上海市浦東新區(qū)進(jìn)才中學(xué)2022年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知中，則B等于（）AB或CD或26把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（ ）A144B120C72D243若x，y滿足約束條件，則的最大值為（）AB

2、1C2D44已知集合，若圖中的陰影部分為空集，則構(gòu)成的集合為（ ）ABCD5設(shè)，則下列正確的是ABCD6函數(shù)在處的切線與直線:垂直，則（）A3B3CD7已知數(shù)列是等比數(shù)列，若則的值為（ ）A4B4或-4C2D2或-28若對(duì)任意的，關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD9如圖，長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)為，曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn).現(xiàn)將一質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入長(zhǎng)方形中，則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域外的概率是（ ）ABCD10已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，、分別是雙曲線左、右兩支上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且直線的斜率為.、分別為、的中點(diǎn)，若原點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD11用反證法證明命題“若

3、，則方程至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，應(yīng)假設(shè)（ ）A方程沒(méi)有實(shí)根B方程至多有一個(gè)實(shí)根C方程至多有兩個(gè)實(shí)根D方程恰好有兩個(gè)實(shí)根12將7個(gè)座位連成一排，安排4個(gè)人就坐，恰有兩個(gè)空位相鄰的不同坐法有 （ ）A240B480C720D960二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)14若圓柱的軸截面面積為2，則其側(cè)面積為_(kāi)；15某工廠在試驗(yàn)階段大量生產(chǎn)一種零件，這種零件有、兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)需要檢測(cè)，設(shè)各項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)與否互不影響，若有且僅有一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為，至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為.按質(zhì)量檢驗(yàn)規(guī)定：兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的零件為合格品，任意依次抽取該種零件4個(gè)，設(shè)表示其中

4、合格品的個(gè)數(shù)，則_.16設(shè)每門高射炮命中飛機(jī)的概率為，且每一門高射炮是否命中飛機(jī)是獨(dú)立的，若有一敵機(jī)來(lái)犯，則需要_門高射炮射擊，才能以至少的概率命中它三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）某市召開(kāi)全市創(chuàng)建全國(guó)文明城市動(dòng)員大會(huì)，會(huì)議向全市人民發(fā)出動(dòng)員令，吹響了集結(jié)號(hào).為了了解哪些人更關(guān)注此活動(dòng)，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在15-75歲之間的100人進(jìn)行調(diào)查，并按年齡繪制的頻率分布直方圖如圖所示，其分組區(qū)間為：，把年齡落在和內(nèi)的人分別稱為“青少年人”和“中老年人”.經(jīng)統(tǒng)計(jì)“青少年人”與“中老年人”的人數(shù)之比為.（1）求圖中，的值，若以每個(gè)小區(qū)間的中點(diǎn)值代替該區(qū)間的平

5、均值，估計(jì)這100人年齡的平均值；（2）若“青少年人”中有15人關(guān)注此活動(dòng)，根據(jù)已知條件完成題中的列聯(lián)表，根據(jù)此統(tǒng)計(jì)結(jié)果，問(wèn)能否有99.9%的把握認(rèn)為“中老年人”比“青少年人”更加關(guān)注此活動(dòng)？關(guān)注不關(guān)注合計(jì)青少年人15中老年人合計(jì)5050100附參考公式及參考數(shù)據(jù)：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.82818（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.19（12分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)（1）證明：在上存在唯一零點(diǎn)（2）若，恒成立，求的取值范圍20（12分）設(shè)函數(shù)，其中.已知.（1）求；（2）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍（

6、縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的最值.21（12分）如圖幾何體中，底面為正方形，平面，且.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的大小.22（10分）如圖，在正四棱柱中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.（1）若，求異面直線與所成角的大??；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值；（3）若二面角的大小為，求實(shí)數(shù)的值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意和正弦定理求出sinB的值，由邊角關(guān)系、內(nèi)角的范圍、特殊角的三角函數(shù)值求出B【詳解】由題意得，ABC中，a1，A30，由得

7、，sinB，又ba，0B180，則B60或B120，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，以及邊角關(guān)系的應(yīng)用，注意內(nèi)角的范圍，屬于基礎(chǔ)題2、D【解析】試題分析：先排三個(gè)空位，形成4個(gè)間隔，然后插入3個(gè)同學(xué)，故有種考點(diǎn)：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題3、D【解析】已知x，y滿足約束條件，畫(huà)出可行域，目標(biāo)函數(shù)zy2x，求出z與y軸截距的最大值，從而進(jìn)行求解；【詳解】x，y滿足約束條件，畫(huà)出可行域，如圖：由目標(biāo)函數(shù)zy2x的幾何意義可知，z在點(diǎn)A出取得最大值，A（3，2），zmax22（3）4，故選：D【點(diǎn)睛】在解決線性規(guī)劃的小題時(shí)，常用步驟為：由約束條件畫(huà)出可行域理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，找出最優(yōu)解的坐標(biāo)將坐

