高中數(shù)學選修內容知識點歸納 2

1、更多高中數(shù)學資料請關注微信公眾號：凌風笑數(shù)學學堂選修之 1 常用規(guī)律用語一、命題及其關系1.命題（1）用語言、符號或式子表達的,可以判定真假的陳述句叫做 命題 . 其中判定為真的語句叫做 真命題 ,判定為假的語句叫做 假命題（2）對于“ 如 p,就 q” 形式的例題,p 叫做命題的條件,q 叫做命題的結論 .2.四種命題原命題：如p,就 q . qp,就稱 p 是 q 的必要條件；逆命題：如q,就 p . （2）假如 q 成立時, p 肯定成立,即（3）假如既有pq,又有 qp,就 p 是 q 的充分必要條件,簡稱充要條件. 三、簡潔的規(guī)律聯(lián)結詞1.聯(lián)結詞及記號更多高中數(shù)學資料請關注微信公眾號

2、：凌風笑數(shù)學學堂規(guī)律聯(lián)結詞M 中任意一個記號意義且p qp 且 q或p qp 或 q非p非 p（2）全稱命題“ 對x,有 p x成立” 可用符號簡記為讀作“ 對任意x 屬于 M ,有 p x成立”.xM,p x ,2.存在量詞（1）短語“ 存在一個”、“ 至少有一個” 在規(guī)律中通常叫做存在量詞 ,并用符號“”表示含有存在量詞的命題,叫做特稱命題注： 常見的存在量詞仍有“ 有些”、“ 有一個” 、“ 對某個” 、“ 有的” 等 .（2）特稱命題“ 存在 M 中的一個 x,使 p x成立” 可用符號簡記為x M , p x ,讀作“ 存在一個 x 屬于 M ,使 p x成立”.3.含有一個量詞的命

3、題的否定（1）全稱命題p:xM,p x.否定pxM,p x.（2）特稱命題p:xM,p x.否定pxM,p x.更多高中數(shù)學資料請關注微信公眾號：凌風笑數(shù)學學堂選修之 2 圓錐曲線一、橢 圓 1.定義平面內與兩個定點F 1,F 2 的距離的和等于常數(shù)（大于 F 1 F 2）的點的軌跡叫做橢圓 .這兩個定點叫做橢圓的焦點 ,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距2.標準方程（1）焦點在 x 軸上：x2y21.a2b2二、雙曲線 1.定義 平面內與兩個定點 F 1,F 2 的距離的差的肯定值等于常數(shù)（小于F 1 F 2）的點的軌跡 叫做 雙曲線 . 這兩個定點叫做雙曲線的 焦點 ,兩焦點間的距離叫做雙曲線的

4、 焦距2.標準方程（1）焦點在 x 軸上：x2y21.2+b 2.22ab（2）焦點在 y 軸上：y2x21.a2b2說明： 留意雙曲線中c 為 a,b,c 中的最大數(shù), c2=a更多高中數(shù)學資料請關注微信公眾號：凌風笑數(shù)學學堂3.雙曲線的簡潔幾何性質性質焦點在 x 軸焦點在 y 軸范疇xa 或 xaya 或 y a對稱性關于 x 軸、 y 軸成軸對稱,A 10 , B,A 20 , b 關于原點成中心對稱.頂點A 1 a , 0,A2a , 0 漸近線ybxyaxab離心率ec aec a（3）開口向上： x2=2py.（4）開口向下： x2=2py.3.拋物線的簡潔幾何性質性質開口向左開口

5、向右開口向上開口向下范疇x0 x0y0y0對稱性x 軸x 軸y 軸y 軸頂點O0 , 0O0 , 0O0 , 0O0 , 0離心率e=1e=1e=1e=1焦點p,0p,00,p0,p2222準線方程xp 2xp 2yp 2yp 2更多高中數(shù)學資料請關注微信公眾號：凌風笑數(shù)學學堂四、直線與圓錐曲線的位置關系1.交點（1）將直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立得到方程組,就方程組的解就是交點的坐標 . （2）消掉一個未知數(shù)后可得關于另一個未知數(shù)的一元二次方程,設此方程的判別式為,就有相交方程有兩不同解 0；相切方程有兩相同解 0；相離方程無實數(shù)解 0.2.弦長公式PM | p M ；（3）用坐標表示條件pM

