圓錐曲線秒殺法

1、圓錐曲線秒殺法圓錐曲線秒殺法圓錐曲線秒殺法圓錐曲線秒殺法吳磊研究高考作文之余，自己也研究高考數(shù)學(xué)的秒殺方法，主要包含隱函數(shù)求導(dǎo)、柯西不等式、仿射、參數(shù)方程、極點(diǎn)極線一、圓錐曲線部分小題用到的方法1、橢圓C：x2/8+y2/2=1與斜率K=1/2的直線l相切，則切點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi):傳統(tǒng)方法我就不講了，講兩種秒殺法法一、隱函數(shù)求導(dǎo)直接對(duì)C：x2/8+y2/2=1求對(duì)于X導(dǎo)數(shù)可得x/4+yy=0，帶入K=1/2，x=-2y,帶入橢圓方程，很簡(jiǎn)單解出切點(diǎn)為(-2,1)和(2,-1)；法二、縮放坐標(biāo)將橢圓縮放成圓利用圓的性質(zhì)迅速解題，將X軸壓縮為本來(lái)的1/2，即x=2x(這里不是導(dǎo)數(shù)，只表示一個(gè)未知數(shù))；斜率

2、K=2K=1，橢圓化為圓C:x2+y2=2;很簡(jiǎn)單求得I與C相切(-1,1)和(1,-1)，復(fù)原，可知I與C相切于(-2,1)和(2,-1)2、橢圓C：x2/4+y2/3=1上的點(diǎn)到直線L:x-2y-1=0距離的取值范圍為:_法一、直接用柯西不等式橢圓和直線訂交，最小距離為線l與l的距離，0，最大距離為橢圓C與l平行的切l(wèi)=x-2y+b=0;結(jié)構(gòu)柯西不等式可知(x2/4+y2/3)（4+12）(x-2y)2;-4b4;把4和-4代入l；再利用平行線距離公式求I和l距離，最大距離為因此0d法二、縮放坐標(biāo)系橢圓和直線訂交，最小距離為0，最大距離為橢圓C與l平行的切線l與l的距離。l=x-2y+b=

3、0；縮放y=3/2y；橢圓C縮放后方程C為:x2+y2=4；l縮放后表達(dá)式為l=x-3y+b=0,C與l相切，利用點(diǎn)到直線距離為半徑，簡(jiǎn)單求的b=4和-4；再利用平行線距離公式很簡(jiǎn)單求得范圍為0d3、過(guò)定點(diǎn)(4、0)的直線l與橢圓C：x2/4+y2=1有公共點(diǎn)，則直l斜率K取值范圍為:_法一、直接用柯西不等式l:my=x-4,則x-my=4;結(jié)構(gòu)柯西不等式，(x2/4+y2)（22+m2）(x-my)2可得，m212,注意是反設(shè)斜率，故k=1/m;很簡(jiǎn)單解出k的范圍為-3/6k3/6法二、縮放坐標(biāo)l:my=x-4，x=2xC:x2+y2=1;I:my=2x-4,用點(diǎn)到直線距離公式，d=4/(4

4、+m2)1；可解的m212,注意是反設(shè)斜率，故k=1/m;很簡(jiǎn)單解出k的范圍為-3/6k3/6二、柯西不等式柯西不等式在高中數(shù)學(xué)提高中特別重要，是高中數(shù)學(xué)研究?jī)?nèi)容之一，是求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時(shí)常常使用的理論依據(jù)，技巧以拆常數(shù)，湊常值為主?？挛鞑坏瓤挛鞑坏仁?方和積不小于積和方a12a22an2b12b22bn2a1b1a2b22anbn當(dāng)且僅當(dāng)b1b2bn0或a1a2an時(shí)取等b1b2bn柯西不等式的主要變形公式變形公式1a1b1a2b2anbna1b1a2b2anbna12a22an2?b12b22bn2取等條件同變形公式22a1b1a2b2anbna1a2anb1b2bna1b

5、1a2b2anbna1b1a2b2anbna1a2anb1b2變形公式3a12a22an2b12b22bn2a1b12a2b22anbn2柯西不等式三角公式變形公式4a12a22an2a1a2an2取等條件同b1b2bnb1b2bn變形公式5a1a2ana1a22an取等條件同b1b2bna1b1a2b2anbn三、仿射四、參數(shù)方程橢圓參數(shù)方程吳磊一、沒(méi)吃過(guò)豬肉，你還沒(méi)見(jiàn)過(guò)豬跑x=acos；y=bsin是一組我們熟習(xí)而又陌生的方程，可問(wèn)題是你真懂他們的含義嗎終究是個(gè)什么東東，和圓參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程中是一個(gè)意思嗎1、從一道百分之九十以上人都做錯(cuò)的簡(jiǎn)單題張開(kāi)例1、P是橢圓C上一點(diǎn):x=4cos;