8、標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，求出最值；也可將可行域各個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，驗(yàn)證，求出最值4、D【解析】先化簡(jiǎn)集合，注意，由題意可知，確定即可【詳解】或，圖中的陰影部分為空集，或 ，即或 又，故選D【點(diǎn)睛】考查維恩圖的識(shí)別、對(duì)數(shù)計(jì)算、列舉法及集合的關(guān)系5、B【解析】根據(jù)得單調(diào)性可得；構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)可確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得，得到，進(jìn)而得到結(jié)論.【詳解】由的單調(diào)遞增可知：，即 令，則令，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即 ，即： 綜上所述：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小的問(wèn)題，難點(diǎn)在于比較指數(shù)與對(duì)數(shù)大小時(shí)，需要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性；需要注意的

9、是，在得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后，需驗(yàn)證零點(diǎn)與之間的大小關(guān)系，從而確定所屬的單調(diào)區(qū)間.6、A【解析】先利用求導(dǎo)運(yùn)算得切線的斜率，再由互相垂直的兩直線的關(guān)系，求得的值?！驹斀狻?函數(shù)在（1，0）處的切線的斜率是 ，所以，與此切線垂直的直線的斜率是 故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了求導(dǎo)的運(yùn)算法則和互相垂直的直線的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題7、A【解析】設(shè)數(shù)列an的公比為q，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得q416，由a3a1q2，計(jì)算可得【詳解】因故選：A【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及通項(xiàng)公式，屬于簡(jiǎn)單題8、C【解析】令f（x）=|2x+1|x4|，然后將f（x）化成分段函數(shù)，則m的最大值為f（x）的最小值【詳解】設(shè)F(x)|

10、2x1|x4|如圖所示，F(xiàn)(x)min3.故mF(x)min.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值在分段函數(shù)中的應(yīng)用，正確去掉絕對(duì)值符號(hào)是關(guān)鍵9、A【解析】計(jì)算長(zhǎng)方形面積，利用定積分計(jì)算陰影部分面積，由面積測(cè)度的幾何概型計(jì)算概率即可.【詳解】由已知易得：，由面積測(cè)度的幾何概型：質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域外的概率故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了面積測(cè)度的幾何概型，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】根據(jù)、分別為、的中點(diǎn)，故OM平行于,ON平行于，再由向量點(diǎn)積為0得到四邊形是矩形，通過(guò)幾何關(guān)系得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入雙曲線得到齊次式，求解離心率.【詳解】因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，故OM平行于,ON平行

11、于，因?yàn)樵c(diǎn)在以線段為直徑的圓上，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)得到OM垂直于ON，故得到垂直于，由AB兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得到，四邊形對(duì)角線互相平分，所以四邊形是矩形，設(shè)角,根據(jù)條件得到， 將點(diǎn)A代入雙曲線方程得到： 解得 故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，對(duì)于雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：求出，代入公式；只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范圍).11、A【解析】分析：直接利用命題的否定寫(xiě)出假設(shè)即可,至少的反面是

12、一個(gè)都沒(méi)有。詳解：用反證法證明命題“若，則方程至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是方程沒(méi)有實(shí)根故選：A點(diǎn)晴：本題主要考察反證法，注意反證法證明問(wèn)題時(shí)，反設(shè)實(shí)際是命題的否定12、B【解析】12或67為空時(shí)，第三個(gè)空位有4種選擇；23或34或45或56為空時(shí)，第三個(gè)空位有3種選擇；因此空位共有24+43=二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】化為，時(shí)，時(shí)，從而可得結(jié)果.【詳解】 ,當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)?故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的值域，屬于中檔題. 求函數(shù)值域的常見(jiàn)方法有配方法：若函數(shù)為一元二次函數(shù)，常采用配方法求函數(shù)求值域，其關(guān)鍵在于正確化成完全平方式，并且一

