熱力學(xué)一般關(guān)系

1、第二部分工質(zhì)的熱力性質(zhì)六熱力學(xué)函數(shù)的一般關(guān)系式由熱力學(xué)基本定律引出的一些基本熱力學(xué)狀態(tài)函數(shù)（如 內(nèi)能、熵S ）及其為某一研究方便而設(shè)的組合函數(shù)（如焓丑、自由能F、自由焓G等）許多都是不可測量，必須將它們與可測量（如壓力p、體積v、溫度/等）聯(lián)系起來，否 則我們將得不到實際的結(jié)果，解決不了諸如上一章講的最大 功計算等一些具體的問題。這就需要發(fā)展熱力學(xué)的數(shù)學(xué)理論以將熱力學(xué) 基本定律應(yīng)用到各種具體問題中去。熱力學(xué)函數(shù)一般關(guān)系式 全微分性質(zhì)+基本熱力學(xué)關(guān)系式6.1狀態(tài)函數(shù)的數(shù)學(xué)特性對于狀態(tài)參數(shù)，當(dāng)我們強調(diào)它們與獨立變量的函數(shù)關(guān)系 時，常稱它們?yōu)闋顟B(tài)函數(shù)。從數(shù)學(xué)上說，狀態(tài)函數(shù)必定具有 全微分性質(zhì)。這一數(shù)

2、學(xué)特性十分重要，利用它可導(dǎo)出一系列 很有實用價值的熱力學(xué)關(guān)系式。下面我們扼要介紹全微分的 一些基本定理。設(shè)函數(shù)z = f 3, y）具有全微分性質(zhì)) dz =) dz =dx )dx +dy(6-1)則必然有（1）互易關(guān)系令式（6-1 ）中=N (x, y)y=M =N (x, y)y(6-2)互易關(guān)系與 dz = 0等價。它不僅是全微分的必要條件，而且是充分條件。因此，可反過來檢驗?zāi)骋晃锢砹渴欠窬哂?全微分。（2）循環(huán)關(guān)系當(dāng)保持z不變，即dz = 0時，由式（6-1），得件zdx件zdxdx +dy - 06z則故有則故有I(6-3)x(6-3)dx) ldzJ此式的功能是：若能直接求得兩個

3、偏導(dǎo)數(shù)，便可確定第三個 偏導(dǎo)數(shù)。結(jié)果也很容易記憶，只需將三個變量依上、下、外 次序，即(zyx)(yxz)(xzy)循環(huán)就行了。(3)變換關(guān)系將式(6-1)用于某第四個變量o不變的情況，可有dzWdxdzWdx )ydxwa) 7+言dyldy) wx兩邊同除以dx w，得(dz ) ( 兩邊同除以dx w，得(dz ) ( dy )+(ay J x (虱(6-4)式中：仔是函數(shù)z(x，y)對x的偏導(dǎo)數(shù);(dx )y是以(x,w )為獨立變量時，函數(shù)z(x,w )對x的偏導(dǎo)數(shù)。上面的關(guān)系可用于它們之間的變換。這一關(guān)系式對于熱力學(xué)公式的推導(dǎo)十分重要。(4)鏈?zhǔn)疥P(guān)系(4)鏈?zhǔn)疥P(guān)系按照函數(shù)求導(dǎo)法則，

4、可有下述關(guān)系:(6-5),( dv( dv ) 7“ ( dv ) 7dv = I I dT + 一 dpdT 7Idp )(6-5a)勺 z ) ( dx (椰、(6-5a)dx7 椰這是在同一參數(shù)(如 )保持不變時，一些參數(shù)(WA )循環(huán)求導(dǎo)所得偏導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系。若將關(guān)系式中每 個偏導(dǎo)數(shù)視為鏈的一環(huán)，則鏈?zhǔn)疥P(guān)系的環(huán)數(shù)可隨所涉及參數(shù) 的個數(shù)而增減。以上這些關(guān)系式都是針對二元函數(shù)的，即以具有兩個獨 立狀態(tài)參數(shù)的簡單系統(tǒng)為背景。但對具有兩個以上獨立參數(shù) 的系統(tǒng)即多元狀態(tài)函數(shù)，其也有推廣價值。例題6-1 改理想氣體狀態(tài)方程為pv = RT，試檢&是否有全微分。解由狀態(tài)方程得v = RT，故有pRe

