恰當方程與積分因子市公開課獲獎課件

1、2.3 恰當方程與積分因子 第1頁第1頁第2頁第2頁一、恰當方程定義及條件假如我們正好碰見了方程就能夠馬上寫出它隱式解第3頁第3頁定義1則稱微分方程是恰當方程.如是恰當方程.1 恰當方程定義第4頁第4頁需考慮問題(1) 方程(1)是否為恰當方程?(2) 若(1)是恰當方程,如何求解?(3) 若(1)不是恰當方程,有無也許轉化為恰當方程求解?2 方程為恰當方程充要條件定理1為恰當方程充要條件是第5頁第5頁證實“必要性”設(1)是恰當方程,故有從而故第6頁第6頁“充足性”即應滿足第7頁第7頁因此事實上第8頁第8頁故(8)注:若(1)為恰當方程,則其通解為第9頁第9頁二、恰當方程求解1 不定積分法例

2、1 驗證方程是恰當方程,并求它通解.第10頁第10頁解:故所給方程是恰當方程.第11頁第11頁即積分后得:故從而方程通解為第12頁第12頁2 分組湊微法 采用“分項組合”辦法,把本身已構成全微分項分出來,再把余項湊成全微分.-應熟記一些簡樸二元函數(shù)全微分.如第13頁第13頁第14頁第14頁例2 求方程通解.解:故所給方程是恰當方程.把方程重新“分項組合”得即或寫成故通解為:第15頁第15頁例3 驗證方程是恰當方程,并求它滿足初始條件y(0)=2解.解:故所給方程是恰當方程.把方程重新“分項組合”得即第16頁第16頁或寫成故通解為:故所求初值問題解為:第17頁第17頁3 線積分法定理1充足性證實

3、也可用下列辦法:由數(shù)學分析曲線積分與路徑無關定理知:第18頁第18頁從而(1)通解為第19頁第19頁例4 求解方程解:故所給方程是恰當方程.第20頁第20頁故通解為:第21頁第21頁三、積分因子非恰當方程如何求解?對變量分離方程:不是恰當方程.是恰當方程.第22頁第22頁對一階線性方程:不是恰當方程.則是恰當方程.可見,對一些非恰當方程,乘上一個因子后,可變?yōu)榍‘敺匠?第23頁第23頁1 定義例5解:對方程有第24頁第24頁由于把以上方程重新“分項組合”得即第25頁第25頁也即故所給方程通解為:2 積分因子擬定即第26頁第26頁盡管如此,方程還是提供了尋找特殊形式積分因子路徑.第27頁第27頁

4、變成即第28頁第28頁此時求得積分因子第29頁第29頁第30頁第30頁3 定理微分方程第31頁第31頁第32頁第32頁例6 求微分方程通解.解:由于故它不是恰當方程,又由于第33頁第33頁利用恰當方程求解法得通解為 積分因子是求解積分方程一個極為主要辦法,絕大多數(shù)方程求解都能夠通過尋找到一個適當積分因子來處理,但求微分方程積分因子十分困難,需要靈活利用各種微分法技巧和經驗.下面通過例子闡明一些簡樸積分因子求法.第34頁第34頁例7 求解方程解:方程改寫為:或:易看出,此方程有積分因子第35頁第35頁即故方程通解為:例8 求解方程解:故方程不是恰當方程,第36頁第36頁辦法1:即故方程通解為:第37頁第37頁辦法2:方程改寫為:容易看出方程左側有積分因子:故方程通解為:第38頁第38頁辦法3:方程改寫為:這是齊次方程,即故通解為:變量還原得原方程通解為:第39頁第39頁辦法4: