電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律

1、第 一 章電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律1本章主要內(nèi)容1、電荷和電場(chǎng)(靜電場(chǎng))2、電流和磁場(chǎng)(靜磁場(chǎng))3、Maxwell方程組4、介質(zhì)的電磁性質(zhì)5、電磁場(chǎng)邊值關(guān)系 (介質(zhì)邊界上的電磁規(guī)律)6、電磁場(chǎng)的能量和能流21、電荷和電場(chǎng)1、Coulomb定律3、Gauss定理和電場(chǎng)的散度4、靜電場(chǎng)的旋度2、疊加原理31785年，Coulomb定量研究了靜止的電荷靜止、帶電Q的點(diǎn)電荷作用在另一1、Coulomb定律對(duì)另一電荷的作用?，F(xiàn)表述為如下的Coulomb定律：RrrqQO帶電 q 的點(diǎn)電荷上的作用力為：是R方向的單位矢量，e0是真空中的介電常數(shù)（真空電容率）：這里Q稱為源電荷， q 叫試探電荷。4庫(kù)侖定律只是從

2、現(xiàn)象上給出兩電荷之間作用力的大小和方向止電2.靜止電荷對(duì)靜止電荷的作用力可有如下兩種物理解釋:1.兩電荷之間的作用力是超距作用，即一個(gè)電荷把作用力直接施加于另一電荷上。(錯(cuò)誤)2.相互作用是通過(guò)電場(chǎng)來(lái)傳遞的，而不是直接的超距作用。(正確)5靜電時(shí)，兩種描述是等價(jià)的。在運(yùn)動(dòng)電荷時(shí)，特別是在電荷發(fā)生迅變時(shí)，實(shí)踐證明通過(guò)場(chǎng)來(lái)傳遞相互作用的觀點(diǎn)是正確的。討論：場(chǎng)的概念，在不僅電動(dòng)力學(xué)中具有重要地位，在整個(gè)現(xiàn)代物理學(xué)中也具有重要地位。電場(chǎng)：電荷周圍的空間存在著一個(gè)特殊的物質(zhì)，電荷在其中會(huì)受到作用力。6實(shí)驗(yàn)表明，多于一個(gè)靜止的源電荷存在時(shí)，所受到的作用力的矢量疊加：2、疊加原理試探電荷q 受到的作用力為各

3、個(gè)源電荷單獨(dú)存在時(shí)對(duì)連續(xù)分布的電荷體系上式變?yōu)椋篟1qQ1R2Q2.如果連續(xù)分布的電荷體系分別為體分布、面分布、線分布，相應(yīng)的電荷體密度、面密度、線密度分別為r、a、l：dQ = r dv (= a da、ldl ) .7如果q是一個(gè)靜止的試探點(diǎn)電荷，F(xiàn)為該電荷受到的電場(chǎng)力,引入電場(chǎng)強(qiáng)度：EF/q .這個(gè)定義也適用于非靜電的普遍情況，由此知道，在一般情況下， E是時(shí)間和空間位置的函數(shù)。3、Gauss定理和電場(chǎng)散度QiqSEinS為任意閉合曲面，dS為曲面上的面積元, 方向沿外法向：8 Qenc 是在閉合曲面內(nèi)的總電荷（Enclosed）。 這就是Gauss定理的積分形式。 由積分形式： 1 q

4、QjSEinn-nV 9 注意這里的函數(shù)關(guān)系： E(r) , r (r) ,在上式 1 中，讓S面趨于一個(gè)點(diǎn)，得：這里，2 就是Gauss定理的微分形式，從其證明可知，當(dāng)電荷分布r已知時(shí)，僅2式還不能確定 ，只有當(dāng) 也已知，才能完全確定 該定理的成立依賴電場(chǎng)（在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下）。RrrqdQO10 4、電場(chǎng)的旋度還有3 QL 旋度（Stokes）定理閉合路徑LS這里dl與dS構(gòu)成右手關(guān)系。LdS11關(guān)于電場(chǎng)完備方程組是： 4 3式是4式的積分形式。這些方程的成立不依賴電場(chǎng)的具體形式（Gauss定理）對(duì)給定的電荷分布，即確定的r，再加上一定的邊界條件，就能從上式確定E。由于L是任意的，所以S是

