD. AA，a, OO a, CC a,.

5、AA /OO /CC .O A =O C ,同理：O D =O B,.A D =B C平行線等分線段定理推論1的應用E.如圖1 14,在 ABC中，AD, BF為中線，AD, BF交于G, CEE/ FB交AD的延長線于E.求證：AG 2DE.圖 11 4圖 11 4【思路探究】AF= FC,GF/ E8A8 GEE BDe ACDEA8 2DE【自主解答】在AEC中,. AF= FC, GF/ EC,AG=GE. CE/ FB,GBD= / ECD / BGD= / E.又 BA DC.BD3 CDE.故 DG= DE,即 GE= 2DE因止匕AG= 2DE.I規(guī)律方法I.如果已知條件中出現(xiàn)

6、中點，往往運用三角形的中位線定理來解決問題.本例在證明 DG= DE時也可以過 D作EC的的平行線 DH.因為BG/ DH/ CE且BD= CD得DG= DE使用平行線等分線段定理來證明.、變五訓練如圖1 1 5,AC如圖1 1 5,AC于 F. BD= CD DH/ BF,_ 1 一求證：AF= 3AC.【證明】 過D作DH/ BF,交AC于H.FH= CH.同理：AF= fh.AF= FH= CH1 AF= 3AC.平行線等分線段定理推論2的運用如圖 1 16 所示，梯形 ABCM, AD/ BC, DCX BC, Z B= 60 , BC= AB, E 為 AB 的中點.BC圖 11 6

7、求證： ECD為等邊三角形.【思路探究】過E作EF/ BC,先證明EC= ED,再連接 AC,證明/ BCE= 30 ,從而/ ECD= 60【自主解答】過E作EF/ BC交DC于F,連接AC,如圖所示.AD/ BC, E 為 AB 中點,.F是DC中點. 又 DCL BC, EF/ BCEF DC.由知，EF是DC的垂直平分線，. ECM等腰三角形. BC= AB, / B= 60 ,. ABC是等邊三角形.又E是AB中點，CE是/ ACB的平分線，./ BCE= 30 , .ECD= 60 . 由知， ECD為等邊三角形.I規(guī)律方法I.解答本題的關鍵是通過證明 ABC是等邊三角形來證明/

8、BCE= 30 .有梯形且存在線段中點時，常過該點作平行線，構造平行線等分線段定理的推論2的基本圖形，進而進行幾何證明或計算.一變訓練如圖1 1 7,在梯形 ABCD, AD/ BC, BC= 2AD, E, F分別是 AB, CD的中點，EF交BD于G 交AC于H.求證：EG= GH= HF.【證明】 E, F分別是AB, CD的中點，AD/ BC.EF/ AD, EF/ BC.G H分別是BD, AC的中點._1_EG觸AD, FH嗎AD.，EG= FH.-1 - BC= 2AD, EH=產(chǎn)- 一一一 1 一EH= AD,又 EG= 2AD.GH= EH- EG= AD- ；AD= ；AD

9、.EG= GH.即 EG= GH= HF.真題鏈接賞析吩鏈接（教材P5練習T2）已知：如圖1 1 8, M N分別是？ABCD勺AB, CD邊的中點，Cg BD于點E, AN交BD于點F.圖 11 8請你探討B(tài)E, EF, FD三條線段之間的關系，并給出證明.吩賞析（2018 高丘模擬）如圖1 1 9,在梯形 ABC邛,AD/ BC, E為BC中點，且 AE/DC AE交BD于點F,過點F的直線交AD的延長線于點 M,交CB的延長線于點 N,則FM與FN的關系為（）FMFNFMGFAG= GFAGGFAG與GF的大小不確定【解析】DE是 ABC的中位線，DE/ BC, AD= DB,AG= G

10、F.【答案】BZ1，2h圖 i i ii TOC o 1-5 h z .已知：如圖1 111, I1/I2/I3,那么下列結論中錯誤的是 （）A,由 AB= BC可得 FG= GHB,由 AB= BC可得 OB= OGC.由 CE 2CD可得 CA= 2BC_1_D.由 GH= FH 可得 CD= DE【解析】由平行線等分線段定理知，A、C D均正確.【答案】B.如圖 1 1 12,在梯形 ABCD43, AD/ BC, A* BC= 10 cm , E為 AB的中點，點 F 在 DC上，且 EF/ AD則EF的長為（）5 cm10 cm20 cmD.不確定圖 1 1 1211【解析】 由推論

11、2知，EF是梯形ABCD勺中位線，故 EF= （AD+BC） = X 10= 5 cm.A二圖 1 1 134.如圖 1 1 13 所示，AF= FD= BD, FG/ DE/ BC,若 EP= 1,貝U BC=.【解析】由平行線等分線段定理知 AG= GE= EC,則EP是4CFG的中位線，故FG= 2,又FG是 ADE的中位線，DE= 4, D陛3,又DP是4FBC的中位線，BC= 6.【答案】6彳果后知能檢測流下測白戲評估挺Y解.祟秒半7T 、選擇題圖 1 1 141 .如圖1 1 14,已知l 1/ l 2/ l 3, AB, CD相交于12上一點O,且A& OB則下列結論中錯誤的是

