歐拉公式精品課件

1、歐拉公式第1頁，共13頁，2022年，5月20日，7點2分，星期四多面體多面體的定義若干個平面多邊形圍成的幾何體（1）（2）（3）( 4 )( 5 )多面體的有關(guān)概念多面體的面棱頂點凸多面體把多面體的任何一個面延伸為平面,如果所有其他各面都在這個平面的同側(cè),這樣的多面體叫做凸多面體多面體的分類四多面體五多面體六多面體等第2頁，共13頁，2022年，5月20日，7點2分，星期四多面體正多面體每個面都是有相同邊數(shù)的正多邊形,且以每個頂點為其一端都有相同數(shù)目的棱的凸多面體,叫正多面體.（1）（2）（3）正四面體正六面體正八面體正十二面體正二十面體第3頁，共13頁，2022年，5月20日，7點2分，星

2、期四多面體（6）( 7 )( 8 )簡單多面體表面經(jīng)過連續(xù)變形能變成一個球面的多面體( 5 )第4頁，共13頁，2022年，5月20日，7點2分，星期四討論問題1： （1）數(shù)出下列四個多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E 并填表（1）（2）（3）（4）圖形編號頂點數(shù)V面數(shù)F棱數(shù)E（1）（2）（3）（4）規(guī)律：V+F-E=2464861268129815（歐拉公式）第5頁，共13頁，2022年，5月20日，7點2分，星期四( 7 )( 8 )( 5 )5851212247812問題1： （2）數(shù)出下列四個多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E 并填表圖形編號頂點數(shù)V面數(shù)F棱數(shù)E（5）（7）（6）V+F-E

3、=2（歐拉公式）簡單多面體討論第6頁，共13頁，2022年，5月20日，7點2分，星期四問題2：如何證明歐拉公式ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1討論第7頁，共13頁，2022年，5月20日，7點2分，星期四思考1：多面體的面數(shù)是F，頂點數(shù)是V，棱數(shù)是E，則平面圖形中的多邊形個數(shù)、頂點數(shù)、邊數(shù)分別為思考2：設(shè)多面體的F個面分別是n1,n2, ,nF邊形，各個面的內(nèi)角總和是多少？(n1-2) 1800+ (n2-2) 1800+ (nF-2) 1800=(n1+n2+nF-2F） 1800思考3： n1+n2+nF和多面體的棱數(shù)E有什么關(guān)系n1+n2+nF =2EF、V

4、、E問題2：如何證明歐拉公式討論ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1第8頁，共13頁，2022年，5月20日，7點2分，星期四多邊形內(nèi)角和=（EF）3600思考4：設(shè)平面圖形中最大多邊形（即多邊形ABCDE）是m邊形，則它和它內(nèi)部的全體多邊形的內(nèi)角總和是多少？2（m-2) 1800+(V-m) 3600=(V-2) 3600（E-F）3600= (V-2) 3600問題2：如何證明歐拉公式討論ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1V+F-E=2歐拉公式第9頁，共13頁，2022年，5月20日，7點2分，星期四問題3:歐拉公式的應(yīng)用例1 1996年的

5、諾貝爾化學(xué)獎授予對發(fā)現(xiàn)C60有重大貢獻(xiàn)的三位科學(xué)家C60是有60 個C原子組成的分子，它結(jié)構(gòu)為簡單多面體形狀這個多面體有60個頂點，從每個頂點都引出3條棱，各面的形狀分別為五邊星或六邊形兩種計算C60分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有多少？解：設(shè)C60分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有x個和 y個由題意有頂點數(shù)V=60，面數(shù)=x+y，棱數(shù)E= （360）根據(jù)歐拉公式，可得 60+（x+y) （360）=2另一方面，棱數(shù)也可由多邊形的邊數(shù)來表示，即 （5x+6y)= （360）由以上兩個方程可解出 x=12,y=20答：C60分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有12個和20個第10頁，共13頁，2

6、022年，5月20日，7點2分，星期四例2、有沒有棱數(shù)是7 的簡單多面體？解：假設(shè)有一個簡單多面體的棱數(shù)E=7根據(jù)歐拉公式得 V+F=E+2=9因為多面體的頂點數(shù)V4，面數(shù)F4，所以只有兩種情形：V=4，F(xiàn)=5 或 V=5，F(xiàn)=4但是，有4 個頂點的多面體只有4個面，而四面體也只有四個頂點所以假設(shè)不成立，沒有棱數(shù)是7 的簡單多面體問題3:歐拉公式的應(yīng)用第11頁，共13頁，2022年，5月20日，7點2分，星期四1、（1）一個簡單多面體的各面都是三角形，證明它的頂點 數(shù)V和面數(shù)F有F=2V4的關(guān)系練習(xí)（2）若簡單多面體的各面都是四邊形，則它的頂點數(shù)V和面數(shù)F又有怎樣的關(guān)系？2、 簡單多面體的每個面都是五邊形，且每個頂點的一端都有三條棱，求這個多面體的面數(shù)和棱數(shù)第1