功能原理機(jī)械能守恒

1、第03-2講功能原理 機(jī)械能守恒第三章 動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒1 力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功為力在質(zhì)點(diǎn)位移方向的分量與位移大小的乘積 . （功是標(biāo)量，過(guò)程量）一 功 B*A3-4 動(dòng)能定理2 合力的功 = 分力的功的代數(shù)和 變力的功3 功的大小與參照系有關(guān) 功的量綱和單位 平均功率 瞬時(shí)功率 功率的單位 （瓦特）4 例 1 一質(zhì)量為 m 的小球豎直落入水中， 剛接觸水面時(shí)其速率為 . 設(shè)此球在水中所受的浮力與重力相等, 水的阻力為 , b 為一常量. 求阻力對(duì)球作的功與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系 .解 如圖建立坐標(biāo)軸即又由 2 - 5 節(jié)例 5 知5二 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理 動(dòng)能（狀態(tài)函數(shù)） 動(dòng)能定理 合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功

2、,等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量 . 功和動(dòng)能都與 參考系有關(guān)；動(dòng)能定理僅適用于慣性系 .注意6 例 2 一質(zhì)量為1.0kg 的小球系在長(zhǎng)為1.0m 細(xì)繩下 端 , 繩的上端固定在天花板上 . 起初把繩子放在與豎直線成 角處, 然后放手使小球沿圓弧下落 . 試求繩與豎直線成 角時(shí)小球的速率 .解 7由動(dòng)能定理得81） 萬(wàn)有引力作功以 為參考系， 的位置矢量為 . 一 萬(wàn)有引力、重力、彈性力作功的特點(diǎn) 對(duì) 的萬(wàn)有引力為由 點(diǎn)移動(dòng)到 點(diǎn)時(shí) 作功為 3-5 保守力與非保守力 勢(shì)能9AB2 ） 重力作功103 ） 彈性力作功11 保守力: 力所作的功與路徑無(wú)關(guān)，僅決定于相互作用質(zhì)點(diǎn)的始末相對(duì)位置 .二 保守力和非

3、保守力重力功彈力功引力功12非保守力: 力所作的功與路徑有關(guān) .（例如摩擦力） 物體沿閉合路徑運(yùn)動(dòng) 一周時(shí), 保守力對(duì)它所作的功等于零 .13三 勢(shì)能勢(shì)能 與物體間相互作用及相對(duì)位置有關(guān)的能量 . 保守力的功彈性勢(shì)能引力勢(shì)能重力勢(shì)能彈力功引力功重力功14勢(shì)能具有相對(duì)性，勢(shì)能大小與勢(shì)能零點(diǎn)的選取有關(guān) . 勢(shì)能是狀態(tài)函數(shù)令 勢(shì)能屬于整個(gè)系統(tǒng).說(shuō)明 勢(shì)能計(jì)算15 四 勢(shì)能曲線彈性勢(shì)能曲線重力勢(shì)能曲線引力勢(shì)能曲線16一 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理 注意:內(nèi)力可以改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能內(nèi)力功 對(duì)質(zhì)點(diǎn)系，有 對(duì)第 個(gè)質(zhì)點(diǎn)，有3-6 功能原理 機(jī)械能守恒定律外力功17機(jī)械能質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理 非保守力的功二 質(zhì)

4、點(diǎn)系的功能原理質(zhì)點(diǎn)系的功能原理 質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的增量等于外力和非保守內(nèi)力作功之和 .18當(dāng)時(shí)，有 功能原理三 機(jī)械能守恒定律 機(jī)械能守恒定律 只有保守內(nèi)力作功的情況下，質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能保持不變 . 守恒定律的意義 不究過(guò)程細(xì)節(jié)而能對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)下結(jié)論，這是各個(gè)守恒定律的特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn) .19例 如圖的系統(tǒng)，物體 A，B 置于光滑的桌面上，物體 A 和 C, B 和D 之間摩擦因數(shù)均不為零. 首先用外力沿水平方向相向推壓 A 和 B，使彈簧受到擠壓，后拆除外力，則 A 和 B 彈開過(guò)程中，對(duì) A、B、C、D 組成的系統(tǒng) （A）動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒 . （B）動(dòng)量不守恒，機(jī)械能守恒 . （C）動(dòng)量不守恒，機(jī)

5、械能不守恒 . （D）動(dòng)量守恒，機(jī)械能不一定守恒 .DBCADBCA20例 1 一雪橇從高度為50m 的山頂上點(diǎn)A沿冰道由靜止下滑,山頂?shù)缴较碌钠碌篱L(zhǎng)為500m . 雪橇滑至山下點(diǎn)B后,又沿水平冰道繼續(xù)滑行,滑行若干米后停止在C處 . 若摩擦因數(shù)為0.050 . 求此雪橇沿水平冰道滑行的路程 . (點(diǎn)B附近可視為連續(xù)彎曲的滑道.忽略空氣阻力 .)21已知求解 以雪橇、冰道和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，由功能原理得又22可得由功能原理代入已知數(shù)據(jù)有23例 2 有一輕彈簧, 其一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點(diǎn)P, 另一端系一質(zhì)量為m 的小球, 小球穿過(guò)圓環(huán)并在圓環(huán)上運(yùn)動(dòng)(不計(jì)摩擦) .開始小球靜止于點(diǎn) A, 彈簧處