5、任意的， 12 例 電荷Q均勻分布于半徑為a的球體內(nèi)，求各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，并由此直接計(jì)算電場(chǎng)的散度。當(dāng) ra時(shí)，球面所圍的總電荷為Q，由高斯定理得13若ra時(shí)當(dāng)ra時(shí)，通過(guò)圓內(nèi)的總電流為I，用安培環(huán)路定理得得出式中e為圓周環(huán)繞方向單位矢量。32(2) 若ra(2) 當(dāng)ra34旋度的局域性：某點(diǎn)鄰域上的磁感應(yīng)強(qiáng)度的旋度只和該點(diǎn)的電流密度有關(guān)。雖然任何包圍著導(dǎo)線的回路都有磁場(chǎng)環(huán)量，但磁場(chǎng)的旋度只存在于電流分布的導(dǎo)線內(nèi)部，而在周圍空間中的磁場(chǎng)是無(wú)旋的。353、Maxwell方程組1、Faraday定律3、Maxwell方程組的一般形式2、位移電流4、洛倫茲力公式361、Faraday定律在上面2節(jié)，我

6、們主要限于討論r、J不隨時(shí)間變化體系，相應(yīng)的E、B也不隨時(shí)間變化。這里電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互獨(dú)立。（Gauss定理）（Ampre環(huán)路定理）不隨時(shí)間變化的電磁場(chǎng)滿足的完備方程如下：現(xiàn)在把上述物理量推廣到隨時(shí)間變化情形。對(duì)任一曲面S，磁通量F變化磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)LSdS37電場(chǎng)沿環(huán)路的積分這叫Faraday（1831）定律。即：稱為感生電動(dòng)勢(shì)，實(shí)驗(yàn)表明，e 與磁通量有如下關(guān)系：這里的dl與dS構(gòu)成右手關(guān)系。LdS有旋場(chǎng)這可以看作靜電學(xué)中的對(duì)應(yīng)規(guī)律的推廣，因?yàn)閷?duì)靜電場(chǎng)，B 始終為0，382、位移電流變化電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)因?yàn)橐?而根據(jù)電荷守恒定律，在非恒定情況下 此時(shí)與相矛盾如果承認(rèn)電荷守恒定律是普遍成立的, 那么

7、Ampere環(huán)路定理必須作修改.39Maxwell首先看到了這個(gè)問(wèn)題，引入位移電流把Ampre環(huán)路定理改寫為下面的形式，避免上式矛盾 位移電流的引入從另一個(gè)側(cè)面深刻揭示了電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間的聯(lián)系：不僅變化的磁場(chǎng)激發(fā)電場(chǎng)，變化著的電場(chǎng)激發(fā)磁場(chǎng)，兩者都以渦旋形式激發(fā)，并且左右手旋轉(zhuǎn)對(duì)稱。403、Maxwell方程組的一般形式在靜電磁場(chǎng)中，我們得到:對(duì)隨時(shí)間變化的電磁場(chǎng)， 2式由Faraday定律取代：2（ Faraday定律）Coulomb定律（Gauss定理）12BiotSavart定律34（Ampre環(huán)路定理）41把Ampre環(huán)路定理改寫為下面的形式，41、3、2、4四式構(gòu)成了電磁場(chǎng)的完備方程，稱

