選修系列數(shù)列和差分市公開課獲獎課件

1、數(shù)列與差分第1頁第1頁1.引言數(shù)列是描述客觀世界主要數(shù)學模型差分是描述數(shù)列改變主要工具客觀世界許多變量本身就是離散:如酵母細胞分裂,股市開盤或收盤價按日記錄等.現(xiàn)實世界中存在著大量連續(xù)函數(shù)關系難以用解析式表示:如河流水位高下作為時間函數(shù)等.函數(shù)關系盡管能用解析式表示,但其解析式比較復雜:如捕食與被捕食種群數(shù)變化、接觸性傳染病傳播等. 在不阻礙研究結(jié)果有效性前提下,為了以便,人們也愿意把對連續(xù)函數(shù)研究轉(zhuǎn)化為對數(shù)列研究.而計算機技術發(fā)展,更為數(shù)列研究提供了以便,使數(shù)列模型應用也日趨廣泛.第2頁第2頁1.2.差分是描述數(shù)列改變主要工具第3頁第3頁差分與數(shù)列通項關系1:對數(shù)列an = 2,2,2,2,

2、2,其一階差分an=0,0,0,0.普通地,常數(shù)列一階差分為各項是零常數(shù)列(注意:每施行一次差分運算,所得新數(shù)列總項數(shù)都會減少1)關系2:對數(shù)列an = 3n-5 = -2,1,4,7,10,13,16,19,其一階差分an= 3,3,3,3,3,3,3為常數(shù)列,其通項an=3n-5是一個線性函數(shù).普通地,當數(shù)列an是由一個線性函數(shù)定義等差數(shù)列時,其一階差分為常數(shù)列.第4頁第4頁關系3:對數(shù)列an = n2-3n+5 = 3,3,5,9,15,23,其一階差分an= 0,2,4,6,8,其二階差分2an=2,2,2,2為常數(shù)列,其通項an= n2-3n+5是一個二次函數(shù).普通地,當數(shù)列an是由

3、一個二次函數(shù)定義時,其二階差分為常數(shù)列.關系4:對數(shù)列an = 3n = 3,9,27,81,243,729,2187,其一階差分an=6,18,54,162,486,1458,二階差分2an= 12,36,108,324,972都不是常數(shù)列,而都是公比為3等比數(shù)列.普通地,當數(shù)列an是由一個指數(shù)函數(shù)定義時,其一階、二階差分都是以該指數(shù)函數(shù)底數(shù)為公比等比數(shù)列.第5頁第5頁差分對數(shù)列描述一階差分對數(shù)列增減描述第6頁第6頁一階差分對數(shù)列極值描述第7頁第7頁二階差分對數(shù)列圖形凸凹描述第8頁第8頁第9頁第9頁例2.結(jié)構數(shù)列n2-4n+3前7個值a1 a7差分表,并據(jù)該表擬定數(shù)列在何處增長、何處減少、何

4、處達到相對極大或極小、圖像上凸或下凸.第10頁第10頁解:結(jié)構差分表下列.據(jù)差分表:因a10,數(shù)列在n =2,3,6處為增;a10,故在n=2處達到相對極小;對這7項而言,數(shù)列無相對極大;由于二階差分2an0,故數(shù)列圖像是下凸.n1234567an0-10381524 an-1135792 an22222第11頁第11頁2.差分方程相關基本概念第12頁第12頁第13頁第13頁第14頁第14頁第15頁第15頁第16頁第16頁3.差分方程(一階)解、通解與特解差分方程解是一個數(shù)列.當把它代入差分方程時,得到一個恒等式,它滿足任何一個初始值.差分方程通解差分方程特解 比如:用數(shù)列xn = (1.05

5、)nc(c為任意常數(shù))代入差分方程xn+1= xn+0.05xn,有:(1.05)n+1c = (1.05)nc +0.05(1.05)nc,這是一個恒等式.稱數(shù)列xn = (1.05)nc是差分方程xn+1= xn+0.05xn解. 我們注意到,上式解中含有一個常數(shù)c,并且方程是一階.普通地,假如差分方程解中含有與方程階數(shù)相同個數(shù)互相獨立任意常數(shù),就稱它為差分方程通解.按此定義,xn= (1,05)nc也是一階差分方程xn+1= xn+0.05xn通解. 對上式通解xn= (1.05)nc,若給定初值x0=1000,代入通解得:1000= (1.05)0c,求得常數(shù)c =1000,稱xn=

6、(1.05)n1000為方程對應于初值x0=1000特解.注意:這么求出特解是用解析式表示. 顯然,對應于不同初值,方程有不同特解,而求特解只要將給定初始值代入通解求出待定常數(shù)即可.第17頁第17頁迭代法對差分方程(組)來說,迭代法是用于求特解主要辦法.重點:對一階齊次線性方程組,在給定初始值條件下,能夠利用某種迭代程序在計算機上以便地求得它數(shù)值解序列,并依據(jù)數(shù)值解序列掌握解改變趨勢.此點在新課標該專項中作重點要求. 用方程含未知數(shù)列項相同個數(shù)初始值代入方程(組)求得第一個(組)數(shù)值,將所得第一個(組)數(shù)值又代入方程(組)求得第二個(組)數(shù)值,將此過程不斷重復,求得在該初始條件下滿足方程(組)