6、于自然狀態(tài),其長(zhǎng)度為圓環(huán)半徑R; 當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)的底端點(diǎn) B時(shí),小球?qū)A環(huán)沒有壓力. 求彈簧的勁度系數(shù).解 以彈簧、小球和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，只有保守內(nèi)力做功系統(tǒng)機(jī)械能守恒取圖中點(diǎn) 為重力勢(shì)能零點(diǎn)24又 所以即系統(tǒng)機(jī)械能守恒, 圖中 點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)25例 3 在一截面積變化的彎曲管中，穩(wěn)定流動(dòng)著不可壓縮的密度為 的流體. 點(diǎn) a 處的壓強(qiáng)為 p1、截面積為A1 ,在點(diǎn)b 處的壓強(qiáng)為p2 截面積為A2 .由于點(diǎn) a 和點(diǎn) b 之間存在壓力差, 流體將在管中移動(dòng). 在點(diǎn) a 和點(diǎn)b 處的速率分別為 和 .求流體的壓強(qiáng)和速率之間的關(guān)系 .26則 解 取如圖所示坐標(biāo),在 時(shí)間內(nèi) 、 處流體分別 移動(dòng) 、

7、 . 又27由動(dòng)能定理得得即常量28若將流管放在水平面上，即常量 伯努利方程則有常量29若將流管放在水平面上，即則有常量即若則30三種宇宙速度31四 宇宙速度 牛頓的自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理插圖，拋體的運(yùn)動(dòng)軌跡取決于拋體的初速度32設(shè) 地球質(zhì)量 , 拋體質(zhì)量 , 地球半徑 .解 取拋體和地球?yàn)橐幌到y(tǒng) ，系統(tǒng)的機(jī)械能 E 守恒 .1） 人造地球衛(wèi)星 第一宇宙速度 第一宇宙速度 ，是在地面上發(fā)射人造地球衛(wèi)星所需的最小速度 .33解得由牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得34地球表面附近故計(jì)算得第一宇宙速度352）人造行星 第二宇宙速度設(shè) 地球質(zhì)量 , 拋體質(zhì)量 , 地球半徑 . 第二宇宙速度 ，是拋體脫離地球引

8、力所需的最小發(fā)射速度 . 取拋體和地球?yàn)橐幌到y(tǒng) 系統(tǒng)機(jī)械能 守恒 .當(dāng)若此時(shí)則36計(jì)算得第二宇宙速度373） 飛出太陽(yáng)系 第三宇宙速度 第三宇宙速度 ，是拋體脫離太陽(yáng)引力所需的最小發(fā)射速度 .設(shè) 地球質(zhì)量 , 拋體質(zhì)量 , 地球半徑 , 太陽(yáng)質(zhì)量 , 拋體與太陽(yáng)相距 . 38取地球?yàn)閰⒖枷?由機(jī)械能守恒得 取拋體和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，拋體首先要脫離地球引力的束縛, 其相對(duì)于地球的速率為 . 取太陽(yáng)為參考系 , 拋體相對(duì)于太陽(yáng)的速度為 ，地球相對(duì)于太陽(yáng)的速度則如 與 同向,有39要脫離太陽(yáng)引力，機(jī)械能至少為零則由于 與 同向,則拋體與太陽(yáng)的距離 即為地球軌道半徑 設(shè)地球繞太陽(yáng)軌道近似為一圓，則40計(jì)算

9、得第三宇宙速度取地球?yàn)閰⒄障涤?jì)算得41拋 體 的 軌 跡 與 能 量 的 關(guān) 系橢 圓(包括圓)拋物線雙曲線42 完全非彈性碰撞 兩物體碰撞后,以同一速度運(yùn)動(dòng) . 碰撞 兩物體互相接觸時(shí)間極短而互作用力較大的相互作用 . 完全彈性碰撞 兩物體碰撞之后， 它們的動(dòng)能之和不變 . 非彈性碰撞 由于非保守力的作用 ，兩物體碰撞后，使機(jī)械能轉(zhuǎn)換為熱能、聲能，化學(xué)能等其他形式的能量 .3-7 完全彈性碰撞 完全非彈性碰撞43 例 1 在宇宙中有密度為 的塵埃, 這些塵埃相對(duì) 慣性參考系是靜止的 . 有一質(zhì)量為 的宇宙飛船以 初速 穿過(guò)宇宙塵埃, 由于塵埃粘貼到飛船上, 致使 飛船的速度發(fā)生改變 . 求飛船的速度與其在塵埃中飛 行時(shí)間的關(guān)系 . (設(shè)想飛船的外形是面積為S的圓柱體)解 塵埃與飛船作完全非彈性碰撞, 把它們作為一個(gè)系 統(tǒng), 則 動(dòng)量守恒 .即得44已知求 與