12、（）AC= BDAE= EDOC= ODOD= OB【解析】由 1 1 / 12 / 13 知 AE= ED, OC= OD由 AO挈 BOW AC= BD,但Og OB不能確定其大小關系.故選D.【答案】D圖 1 1 152. （2018 信陽模擬）已知如圖 1 1 15, AEEC, CE平分/ ACB , DE/ BC,則 DE等于（）BC ACAC- BF-1-C，2（AB-AC）1D. 2（BC- AC）【解析】由已知得CE是線段AF的垂直平分線.AC= FC, AE= EF, DE/ BC,DE是 ABF的中位線.1_ 1 一 一DE= 2BF=2（BC-AC）.3.如圖5 A.-

13、33.如圖5 A.-33C.2 D.1 1-1-16, AD是 ABC的圖，E是 AB的中點，EF BC于 F,若 DC= -BD,貝U FC是 85的（）倍.34B.-3EF1 BC AD BC,EF/ AD,又 E 為 AB 的中點，F(xiàn)是BD的中點,即 BF= DF.又 DC= ；BD,DC= 2BF. TOC o 1-5 h z 3355 5FC= FD+ DO BF+ DO BF. 3【答案】A圖 1 1 174.如圖 1 1 17,在梯形 ABC邛,E為 AD的中點，EF/ AB, EF= 30 cm, AC交 EF于 G,若 FG-EG= 10 cm, 則 AB=()A. 30 c

14、m B . 40 cmC. 50 cm D . 60 cm【解析】由平行線等分線段定理及推論知，點G F分別是線段 AC, BC的中點，則EG= 2DC FG= 2AB.AB+ DC= 60AB+ DO 60AB+ DC= 60AB+ DO 60EF=112AB- 2DC= 10AB- DO 2040解得20B二、填空題圖 1 1 18EF=112AB- 2DC= 10AB- DO 2040解得20B二、填空題圖 1 1 185.如圖11 18所示,在梯形 ABCD43,AD/ BG AD= 2, BC= 6, E, F分別為對角線 BQ AC的中點，則【解析】如圖所示，過【解析】如圖所示，過

15、E 作 GE/ BC交 BA于 G.E是DB的中點,G是G是AB的中點,F是AC的中點,GF/ BC,G,E,FGF/ BC,G,E,F三點共線,GE= 2AD= 1, GF= 2BC= 3,EF= GF- GE= 3-1 = 2.fli)圖 1 1 19fli)圖 1 1 191 46 .如圖 1 119,在 ABC中,E 是 AB 的中點，EF/BD交AC于 F,EG/AC交 BD于 G,CD= AD,若 EG=5 cm,則 5 cm,則 AC=;若 BD= 20 cm,則 EF=【解析】E為AB的中點，EF/ BD,F為AD的中點.1 _一. E為 AB的中點，EG/ AC,，G為 BD

16、的中點，若 EG= 5 cm,貝U AD= 10 cm,又 CD= 2AD= 5 cm, .1.AC= 15 cm.若 BD= 20 cm ,則 EF= 1BD= 10 cm. ，2【答案】15 【答案】15 cm 10 cm三、解答題圖 1-1-20圖 1-1-207.如圖1 120,已知以梯形 ABCDW對角線 AC及腰AD為鄰邊作？ACED DC的延長線交 BE于F.求證：EF =BF.【證明】連接AE交DC于0,四邊形ACE皿平行四邊形，0是AE的中點(平行四邊形的對角線互相平分 ).四邊形ABCD梯形，.DC/ AB.在 4EAB 中,OF/ AB, 0 是 AE 的中點,. F是

17、EB的中點.EF= BF.如圖1-1-21所示，已知線段 AB,求作線段AB的五等分點，并證明.圖 1-1-21【解】 作法：作射線AC;(2)在射線 AC上以任意取定的長度順次截取AD= DDb= DbD3= D3D4 = D4D ;(3)連接QB;(4)分別過Di, D2, D, D作DB的平行線 DA, DA, 6白，DA,分別交 AB于點 A, X, X, As則點 A, A2, A3, A4將線段AB五等分.證明：過點A作MN/ D5B.則 MN/ D4A4 / DA / D2A2 / DA / QB, AD= DiD2= DO= DbE4= DO, AA= AA2= AA3= A1

18、Z= A4B.點A, A2, A3, A4就是所求的線段 AB的五等分點.用一張矩形紙，你能折出一個等邊三角形嗎？如圖 1 1 22(1),先把矩形紙 ABCD寸折，設折痕為 MN再把B點疊在折痕線上，得到 RtABE沿著EB線折疊，就能彳#到等邊 EAF,如圖(2).想一想，為什么?圖 1-1-22【解】利用平行線等分線段定理的推論2,N是梯形 ADC前月CD的中點，NP/ AD, P為EA的中點.在RtABE中，PA= PB（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）,Z 1 = / 3.又 PB/ AD, / 3=/ 2. .1 = /2.又一/ 1與和它重合的角相等，/ 1 = 7 2=30 .在 RtAEB中，/ AEB= 60 , / 1 + Z 2 = 60 ,. AEF是等邊三角形.回教師備選10.1_如圖所不，AE/BF/CG/DHAB= ,