考試題2007年春期末考題

1、第 1 6 本科生試題紙（2007 年6月28 日）微積分（3）期末試題 A 卷y 第 1 6 本科生試題紙（2007 年6月28 日）微積分（3）期末試題 A 卷y 2y2exy C e2x 2非齊次方程的一個特解形式為（不要求求解）y* aex bx f z f(1exyln(1 yf(0 f(01z 2 yeln(1 yf (1e )x 0 y 曲線zx2 在點(diǎn)M0(1,1,1)處的切線方程；面。 x 1xyz：切線 y 1t 或 面：x y 2z 4（參數(shù)法或隱z1xdx(是某二元函數(shù)f(x,y)的全微分則(y) 2y 對以上的(y) x2 2 y 2xdx(及包圍原點(diǎn)的任意封閉曲線

2、L ，曲線積分x2 2y 0 L函數(shù)u uxyzxeu yu zu 0確定，則u ux, yzggradu(0,1,1)，方向?qū)?shù) 。法向量n0 ，若該 f x, y,z滿足條件：xf yf zf 2fx, yzxdydz ydzdxzdx (f , f, f，Q x y zf 2 f 2 f 2 7設(shè)f x為連續(xù)函數(shù)， F(t) t f(x)dx，則F(1)0 ，F(xiàn)(t) f(t)(t 1)第 2 6 ) 0確定，其中函數(shù)f(x,y)第 2 6 ) 0確定，其中函數(shù)f(x,y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)求dz，并指明dzx 【解1】記F(x,y,z) f)0z F fu ,F fv ,F xfu z

3、zz Fx ，z Fy xf xf xfu yfv 或： df(u,v) fudu fv2 f dx xdz f dy ydz5u zv z1 (xf yf )dz 1(f dx yf z當(dāng)xf yf 0時得到，dz z(fudx fvdy) 7xf z z(x, y)可微的充分條件是，xfu yfv 08F 【解2】用隱函數(shù)求導(dǎo)法，有x z ,y xfu xfu 所以全微分形式為dz z(fudx xfu z zxyxfu yfv 9（）fxyx2xyy2z fxyzfxyDxyR2 x2 xy y2 1【解（1）f1(x,y) 2x y，f2(x,y) x2y，唯一駐點(diǎn)p0 (0,0)2f

4、11(x,y)2 A0，f22(x, y) 2 C，f12(x,y)1 B第 3 6 AC B2 413 0第 3 6 AC B2 413 0，在p (0,0)處取得局部極小值f(0,0) 040（2）考DxyR2 x2 xy y2 1max f(x, y) x2 xy y只須考慮條件極值問題x2 xy y2 ，由第一問可知，存在局部極小點(diǎn)p0 (0,0)，函數(shù)值f(0,0)0。取F(x,y,) x2 xy y2 (x2 xy y2 1)6Fx(x,y,) 2x y(2x y) Fy(x,y,)x2y(x2y)F (x,y,) x2 xyy21 1解得： 1 ,2 3當(dāng)1 時，有x y,得到解

5、x1 ,y1 ,x2 ,y2 有f (,) 8當(dāng)2 3xyx3 1,y3 1,x4 1,y4 有f(1,1)9函數(shù)在區(qū)域D上的最大值為：f(1,1)3，最小值為：f(0,0)01010計算二重積分（8） I xy2 y x3dDDxy1 x11 y1【解】I 0 yx32D dxyx3dydxyx351 1 (1x6x31x3dx (x6 1)x3x3 1)dx 81 1 第 4 6 11（第 4 6 11（ f(xf(0) 0, f(0) 1f(x【解】得f f 4cos3特征方程為210，特征方程兩個根為i， i 齊次方程的通解為f0(x)C1cosxC2sinx5設(shè)非齊次方程的一個特解形

6、如： F ( x ) x ( A cos x B sin x )將 F(x) (Acosx Bsin x) x(Asin x Bcosx) 與F(x) (Asinx Bcosx)(Asinx Bcosx) x(AcosxBsin代入非齊次方程得 Fx Fx 2Asinx2Bcosx 4cosx，B 2, A 0F(x) 2xsin x 。于是非齊次方程通解為f(x) C1 cosxC2 sinx2xsinx8f(0)C1 0f(x) C1sinxC2cosx2sinx2xcosx，f(0) C2 所以f(x) sinx2xsin10為逆時針方向，計算積分：（1）x2 y2dl； （2）ydx。

7、Ly2dl x2x2 y2dl 4L ,zR(cost dl R 1(cost)2 dt R 2sin2t (x2 y2)dl R3(cos2t sin2t) 2sin2t 0L R3cos2t 2sin2t dt 2sin2t d(sin2t) L67ydx (1)dxdy dxdy 8x2y2第 5 6 （方法2）直接用參數(shù)法計算xRcost,y R,z R(cos第 5 6 （方法2）直接用參數(shù)法計算xRcost,y R,z R(cost 62 1cos ydx R2sin2tdtR2dtL13（10分）計算積分(1x2y2)dS，其中S為x2 y2 z2 1含在z x2 y2 S【解（

8、方法1）由x2 y2 z2 1，z x2 y2 得到S的邊界為z ，1分dS dxdy 3x2 y2 1 x2 y(1x2 y2dS 1 x2 y25x2y22 d 1271 3 2(12)2 102 2 0 x sin（2）用球面坐標(biāo)ysinsin(1x2 y2)dS d4 (1sin2)sinS d4 cos2dcos 2cos3 4 (114（6 分）己知 f x, y, z具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足2 f 2 f 2 f 2 2 yzz 1 設(shè)gu,v,w,tfu xt,v yt,wzt4 2 2 x y z Z第 6 6 guwwt t (5u2 第 6 6 guwwt t (5u2 5v2 5w2 3t2 1 fuxt,v yt,w4 2 2 x y z 1 x f y f z f 14 2 2 x y z u xt, v yt, wzt4g(u,v,w,t) x f y f z f x2y2z21注意到n (x, y,z)T ，則204 g(u,v,w,t) gradf(,) dS gradf(, n02 2 2 2 x y z x y z f dy dz f dzdx f dx32 2 x y z 2 f 2 f 2 f 222t2 x2y2z21 x2 y2z2 (u xt)2 v yt)2 w z