數(shù)學(xué)物理方程學(xué)習(xí)者的福利課件

1、主講教師： 田德生 場(chǎng)論與數(shù)學(xué)物理方程 參考書(shū)目同濟(jì)大學(xué). 高等數(shù)學(xué)（第六版）. 高等教育出版社謝樹(shù)藝. 矢量分析與場(chǎng)論. 高等教育出版社王元明. 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù). 高等教育出版社楊華軍. 數(shù)學(xué)物理方法與計(jì)算機(jī)仿真，電子工業(yè)出版社0 預(yù)備知識(shí) I場(chǎng)如果在全部空間或部分空間（某區(qū)域）中的每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，就稱在這個(gè)區(qū)域確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)。數(shù)量場(chǎng)矢量場(chǎng)穩(wěn)定場(chǎng)不穩(wěn)定場(chǎng)*0 預(yù)備知識(shí)1場(chǎng)的概念（高數(shù)2 P107） 2.場(chǎng)的記法數(shù)量場(chǎng)：*0 預(yù)備知識(shí)矢量場(chǎng)：例1 設(shè)點(diǎn)電荷q位于坐標(biāo)原點(diǎn)，則在其周?chē)稽c(diǎn)M(x,y,z)處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為：Th1 如果u=u(x,y,z)在

2、M0點(diǎn)處可微,則u在M0沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在, 且有答案:*0 預(yù)備知識(shí)例2 求 在點(diǎn)M(1,0,1)處沿方向的方向?qū)?shù).解:先求在點(diǎn)M(2,3)處沿曲線y=x2-1向x增大一方的方向余弦.*0 預(yù)備知識(shí)例3 求u=3x2y-y2在點(diǎn)M(2,3)處沿曲線y=x2-1向x增大一方的方向?qū)?shù).曲線y=x2-1的向量形式：*0 預(yù)備知識(shí)例4 求u=xy2+yz3在點(diǎn)M(2,-1,1)處的梯度和沿梯度方向的方向?qū)?shù).答案:例5 求a,b,c, 使函數(shù)u=axy2+byz+cy2z3在點(diǎn)M(1,2,-1)處平行于z軸方向的方向?qū)?shù)取得最大值32.答案:a=3,b=12,c=-4,或a=-3,b=-

3、12,c=4 III矢量場(chǎng)的散度與旋度1散度*0 預(yù)備知識(shí)矢量場(chǎng)A=(P,Q,R)在點(diǎn)M(x,y,z)的散度定義為例6 在例1中，電位移矢量, 求divD.答案：02 旋度*0 預(yù)備知識(shí)矢量場(chǎng)A=(P,Q,R)在點(diǎn)M(x,y,z)的旋度定義為復(fù)習(xí)向量乘積（數(shù)量積，向量積）Th2 對(duì)于單連通域中的矢量場(chǎng)A為無(wú)旋場(chǎng)的充要條件為：A為有勢(shì)場(chǎng).定義 若 ，就稱A為無(wú)旋場(chǎng). IV 其他1 Green公式，Gauss公式*0 預(yù)備知識(shí)3 Fourier級(jí)數(shù)（高數(shù)2）2 一階二階線性微分方程求解（高數(shù)1）三角函數(shù)系的正交性，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)的系數(shù)如何確定，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)的存在定理數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)

4、 課程的內(nèi)容三種方程、 四種求解方法、 二個(gè)特殊函數(shù)分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)、拉普拉斯方程貝賽爾函數(shù)、勒讓德函數(shù) 數(shù)學(xué)物理方程定義描述某種物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)微分方程。第一章 概論1.1 基本概念微分方程:含有自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程常微分方程：未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程.偏微分方程: 未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程*1.1.1 微分方程簡(jiǎn)介例如都是偏微分方程,1 基本概念偏微分方程的階: 方程中未知函數(shù)的偏導(dǎo)的最高階數(shù)是二階偏微分方程是三階偏微分方程.例:1 基本概念線性偏微分方程: 對(duì)于未知函數(shù)及其所有偏導(dǎo)數(shù)來(lái)說(shuō)都是線性的，且方程中的系數(shù)都

5、僅依賴于自變量（或者為常數(shù)）非線性偏微分方程:不是線性的偏微分方程例是二階線性偏微分方程是非線性偏微分方程1 基本概念例1.1.1 求函數(shù)u=u(x,y), 滿足ux=y.解 對(duì)方程兩邊求x的積分，得u=xy+f(y)這里f為任意可微函數(shù).這個(gè)函數(shù)就是方程的通解.1 基本概念例1.1.2 求方程uxy=2的通解.解 對(duì)方程兩邊依次求y,x的積分，得u=2xy+h(x)+g(y)這就是方程的通解, 其中f,g為任意可微函數(shù).1.1.2定解條件與定解問(wèn)題特定條件準(zhǔn)確說(shuō)明對(duì)象的初始狀態(tài)以及邊界上的約束條件-定解條件 用以說(shuō)明初始狀態(tài)的條件稱為“初始條件”；用以說(shuō)明邊界上約束情況的條件稱為“邊界條件”