6、y=23sin且在第一象O（O為原點(diǎn)）P的傾斜角為/3，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)經(jīng)典錯(cuò)法:因?yàn)閮A斜角為/3，x=4cos;y=23sin，因此x=4cos/3=2;y=23sin/3=3求得P坐標(biāo)（2、3）正解:橢圓參數(shù)方程是旋轉(zhuǎn)而成的圓心角而不是傾斜角因?yàn)镺P的傾斜角為/3，故OP的斜率K=tan/3=3；3=y/x23sin/4cos=3(1)限，可解sincos=5/52+cosa2=1sin=25/5(2)P聯(lián)立二式，P在第一象點(diǎn)坐標(biāo)為(45/5、415/5)2、橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)和含義解說(shuō)3、橢圓參數(shù)方程的想法可能有的同學(xué)會(huì)依據(jù)焦點(diǎn)在X軸:x=acos；y=bsin焦點(diǎn)在Y軸:x=bcos；

7、y=asin去記憶，老師告訴你別這么理解，你只需記著的，cos和擴(kuò)大諧音，參數(shù)方程復(fù)原主要看焦點(diǎn)在哪個(gè)軸，他在哪個(gè)下邊。cos對(duì)應(yīng)的系數(shù)是a和b中大cos前的系數(shù)，它必定是大的，二、橢圓參數(shù)方程妙用1、橢圓內(nèi)內(nèi)接面積問(wèn)題例1:可設(shè)A(10cos；8sin)，利用對(duì)稱性可知B(10cos；-8sin)C(-10cos；-8sinAB長(zhǎng)度為16sin)；D(-10cos；8sin；AD長(zhǎng)度為20cos，)矩形面積S=160sin2，由三角函數(shù)知識(shí)可知，面積最大為160例2：解:要使SOAPB最大，由圖可知SOAB為定值，需求出P到直線AB距離，距離最大時(shí)S，進(jìn)而S最大，用橢圓參數(shù)方程設(shè)P為x=ac

8、os；y=bsinBPA最大OAPB直線AB的方程為:x/a+y/b=1用P到AB的距離公式能夠求得距離最大ab(2-1)2,SOAPB=ab2/22、橢圓有關(guān)距離問(wèn)題例1:解:用橢圓參數(shù)方程設(shè)P為x=2cos；y=sin；A(0,3/2)由點(diǎn)到距離公式可知AP最大為5/2,因此PQ最大值為3例2:橢圓拘束下二次型最值問(wèn)題解:用橢圓參數(shù)方程解，轉(zhuǎn)變成三角函數(shù)最值問(wèn)題。因?yàn)閎2和4大小未知，明顯需要分類討論0b2，時(shí)P(x=2cos；y=bsin),轉(zhuǎn)變成求4cos2+2bsin最大值可求得最大值為(b2/4)+4b2P(x=bcos；y=2sin),轉(zhuǎn)變成求b2cos2+4sin最大值可求得最

9、大值為2b3、橢圓與向量求范圍、求值問(wèn)題1已知橢圓E：,A在E上（1,1/2），若點(diǎn)P在E上知足1）求t的范圍2）過(guò)原點(diǎn)O的直線交E于BC，求SBCA的最大值:Smax=2五、極點(diǎn)極線圓錐曲線的極點(diǎn)與極線理論在高考取應(yīng)用好多，原由有二：其一，有高等數(shù)學(xué)背景，結(jié)論特別圓滿；其二，運(yùn)用高中知識(shí)解決問(wèn)題，能夠察看學(xué)生思想、計(jì)算多方面能力。掌握有關(guān)極點(diǎn)與極線的基天性質(zhì)，才能“看破”試題中包含的有關(guān)極點(diǎn)與極線的知識(shí)背景，做題事半功倍。1.從幾何角度看極點(diǎn)與極線AEP定義1如圖1，設(shè)P是不在圓錐曲線上的一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)引FN兩條割線挨次交圓錐曲線于四點(diǎn)E,F,G,H，連結(jié)EH,FGGHB交于N，連結(jié)EG,FH

10、交于M，則直線MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線.M圖1若P為圓錐曲線上的點(diǎn)，則過(guò)P點(diǎn)的切線即為極線.由圖1同理可知，PM為點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的極線，PN為點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的極線.因此將MNP稱為自極三點(diǎn)形.設(shè)直線MN交圓錐曲線于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)，則PA,PB恰為圓錐曲線的兩條切線.定理1(1)當(dāng)P在圓錐曲線上時(shí)，則點(diǎn)P的極線是曲線在P點(diǎn)處的切線；(2)當(dāng)P在外時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作的兩條切線，設(shè)其切點(diǎn)分別為A,B，則點(diǎn)P的極線是直線AB(即切點(diǎn)弦所在的直線)；(3)當(dāng)P在內(nèi)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P任作一割線交于A,B，設(shè)在A,B處的切線交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)P的極線是動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡.定理2如圖2，設(shè)點(diǎn)P對(duì)于圓錐曲線的極線為l，過(guò)點(diǎn)P任作一割線交于A,B，交l