13、定要先確定其定義域；換元法：常用代數(shù)或三角代換法，用換元法求值域時(shí)需認(rèn)真分析換元參數(shù)的范圍變化；不等式法：借助于基本不等式 求函數(shù)的值域，用不等式法求值域時(shí)，要注意基本不等式的使用條件“一正、二定、三相等”；單調(diào)性法：首先確定函數(shù)的定義域，然后準(zhǔn)確地找出其單調(diào)區(qū)間 ，最后再根據(jù)其單調(diào)性求凼數(shù)的值域，圖象法：畫(huà)出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象的最高和最低點(diǎn)求最值.14、【解析】根據(jù)題意得圓柱的軸截面為底邊為，高為的矩形，根據(jù)幾何性質(zhì)即可求解。【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，高為，由題意知，圓柱的軸截面為底邊為，高為的矩形，所以，即。所以側(cè)面積?！军c(diǎn)睛】本題考查圓柱的幾何性質(zhì)，表面積的求法，屬基礎(chǔ)題15、1【解

14、析】設(shè)兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為，得到，求得的值，進(jìn)而得到，可得分布列和的值，得到答案【詳解】由題意，設(shè)兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為，由題意，得，解得，所以，即一個(gè)零件經(jīng)過(guò)檢測(cè)為合格品的概率為，依題意知，所以故答案為1【點(diǎn)睛】本題主要考查了隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，其中解答中根據(jù)概率的計(jì)算公式，求得的值，得到隨機(jī)變量是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題16、【解析】設(shè)需要門高射炮，由題意得出，解出的取值范圍，可得出正整數(shù)的最小值.【詳解】設(shè)需要門高射炮，則命不中的概率為，由題意得出，得，解得，而，因此，至少需要門高射炮.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件

15、概率乘法公式的應(yīng)用，在涉及“至少”問(wèn)題時(shí)，可以利用對(duì)立事件的概率公式來(lái)進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；100人年齡的平均值為.（2） 表格數(shù)據(jù)為：25，40，35，25，60；沒(méi)有99.9%的把握認(rèn)為“中老年人”比“青少年人”更加關(guān)注此活動(dòng).【解析】（1）由頻率分布直方圖求出對(duì)應(yīng)的頻率，列方程求得和的值，再計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均值；（2）由題意計(jì)算“青少年人”與“中老年人”的人數(shù)，完成列聯(lián)表，計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論.【詳解】解：（1）由題意知，青少年、中老年人的頻率分別為和，由，解得：；則這100人年齡的平

16、均值為:；（2）由題意知，青少年人共有人，中老年人共有人；由此完成列聯(lián)表如下，關(guān)注不關(guān)注合計(jì)青少年人152540中老年人352560合計(jì)5050100根據(jù)此統(tǒng)計(jì)結(jié)果，計(jì)算，所以沒(méi)有99.9%的把握認(rèn)為“中老年人”比“青少年人”更加關(guān)注此活動(dòng).【點(diǎn)睛】本題考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了頻率分布直方圖應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題.18、（1）（2）見(jiàn)解析【解析】（1）利用解析式求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，從而得到切線方程；（2）求導(dǎo)后可知導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)由的符號(hào)決定；分別在，和三種情況下討論的正負(fù)，從而得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而確定的單調(diào)區(qū)間；在討論時(shí)要注意的定義域與的根的大小關(guān)系.【詳解】

17、當(dāng)時(shí)，則又，所以在處的切線方程為，即（2）由函數(shù)，得：當(dāng)時(shí)，又函數(shù)的定義域?yàn)樗缘膯握{(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)時(shí)，令，即，解得：當(dāng)時(shí)，所以變化情況如下表：極小值所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為當(dāng)時(shí)，所以變化情況如下表：極大值所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為，【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程、討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題；解決含參函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的關(guān)鍵是對(duì)于影響導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的式子的討論；本題的易錯(cuò)點(diǎn)是在討論過(guò)程中忽略最高次項(xiàng)系數(shù)為零的情況和函數(shù)的定義域的影響.19、（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】(1) 求出,設(shè)，求,由的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理說(shuō)明在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn),即證得在上存在唯一零點(diǎn)

18、.(2)將恒成立問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求得最值即可.【詳解】（1）證明：設(shè)，則，令，則當(dāng)時(shí)，則為增函數(shù)，且，存在，使得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又，在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，即在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)（2）解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)，即，在上單調(diào)遞減，綜上所述，的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立問(wèn)題,難度較大.20、（1）；（2）最小值為，最大值.【解析】（1）利用輔助角公式化簡(jiǎn)，并利用解方程，解方程求得的值.（2）求得圖像變換后的解析式，根據(jù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)值域的求法，求得的最大值和最小值.【詳解】（1）因?yàn)?由題設(shè)知，所以，故，又，所以.（2）由（1）得.所以.，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.【點(diǎn)睛】本小題主要考查輔助角公式，考查三角函數(shù)圖像變換，考查三角函數(shù)