5、RT 7=_dT -Re RT 7=_dT -dpP P2于是而M(T,p)= PRTNQ,p) = _P2二者相等，可見，有全微分，即其為狀態(tài)函晚6.2基本熱力學(xué)關(guān)系式 6.2.1基本熱力學(xué)關(guān)系式為簡單計，以下推導(dǎo)全部采用比參數(shù)。由熱力學(xué)第一定 律，得dq = du + dw(3-18d)對簡單可壓縮系統(tǒng)，若過程可逆，貝w = pdv9故8 q = du + pdv而由熱力學(xué)第二定律(4-14b)8 q = Tds(4-14b)二式聯(lián)立，最后得式（6-6）表達了熱力學(xué)基本定律對系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)變化的 限制，是導(dǎo)出其它熱力學(xué)關(guān)系式的基本依據(jù)，稱為基本熱力 學(xué)關(guān)系式。需要指出的是：雖然式（6-6）是

6、從可逆變化推導(dǎo)而來， 但因為du是狀態(tài)函數(shù)的變化，它只與變化前后的狀態(tài)有關(guān)， 而與實際過程的可逆與否無關(guān)，所以對于不可逆變化仍然適 用。但若作為能量平衡方程，它只適用于可逆過程。由焓的定義h = u + pv得dh = du + d （pv） = du + pdv + vdp將式（6-6）代入上式，可得 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark28 o Current Document dh = Tds + vdp（6-7）同樣，由自由能的定義/ = u - Ts可得df = -sdT - pdv（6-8）由自由焓的定義g = h Ts可得 HYPERLINK l

7、bookmark31 o Current Document dg = - sdT + vdp（6-9）以上式（6-7）（6-9）為基本熱力學(xué)關(guān)系式用組合參 數(shù)表達的形式，故式（6-6）（6-9）可統(tǒng)稱為基本熱力學(xué) 關(guān)系式。6.2.2特性函數(shù)基本熱力學(xué)關(guān)系式(6-6)(6-9)分別為以特定參數(shù) 為獨立變量的狀態(tài)函數(shù)u(s v)、h(s, p)、f (T, v)、g(T, p)的全微分表達式。這些函數(shù)有一個很重要的性質(zhì)，就是它們的 偏導(dǎo)數(shù)各給出一個狀態(tài)函數(shù)對于函數(shù)u(S v)，將其全微分解析式du =(du =(du一 ,ds + ds Jv(du ) a一 I dvdv Js與式(6-6)作對比

8、，即得修卜Tv與式(6-6)作對比，即得修卜Tvdv Js(6-10)(6-11)同樣，由于式(6-7)是函數(shù)h(s, p)的全微分，則有(dh )=vdp Js式(6-8)是函數(shù)f (T,v)的全微分，有(6-12)(6-13)(6-14)(6-15)巴=-p(6-15)）T式（6-9）是函數(shù)g（T,p）的全微分，有EtEt )pvQpJT(6-17)正因為如此，只需知道上述函數(shù)中的任意一個函數(shù)，就 可確定出所有的狀態(tài)函數(shù)。如已知/（T，v），則由式（6-14） 可得s（T,v）；由式（6-15）可得P（T，v）即狀態(tài)方程；由自由能的定義/ = u - Ts可得由焓的定義h =u + Pv可

9、得由自由焓的定義g = h TS = f + Pv可得 g(T,v) = f-f v kR由此可見，若狀態(tài)函數(shù)的獨立參數(shù)選擇適當(dāng)，則可由這 個函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)得到所有的狀態(tài)函數(shù)，從而將工質(zhì)的平衡 性質(zhì)完全確定。這樣的函數(shù)稱為特性函數(shù)。特性函數(shù)包含了系統(tǒng)平衡狀態(tài)的所有信息，它的自變量 是特定的。一經(jīng)變換雖然還是狀態(tài)函數(shù)，但由于信息丟失而 不再是特性函數(shù)了，這一點需特別注意。除了上面已給出的 訊s V）、h（s p）、f （T, v）、g（T, p）這四個特性函數(shù)，還 可通過基本熱力學(xué)關(guān)系式尋找其它的特性函數(shù)。如將式（6-6） 寫成ds du ds du +PdvT（6-18）則可知s（u, v）也