8、為Maxwell方程組：對(duì)隨時(shí)間變化的電磁場(chǎng)，引入位移電流Maxwell方程組(1865)213442Maxwell方程組物理意義：Maxwell方程組揭示了電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。揭示了電磁場(chǎng)可以獨(dú)立于電荷與電流之外而存在。電荷守恒可以由Maxwell方程組推出，對(duì)方程的4式取散度并利用方程1即得。43在靜磁場(chǎng)中，體積元dv 中的電荷受到磁場(chǎng)的作用力為：在靜電場(chǎng)中，實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)同時(shí)存在隨時(shí)間變化的電磁場(chǎng)時(shí)，dv內(nèi)的電荷受到的作用力為L(zhǎng)orentz力公式:單位體積內(nèi)的電荷受到的作用力，即力密度為：4、洛倫茲力公式44當(dāng)dv內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)電荷q時(shí)，Lorentz力公式變?yōu)椋篗axwll方程組中的4個(gè)方程

9、和Lorentz力公式構(gòu)成經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)。洛倫茲公式-場(chǎng)對(duì)電荷體系的作用 洛倫茲假設(shè)適用于任意運(yùn)動(dòng)的帶電粒子。 近代物理實(shí)驗(yàn)證實(shí)了洛倫茲公式對(duì)任意運(yùn)動(dòng)速度的帶電粒子都是適用的。454、物質(zhì)的電磁性質(zhì)2、電介質(zhì)的極化3、電介質(zhì)中的Gauss定理4、磁介質(zhì)的磁化5、物質(zhì)中的Maxwell方程1、導(dǎo)體6、電磁場(chǎng)邊值關(guān)系461、導(dǎo)體通常，物質(zhì)可分為導(dǎo)體、半導(dǎo)體（本課程不討論）和電介質(zhì)（絕緣體）。導(dǎo)體（如金屬、鹽水等）有大量可以在宏觀尺度上自由運(yùn)動(dòng)的電荷。反之則為電介質(zhì)。在金屬中，上述自由運(yùn)動(dòng)的電荷是電子，鹽水中則是帶正電和負(fù)電的離子。這種可以在宏觀尺度上自由運(yùn)動(dòng)的電荷稱為自由電荷。47導(dǎo)體中的凈電

10、荷只能存在于表面上；導(dǎo)體表面的電場(chǎng)與表面垂直，不然自由電荷將沿表面運(yùn)動(dòng)。導(dǎo)體內(nèi)部的總電荷密度為0；導(dǎo)體有如下靜電特性：導(dǎo)體內(nèi)部的電場(chǎng)為0；因?yàn)殡妶?chǎng)不為0，自由電荷將運(yùn)動(dòng)，與靜電場(chǎng)矛盾。對(duì)很多導(dǎo)體，自由電流密度與電場(chǎng)的關(guān)系有Ohm定律給出： Jf =s E，s稱為電導(dǎo)率。482、電介質(zhì)的極化電介質(zhì)是由分子組成，通常電介質(zhì)中的帶電粒子都屬于特定的分子。整個(gè)分子呈電中型，即這里，Dv趨于0是指趨于某一宏觀小、微觀大的量，例如103倍分子尺度。lqq在電磁學(xué)中，對(duì)如右圖的電荷體系，電偶極矩為：在沒(méi)有外電場(chǎng)時(shí)，介質(zhì)通常是電中性的。正負(fù)電荷的中心重合，每個(gè)分子的電偶極矩為0。無(wú)極分子（如CO2）電介質(zhì)的分

11、類COO49介質(zhì)的極化強(qiáng)度：OHHp單個(gè)分子的電偶極矩不為0，但由于各個(gè)分子的電偶極矩的取向是無(wú)規(guī)的，所以介質(zhì)整體沒(méi)有宏觀上的電偶極矩分布。有極分子 （如H2O）有外場(chǎng)時(shí)，介質(zhì)中的帶電粒子受到場(chǎng)的作用，正負(fù)電荷發(fā)生相對(duì)位移，出現(xiàn)宏觀上的電偶極矩分布。介質(zhì)的極化無(wú)極分子: 位移極化有極分子: 取向極化50引入電位移D:ce稱為極化率，依賴介質(zhì)的種類、溫度、密度等，但不依賴電場(chǎng)強(qiáng)度。如果只限于線性、各向同性介質(zhì)，e 稱為介電常數(shù)。對(duì)線性、各向同性介質(zhì)：PaEe0ceE ,如果在介質(zhì)內(nèi)部， ce不隨位置變化，就稱這種介質(zhì)為均勻介質(zhì)。513、電介質(zhì)中的Gauss定理下面我們用一個(gè)簡(jiǎn)單的模型，來(lái)求由于極

