極限與連續(xù)精品課件

1、極限與連續(xù)第1頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四2. 數(shù)列的極限如果當n 無限增大時, xn 無限地接近于常數(shù) a , 那末稱 a 為數(shù)列xn的極限。第2頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四定義：設一數(shù)列xn和一個常數(shù) a ,如果對于任意給定的正數(shù) （不任多么小）, 總存在正整數(shù) N，使得對于滿足 n N 的一切 xn 都有| xn a|Na +a第11頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四3. 收斂數(shù)列的性質定理1（唯一性）若數(shù)列xn收斂，則其極限值唯一。第12頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四定理2（有界性）

2、收斂數(shù)列必有界()AB第13頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四0a()第14頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四4. 極限存在準則準則1.單調有界數(shù)列必有極限。有界是數(shù)列收斂的必要條件，單調有界是數(shù)列收斂的充分條件。第15頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四第16頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四第17頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四第18頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四第19頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四第20頁，共77頁，2022年，

3、5月20日，4點46分，星期四第21頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四例9. 判別數(shù)列xn的斂散性第22頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四2. 函數(shù)的極限“X”定義可簡記為：1. 當x時函數(shù)的極限定義1. 設有一函數(shù) f (x)，對于絕對值無任怎樣大的 x 值是有定義的，A為一常數(shù)，如果對于任意給定的正數(shù) ，總存在一個正數(shù) x，使得當| x | X時，恒有 | f (x) A| 0,當 | x |X時，函數(shù)位于這兩條直線之間。在定義1中，把| x|改為 x，即得 x+時的極限把| x|改為 - x，即得 x-時的極限X-X0 xyA+A-A第26頁，

4、共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四無極限舉例：第27頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四2. 當 x x0 時函數(shù)的極限?！?-”定義可簡記為：定義2. 設 f (x)在點 x0 的某個鄰域內(nèi)有定義（ x0 本身可除外）且A為一常數(shù)，如果對于任意給定的正數(shù) ，總存在一個正數(shù) ，使得當 0| x- x0| 時,|f (x)-A|0, 當 0 | x x0 | 時，函數(shù)位于兩直線之間。x0-x0+0 xyAA+A-x0第33頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四定理2 （函數(shù)極限的保號性）左、右極限第34頁，共77頁，2022年，5月20日，

5、4點46分，星期四第35頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四=1?第36頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四無極限舉例 在討論分段函數(shù)的分割點的極限時，一定要考慮左、右極限。第37頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四 “0”是作為無窮小的唯一的常數(shù)。3. 無窮小和無窮大1. 無窮小定義：極限為零的數(shù)列和函數(shù)稱為無窮小。第38頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四定理2. 設 為無窮小，u 有界，則 u 也是無窮小。推論1. 常數(shù)乘以無窮小仍是無窮小。推論2. 無窮小乘以無窮小仍是無窮小。推論：有限個無窮小的和仍為無窮

6、小。有限個無窮小的乘積仍是無窮小。定理1. 設 和 為無窮小，則 也是無窮小第39頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四定理3 (極限與無窮小的關系)第40頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四定義：絕對值無限增大的數(shù)列或函數(shù)稱為無窮大。2. 無窮大注意：無窮大與無界的區(qū)別。第41頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四第42頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四4. 極限運算法則第43頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四第44頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四第45頁，共77頁，2

7、022年，5月20日，4點46分，星期四第46頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四1. 兩個重要極限5. 兩個重要極限定理1（函數(shù)的夾逼定理）0 xAPBC第47頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四第48頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四第49頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四第50頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四第51頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四第52頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四第53頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46

8、分，星期四第54頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四第55頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四兩個無窮小的商實際反映了在變化過程中趨于零的速度快慢程度。為此引入定義兩個無窮小的代數(shù)和、積仍為無窮小，那么兩個無窮小的商會是什么樣呢？2. 無窮小的比較第56頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四第57頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四3. 無窮小的主部第58頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四. 等階無窮小的代換定理第59頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四當 x 0 時，常見的

9、等價無窮小第60頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四第61頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四 6. 函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)的三個要素：1. 函數(shù)的連續(xù)性定義1設函數(shù) f (x) 在點 x0 的某個鄰域內(nèi)有定義,如果當自變量增量 x 趨于零時，對應的函數(shù)增量y = f ( x0+ x)f ( x0 )也趨于零，那末稱函數(shù) f (x)在 x0 處連續(xù)。f (x) 在 x0 點處有定義、有極限、極限值等于函數(shù)值。第62頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四定理1.函數(shù) f (x) 在點 x0 處連續(xù)的充要條件是： 函數(shù) f (x) 在點 x0 處

10、既左連續(xù)又右連續(xù)。左、右連續(xù)第63頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四第64頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四如果 f (x) 在 (a,b) 內(nèi)任意一點連續(xù)，則稱 f (x) 在 (a,b)上連續(xù)，或稱 f (x) 為 (a,b) 上的連續(xù)函數(shù)。如果 f (x)在 (a,b) 上連續(xù)，且在 x=a 右連續(xù)，在 x=b 處左連續(xù)，則稱 f (x) 在 a,b 上連續(xù)。第65頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四第66頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四. 函數(shù)的間斷點間斷點的常見類型如果函數(shù)連續(xù)的三個要素中有一個不

11、滿足，那末稱 f (x) 在 x0 處間斷。無窮間斷點震蕩間斷點第67頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四左、右極限均存在的間斷點,稱為第一類間斷點，其余的間斷點,稱為第二類間斷點。跳躍間斷點可去間斷點第68頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四第69頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四2. 連續(xù)函數(shù)的運算及初等函數(shù)的連續(xù)性第70頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四定理4. 如果函數(shù) y = f (x) 在某個區(qū)間上嚴格單調增(或降) 且連續(xù)，那末它的反函數(shù) x = (y) 在對應的區(qū)間上也嚴格單調增(或降) 且連續(xù)

12、。推論：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是有界函數(shù)。定理5. (最大值、最小值定理). 閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質結論：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)至少取得最大值，最小值各一次。第71頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四定理 6. (介值定理) 推論 2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必可取得介于最大值最小值之間的任何值推論 1(零值定理) 如果 f (x) 在 a,b 上連續(xù)，且 f (a)f (b)0, 那末在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)至少存在一點 使得f() = 0(a b)閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)可取得介于端點值之間的任意值。第72頁，共77頁，2022年，5月20日，4點46分，星期四第73頁，共77頁，2022年，5月20日，4