6、,列出方程f x , y=0；（4）化方程 f x , y=0 為最簡形式；（5）說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上注： 化簡前后方程的解集一般是相同的,步驟（5）可省略不寫 . 假如有的點其坐標滿足求出的方程,但該點不在方程的曲線上,肯定要留意排除步驟（2）有時也可省略.3.求軌跡方程的常用方法（1）標準方程法：如圓、橢圓、拋物線等都有標準方程,如能知道軌跡是何種曲線就可套用標準方程 . （2）待定系數(shù)法：有時標準方程中的參數(shù)不易直接運算求得,就可用待定系數(shù)法,即列方程（組）求之. P 與一條已知曲線f x , y=0 上的點 Q 有聯(lián)系,就可先找出（3）代入法：如一個動點更多高中數(shù)

7、學資料請關注微信公眾號：凌風笑數(shù)學學堂P x , y,Qx 1 , y1的坐標之間的關系x11x y,然后代入 f x1 , y1=0 即可求出 P 的軌跡y 12x y , ,方程 f 1x,y , 2x,y=0.選修之 3 推理與證明一、推 理1.合情推理1由某類事物的部分對象具有某些特點,推出該類事物的全部對象都具有這些特點的推理,或者由個別事實概括出一般結論的推理稱為歸納推理 簡稱歸納 2由兩類對象具有某些類似特點和其中一類對象的某些已知特點,推出另一類對象也具有這些特點的推理稱為類比推理 簡稱類比 類比推理是由特別到特點的推理 . 要證明的結論成立,這種證明方法叫做綜合法 . 2.分

8、析法從要證明的結論動身,逐步尋求使它成立的充分條件,直至最終把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件 已知條件、定理、更多高中數(shù)學資料請關注微信公眾號：凌風笑數(shù)學學堂定義、公理等 為止這種證明方法叫做分析法 . 3.反證法假沒原命題不成立,經(jīng)過正確的推理,最終得出沖突,因此說明假設錯誤,從而證明白原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法 . 4.數(shù)學歸納法 理科 證明一個與正整數(shù) n 有關的例題,可按下面步驟進行：1歸納奠基 證明當 n 取第一個值 n0 時命題成立；2歸納遞推 假設 nkkn0,kN* 時命題成立,證明當n=k+1 時命題也成立只要完成這兩個步驟,就可以肯定命題對從n0 開頭的

9、全部正整數(shù)n 都成立 .這種證明方法叫做數(shù)學歸納法. 選修之 4復數(shù)1.復數(shù)的概念（1）虛數(shù)單位： i2= 1.（2）形如 a+bi 的數(shù)叫復數(shù),其中 a 叫復數(shù)的實部,b 叫復數(shù)的虛部 （3）復數(shù) a+bi 當且僅當 b=0 為實數(shù),當且僅當 b 0時為虛數(shù),當且僅當 a=0,b 0時為純虛數(shù),當且僅當 a=b=0 時為 02.復數(shù)相等的條件a+bi=c+di a=c,且 b=d .復數(shù)一般不能比較大小,當且僅當兩個復數(shù)都是實數(shù)時才能比較大小 .3.復數(shù)的模及共扼復數(shù)數(shù)加法、乘法滿意實數(shù)運算的全部運算律 然成立.實數(shù)的整數(shù)指數(shù)冪的運算性質在復數(shù)集中仍注： 在復數(shù)集中,分數(shù)指數(shù)冪的運算性質不再

10、成立；中學階段不討論復數(shù)的開方；一般地, |a|2a2.更多高中數(shù)學資料請關注微信公眾號：凌風笑數(shù)學學堂選修之 5 統(tǒng)計案例 一、回來分析 1.線性回來分析（1）函數(shù)關系是一種確定性關系,而相關關系是一種非確定性關系回來分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法（2）線性回來分析： 方法是畫散點圖, 求回來直線方程, 并用回來直線方程進行預報其回來方程的截距和斜率的最小二乘估量公式分別為：回來模型中, R2表示說明變量對于預報變量變化的奉獻率R2越接近于 1,表示回來的成效越好假如對某組數(shù)據(jù)可能實行幾種不同的回來方程進行回來分析,也可以通過比較幾個 R 2,挑選 R2 大的模型作