11、于Q，則PAPB；反之，如有建立，則稱點(diǎn)P,Q調(diào)解切割線段AQBQPAB，或稱點(diǎn)P與Q對(duì)于調(diào)解共軛，或稱點(diǎn)P(或點(diǎn)Q)對(duì)于圓錐曲線A的調(diào)解共軛點(diǎn)為點(diǎn)Q(或點(diǎn)P).點(diǎn)P對(duì)于圓錐曲線的調(diào)Ql和共軛點(diǎn)是一條直線，這條直線就是點(diǎn)P的極線.B圖2推論1如圖2，設(shè)點(diǎn)P對(duì)于圓錐曲線的調(diào)解共軛點(diǎn)為點(diǎn)Q，則有211PQPA；反之，如有建立，PB則點(diǎn)P與Q對(duì)于調(diào)解共軛.能夠證明與是等價(jià)的.事實(shí)上，由有AQBQPQPAPBPQPQ11PQPQ(11)2PAPBPAPBPAPBPAPB211PQ.PAPB特別地，我們還有推論2如圖3，設(shè)點(diǎn)P對(duì)于有意圓錐曲線(設(shè)此中心為O)的調(diào)解共軛點(diǎn)為點(diǎn)Q，PQ連線經(jīng)過(guò)圓錐曲線的中心

12、，則有OR2OPOQ，反之如有此式建立，則點(diǎn)P與Q對(duì)于調(diào)解共軛.證明：設(shè)直線PQ與的另一交點(diǎn)為R，則PRPROPOROPOR，化簡(jiǎn)PRQRQOROQOROQR即可得OR2QOPOQ.反之由此式可推出OR圖3PRPR，即點(diǎn)P與Q對(duì)于調(diào)解共軛.RQRQ推論3如圖4，A,B圓錐曲線的一條對(duì)稱軸l上的兩點(diǎn)(不在上)，若A,B對(duì)于調(diào)和共軛，過(guò)B任作的一條割線，交于P,Q兩點(diǎn)，則PABQAB.證明：因?qū)τ谥本€l對(duì)稱，故在上存在AP,Q的對(duì)稱點(diǎn)P,Q.若P與Q重合，則Q與P也重合，此時(shí)P,Q對(duì)于l對(duì)稱，有PABQAB；若P與Q不重合，則Q與P也不重合，因?yàn)锳,B對(duì)于調(diào)解共軛，故A,B為上完滿四點(diǎn)形PQQP的

13、對(duì)邊交點(diǎn)，即Q在PA上，故AP,AQ對(duì)于直線l對(duì)稱，也有PABQAB.定理3(配極原則)點(diǎn)P對(duì)于圓錐曲線PQRlBQPR圖4的極線p經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q點(diǎn)Q對(duì)于的極線q經(jīng)過(guò)點(diǎn)P；直線p對(duì)于的極點(diǎn)P在直線q上直線q對(duì)于的極點(diǎn)Q在直線p上.由此可知，共線點(diǎn)的極線必共點(diǎn)；共點(diǎn)線的極點(diǎn)必共線.以上未加證明的定理，可參閱有關(guān)高等幾何教材，如【1】，此中定理1的初等證法可參閱文【2】.從代數(shù)角度看極點(diǎn)與極線定義2已知圓錐曲線:Ax2Cy22Dx2EyF0，則稱點(diǎn)P(x0,y0)和直線l:Ax0 xCy0yD(xx0)E(yy0)F0是圓錐曲線的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以x0 x取代x2，以x0 x取

14、代x，以y0y取代2y2，以y0y取代y即可獲得點(diǎn)P(x0,y0)的極線方程.2特別地：(1)對(duì)于橢圓x2y21，與點(diǎn)P(x0,y0)對(duì)應(yīng)的極線方程為x0 xy0y1；a2b2a2b2x2y21x0 xy0y1；(2)對(duì)于雙曲線b2，與點(diǎn)P(x0,y0)對(duì)應(yīng)的極線方程為b2a2a2(3)對(duì)于拋物線y22px，與點(diǎn)P(x0,y0)對(duì)應(yīng)的極線方程為y0yp(x0 x).(4)假如圓錐曲線是橢圓x2y21，當(dāng)P(x0,y0)為其焦點(diǎn)F(c,0)時(shí)，極線恰為a2b2橢圓的準(zhǔn)線；假如圓錐曲線是雙曲線x2y21，當(dāng)P(x0,y0)為其焦點(diǎn)F(c,0)時(shí)，極a2b2線恰為雙曲線的準(zhǔn)線；假如圓錐曲線是拋物線y

