蘇寧老師第6周習題課內(nèi)容

1、6周習題課內(nèi)導數(shù)計算及應(yīng)一、微分的計ln1 y dyx1xxd(lnx)lnxd( x) 2lnxdy dlnx) x2 ( x)2x2x6周習題課內(nèi)導數(shù)計算及應(yīng)一、微分的計ln1 y dyx1xxd(lnx)lnxd( x) 2lnxdy dlnx) x2 ( x)2x2x 2 y ln u2 v2 arctanu ，其中u u(xv v(xdyvd(u2v2解： dy d(ln u v d(arctan ) v2(u2v21(u/ uduvdv vduudv (uv)du(vvu2 vu2 vvu2 v(uv)u(vdxu2 vdy (u v)uvu)vu2 v3 y y(x由方程exy

2、tan(xy) ydy(0) 1(ydx xdy) ecos2 在原方程中令 x 0，得到 y 1y(0) 代入微分后得到的等式，得到 2dx dy，也即 dy(0) 2dx4 y x(x，其中函數(shù)(x) x 0dy(0) y(x) (x) 注意(x) x 0處連續(xù)，所以 x 0(x) (01因(0) (0)，dy(0) (0)dx二、高階導數(shù)的計1. f(x) x1)2ln(1xf (n1(1)2ln2n 2Leibnizu(x) (x1)2v(x) ln(1 xu(1) 0，u(1) 因(0) (0)，dy(0) (0)dx二、高階導數(shù)的計1. f(x) x1)2ln(1xf (n1(1)

3、2ln2n 2Leibnizu(x) (x1)2v(x) ln(1 xu(1) 0，u(1) 0，u 2，u(k) 0, k 3,4,L,nv(k)(x) (k 1)! ，v(k)(1) (k 1)!，k 1,2,L,n所以 f (n1 n(n1u(1)v(n21 n(n12(1)(n3。222y x2sinx100Leibnizx2n3 x2(sin x)(100) 100(x2)(sin x)(99) 10099(x2)(sin y99 100 98 99sin 22。3.f (n（1）f (x) 1x2 a(n)( 111f (nx) 2a xxa(1)n(1)nn!11 n。2a (x

4、(x2a (x(x2x3 （2）f (x) x2 3x14x 解：將分式化為多項式 + 真分式（分子次數(shù)分母次數(shù)f (x) 2x6，3xx2xx 3 f (x) 2x633f (n)(x) 2(1)n(xx 3 f (x) 2x633f (n)(x) 2(1)n(x(x1)2 (x(x 1)n1（3）f(x) ex sinsin(xf (x) ex sinx4sin(x 2)f (x) 4(x) 2) e sin(xn 44.y arcsin(a)(1x2yxy 2y(n0)11（a） y ，1 x1 x(1x2y2 4yx(1x22yy2xy2 4y，整理得 (1x2yxy 2（b）由上面易

5、得 y(0)0y(0)0y02(1x2yxy 2xnLeibniz(1x2)y(2n1)xyn2 y( 0 x0，得 y(n2(0)n2y(n0)y(0)0, y02y(2m10) 0y(2m20) 2(2m)!2m 1,2,L三、導數(shù)的應(yīng)1.（1）e0解：考慮函數(shù) y exx 0 3y(x) y(0) y dy y(0)xy(x) y(0) dy y(0) y(0)x ；取x 0.06y(0) 1y(0) 1，所以 y(x) y(x) y(0) y dy y(0)xy(x) y(0) dy y(0) y(0)x ；取x 0.06y(0) 1y(0) 1，所以 y(x) y(0) y(0)x

6、10.06 1.06e0 e006 （2）5 解：考慮函數(shù) y 5 x x 45 1024 y(1024x) y(1024) y(1024)x11其中x24y(10244y(1024，5(1024)4/135 1000 5 102424 4(24) 43.98125法二：也可以考慮y 45 1 x在x 0附近微分，x 3.9812535128注：更精確的值5 1000 （3）tan解：注意44 0（弧度考慮函數(shù) y tan(xx 0 4y(x) y(0) y(0)x其中x y(0) 1y(0) 1cos2(x /2tan440 12 ) 1 3.1416 0.9651tan440 2. 求ky

7、 e2xy k xf(x) e2xg(x) k xy f (xy g(x) 有公共切點(a,Y4Y f (a) g(a f (a) g(a（公切線斜率2 e2a k a ，1解a ，k 2 e， 因此 Y e， 2 e41因此切點為 ( , eY f (a) g(a f (a) g(a（公切線斜率2 e2a k a ，1解a ，k 2 e， 因此 Y e， 2 e41因此切點為 ( , e4y e 2 e(x 1)，或?qū)懗?4 ex2ye 04 k e2（2）（3）3. 圓心在y-軸上圓在拋物線y x2的上方，且與拋物線恰好有2個切點。求該解：由題意可設(shè)該圓方程為 x2 yb)2 1bxy 0

8、，得到圓上(x, y x（當b yx-軸k1b y x2上(xy點切線的斜率 2x2X在兩曲線公共切點X,Yk1 k2 2X bX 0（見下面注，因此 bY 1 21(Y b)2 3Y b)2 1XX4由拋物線方程 Y X2 3，所以圓心縱坐標 b 1 Y 54X 0則切線水平，這時Y X 2 0，代入y1 1x2 ，依照題意應(yīng)有1也即1x2 1x2 24圓方程得到 b 11x2 x24.x23y23 a23x1/3 y1/05 y1/ 得到星形線上(x, y， x1/yY ，其中X,Yyx X2/3 Y2/3 a2/3X1/Y1/可見切線在橫坐標軸上截點坐標為a23 y1/ 得到星形線上(x, y， x1/yY ，其中X,Yyx X2/3 Y2/3 a2/3X1/Y1/可見切線在橫坐標軸上截點坐標為a23X 13，在縱坐標軸上截點坐標為a23Y13因此切線被坐標軸截下部分的長度（a 0L (a2/3X1/3)2 (a2/3Y1/3)2 a2/X2/3 Y2/ a5.2cm310cm5解：設(shè)容器中液面高度為h，則液面半徑 r h容器中液體體積