11、為這組數(shù)據(jù)的模型說明： r 只能用于線性模型,R2就可用于任一種模型. 對線性回來模型來說,2 R2 r .二、獨立性檢驗1.基本概念（1）對于性別變量,其取值為男和女兩種這種變量的不同“ 值” 表示個體所屬的不同類別,像這類變量稱為分類變量 x , y 1和y , y 2其樣本頻數(shù)列（2）假設有兩個分類變量X 和 Y,它們的值域分別為聯(lián)表稱為 22 列聯(lián)表：更多高中數(shù)學資料請關注微信公眾號：凌風笑數(shù)學學堂x1 y1 y2 總計a b abx2 c d cd總計ac bd a bcd（ 3）構造隨機變量K2aabbccddaadbc2,這種方法稱為cbd利用 K2的大小可以確定在多大程度上可以

12、認為“ 兩個分類變量有關系”如：假如 k7.879,就有 99.5的把握認為“X 與 Y 有關系”. 選修之 6 導數(shù)及其應用一、變化率與導數(shù)1.變化率式子 f x 2 f x 1 叫做函數(shù) f x從 x 1 到 x 2的平均變化率 . 記 x =x2x 1, y=f x 2x 2 x 1f x 1,就平均變化率可表示為 yx.2.導數(shù)定義函數(shù) y= f x在 x=x 0處的瞬時變化率lim x 0 xy x.稱為函數(shù) y= f x在 x = x0 處的導數(shù),記作f x0或 y | x = x 0,即f0+xf x0.fxlim x0 x更多高中數(shù)學資料請關注微信公眾號：凌風笑數(shù)學學堂（3）s

13、in x =cosx（4）cos x =sin x（5）ax = axlnax1a（6）ex = ex（7）logaxln（8）lnx1x2.求導法就（1）fx gx =f x g x（2）fx gx =f xgx+fxg x （3）fxgx =f xgxfxg x gx 2（4）Cfx =Cf x（C 為常數(shù)）3.復合函數(shù)的導數(shù)（理科）（1）復合函數(shù)：對于兩個函數(shù)y= f u和 u= g x,假如通過變量u,y 可以表示成x 的函數(shù),那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y f u和 u = g x的復合函數(shù),記作y = f gx（2）復合函數(shù)求導法就：y x y u u x 即 y 對 x 的導數(shù)等于 y

14、對 u 的導數(shù)與 u 對 x 的導數(shù)的乘積三、導數(shù)的應用1.單調性與導數(shù)（1）在某個區(qū)間 a , b內,假如 f x 0,且 f x=0 僅在一些孤立點上成立,那么函數(shù) y=f x在a , b內單調遞增；假如 y=f x在 a , b內單調遞減 .f x0,且 f x=0 僅在一些孤立點上成立,那么函數(shù)（2）用導數(shù)單調區(qū)間：求 f x；解不等式 f x0,可得 f x的單調遞增區(qū)間,解不等式 f x0,可得 f x的單調遞減區(qū)間（留意定義域）.更多高中數(shù)學資料請關注微信公眾號：凌風笑數(shù)學學堂留意： 上述定理的逆命題不成立 . （3）求函數(shù)的極值的方法求函數(shù) y= f x在區(qū)間 a , b上的最

15、值的步驟如下：解方程 f x=0；當 f x0=0 時,假如在 x 0 鄰近的左側 f x0,右側 f x0,那么 f x0是極大值；假如在 x 0鄰近的左側 f x0,那么 f x0是微小值 （4）求函數(shù)的最值的方法求函數(shù) y= f x在a , b內的極值；將函數(shù) y= f x的各極值與端點處的函數(shù)值 最小的一個是最小值f a,f b比較,其中最大的一個是最大值,四、定積分（理科）1.定積分的概念函數(shù) f x在區(qū)間 a , b上連續(xù),用分點a=x0 x 1 x i1xi x n=b將區(qū)間 a , b等分成 n 個小區(qū)間,在每個小區(qū)間x i1 , x i上任取一點ii=1,2, ,n,作和式n

16、 nf i x b a f i ,i 1 i 1 n當 n時,上述和式無限接近某個常數(shù),這個常數(shù)叫做函數(shù) f x在區(qū)間 a , b上的定積b分,記作 af x d x ,即a bf x d x lim n i n1 bn a f i ,這里, a 與 b 分別叫做積分下限與積分上限,區(qū)間 a , b叫做積分區(qū)間,函數(shù) f x叫做被積函數(shù), x 叫做積分變量,f xdx 叫做被積式更多高中數(shù)學資料請關注微信公眾號：凌風笑數(shù)學學堂由 y= f x,x=a,x=b 和 x 軸圍成的曲邊梯形的面積為Sbf x d .a注：對于稍復雜些的圖形的面積,的和或差 .（2）求變速直線運動的路程位移：sbv t