12、化在介質(zhì)中的任意一個(gè)封閉曲面S內(nèi)產(chǎn)生的電荷，即極化電荷。ldS+qSdS設(shè)介質(zhì)中分子的電偶極矩都是 ql ，由此得S內(nèi)的電荷為：極化強(qiáng)度：從 面跑出去的電荷為 ,于是通過(guò)任一封閉曲面跑出去的總電荷為52介質(zhì)表面的面電荷密度 ：這里rp 為極化（Polarized）產(chǎn)生的束縛電荷密度。從最后一個(gè)等式得：介質(zhì)1介質(zhì)2以 為極化電荷面密度，則有為介質(zhì)1指向介質(zhì)2的法向單位矢量得到通過(guò)薄層進(jìn)入介質(zhì)2的正電荷為 ，由介質(zhì)1通過(guò)薄層下側(cè)面進(jìn)入薄層的正電荷為 因此薄層出現(xiàn)的凈余電荷為53若介質(zhì)2為真空， ，則54介質(zhì)中除了屬于各個(gè)分子的束縛電荷，也可能有通過(guò)宏觀尺度的運(yùn)動(dòng)獲得的、不屬于某個(gè)分子的自由電荷rf

13、 。在介質(zhì)中：相應(yīng)的積分形式為：極化電流密度極化電流和極化電荷也滿足連續(xù)性方程：所以當(dāng)電場(chǎng)隨時(shí)間改變時(shí)，極化過(guò)程中正負(fù)電荷的相對(duì)位移也將隨時(shí)間改變，由此產(chǎn)生的電流稱為極化電流554、磁介質(zhì)的磁化介質(zhì)內(nèi)部的電子運(yùn)動(dòng)構(gòu)成微觀環(huán)形電流（分子電流），相當(dāng)于一個(gè)磁偶極子。在沒(méi)有外磁場(chǎng)時(shí)，這些磁矩取向是無(wú)規(guī)則的，不呈現(xiàn)宏觀電流效應(yīng)。存在外磁場(chǎng)時(shí)，環(huán)形電流出現(xiàn)有規(guī)則取向，形成宏觀電流效應(yīng)（磁化電流），這就是磁化現(xiàn)象。SnI56對(duì)如圖所示的分子電流圈，其磁矩為：SnIn為的單位法向矢量，與電流正向構(gòu)成右手關(guān)系。磁介質(zhì)中的磁化強(qiáng)度M定義為：57a) 磁化電流密度與磁化強(qiáng)度的關(guān)系與邊界線所鏈環(huán)的分子電流對(duì)曲面的總

14、磁化電流有貢獻(xiàn)。若單位體積內(nèi)分子數(shù)為n，則被邊界線L穿過(guò)的環(huán)形電流數(shù)目為若分子中心位于體積元 的柱體內(nèi)，則該環(huán)形電流就被 L 所穿過(guò)。此數(shù)目乘上每個(gè)環(huán)形電流i ，即得從S背面流向前面的總磁化電流：58以 表示磁化電流密度，有所以對(duì) 兩邊取散度，得這就說(shuō)明磁化電流不引起電荷的積累，不存在磁化電流的源頭。b)磁化電流面密度與磁化強(qiáng)度的關(guān)系對(duì)于均勻介質(zhì)，磁化后介質(zhì)內(nèi)部的M為一常矢量,即介質(zhì)內(nèi)部 ,但表面上卻有電流分布。59現(xiàn)在來(lái)看兩介質(zhì)交界面上的磁化電流分布情況介質(zhì)2介質(zhì)1如圖所示的回路中根據(jù)矢量分析60介質(zhì)2介質(zhì)1又因?yàn)檫@里B是比H更基本的物理量。引入磁場(chǎng)強(qiáng)度H：61cm稱為磁化率。對(duì)線性、各向同