6、。偏微分方程特定條件描述物理現(xiàn)象：初始條件弦振動(dòng)問(wèn)題：初始條件是指弦在開(kāi)始振動(dòng)時(shí)刻的位移和速度。如果以 f(x) 和 g(x) 分別表示弦的初位移和初速度，則初始條件可以表達(dá)為初始條件用以給出具體物理現(xiàn)象的初始狀態(tài)。熱傳導(dǎo)問(wèn)題：初始條件是指開(kāi)始傳熱的時(shí)刻物體溫度的分布情況。若以 f(M) 表示 t =0 時(shí)物體內(nèi)一點(diǎn)M的溫度，則熱傳導(dǎo)問(wèn)題的初始條件可以表示為泊松方程和拉普拉斯方程：描述穩(wěn)恒狀態(tài)，與時(shí)間無(wú)關(guān)，所以不提初始條件。邊界條件邊界條件是給出具體物理現(xiàn)象在邊界上所處的物理情況。根據(jù)邊界條件數(shù)學(xué)表達(dá)方式的不同，一般把邊界條件分為三類。設(shè) u 是未知函數(shù)，S 為邊界，則分類如下：第一類邊界條件

7、：直接給出 u 在邊界 S 上的值第二類邊界條件：給出 u 沿 S 的外法線方向的方向?qū)?shù) 第三類邊界條件：給出 u 以及 的線性組合在邊界的值，即1.1.3 定解問(wèn)題的適定性 一個(gè)定解問(wèn)題的解如果滿足解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性，則稱這個(gè)定解問(wèn)題是適定的。 定解問(wèn)題的適定性(Well-posedness)包含以下幾個(gè)方面：1）解的存在性，即所提的定解問(wèn)題是否有解；3）解的穩(wěn)定性，即看定解問(wèn)題的解是否連續(xù)依賴定解條件。也就是說(shuō)，當(dāng)定解條件有微小變動(dòng)時(shí)，引起解的變動(dòng)是否足夠小。若是，則稱解是穩(wěn)定的，否則稱解是不穩(wěn)定的。2）解的唯一性，即所提的定解問(wèn)題是否有唯一的解； 1.1.4線性方程的疊加原理兩

8、個(gè)自變量二階線性偏微分方程的一般形式一般二階線性偏微分方程（n個(gè)自變量）稱形如的符號(hào)為微分算子。二階偏微分方程可簡(jiǎn)寫(xiě)為定解條件可簡(jiǎn)寫(xiě)為例 非齊次波動(dòng)方程的Cauchy問(wèn)題的解等于問(wèn)題(I)和問(wèn)題(II)的解之和疊加原理2 若iu滿足線性方程 iifuL=，, 2,1=i （或定解條件iiguB=, 若函數(shù)級(jí)數(shù)=1iiiuc在W內(nèi)收收，并且L,B可逐項(xiàng)作用, 則和函數(shù) 滿足方程 =1iiifcuL（或定解條件=1iiigcuB）。 1.2數(shù)學(xué)模型的建立根據(jù)系統(tǒng)邊界所處的物理?xiàng)l件和初始狀態(tài)列出定解條件；主要內(nèi)容從不同的物理模型出發(fā)，建立三類典型方程；提出相應(yīng)的定解問(wèn)題導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程的一般方法：

9、確定所研究的物理量； 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系； 劃出研究單元，根據(jù)物理定律和實(shí)驗(yàn)資料寫(xiě)出 該單元與鄰近單元的相互作用，分析這種相互 作用在一個(gè)短時(shí)間內(nèi)對(duì)所研究物理量的影響， 表達(dá)為數(shù)學(xué)式； 簡(jiǎn)化整理，得到方程。 例1. 弦的微小橫振動(dòng) 設(shè)有一條拉緊的弦，長(zhǎng)為l，平衡位置與x軸的正半軸重合，且一端與原點(diǎn)重合,確定當(dāng)弦受垂直外力作用后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。假設(shè)與結(jié)論：（1）橫振動(dòng) 坐標(biāo)系oxu，位移u(x,t) x1x2T(x1) T(x2)ux （2）微小振動(dòng)1.2.1波動(dòng)問(wèn)題（3）弦柔軟、均勻. 張力 沿切線方向 , 密度 為常數(shù)；建立方程： 取微元 ，研究在水平方向和鉛垂方向 在不受外力的情況下的運(yùn)動(dòng)情況。

