二次函數知識點總結與典型例題

1、13/13二次函數知識點總結及典型例題一、二次函數的概念和圖像 1、二次函數的概念一般地，如果，那么y叫做x 的二次函數。叫做二次函數的一般式。2、二次函數的圖像二次函數的圖像是一條關于對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。拋物線的主要特征：有開口方向；有對稱軸；有頂點。3、二次函數圖像的畫法五點法：二、二次函數的解析式 二次函數的解析式有三種形式：（1）一般式：（2）頂點式：（3）當拋物線及x軸有交點時，即對應二次好方程有實根和存在時，根據二次三項式的分解因式，二次函數可轉化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。三、拋物線中，的作用 （1）決定開口方向及開口大小，這及中的完全一樣. （2）和共同決

2、定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：時，對稱軸為軸所在直線；（即、同號）時，對稱軸在軸左側；（即、異號）時，對稱軸在軸右側. （3）的大小決定拋物線及軸交點的位置.當時，拋物線及軸有且只有一個交點（0，）：，拋物線經過原點; ,及軸交于正半軸；,及軸交于負半軸.以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則 .四、二次函數的性質 1、二次函數的性質函數二次函數圖像a0a0 y 0 x y 0 x 性質（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側，即當x時，y隨x的增大而增大，簡記左減右增；（4）拋物線有最

3、低點，當x=時，y有最小值，（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側，即當x時，y隨x的增大而減小，簡記左增右減；（4）拋物線有最高點，當x=時，y有最大值，五、二次函數及一元二次方程的關系一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像及x軸的交點坐標。因此一元二次方程中的，在二次函數中表示圖像及x軸是否有交點。當0時，圖像及x軸有兩個交點；當=0時，圖像及x軸有一個交點；當0時，圖像及x軸沒有交點。補充： 函數平移規(guī)律：左加右減、上加下減六、二次函數的最值 如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當時，。如果

4、自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內，若在此范圍內，則當x=時，；若不在此范圍內，則需要考慮函數在范圍內的增減性，如果在此范圍內，y隨x的增大而增大，則當時，當時，；如果在此范圍內，y隨x的增大而減小，則當時，當時，。典型例題1. 已知函數，則使y=k成立的x值恰好有三個，則k的值為（ ）A0B1C2D32. 如圖為拋物線的圖像，A、B、C 為拋物線及坐標軸的交點，且OA=OC=1，則下列關系中正確的是 （ ） Aab=1 B ab=1 C b2a D ac0 3. 二次函數的圖象如圖所示，則反比例函數及一次函數在同一坐標系中的大致圖象是（ ）.4. 如圖，已知二次函數的圖

5、象經過點（1，0），（1，2），當隨的增大而增大時，的取值范圍是 （1,-2）-15. 在平面直角坐標系中，將拋物線繞著它及y軸的交點旋轉180，所得拋物線的解析式是（ ）A BC D6. 已知二次函數的圖像如圖，其對稱軸，給出下列結果，則正確的結論是（ ）A B C D 7拋物線上部分點的橫坐標，縱坐標的對應值如下表：x21012y04664從上表可知，下列說法中正確的是 （填寫序號）拋物線及軸的一個交點為（3,0）； 函數的最大值為6；拋物線的對稱軸是； 在對稱軸左側，隨增大而增大8. 如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A的坐標是（2，4），過點A作ABy軸，垂足為B，連結OA(1

6、)求OAB的面積；(2)若拋物線經過點A求c的值；將拋物線向下平移m個單位，使平移后得到的拋物線頂點落在OAB的內部（不包括OAB的邊界），求m的取值范圍（直接寫出答案即可）9已知二次函數y= eq f(1,4) x 2+ eq f(3,2) x的圖像如圖（1）求它的對稱軸及x軸交點D的坐標；（2）將該拋物線沿它的對稱軸向上平移，設平移后的拋物線及x軸、y軸的交點分別為A、B、C三點，若ACB=90，求此時拋物線的解析式； （3）設（2）中平移后的拋物線的頂點為M，以AB為直徑，D為圓心作D，試判斷直線CM及D的位置關系，并說明理由10. 如圖，在平面直角坐標系xOy中，AB在x軸上，AB10

7、，以AB為直徑的O及y軸正半軸交于點C，連接BC，AC.CD是O的切線，ADCD于點D，tanCAD，拋物線過A，B，C三點.（1）求證：CADCAB；（2）求拋物線的解析式；判定拋物線的頂點E是否在直線CD上，并說明理由；（3）在拋物線上是否存在一點P，使四邊形PBCA是直角梯形.若存在，直接寫出點P的坐標（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由.11. 如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是直角梯形，BCAD，BAD= 90，BC及y軸相交于點M，且M是BC的中點，A、B、D三點的坐標分別是A（-1，0），B( -1，2)，D( 3，0)，連接DM，并把線段DM沿DA方向平移到ON，

8、若拋物線y=ax2+bx+c經過點D、M、N（1）求拋物線的解析式（2）拋物線上是否存在點P使得PA= PC若存在，求出點P的坐標；若不存在請說明理由。（3）設拋物線及x軸的另個交點為E點Q是拋物線的對稱軸上的個動點，當點Q在什么位置時有最大？并求出最大值。ABABCDOENMxy圖12如圖，拋物線y=x2+bx2及x軸交于A、B兩點，及y軸交于C點，且A（一1，0）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；判斷ABC的形狀，證明你的結論；點M(m，0)是x軸上的一個動點，當CM+DM的值最小時，求m的值13.在平面直角坐標系中，如圖1，將n個邊長為1的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊OA和OC分別落在x軸和y軸的正半軸上，設拋物線y=ax2+bx+c(a0)過矩形頂點B、C.（1）當n1時，如果a=1，試求b的值；（2）當n2時，如圖2，在矩形OABC上方作一