上海復(fù)旦附中2022年數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1某校有1000人參加某次模擬考試，其中數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布，試卷滿分150分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀（高于120分）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，則此次數(shù)學(xué)考試成績在90分到105分

2、之間的人數(shù)約為（ ）A150B200C300D4002若，；，則實(shí)數(shù)，的大小關(guān)系為（ ）ABCD3已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD4在橢圓內(nèi)，通過點(diǎn)，且被這點(diǎn)平分的弦所在的直線方程為（ ）ABCD5下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上為減函數(shù)的是（ ）ABCD6設(shè)P，Q分別是圓和橢圓上的點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間的最大距離是()ABCD7函數(shù)f(x)3sin(2x)在區(qū)間0，上的值域?yàn)? )A，B，3C，D，38小張從家出發(fā)去看望生病的同學(xué)，他需要先去水果店買水果，然后去花店買花，最后到達(dá)醫(yī)院.相關(guān)的地點(diǎn)都標(biāo)在如圖所示的網(wǎng)格紙上，網(wǎng)格線是道路，則小張所走路程最短的走法的種數(shù)為（ ）A72B56C4

3、8D409下列說法正確的是（ ）A命題“”的否定是“”B命題“已知，若則或”是真命題C命題“若則函數(shù)只有一個零點(diǎn)”的逆命題為真命題D“在上恒成立”在上恒成立10已知雙曲線，若其過一、三象限的漸近線的傾斜角，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）ABCD11已知的展開式中的系數(shù)為 5，則（ ）A4B3C2D-112已知函數(shù)，若函數(shù)有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知復(fù)數(shù)z滿足，則_14已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，有_15已知，且，則_16在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)恰好是雙曲線的一個焦點(diǎn)，則雙曲線的兩條漸近線的方程為_.三、解答題：共

4、70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）為降低養(yǎng)殖戶養(yǎng)鴨風(fēng)險(xiǎn)，某保險(xiǎn)公司推出了鴨意外死亡保險(xiǎn)，該保單合同規(guī)定每只幼鴨投保2元，若生長期內(nèi)鴨意外死亡，則公司每只鴨賠付12元.假設(shè)鴨在生長期內(nèi)的意外死亡率為0.15，且每只鴨是否死亡相互獨(dú)立.若某養(yǎng)殖戶養(yǎng)鴨3000只，都投保該險(xiǎn)種.（1）求該保單保險(xiǎn)公司賠付金額等于保費(fèi)時，鴨死亡的只數(shù)；（2）求該保單保險(xiǎn)公司平均獲利多少元.18（12分）已知二次函數(shù) ，設(shè)方程有兩個實(shí)根 （）如果，設(shè)函數(shù)的圖象的對稱軸為，求證：；（）如果，且的兩實(shí)根相差為2，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求的取值范

5、圍20（12分）為迎接新中國成立70周年，學(xué)校布置一橢圓形花壇，如圖所示，是其中心，是橢圓的長軸，是短軸的一個端點(diǎn).現(xiàn)欲鋪設(shè)灌溉管道，擬在上選兩點(diǎn)，使，沿、鋪設(shè)管道，設(shè)，若，（1）求管道長度關(guān)于角的函數(shù)及的取值范圍；（2）求管道長度的最小值.21（12分）已知函數(shù)（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程22（10分）（1）已知矩陣的一個特征值為，其對應(yīng)的特征向量，求矩陣及它的另一個特征值.（2）在極坐標(biāo)系中，設(shè)P為曲線C：上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l：的最小距離.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

6、1、C【解析】求出，即可求出此次數(shù)學(xué)考試成績在90分到105分之間的人數(shù)【詳解】，所以，所以此次數(shù)學(xué)考試成績在90分到105分之間的人數(shù)約為故選C【點(diǎn)睛】本小題主要考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想屬于基礎(chǔ)題2、A【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別確定，的范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)與指數(shù)比較大小的問題，熟記對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.3、A【解析】代入特殊值對選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證排除，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】若，符合題意，由此排除C,D兩個選項(xiàng).若，則不符合題意，排除B選項(xiàng).故本小

7、題選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)函數(shù)值比較大小，考查特殊值法解選擇題，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】試題分析：設(shè)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦的端點(diǎn)分別為，則，又，兩式相減化簡得，即以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線的斜率為，由直線的點(diǎn)斜式方程可得，即，故選A.考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系.5、B【解析】通過對每一個選項(xiàng)進(jìn)行判斷得出答案.【詳解】對于選項(xiàng)：函數(shù)在既不是偶函數(shù)也不是減函數(shù)，故排除；對于選項(xiàng)：函數(shù)既是偶函數(shù)，又在是減函數(shù)；對于選項(xiàng)：函數(shù)在是奇函數(shù)且增函數(shù)，故排除；對于選項(xiàng)：函數(shù)在是偶函數(shù)且增函數(shù)，故排除；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的增減性以及奇偶性的判斷，屬于較易題.6、C【解析】求出橢圓上的點(diǎn)與圓心的

8、最大距離，加上半徑，即可得出P，Q兩點(diǎn)間的最大距離.【詳解】圓的圓心為M(0,6)，半徑為，設(shè)，則， 即，當(dāng) 時，故的最大值為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與圓的綜合，圓外任意一點(diǎn)到圓的最大距離是這個點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑之和，根據(jù)圓外點(diǎn)在橢圓上，即可列出橢圓上一點(diǎn)到圓心的距離的解析式，結(jié)合函數(shù)最值，即可求得橢圓上一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大值.7、B【解析】分析：由，求出的取值范圍，從而求出的范圍，從而可得的值域.詳解：，即在區(qū)間上的值域?yàn)?，故選B.點(diǎn)睛：本題考查了求三角函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，意在考查解題時應(yīng)考慮三角函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于簡單題.8、A【解析】分別找出從家到水果店，水果店到

9、花店，花店到醫(yī)院的最短路線，分步完成用累乘即可【詳解】由題意可得從家到水果店有6種走法，水果店到花店有3種走法，花店到醫(yī)院有4種走法，因此一共有（種）【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合中的乘法原理屬于基礎(chǔ)題9、B【解析】A注意修改量詞并否定結(jié)論，由此判斷真假；B寫出逆否命題并判斷真假，根據(jù)互為逆否命題同真假進(jìn)行判斷；C寫出逆命題，并分析真假，由此進(jìn)行判斷；D根據(jù)對恒成立問題的理解，由此判斷真假.【詳解】A“”的否定為“”，故錯誤；B原命題的逆否命題為“若且，則”，是真命題，所以原命題是真命題，故正確；C原命題的逆命題為“若函數(shù)只有一個零點(diǎn)，則”，因?yàn)闀r，此時也僅有一個零點(diǎn)，所以逆命題是假命題，故錯誤；

10、D“在上恒成立”“在上恒成立”，故錯誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，涉及到函數(shù)零點(diǎn)、含一個量詞的命題的真假判斷、不等式恒成立問題的理解等內(nèi)容，難度一般.注意互為逆否命題的兩個命題真假性相同.10、B【解析】分析：利用過一、三象限的漸近線的傾斜角，可得1，即可求出雙曲線的離心率e的取值范圍.詳解：雙曲線=1（a0，b0）的一條漸近線方程為y=x，由過一、三象限的漸近線的傾斜角，tantan，1，13，21+4，即2e24，解得e2，故選：B點(diǎn)睛：求離心率的常用方法有以下兩種：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出關(guān)于的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)，消去后轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程(或

11、不等式)求解11、D【解析】將化簡為：分別計(jì)算的系數(shù)，相加為5解得.【詳解】中的系數(shù)為： 的系數(shù)為： 的系數(shù)為： 故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的計(jì)算，分成兩種情況簡化了計(jì)算.12、C【解析】求導(dǎo)計(jì)算處導(dǎo)數(shù)，畫出函數(shù)和的圖像，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時，則，；當(dāng)時，則，當(dāng)時，；畫出和函數(shù)圖像，如圖所示：函數(shù)有3個交點(diǎn)，根據(jù)圖像知.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出復(fù)數(shù)，代入模的計(jì)算公式得.【詳解】由，所以.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及模的

12、計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】根據(jù)題意可知，假設(shè)，代入可得到，當(dāng)時，兩式相減，化簡即可求解出結(jié)果。【詳解】由題可知，所以故答案為?！军c(diǎn)睛】本題主要考查利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式過程中的歸納遞推步驟。15、0.4【解析】分析：先根據(jù)正態(tài)分布曲線得，再求，最后求.詳解：根據(jù)正態(tài)分布曲線得,所以,所以0.5-0.1=0.4.故答案為：0.4.點(diǎn)睛：本題主要考查正態(tài)分布圖，意在考查學(xué)生對該基礎(chǔ)知識的掌握水平和數(shù)形結(jié)合的思想方法.16、【解析】由題意計(jì)算出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用雙曲線知識求出的值，即可得到漸近線方程【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以雙曲線的半焦距，解得，故其漸近線方程

13、為，即.【點(diǎn)睛】本題考查了求雙曲線的漸近線方程，結(jié)合題意分別計(jì)算出焦點(diǎn)坐標(biāo)和的值，然后可得漸近線方程，較為基礎(chǔ)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）500只；（2）600元【解析】（1）根據(jù)題意，得到保費(fèi)的總額，再除以每只鴨賠付的金額，得到答案；（2）根據(jù)鴨在生長期內(nèi)的意外死亡率，得到需賠付的金額，然后根據(jù)總的保費(fèi)，得到平均獲利.【詳解】（1），答：該保險(xiǎn)公司賠付金額等于保費(fèi)時，鴨死亡只數(shù)為只.（2）因?yàn)轼喸谏L期內(nèi)的意外死亡率為0.15，所以需賠付的金額為，總保費(fèi)為，所以得到平均獲利為.答：該保單保險(xiǎn)公司平均獲利元.【點(diǎn)睛】本題考查求隨機(jī)變量的均值，屬于簡

14、單題.18、 (1)見解析（2）【解析】分析：（1）有轉(zhuǎn)化為有兩根：一根在與之間，另一根小于，利用一元二次方程的根分布可證；（2）先有，知兩根同號，在分兩根均為正和兩根均為負(fù)兩種情況的討論，再利用兩個之和與兩根之積列不等式可求的取值范圍.詳解：（1）設(shè)，且，則由條件x12 x24得 （2） ，又或綜上：點(diǎn)睛：利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)范圍問題，通常有兩種解法：一種是利用方程中根與系數(shù)的關(guān)系或利用函數(shù)思想結(jié)合圖象求解；二種是構(gòu)造兩個函數(shù)分別作出圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解，此類題目也體現(xiàn)了函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合的思想.19、（1）見解析；（2）【解析】（1）求出，分或兩種情況討論（2）由，得恒成立，則恒成立，

15、然后利用導(dǎo)數(shù)求出右邊的最大值即可【詳解】解：（1）易知，（i）當(dāng)時對任意的恒成立；（）當(dāng)時，若，得若，得，綜上，當(dāng)時在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）由，得恒成立，則恒成立，令，則令，則，在上單調(diào)遞減，又，在上，即；在上，即，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即的取值范圍為【點(diǎn)睛】恒成立問題首選的方法是通過分離變量，轉(zhuǎn)化為最值問題.20、（1），（2）【解析】(1)由三角函數(shù)值分別計(jì)算出、的長度，即可求出管道長度的表達(dá)式，求出的取值范圍(2)由(1)得管道長度的表達(dá)式，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)后判斷其單調(diào)性求出最小值【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，其中?（2）由，得，令，當(dāng)時，函數(shù)為增函

16、數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù).所以，當(dāng)，即時，答：管道長度的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用三角函數(shù)求解實(shí)際問題，在求最值時可以采用求導(dǎo)的方法判斷其單調(diào)性，然后求出最值，需要掌握解題方法21、 (1) ； (2) 或【解析】（） 根據(jù)題意，先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即切線斜率，代入點(diǎn)斜式方程，再化為一般式方程即可。（） 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，將代入得出，利用點(diǎn)斜式表達(dá)出直線方程，再將點(diǎn)代入直線方程，即可求解出，從而推得直線方程的解析式。【詳解】解：（1）由，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（2）設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，則所求切線方程為 代入點(diǎn)的坐標(biāo)得，解得或 當(dāng)時，所求直線方程為由（1）知過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為或故答案為或?！军c(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程。若已知曲線過點(diǎn)，求曲線過點(diǎn)的切線方