10、是特性函數(shù)；將式（6-7）寫成ds Tdh - VdP（6-19）則可知s（h, p）也是特性函數(shù)，等等。特性函數(shù)為聯(lián)系各熱力學(xué)函數(shù)的樞紐。在許多實際問題 中，常采用T, v或T, p這些可測量作獨立變量，所以f （T, v） 和g（T，p）是兩個最重要的特性函數(shù)。6.2.3麥克斯韋關(guān)系由于基本熱力學(xué)關(guān)系式（6-6）（6-9）是各特性函數(shù) 的全微分表達式，故可對它們應(yīng)用互易關(guān)系式（6-2），因此 可得(6-20)(6-21)=1=1Ep)oT)TP(6-23)這四個關(guān)系式稱為麥克斯韋關(guān)系。借助它們可將包含不 可測量熵s的關(guān)系式代換成用可測量p、，、t表達的關(guān)系 式。6.3熱系數(shù)狀態(tài)函數(shù)的某些偏

11、導(dǎo)數(shù)具有明確的物理意義，能表征工 質(zhì)的一定的熱力性質(zhì)，且可由實驗測定，因而成為研究工質(zhì) 熱力性質(zhì)的重要數(shù)據(jù)，稱為熱系數(shù)。常用的熱系數(shù)有：熱膨 脹系數(shù)、定溫壓縮系數(shù)、絕熱壓縮系數(shù)、壓力溫度系數(shù)、定 容比熱、定壓比熱和絕熱節(jié)流系數(shù)等。熱膨脹系數(shù)aZ4d G24）p熱膨脹系數(shù)表征物質(zhì)在定壓下的體積隨溫度變化的性質(zhì)，單位為S。定溫壓縮系數(shù)(6-25)定溫壓縮系數(shù)表征物質(zhì)在恒 定溫度下的體積隨壓力變 化的性質(zhì)。由于所有物質(zhì)的 源 均為負(fù)值，故在定義式中 引入負(fù)號，而使K為正值。其單私為兒-1。T壓力溫度系數(shù)(6-26)壓力溫度系數(shù)表征物質(zhì)在定容下的壓力隨溫度變化的 性質(zhì)，單位為K-1。由微分的循環(huán)關(guān)系式

12、（6.3）,有，伽)f，伽)fdT) .8， 而J J Sp)=1vpT因而，上面的三個熱系數(shù)之間有如下關(guān)系a = pK t P(6-27)顯然，如果有了工質(zhì)的狀態(tài)方程，就可計算出這三個熱 系數(shù)。反之，如果由實驗測出這些熱系數(shù)數(shù)據(jù)，就可積分得 到狀態(tài)方程式。絕熱壓縮系數(shù)(6-28)絕熱壓縮系數(shù)表征工質(zhì)在可逆絕熱(定熵)變化中體積隨壓 力變化的性質(zhì)，單位為pa -1 o定容比熱(6-29)定容比熱表征物質(zhì)在定容下的吸收熱量的能力，單位為kJ /(kg - K) o根據(jù)熱力學(xué)第一定律解析式喝=du + 5w(3-18d)對簡單可壓縮系統(tǒng)，定容下的體積功5 w = ，故5 q = du， 因而，如廣

13、而）（6-30）定壓比熱七三d （6-3Dp定壓比熱表征物質(zhì)在定壓下的吸收熱量的能力，單位為kJ /（kg K）。對簡單可壓縮系統(tǒng)，定壓下的體積功5 = Pdv = d（pv）， 故由式（3-18d），5q - du + d（pv） = d（u + pv） = dh，因而_（dh ）Cp 一 矛J（6-32）可直接采用式（6-30）和式（6-32）作為定容比熱和定 壓比熱的定義式。這樣能更清楚地表明L和Cp是狀態(tài)函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)，是熱系數(shù)。此外，在物理意義上，可表明它們對 狀態(tài)函數(shù)內(nèi)能u和焓h的研究與計算起著重要作用，而不僅 僅是計算熱量。絕熱節(jié)流系數(shù)（6-33）,三的（6-33）J lpJh絕