10、牛頓運(yùn)動(dòng)定律橫向：縱向：其中：由橫向受力其中：其中：一維波動(dòng)方程令：-非齊次方程自由項(xiàng)-齊次方程忽略重力作用：注1：如果弦上還受到一個(gè)與振動(dòng)方向相同的外力，且外力密度為F(x,t)，外力可以是壓力、重力、阻力，則弦的強(qiáng)迫振動(dòng)方程為例 2. 傳輸線方程 研究高頻傳輸線內(nèi)電流流動(dòng)規(guī)律。待研究物理量: 電流強(qiáng)度 i (x,t),電壓 v (x,t)R 每一回路單位的串聯(lián)電阻,L 每一回路單位的串聯(lián)電感，C 每單位長(zhǎng)度的分路電容，G 每單位長(zhǎng)度的分路電導(dǎo)，Kirchhoff 第一,二定律微分形式兩端對(duì)x微分兩端對(duì)t微分*C相減 傳輸線方程高頻傳輸，G=0, R=0高頻傳輸線方程與一維波動(dòng)方 程 類 似

11、 例3. 聲學(xué)方程 Lapalce算子三維波動(dòng)方程 注2：類似的可導(dǎo)出二維波動(dòng)方程（例如薄膜振動(dòng)）,它的形式為1.2 基本方程的建立 如果空間某物體內(nèi)各點(diǎn)處的溫度不同，則熱量就從溫度較高點(diǎn)處到溫度較低點(diǎn)處流動(dòng)，這種現(xiàn)象叫熱傳導(dǎo)。 考慮物體G 內(nèi)的熱傳導(dǎo)問(wèn)題。函數(shù)u(x,y,z,t) 表示物體G 在位置 M(x,y,z) 以及時(shí)刻 t 的溫度。通過(guò)對(duì)任意一個(gè)小的體積元V內(nèi)的熱平衡問(wèn)題的研究，建立方程。假設(shè)：假定物體內(nèi)部沒(méi)有熱源，物體的熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)，即是各向同性的，物體的密度以及比熱是常數(shù)。熱場(chǎng) 例 4. 熱傳導(dǎo)方程1.2.2 輸運(yùn)問(wèn)題熱場(chǎng)傅立葉實(shí)驗(yàn)定律:物體在無(wú)窮小時(shí)段dt內(nèi)沿法線方向n流過(guò)

12、一個(gè)無(wú)窮小面積dS的熱量dQ與時(shí)間dt,面積dS,物體溫度沿曲面dS法線方向的方向?qū)?shù)成正比.從時(shí)刻 到時(shí)刻 經(jīng)過(guò)曲面S 流入?yún)^(qū)域V 的熱量為高斯公式流入熱量使物體內(nèi)溫度變化，在時(shí)間間隔 中物體溫度從 變化到 所需吸收熱量為比熱密度由于所考察的物體內(nèi)部沒(méi)有熱源, 根據(jù)能量守恒定律可得第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)由于時(shí)間 , 和區(qū)域 V 都是任意選取的,并且被積函數(shù)連續(xù), 于是得(非均勻的各向同性體的熱傳導(dǎo)方程)對(duì)于均勻的各向同性物體， k為常數(shù)，記則得齊次熱傳導(dǎo)方程:三維熱傳導(dǎo)方程*若物體內(nèi)部有熱源 F(x,y,z,t), 則熱傳導(dǎo)方程為其中二維熱傳導(dǎo)方程 維熱傳導(dǎo)方程 三維熱傳導(dǎo)方程 在

13、上述熱傳導(dǎo)方程中, 描述空間坐標(biāo)的獨(dú)立變量為 , 所以它們又稱為三維熱傳導(dǎo)方程. 當(dāng)考察的物體是均勻細(xì)桿時(shí), 如果它的側(cè)面絕熱且在同一截面上的溫度分布相同, 則可以得到一維熱傳導(dǎo)方程 類似, 如果考慮一個(gè)薄片的熱傳導(dǎo), 并且薄片的側(cè)面絕熱, 可以得到二維熱傳導(dǎo)方程 當(dāng)我們考察氣體的擴(kuò)散,液體的滲透, 半導(dǎo)體材料中的雜質(zhì)擴(kuò)散等物理過(guò)程時(shí), 若用 表示所擴(kuò)散物質(zhì)的濃度, 則濃度所滿足的方程形式和熱傳導(dǎo)方程完全相同. 所以熱傳導(dǎo)方程也叫擴(kuò)散方程.1.1 基本方程的建立 例5 靜電場(chǎng)的勢(shì)方程 在區(qū)域 內(nèi), 靜電場(chǎng)強(qiáng)度為 , 介電常數(shù) , 電荷密度為 ,求靜電場(chǎng)的勢(shì)滿足的方程即1.2.3穩(wěn)定場(chǎng)問(wèn)題奧氏公

