2015年第二十屆“華羅庚金杯”奧數(shù)決賽試卷（小高組c卷）

1、 PAGE PAGE 162015年第二十屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（小高組C卷）一、填空題（每小題10分,共80分）1（10分）計算：+ 2（10分）將自然數(shù)1至8分為兩組,使兩組的自然數(shù)各自之和的差等于16,共有 種不同的分法3（10分）將2015的十位、百位和千位的數(shù)字相加,得到的和寫在2015個位數(shù)字之后,得到一個自然數(shù)20153;將新數(shù)的十位、百位和千位數(shù)字相加,得到的和寫在20153個位數(shù)字之后,得到201536;再次操作2次,得到201536914,如此繼續(xù)下去,共操作了2015次,得到一個很大的自然數(shù),這個自然數(shù)所有數(shù)字的和等于 4（10分）如圖,四邊形ABCD是邊

2、長為11厘米的正方形,G在CD上,四邊形CEFG是邊長為 9 厘米的正方形,H在AB上,EDH是直角,三角形EDH的面積是 平方厘米5（10分）如圖是網(wǎng)格為34的長方形紙片,長方形紙片正面是灰色,反面是紅色,網(wǎng)格是相同的小正方形沿網(wǎng)格線將長方形裁剪為兩個形狀相同的卡片,如果形狀和正反面顏色相同,則視為相同類型的卡片,則能裁剪出 種不同類型的卡片6（10分）一個長方體,棱長都是整數(shù)厘米,所有棱長之和是 88 厘米,問這個長方體總的側(cè)面積最大是 平方厘米7（10分）x3x5,這里x表示不超過x的最大整數(shù),則x 8（10分）右邊是一個算式,9個漢字代表數(shù)字1至9,不同的漢字代表不同的數(shù)字,則該算式可

3、能的最大值是 二、解答下列各題（每小題10分,共40分,要求寫出簡要過程）9（10分）已知C地為A,B兩地的中點(diǎn)上午7點(diǎn)整,甲車從A出發(fā)向B行進(jìn),乙車和丙車分別從B和C出發(fā)向A行進(jìn)甲車和丙車相遇時,乙車恰好走完全程的,上午10點(diǎn)丙車到達(dá)A地,10點(diǎn)30分當(dāng)乙車走到A地時,甲車距離B地還有84千米,那么A和B兩地距離是多少千米?10（10分）將2015個分?jǐn)?shù),化成小數(shù),共有多少個有限小數(shù)?11（10分）a,b 為正整數(shù),小數(shù)點(diǎn)后第3位經(jīng)四舍五入后,式子+1.51,求a+b?12（10分）已知算式abcdaade,式中不同字母代表不同的數(shù)碼,問四位數(shù)abcd最大值是多少?三、解答下列各題（每題15

4、分,共30分,要求寫出詳細(xì)過程）13（15分）在圖中,ABCD是平行四邊形,F在AD上,AEF的面積8cm2,DEF的面積12cm2,四邊形BCDF的面積72cm2,求出CDE的面積?14（15分）將530本書分給48名學(xué)生,至少有幾名學(xué)生分到的數(shù)量相同?2015年第二十屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（小高組C卷）參考答案與試題解析一、填空題（每小題10分,共80分）1（10分）計算：+1【分析】把繁分?jǐn)?shù)的分子分母中的算式分別化簡,然后根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)解答即可【解答】解：+1;故答案為：12（10分）將自然數(shù)1至8分為兩組,使兩組的自然數(shù)各自之和的差等于16,共有8種不同的分法【分析

5、】根據(jù)題意,分成的兩組之和為（1+8）8236,因?yàn)閮山M的自然數(shù)各自之和的差等于16,因此和較大的一組等于（36+16）226,較小的一組是362610,由此即可解答【解答】解：分成的兩組之和為：（1+8）8298236和較大的一組等于：（36+16）252226較小的一組是：362610因?yàn)?02+83+74+61+2+71+3+61+4+52+3+51+2+3+4相應(yīng)地261+3+4+5+6+71+2+4+5+6+81+2+3+5+7+83+4+5+6+82+4+5+7+82+3+6+7+81+4+6+7+85+6+7+8所以共有8種不同的分法故答案為：83（10分）將2015的十位、百位

6、和千位的數(shù)字相加,得到的和寫在2015個位數(shù)字之后,得到一個自然數(shù)20153;將新數(shù)的十位、百位和千位數(shù)字相加,得到的和寫在20153個位數(shù)字之后,得到201536;再次操作2次,得到201536914,如此繼續(xù)下去,共操作了2015次,得到一個很大的自然數(shù),這個自然數(shù)所有數(shù)字的和等于8479【分析】按題設(shè)條件,操作16次后,如上圖,發(fā)現(xiàn)數(shù)字的規(guī)律為：從7次開始數(shù)字為11、3、3、5、7,從第12次開始為11、3、3、5、7,這5個數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)根據(jù)整個規(guī)律,推出操作了2015次,得到的數(shù),再求和即可【解答】解：按題設(shè)條件,操作16次后,如下：數(shù)字的規(guī)律為：從7次開始數(shù)字為11、3、3、5、7,