14、熱節(jié)流系數(shù)（又稱焦耳一湯姆遜系數(shù)）表征物質(zhì)絕熱 節(jié)流過程的溫度效應(yīng)。H 7的數(shù)據(jù)可通過焦耳一湯姆遜實驗 測定，并可用以導(dǎo)出工質(zhì)的狀態(tài)方程式。因此，在工質(zhì)熱力 性質(zhì)的研究中，它是一個很重要的熱系數(shù)。已知水銀的體膨脹系數(shù)a廣0.1819 X10已知水銀的體膨脹系數(shù)a廣0.1819 X10-3 K=3.87 X10-5 MPa-1 , 試計算液態(tài)水銀在定容下溫度由273 K 升高到 274K 時的壓力增加。a0.1819 x 10-3 K-1=pB = _pa0.1819 x 10-3 K-1=pB = _p = 4.70MPa / Kv k T3.87 X10-5 MPa-1Et J可見液態(tài)水銀溫

15、度定容升高1度壓力將增加4.70MPa。因此，保持水銀的體積不變，容器承受了相當(dāng)大的壓力。例題6-3若已從實驗數(shù)據(jù)整理出物質(zhì)的體膨脹系數(shù)和 等溫壓縮系數(shù)分別為_ v a3（v - a）a = ，k =p TvT4 pv其中 a為常數(shù)試推導(dǎo)出該物質(zhì)的狀態(tài)方程。解 對于以p , t為獨立變量的狀態(tài)方程v = v（p, T）， 有dv =1( dva 1( dva = _ p vdpyp所以dv = -k vdp + a vdT TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark46 o Current Document TP代入HtB的a及k葡切，得pT3(v-a)v-adv =

16、 -vdp + v al4pvTv分離皿dv3 7 1 _= dp +di v-a 4p T積分得ln(v 一 o) = In p-3 / 4 + In T + InCp3/4（? -a） = CT此即為該物質(zhì)的煬方程，其中c為積分常晚6.4炳、內(nèi)能和恰的一般關(guān)系式6.4炳、內(nèi)能和恰的一般關(guān)系式從理論上講，可通過基本熱力學(xué)關(guān)系式積分得到特性函 數(shù)，再由特性函數(shù)得到其它狀態(tài)函數(shù)，就可確定出工質(zhì)的熱 力性質(zhì)。但基本熱力學(xué)關(guān)系式以及特性函數(shù)有一個很大缺 陷，即、h、 S及f、，本身的數(shù)值都不能用實驗方法直接測定，更談不上積分求解。因此，必須對基本熱力學(xué)關(guān)系 式作些代換，以得到完全用可測量表達的炳s、

17、內(nèi)能和焰人 的全微分表達式，或稱一般關(guān)系式。這些表達式以可測參數(shù) P、V、T中的任一對作獨立變量，且式中只包含P、V、T 和可測的熱系數(shù)。這樣就可利用實驗數(shù)據(jù)積分得到所需的狀 態(tài)函數(shù)。6.4 1炳的一般關(guān)系式1 .以U為獨立變量以T、17為獨立變量，即s = s（7,貝!Ias = dT + 一 av（A）由全微分的鏈?zhǔn)疥P(guān)系式（65a）及定容比熱定義式（6-30）, 并考慮到式（610）,有(B)由麥克斯韋關(guān)系式（6.22）,有(C)V將式（B）、式（C）代入式（A）,得dsvdT + Tv(6-34)此稱為第一 ds方程2.以t 、 為獨立變量以T dsvdT + Tv(6-34)此稱為第一

18、 ds方程2.以t 、 為獨立變量以T 、 p為獨立變量，即S = s（T, p），則ds =(ds ) lrrI dT +IdT )pdp(A)同樣，由式（6-5a）、式（6-32）和式（6-12）,有饑、=f（B）p由式（6-23）,有（C）將式（B）、式（C）代入式（A），得ds =c( dvT dTdp(6-35)此稱為第二ds方程3.以、v為獨立變量以p、v為獨立變量，即s = s（p,v），則 TOC o 1-5 h z 7 ds） 7 （ds） 7/ ,、次廿祈w+將jd（A）vp由鏈?zhǔn)疥P(guān)系式（6-5a）,及上面兩個ds方程推導(dǎo)中的（B）式， 有tdsvtdsv(2jdT ) d