15、性磁介質(zhì)，對(duì)這類磁介質(zhì)，m 稱為磁導(dǎo)率。注意只對(duì)線性、各向同性磁介質(zhì)成立；但卻普遍成立。HB鐵磁體是非線性磁介質(zhì)，其M隨H的變化，或B隨H的變化，不能用通常的單值函數(shù)描述，而與磁化的過(guò)程（歷史）有關(guān)。625、介質(zhì)中的Maxwell方程組由修正后的Ampre定理得：最后得：介質(zhì)中的Maxwell方程組：213463相應(yīng)的積分形式657864對(duì)實(shí)際問(wèn)題，須引入一些關(guān)系來(lái)反映介質(zhì)電磁性質(zhì)，這些關(guān)系常稱為介質(zhì)的電磁性質(zhì)方程。大多數(shù)物質(zhì)在電磁場(chǎng)不是很強(qiáng)的情況下，介質(zhì)對(duì)場(chǎng)的反應(yīng)是線性的。(1)對(duì)各向同性的介質(zhì)(2)對(duì)各向異性的晶體材料(3)在導(dǎo)電物質(zhì)中 ，稱為電導(dǎo)率。65對(duì)非線性介質(zhì)(1)強(qiáng)場(chǎng)作用下，D和

16、E的一般關(guān)系為(2)在鐵磁性物質(zhì)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系是非線性的，而且是非單值的關(guān)系666、電磁場(chǎng)邊值關(guān)系在外場(chǎng)作用下，介質(zhì)分界面上一般出現(xiàn)束縛電荷和電流分布，這些電荷、電流的存在又使得界面兩側(cè)場(chǎng)量發(fā)生躍變，這種場(chǎng)量躍變是面電荷、面電流激發(fā)附加的電磁場(chǎng)產(chǎn)生的。(b): 束縛電荷激發(fā)的場(chǎng)與外場(chǎng)E0疊加后得到總電場(chǎng)。兩邊的電場(chǎng)E1和E2在界面上發(fā)生躍變。圖(a): 介質(zhì)與真空分界的情形，在外場(chǎng)E0的作用下，介質(zhì)界面上產(chǎn)生面束縛電荷，這些束縛電荷本身激發(fā)的電場(chǎng)在介質(zhì)內(nèi)與E0反向，在真空中與E0同向。我們要用另一種形式描述界面兩側(cè)的場(chǎng)強(qiáng)以及界面上電荷電流的關(guān)系。67邊值關(guān)系就是描述兩介質(zhì)分界面

17、上，兩側(cè)場(chǎng)量與界面上電荷、電流的關(guān)系。然而，由于微分形式的Maxwells equations對(duì)場(chǎng)量而言, 是連續(xù)、可微的。在兩介質(zhì)分界面上，由于一般出現(xiàn)面電荷電流分布，使物理量發(fā)生躍變，此時(shí)微分形式的麥?zhǔn)戏匠探M不再適用。而積分形式的Maxwells equations對(duì)任意不連續(xù)的場(chǎng)量都適用。因此研究邊值關(guān)系的基礎(chǔ)是積分形式的Maxwells equations。目的：把積分形式Maxwell方程用于介質(zhì)邊界，得到介質(zhì)邊界上的電磁規(guī)律，即邊值關(guān)系。68麥克斯韋方程的積分形式If 為通過(guò)曲面S 的總自由電流，Qf為閉合曲面內(nèi)的總自由電荷。把這組方程應(yīng)用到界面上可以得到兩側(cè)場(chǎng)量的關(guān)系。691、法