7、從第12次開始為11、3、3、5、7,這5個數(shù)字重復(fù)出現(xiàn),則操作2015次：（20156）54014,則2015次操作的對應(yīng)的數(shù)字是5;則所有自然數(shù)和為：前4位：2+0+1+58,后6為：3+6+9+1+4+1+6+636,重復(fù)的數(shù)字和為：1+1+1+3+3+5+721,重復(fù)401次后,和為401218421,余數(shù)4,對應(yīng)數(shù)字的和為：1+1+1+3+3+514,以上數(shù)字相加即為所有自然數(shù)和8+36+8421+148479故：應(yīng)該填：84794（10分）如圖,四邊形ABCD是邊長為11厘米的正方形,G在CD上,四邊形CEFG是邊長為 9 厘米的正方形,H在AB上,EDH是直角,三角形EDH的面積

8、是101平方厘米【分析】1、延長EF、AD交于點(diǎn)K;2、將DEK和ADH面積相等,所以,HB2;3、S陰影SABEKSDEKSADHSBHE【解答】根據(jù)上述分析故答案是：S陰影SABEKSDEKSADHSBHE11（11+9）0.59110.59110.52（11+9）1015（10分）如圖是網(wǎng)格為34的長方形紙片,長方形紙片正面是灰色,反面是紅色,網(wǎng)格是相同的小正方形沿網(wǎng)格線將長方形裁剪為兩個形狀相同的卡片,如果形狀和正反面顏色相同,則視為相同類型的卡片,則能裁剪出8種不同類型的卡片【分析】可首先分析向左的減法,然后根據(jù)左右對稱情況得出向右的剪法,減去重合的剪法,從而得出總的不同剪法【解答】

9、解：先考慮從正面剪,中間那條粗線是一定要剪開的,剪開后,從點(diǎn)1有三種選擇,向上向左向右;1、向上：,屬于第1種類型;2、向左：剪至點(diǎn)3,又有3種選擇,向上向左向下,（1）向上（黑線）：,紅線是和黑線對稱的情況,但按紅線剪出的圖形旋轉(zhuǎn)后和黑線相同,屬于第2種類型;（2）向左：,按紅線剪出的圖形旋轉(zhuǎn)后和黑線不同,是兩種不同的類型,屬于第3、4種類型;（3）向下：向下剪至點(diǎn)6,有兩種選擇,向左,向下,向左：,按紅線剪出的圖形旋轉(zhuǎn)后和黑線不同,是兩種不同的類型,屬于第5、6種類型;向下：,按紅線剪出的圖形旋轉(zhuǎn)后和黑線不同,是兩種不同的類型,屬于第7、8種類型;綜上可得,總共有8種類型故答案是：86（1

10、0分）一個長方體,棱長都是整數(shù)厘米,所有棱長之和是 88 厘米,問這個長方體總的側(cè)面積最大是224平方厘米【分析】長寬高的和是：88422厘米,長方體的總側(cè)面積最大,長寬高的長度必須最接近,即228+7+7,然后再利用長方體的側(cè)面積公式,也就是用底面周長乘高,據(jù)此解答即可【解答】解：長寬高的和是：88422（厘米）,長方體的總側(cè)面積最大,長寬高的長度必須最接近,即228+7+7,（7+7）28288224（平方厘米）;答：這個長方體的總側(cè)面積最大是224平方厘米故答案為：2247（10分）x3x5,這里x表示不超過x的最大整數(shù),則x2【分析】按題意,要使原式成立,則xx,3x5x,而3x5為整

11、數(shù),不難求得x2【解答】解：根據(jù)分析,要使原式成立,則xx,3x5x,x,3x50 x2而3x5為整數(shù),不難求得x2故答案是：28（10分）右邊是一個算式,9個漢字代表數(shù)字1至9,不同的漢字代表不同的數(shù)字,則該算式可能的最大值是8569【分析】觀察這個算式,要使這個算式的值最大,那么兩位數(shù)與兩位數(shù)的乘積就要盡可能的大,所以天空96,則湛藍(lán)87;同理,兩位數(shù)與一位數(shù)的乘積也要盡可能的大,所以翠綠43,則樹5;那么盼1,望2;據(jù)此解答即可【解答】解：根據(jù)分析可得,12+435+96872+215+83528569;故答案為：8569二、解答下列各題（每小題10分,共40分,要求寫出簡要過程）9（1