17、 dta可通過向 x 軸作垂線, 轉化為求幾個曲邊梯形的面積路程：sbv t d t,其中 vt表示速率 .a（3）變力作功WbF x dx ,其中 F x表示變力 .a選修之 7空間向量與立體幾何（理科）一、空間向量及其運算空間向量的有關概念及運算與平面對量形式上完全相同,只是由平面拓展到空間 .下面僅列舉空間向量特有的內容 . （1）平行于同一個平面的向量,叫做共面對量 .（2）向量共面的條件：假如兩個向量 a, b 不共線,那么向量 p 與 a,b 共面的充要條件是存在惟一的有序實數(shù)對 x , y,使p=xa+yb. 更多高中數(shù)學資料請關注微信公眾號：凌風笑數(shù)學學堂cosa ba ba

18、1 2a b 1 1a b 2b 1 2a b 3b 3 2.a ba2 2a 3 2b 2 2二、立體幾何中的向量方法1.用向量解決立體幾何問題的一般步驟（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系,用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面,把立體幾何問題轉化為向量問題；（2）通過向量運算,討論點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；（3）把向量的運算結果“翻譯 ” 成相應的幾何意義2.用向量解決的幾類立體幾何問題（1）證明平行或垂直線線平行：證明直線的方向向量平行 .線線垂直：證明直線的方向向量垂直 .線面平行：證明直線的方向向量與平面的法向量垂直 .線面垂直：證明直線的方向向量與

19、平面的法向量平行 .面面平行：證明兩平面的法向量平行 .面面垂直：證明兩平面的法向量垂直 .（2）運算距離點到平面的距離：設 v 是平面 的法向量, P 為 外一點, A 為 內任一點, P 到平更多高中數(shù)學資料請關注微信公眾號：凌風笑數(shù)學學堂二面角：求兩平面法向量的平角,二面角的大小可能是,也可能是180 ,可結合圖形或其他條件確定 .選修之 81.加法原理排列組合與二項式定理（理科）一、計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案,在第 1 類方案中有m 種不同的方法, 在第 2 類方案中有n種不同的方法那么完成這件事共有N m n 種不同的方法2.乘法原理完成一件事需要兩個步驟,做第 1 步有 m

20、種不同的方法, 做第 2 步有 n 種不同的方法,更多高中數(shù)學資料請關注微信公眾號：凌風笑數(shù)學學堂（3）排列數(shù)的運算m A nn n2nm1nn.m. m A nn.1 2 3n . 0.1 2.組合（1）從 n 個不同元素中取出mmn個元素合成一組,叫做從n 個不同元素中取出m個元素的一個 組合 （2）從 n 個不同元素中取出mmn個元素的全部不同組合的個數(shù)叫做從n 個不同元素中取出 m 個元素的組合數(shù),用符號Cm表示n（3）組合數(shù)的運算m C nm A nn n1n2nm1n.m . m A nm.m. n（4）組合數(shù)的性質m n m C n C n .m m m 1 C n 1 C n

21、C n .注：排列與的區(qū)分： 排列有次序, 組合無次序 . 一種簡便的判定方法是,任取一種情形,交換其中兩個元素,假如變成了另一種情形,就是排列, 假如仍是同一種情形或變成了一種不行能的情形,就是組合 . 更多高中數(shù)學資料請關注微信公眾號：凌風笑數(shù)學學堂兩項的二項式系數(shù)相等,且同時取得最大值（3）各二項式系數(shù)的和C0C1CkCm2n. n C ,而某一項的系數(shù)包含其他常數(shù),要留意二nnnn注： 二項式系數(shù)指的是0 C ,1 C ,者的區(qū)分 . 選修之 9 隨機變量及其分布（理科）一、離散型隨機變量及其分布1.基本概念（1）隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量 .（2）全部取值可以一一列出的隨機變量,稱為離散型隨機變量 . 2.分布列（1）如離散型隨機變量 X 可能取的不同值為x1,x2, ,x i, ,x n,X 取每一個值 xi i=1,2, ,n的概率 P X=x i=pi,以表格的形式表示如下：更多高中數(shù)學資料請關注微信公眾號：凌風笑數(shù)學學堂（1）定義：設A,B 為兩個大事,假如P AB =