19、p jCp (dT T dv )(B)(C)將式（B）、式（C）代入式（A）,得dsT (dpdsT (dp vc ( dT dp + m dvT dv)p(6-36)此稱為第三ds方程。它也可由式（6-34）和式（6-35）聯(lián)立 消去dT得到。三個ds方程中，以第二d方程最為實用，因定壓比熱 較定容比熱L易于測定。上述d方程推導(dǎo)中，對工質(zhì)沒作 任何假定，故它們可用于任何物質(zhì)，當(dāng)然也包括理想氣體。 只要將理想氣體的狀態(tài)方程代入式（6-34）式（6-36），就 可得理想氣體的熵變計算式。6.4.2內(nèi)能的一般關(guān)系式將所得到的三個亦方程分別代入基本熱力學(xué)關(guān)系式du - du - Tds - pdv(

20、6-6)便可得到三個du方程。將第一ds方程代入式（6-6）并整理，得du = c dT du = c dT -dv(6-37)此稱為第一 du方程。它是以T、V為獨立變量的內(nèi)能U（T，V） 的全微分表達式。將第二ds將第二ds方程代入式 p為獨立變量作如下展開：（6-6）,并將式中的d按以t、dv =dT +dv =dT +du = I c - p切 IdT-ItMv 1初1如（6-38）dpT然后整理得此稱為第二du方程。它是以T、p為獨立變量的內(nèi)能u（T，p） 的全微分表達式。將第三ds方程代入式（6-6）并整理，得du = cV仁1du = cV仁1dp)Vdp -p - L 慎 J

21、p-1dv（6-39）此稱為第三血 方程。它是以P、v為獨立變量的內(nèi)能u（p,v） 的全微分表達式。在以上三個du方程中，第一 d方程的形式較簡單，計 算較方便，故使用較廣泛。因此，在計算內(nèi)能變化時，宜選 擇T、v為獨立變量。6.4.3焓的一般關(guān)系式與推導(dǎo)du方程類似，將各個ds方程分別代入基本熱力 學(xué)關(guān)系式dh = Tds + vdp（6-7）可得到相應(yīng)的dh方程。將第一如方程代入式（6-7），并將其中的dp按以T、v為 獨立變量展開，整理得dh =Sdh =S) T-idv（6-40）此稱為第一 dh方程。它是以T、v為獨立變量的焓h（T, v）的全微分表達式。將第二ds方程代入式（6-7

22、）并整理，得dh = cpdT + v - Tj dP(6-41)Lp此稱為第二d方程。它是以T、p為獨立變量的焓h(!, p) 的全微分表達式。將第三ds方程代入式(6-7)并整理，得力何T j力何T jdh = v + cv 1如vdp + cp(dT j一 dv3v Jp(6-42)此稱為第三dh方程。它是以p、為獨立變量的焓h(p,v)的 全微分表達式。在以上三個dh方程中，第二dh方程的形式較簡單，計 算較簡便。因此，在計算焓的變化時，選以t、p為獨立變 量的第二dh方程較為適宜。例題6-4試驗證理想氣體的內(nèi)能與焓均只是溫度的函數(shù)。du =c dT 一證(1)根據(jù)內(nèi)能的T般關(guān)系式中對

23、函數(shù) u (T, v)的 第一du方程du =c dT 一(6-37 )和內(nèi)能的全微分關(guān)系式/ | du J dU | J du I I dl +1 I dvdT Jdv JvT=一p - T對于理想氣體，由狀態(tài)方程pv = RT得丁 R 八 =p T_ = 0(2)du (2)根據(jù)焓的一般關(guān)系式中對函數(shù)h(T, p) 的第二 dh方程dh -c dT dh -c dT +v - T 隼 J p-1dp(6-41)和焓的全微分關(guān)系式dh dhdh dh ) e| dT +dT J(dh )dp JTdpJ dv ) v TI IdT Jp-1dT對于理想氣體，由狀態(tài)方程pv - RT得* I

24、- RdT=0dh = c dTp例題65 農(nóng)水由t =50?, 4 =0.1q經(jīng)定IB過程 增壓到p = 15MPa 林血皿情的變化巳知50C2時水的 v = 0.00101秫3/奴，a =465x10-6-1 Kc = 4.186kJ /(kg K)，Pp并均可視為定值。解求終溫由第二*方程c (dvds = dT-_j dp(6.35)p及a的定義，有PCds = _p_dT -va dp則s = s = 2dT -i T2Va dp1 PT=C In - Va (p _p)p T p 211定JS過程A. = o f故由上式，得hA =VahA =(P P)C 21域. sisdu n