12、0分）已知C地為A,B兩地的中點(diǎn)上午7點(diǎn)整,甲車從A出發(fā)向B行進(jìn),乙車和丙車分別從B和C出發(fā)向A行進(jìn)甲車和丙車相遇時,乙車恰好走完全程的,上午10點(diǎn)丙車到達(dá)A地,10點(diǎn)30分當(dāng)乙車走到A地時,甲車距離B地還有84千米,那么A和B兩地距離是多少千米?【分析】首先根據(jù)甲丙相遇走完全程的一半,乙走完全程的即可列出一組甲乙丙速度的關(guān)系式,再根據(jù)丙3小時走一半路程,乙3.5小時走完全程可以列出乙丙的速度關(guān)系式重點(diǎn)求出甲乙的速度比,根據(jù)甲車距離B地84千米,求得對應(yīng)的份數(shù),即可求出所求【解答】解：根據(jù)題意可知,當(dāng)甲丙相遇時走完全程的一半,乙走完全程的,即（V甲+V丙）V乙再根據(jù)丙3小時走了全程的一半,乙3

13、.5小時走完全程,即6V丙3.5V乙根據(jù)得：V甲：V乙3：4所以甲乙路程之比就是3：4一份量是：84（43）84千米全程是：844336千米故答案為：336千米10（10分）將2015個分?jǐn)?shù),化成小數(shù),共有多少個有限小數(shù)?【分析】先找出分母中只有因數(shù)2,5,同時有2和5的數(shù)的個數(shù),即可得出結(jié)論【解答】解：在2015個分?jǐn)?shù),的分母中,只有因數(shù)2的數(shù)有2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024共10個數(shù),只有因數(shù)5的數(shù)有5,25,125,625共4個數(shù),既有因數(shù)2,也有因數(shù)5的數(shù)有10,20,40,50,80,100,160,200,250,320,400,500,640,80

14、0,1000,1250,1280,1600,2000共19個數(shù),所以總有10+4+1933個有限小數(shù),答：共有33個有限小數(shù)11（10分）a,b 為正整數(shù),小數(shù)點(diǎn)后第3位經(jīng)四舍五入后,式子+1.51,求a+b?【分析】根據(jù)條件,代入驗(yàn)證,求出a,b,即可得出結(jié)論【解答】解：由題意,a7,則取b1,+1.4+0.1431.54,不符合題意;a6,則取b3,+1.2+0.4291.63,不符合題意;a5,則取b4,+1+0.5711.57,不符合題意; a4,則取b5,+0.8+0.7141.51,符合題意; a+b912（10分）已知算式abcdaade,式中不同字母代表不同的數(shù)碼,問四位數(shù)ab

15、cd最大值是多少?【分析】aadeabcd中,de的個位數(shù)仍為d（19）1（19）（2、4、6、8）6（12、24、36、48）5（3、5、7、9）（15、25、35、45）【解答】解：從上面的分析可以看出e可能為1、6、（3、5、7、9）設(shè)：e為9,希望得最大值,則d為5從a（19）檢測,得115910352259202533593015通過檢測,abcd的最大值為3015答：這個四位數(shù)最大是3015三、解答下列各題（每題15分,共30分,要求寫出詳細(xì)過程）13（15分）在圖中,ABCD是平行四邊形,F在AD上,AEF的面積8cm2,DEF的面積12cm2,四邊形BCDF的面積72cm2,求

16、出CDE的面積?【分析】連接BD（如下圖）,若AEF以AF為底、EFD以FD為底,他們的高相等,則底邊比等于面積比,可以求出AF：DF2：3;若ABF、BFD分別以AF、FD為底,他們高相同,則SABF0.2SABCD、而SBDF0.6SABD0.3SABCD;SBCDFSBFD+SBCD,求出SABCD;由SABF0.2SABCD,求出SABF;,根據(jù)SAEBSABFSAEF,可以SAEB;SAEB與SECD之和為平行四邊形面積的一半,可以求出SECD【解答】解：連接BD（如上圖）,根據(jù)AEF的面積8cm2,DEF的面積12cm2,求出AF：DF8：122：3;SBCDFSBFD+SBCD0.5SABCD+0.3SABCD0.8SABCD72,所以：SABCD90;SABF0.2SABCD18,SABESABFSAEF10;SABE+SECD0.5SABCD45;故SECD45答：SECD的面積為45cm214（15分）將530本書分給48名學(xué)生,至少有幾名學(xué)生分到的數(shù)量相同?【分析】若48名學(xué)生分到的數(shù)量互不相同,則至少要：0+1+2+3+471128530,不滿足條件;若只有2名學(xué)生分到的書數(shù)量相同,則至少要：（0+1+2+