7、特解.第18頁第18頁例3:第19頁第19頁例4:第20頁第20頁例5:第21頁第21頁第22頁第22頁3.1.求一階齊次差分方程xn+1=kxn(3)通解第23頁第23頁3.2.摸索一階非齊次差分方程xn+1=kxn+b通解結(jié)構第24頁第24頁3.3.求一階非齊次差分方程(1)通解第25頁第25頁第26頁第26頁第27頁第27頁第28頁第28頁第29頁第29頁第30頁第30頁第31頁第31頁第32頁第32頁第33頁第33頁4.差分方程在數(shù)學建模中一些應用差分方程是描述客觀事物數(shù)量關系一個主要數(shù)學模型.在科學研究和生產(chǎn)實際中,經(jīng)常碰處處理對象涉及變量(如時間)是連續(xù),但是從建模目的考慮,把連續(xù)

8、變量離散化更為適當,將連續(xù)變量作離散化處理,從而將連續(xù)模型(微分方程)化為離散型(差分方程)問題.第34頁第34頁在實際建立差分方程模型時,往往要將改變過程進行劃分,劃分成若干時段,依據(jù)要處理問題目的,對每個時段引入相應變量或向量,然后通過適當假設,依據(jù)事物系統(tǒng)實際改變規(guī)律和數(shù)量互相關系,建立每兩個相鄰時段或幾種相鄰時段或者相隔某幾種時段量之間改變規(guī)律和運算關系,從而建立起差分方程.或者對事物系統(tǒng)進行劃分,劃分成若干子系統(tǒng),在每個子系統(tǒng)中引入恰當變量或向量,然后分析建立起子過程間這種量關系等式,從而建立起差分方程. 第35頁第35頁在這里,過程時段或子系統(tǒng)劃分方式是非常非常主要,應該結(jié)合已經(jīng)有

9、信息和分析條件,從各種可選方式中挑選易于分析、針對性強劃分,同時,對劃分后時段或子過程,引入哪些變量或向量都是至關主要,要仔細分析、選擇,盡也許擴大對過程或系統(tǒng)數(shù)量感知范圍,包含對已經(jīng)有、已知若干量進行結(jié)合運算、取最運算等處理方式,目標是建立起簡練、深刻、易于求解分析差分方程.在下面所舉實際例子中,這方面內(nèi)容應該重點體會. 第36頁第36頁4.1.金融問題差分方程模型1.設既有一筆p萬元商業(yè)貸款,假如貸款期是n年,年利率是r1,今采用月還款方式逐月歸還,建立數(shù)學模型計算每月還款數(shù)是多少? 第37頁第37頁模型分析: 在整個還款過程中,每月還款數(shù)是固定,而待還款數(shù)是改變,找出這個變量改變規(guī)律是處

10、理問題關鍵.模型假設:模型建立:第38頁第38頁模型求解: 第39頁第39頁模型進一步拓廣分析: 第40頁第40頁2.養(yǎng)老保險模型問題:養(yǎng)老保險是保險中一個主要險種,保險企業(yè)將提供不同保險方案以供選擇,分析保險品種實際投資價值.即分析假如已知所交保費和保險收入,按年或按月計算實際利率是多少,也就是說,保險企業(yè)需要用你保費實際取得最少多少利潤才干確保兌現(xiàn)你保險收益.下面應用實例中,第41頁第41頁模型舉例分析:假設每月交費p元至60歲開始領取養(yǎng)老金,男子若25歲起投保,屆時養(yǎng)老金每月2282元;如35歲起保,屆時月養(yǎng)老金1056元;試求出保險公司為了兌現(xiàn)保險責任,每月至少應有多少投資收益率,這也

11、就是投保人實際收益率.第42頁第42頁模型假設:這應當是一個過程分析模型問題.過程結(jié)果在條件一定期是擬定.整個過程能夠按月進行劃分,由于交費是按月進行. 假設:設投保人到第k月止所交保費及收益累計總額為Fk;設r為每月收益率;記p、q分別為60歲前每月交費數(shù)和60歲后每月領取數(shù);記N為停交保險費月份,M為停領養(yǎng)老金月份.第43頁第43頁模型建立:在整個過程中,離散變量Fk改變規(guī)律滿足:在這里Fk事實上表示從保險人開始交納保險費以后,保險人帳戶上資金數(shù)值.我們關懷是,在第M個月時,FM能否為非負數(shù).假如為正數(shù),則表明保險公司取得收益;如為負數(shù),則表明保險公司出現(xiàn)虧損;當為零時,表明保險公司最后一

12、無所有,所有收益全歸為保險人.第44頁第44頁從這個分析來看,引入變量Fk,較好地刻畫了整個過程中資金改變關系,尤其是引入收益率r,即使它不是我們所求保險人收益率,但是從問題系統(tǒng)環(huán)境中來看,必定要考慮引入另一對象:保險公司經(jīng)營效益,以此作為整個過程中各種量改變表現(xiàn)基礎. 第45頁第45頁模型計算:第46頁第46頁4.2.人口控制與預測模型背景分析:人口數(shù)量發(fā)展改變規(guī)律及特性能夠用偏微分方程理論形式來表現(xiàn)和模擬.但在實際應用中不是很以便,需要建立離散化模型,以便于分析、應用.人口數(shù)量改變?nèi)Q于諸多原因,比如:女性生育率、死亡率、性別比、人口基數(shù)等.試建立離散數(shù)學模型來表現(xiàn)人口數(shù)量改變規(guī)律. 第47頁第47頁模型假設:第48頁第48頁第49頁第49頁模型建立:第50頁第50頁第51頁第51頁第52頁第52頁模型分析:第53頁第53頁4.3.蛛網(wǎng)模型經(jīng)濟背景與問題: 在自由競爭市場經(jīng)濟中,商品價格是由市場上該商品供應量決定,供應量越大,價格就越低.另一方面,生產(chǎn)