25、qpd攤xssa92x(io5典供Hs賽？)。N、puon 7漫9胃彳z耽曜SO.OH(X 羅Mrlo一 X98I.177M?0 xx 1050.0n u懊苗sw用s懸同咪費44W堂二者.sin 受二slxsnn(M2.RSM69.胃 9 X (X XMro一 X98 一 .寸 +彖 。L患畝妾成匕dttlUQ裁d胃dffi胃偎杏Lltl三一狼概感曜叔食理歪星S照4-菌陋叔磷驅(qū)S蚩較小的緣故。實質(zhì)是水的不可壓縮性使得功很難施加。6.5比熱的一般關(guān)系式上節(jié)熵S、內(nèi)能U和焓h的一般關(guān)系式中均含有定壓比 熱七或定容比熱C/兩個比熱以定壓比熱七的測定較為容 易，因此我們要設(shè)法找到兩個比熱之間的關(guān)系，從

26、而可由定 壓比熱c 的實驗數(shù)據(jù)計算出定容比熱L，以避開實驗測定 定容比熱c v的困難。此外，我們還希望由定壓比熱c p的一 般關(guān)系式及其實驗數(shù)據(jù)導(dǎo)出狀態(tài)方程，或在狀態(tài)方程已知的 情況下，利用定壓比熱c的一般關(guān)系式及其在某個壓力下的 p實驗值cp 0,得到其所有狀態(tài)的數(shù)據(jù)，從而大大減少實驗量。(1)比熱與壓力、比容的關(guān)系對第一 ds方程T c E （dp，一、ds = ndT + dv（6-34）T 9)0 =43 )1 =幻(9)某蜩(Z)i(q A)吒一心x a d 33心Y雁A TOC o 1-5 h z (q_Qd (gd a =gX dg ) Id乙0_人雙_碩 也M d= = D(q

27、 A)myIS I14 d，Adg %工=廣偵=j- d（饋9）球（歐9）需3閹*（1）瓣AAd明S3FK 同虹-。腌湖5乙 a q a（醯*疽姓）二云=咨旦鈿也業(yè)嘩曜壬劇9-9 sue即遵循范德瓦爾狀態(tài)方程的氣體的 不隨 v變化，它只是溫度的函晚6.6熱力學(xué)基本函數(shù)的確定在熱力學(xué)中所討論的各種狀態(tài)函數(shù)稱為熱力學(xué)函數(shù)。從 這一意義上說，由實驗結(jié)果得出的狀態(tài)方程也是一個熱力學(xué) 函數(shù)。熱力學(xué)函數(shù)有很多，但最基本的為如下四個：狀態(tài)方程式V = v( p, T)內(nèi)能函數(shù)u = u (p, T)焓函數(shù)h = h( p, T)熵函數(shù)s = s(p, T)其它熱力學(xué)函數(shù)，如自由能、自由焓等都可由基本函數(shù)得出

28、。 因定壓比熱較定容比熱容易測定，因此，在實用上，選p、 T為獨立變量更為方便。(1)熵函數(shù)在選p、T為獨立變量時，熵函數(shù)可直接由和狀態(tài)方 程積分求得。dsc胛3 | dsc胛3 | =_dT I ITdT)pdp(6-35)積分，得s = s +s = s +fdT(6-49)其中，s 0為積分常數(shù)。在熱力分析和計算中，重要的是過程前后熱力學(xué)函數(shù)的 變化。故通常使用的是As As = j2 c(6-50)(2)內(nèi)能函數(shù)關(guān)于內(nèi)能函數(shù)，在選p、T為獨立變量時，以先求焓較 為方便。在求得焓函數(shù)后，利用焓的定義h = u + pv，即可 求得內(nèi)能函數(shù)。故實際上可將內(nèi)能函數(shù)與焓函數(shù)二者合為一 個基本函數(shù)。(3)焓函數(shù)積分，得dh = c dT + p(6-41)(6-51)c dT +v-Tc dT +v-T、dp 1pK.）p（6-52）上述三個基c