18、向分量的躍變?nèi)鐖D所示，在分界面處作一個(gè)小扁平狀柱體介質(zhì)1介質(zhì)2柱的高度h0，所以通過(guò)側(cè)面的 的通量也可以忽略不計(jì)，因此即得或 的方向由介質(zhì)1指向介質(zhì)2。（1）電場(chǎng)的法向分量的關(guān)系：70根據(jù) 的關(guān)系，不難得到a) 對(duì)于兩種電介質(zhì)的分界面 ，則得討論：b)只有導(dǎo)體與介質(zhì)交界面上，存在 。這時(shí) 、 在法線上都不連續(xù)，有躍變。71對(duì)于磁場(chǎng) ，把 應(yīng)用到邊界上的扁平柱體區(qū)域上，同理得到由于 ，不難得到說(shuō)明：在分界面上， 的法線分量是連續(xù)的， 的法線分量是不連續(xù)的，除非 。 （2）磁場(chǎng)的法向分量的關(guān)系：722、切向分量的躍變hABCD介質(zhì)2介質(zhì)1t平行邊界作一小扁回路，并令此回路與分界面正交且其長(zhǎng)邊與界面

19、平行。由于回路短邊h0，所以 對(duì)回路的環(huán)流為：（1）電場(chǎng)的切向分量的關(guān)系：而得到73即利用則根據(jù)矢量分析：即由于h0，而 為有限值，故得到74亦即但根據(jù) ，有這說(shuō)明：在分界面上， 的切線分量是連續(xù)的， 的切線分量不連續(xù)。75對(duì)于磁場(chǎng) ，根據(jù)（2）磁場(chǎng)的切向分量的關(guān)系得到而由于S0，而 為有限值，則所以即或者76由于故得電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系表明了介質(zhì)兩側(cè)的場(chǎng)與界面上的自由電荷、電流之間的制約關(guān)系。實(shí)質(zhì)上，邊值關(guān)系是邊界上的場(chǎng)方程。由于實(shí)際問(wèn)題往往含有幾種介質(zhì)以及導(dǎo)體等，因此，邊值關(guān)系是十分重要的。77例 無(wú)窮大平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)(如圖)，極板上面電荷密度f(wàn)，求電場(chǎng)和束縛電荷分布。由對(duì)稱性可知電

20、場(chǎng)沿垂直于平板的方向，把邊值關(guān)系應(yīng)用于下板與介質(zhì)1界面上，因?qū)w內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)為零，故得同樣，把邊值關(guān)系應(yīng)用到上板與介質(zhì)2界面上得解78束縛電荷分布于介質(zhì)表面上。在兩介質(zhì)界面處， f=0由這兩式得由得79在介質(zhì)1與下板分界處在介質(zhì)2與上板分界處容易驗(yàn)證得由介質(zhì)整體是電中性的得807、電磁場(chǎng)的能量和能流1、場(chǎng)和電荷構(gòu)成的系統(tǒng)的能量守恒定律單位時(shí)間內(nèi)，電磁場(chǎng)對(duì)V內(nèi)自由電荷所做的功為：空間區(qū)域V,界面為s電荷分布 ，電荷運(yùn)動(dòng)速 度 ，以 表示場(chǎng)對(duì)電荷力密度電磁場(chǎng)能量密度 : 電磁場(chǎng)單位體積的能量 本節(jié)先用電磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律Maxwells equations 和 Lorentz 力密度公式討論電磁現(xiàn)象中能量轉(zhuǎn)換和守恒定律的表現(xiàn)形式，從而求出電磁場(chǎng)能量和能流。電磁場(chǎng)能流密度矢量 :數(shù)值上等于單位時(shí)間內(nèi)垂直流過(guò)單位橫截面的電磁能量，其方向代表能量傳輸方向方向.單位時(shí)間內(nèi)，V內(nèi)電磁場(chǎng)的能量增加量：81單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)界面s流入封閉面內(nèi)的能量：能量守恒的積分形式：相應(yīng)的微分形式：若V包括整個(gè)空間，則此時(shí)場(chǎng)和電荷的總能量守恒822、電磁場(chǎng)能量密度和能流密度表達(dá)式根