15、22px，當(dāng)P(x0,y0)為其焦點(diǎn)F(p,0)時(shí)，極線恰為拋物線的準(zhǔn)線.2從極點(diǎn)與極線角度看圓錐曲線試題【例1】(2010江蘇卷文理18)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓x2y291的左右極點(diǎn)為A,B，右焦點(diǎn)為F設(shè)過(guò)點(diǎn)T(t,m)的直線TA,TB與此橢圓5分別交于點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)，此中m0，y10，y20(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P知足PF2PB24，求點(diǎn)P的軌跡；(2)設(shè)x12，x21，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；3(3)設(shè)t9，求證：直線MN必過(guò)x軸上的必定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m沒(méi)關(guān)）分析與解：前面兩問(wèn)比較簡(jiǎn)單，這里從略.yT(t,m)對(duì)于(3)，當(dāng)t9時(shí)，T點(diǎn)坐標(biāo)為(9,m)，M連MN，設(shè)直線

16、AB與MN的交點(diǎn)為K，依據(jù)AOKBx極點(diǎn)與極線的定義可知，點(diǎn)T對(duì)應(yīng)的極線經(jīng)過(guò)K，N圖5又點(diǎn)T對(duì)應(yīng)的極線方程為9xmy91，即5xmy，此直線恒過(guò)x軸上的定點(diǎn)K(1,0)，15進(jìn)而直線MN也恒過(guò)定點(diǎn)K(1,0).【例2】(2008安徽卷理22)設(shè)橢圓C:x2y22,1)，且221(ab0)過(guò)點(diǎn)M(ab左焦點(diǎn)為F1(2,0).求橢圓C的方程；(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(4,1)的動(dòng)直線l與橢圓C交于兩個(gè)不一樣樣的點(diǎn)A,B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q，知足APQBAQPB，證明點(diǎn)Q總在某定直線上.yP分析與解：(1)易求得答案x2y21.QBOx42APAPB圖6(2)由條件可有，說(shuō)明點(diǎn)P,Q對(duì)于AQBQ圓錐曲線C調(diào)

17、解共軛.依據(jù)定理2，點(diǎn)Q的軌跡就是點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線，即4x1y1，化簡(jiǎn)得2xy20.42故點(diǎn)Q總在定直線2xy20上.【例3】(1995全國(guó)卷理26)已知橢圓C:x2y21，直線l:xy1，P是l2416128上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且知足OQOPOR2，當(dāng)點(diǎn)P在l上挪動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程.,并說(shuō)明軌跡是什么曲線.分析與解：由條件知OR2OPOQ可知點(diǎn)P,Q對(duì)于圓錐曲線C調(diào)解共軛，而Q可看作是點(diǎn)P的極線與直線OP的交點(diǎn).P(12t,88t)，則與P對(duì)應(yīng)的極線方程為12tx(88t)yy241，化簡(jiǎn)得16PQ.Rtx(1t)y2xO又直線OP的方程為y88tx，化簡(jiǎn)得12t圖

18、722tx3t解由聯(lián)立方程組得x6t5t24t2，消去t得2x23y24x6y，可化為x44t5t24t2(x1)2(y1)21(x,y不一樣樣時(shí)為0)，故點(diǎn)Q的軌跡是以(1,1)為中心，長(zhǎng)短軸分別5523yB為10和15，且長(zhǎng)軸平行于x軸的橢圓，但需去掉坐標(biāo)原點(diǎn).F23AOxP8【例4】(2006年全國(guó)卷II理21)已知拋物線x24y的焦點(diǎn)為F，A,B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且AFFB(0)，過(guò)A,B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，并設(shè)其交點(diǎn)P.證明FPAB為定值；(2)設(shè)ABP的面積為S，寫出Sf()的表達(dá)式，并求S的最小值.分析與解：(1)明顯，點(diǎn)P的極線為AB，故可設(shè)點(diǎn)P(x0,1)，再設(shè)A(x1

19、,y1),B(x2,y2)，F(xiàn),A,B三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程分別為y1，x1x2(y1y)，x2x2(y2y)，因?yàn)锳,B,F三點(diǎn)共線，故相應(yīng)的三極線共點(diǎn)于P(x0,1)，將y1代入后邊兩個(gè)極線方程得x1x02(y11)，兩式相減得x2x02(y21)(x1x2)x02(y1y2).又FP(x0,2),AB(x2x1,y2y1)，故FPABx0(x2x1)2(y2y1)0.(2)設(shè)AB的方程為ykx1，與拋物線的極線方程x0 x2(y0y)比較可知直線AB對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)為P(2k,1)，把ykx1代入x24y并由弦長(zhǎng)公式得AB4(1k2)，因此SABP1ABFP2(1k2)4(1k2).y2B明顯，當(dāng)k0