14、式故故即 Laplace方程 Poisson方程當(dāng)內(nèi)沒(méi)有電荷時(shí)靜電場(chǎng)是有勢(shì)場(chǎng)，故存在勢(shì)函數(shù)u,有波動(dòng)方程 聲波、電磁波、桿的振動(dòng)；熱傳導(dǎo)方程 物質(zhì)擴(kuò)散時(shí)的濃度變化規(guī)律, 長(zhǎng)海峽中潮汐波的運(yùn)動(dòng)， 土壤力學(xué)中的滲透方程;Laplace方程 穩(wěn)定的濃度分布, 靜電場(chǎng)的電位, 流體的勢(shì).總 結(jié)：1.2 基本方程的建立一維齊次波方程：一維齊次熱方程：二維Laplace方程：1.1 基本方程的建立1.2.4 三類問(wèn)題的定解條件初始位移、初始速度分別為 ,稱波動(dòng)方程的初值條件.1 波動(dòng)問(wèn)題(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。 波動(dòng)方程的邊界條件(1)固定端：對(duì)于兩端固定的弦的橫振動(dòng)，其

15、為：或：當(dāng)該點(diǎn)處的張力沿垂直x 軸的方向的分量是 t 的已知函數(shù) 時(shí)，有*(3) 彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為k 的彈簧支承?；虿▌?dòng)方程的混合問(wèn)題2 熱傳導(dǎo)方程的定解問(wèn)題熱傳導(dǎo)方程的初值條件熱傳導(dǎo)方程的邊界條件如果物體和周?chē)橘|(zhì)處于絕熱狀態(tài)，即在表面上熱量的流速始終為0，則由方程推導(dǎo)過(guò)程可知，有邊界條件當(dāng)物體與外界接觸的表面 S 上各單位面積在單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)的熱量已知時(shí)，由傅立葉定律，在 S 上有 ，這表明溫度沿外法線方向的方向?qū)?shù)是已知的，故邊界條件可以表示為*第三類邊界條件 狄氏問(wèn)題諾伊曼問(wèn)題羅賓問(wèn)題3 穩(wěn)定場(chǎng)問(wèn)題的定解條件1.3 方程的分類及特征的概念一般線性二階偏微分方程（n個(gè)

16、自變量）兩個(gè)自變量二階線性偏微分方程的一般形式二階線性偏微分方程的分類一、方程的分類 一般形式其中u(x,y)是未知函數(shù)，都是x,y的已知函數(shù)，且 不同時(shí)為零。稱 為方程的判別式。定義:(1)若在(x0,y0) 處 稱方程（1）在點(diǎn) (x0,y0)處為 雙曲型方程； (2)若在(x0,y0)處 稱方程（1）在點(diǎn)(x0,y0)處為 拋物型方程； (3)若在(x0,y0)處 稱方程（1）在點(diǎn)(x0,y0) 處為 橢圓型方程。例：波動(dòng)方程 雙曲型 熱傳導(dǎo)方程 拋物型 位勢(shì)方程 橢圓型二、方程的標(biāo)準(zhǔn)形式定義：方程 分別稱為 雙曲型方程的第一標(biāo)準(zhǔn)形和第二標(biāo)準(zhǔn)形。 方程 稱為拋物型方程的標(biāo)準(zhǔn)形。 方程 稱

17、為橢圓型方程的標(biāo)準(zhǔn)形。三、方程的化簡(jiǎn)第一步：寫(xiě)出判別式 ，根據(jù)判別式判斷方程的類型；第二步：根據(jù)方程（1）寫(xiě)如下方程 稱為方程（1）的特征方程。方程（2）可分解為兩個(gè)一次方程 稱為特征方程，其解為特征線。設(shè)這兩個(gè)特征線方程的特征線為令 第三步(1)當(dāng) 時(shí)，令 以 為新變量方程（1）化為標(biāo)準(zhǔn)形 其中A,B,C,D都是 的已知函數(shù)。 (2)當(dāng) 時(shí)，特征線 令 其中 是與 線性無(wú)關(guān)的任意函數(shù)，這樣以 為新變量方程(1)化為標(biāo)準(zhǔn)形 其中A,B,C,D都是 的已知函數(shù)。(3)當(dāng) 時(shí)，令 以 為新變量方程（1）化為標(biāo)準(zhǔn)形其中A,B,C,D都是 的已知函數(shù)。例1.3 確定方程3uxx+10uxy+3uyy=0的類型，并化為標(biāo)準(zhǔn)形式解 方程的判別式160, 故方程為雙曲型. 特征方程為: 解得特征曲