二次函數(shù)定義圖像性質(zhì)

1、二次函數(shù)定義、圖像及性質(zhì)二次函數(shù)定義、圖像及性質(zhì)二次函數(shù)定義、圖像及性質(zhì)講課內(nèi)容二次函數(shù)的定義、圖像及性質(zhì)講課老師XX老師講課時(shí)間2018.11.1618:30-20:30講課時(shí)長4學(xué)時(shí)學(xué)生姓名xx年級(jí)九年級(jí)學(xué)校xx下節(jié)內(nèi)容二次函數(shù)的實(shí)踐與研究二次函數(shù)的定義、圖像及性質(zhì)一、基本見解：1二次函數(shù)的見解：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常數(shù)，a0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要重申：和一元二次方程近似，二次項(xiàng)系數(shù)a0，而b，c能夠?yàn)榱愣魏瘮?shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)二次函數(shù)yax2bxc的構(gòu)造特色：等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是對(duì)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2a，b，c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是

2、一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)二、基本形式1.二次函數(shù)基本形式：yax2的性質(zhì)：的絕對(duì)值越大，拋物線的張口越小。a的符號(hào)張口方向極點(diǎn)坐對(duì)稱性質(zhì)標(biāo)軸x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨a0向上0，0y軸x的增大而減小；x0時(shí)，y有最小值0 x0時(shí)，y隨x的增大而減??；x0時(shí)，y隨a0向下0，0y軸x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值02.yax2c的性質(zhì)：（上加下減）第-1-頁共9頁a的符號(hào)張口方向極點(diǎn)坐對(duì)稱性質(zhì)標(biāo)軸x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨a0向上0，cy軸x的增大而減??；x0時(shí)，y有最小值cx0時(shí)，y隨x的增大而減小；x0時(shí)，y隨a0向下0，cy軸x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值c

3、yaxh2的性質(zhì)：（左加右減）a的符號(hào)張口方向極點(diǎn)坐對(duì)稱性質(zhì)標(biāo)軸xh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，ya0向上h，0X=h隨x的增大而減小；xh時(shí)，y有最小值0 xh時(shí)，y隨x的增大而減??；xh時(shí)，ya0向下h，0X=h隨x的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值04.yaxh2k的性質(zhì)：a的符號(hào)張口方向極點(diǎn)坐對(duì)稱性質(zhì)標(biāo)軸xh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，ya0向上h，kX=h隨x的增大而減?。粁h時(shí)，y有最小值kxh時(shí)，y隨x的增大而減??；xh時(shí)，ya0向下h，kX=h隨x的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值k三、二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟：方法1：將拋物線分析式轉(zhuǎn)變?yōu)闃O點(diǎn)式y(tǒng)axh2h，k；k，

4、確立其極點(diǎn)坐標(biāo)保持拋物線yax2的形狀不變，將其極點(diǎn)平移到h，k處，詳細(xì)平移方法以下：第-2-頁共9頁向上(k0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)】平移|k|個(gè)單位y=a(x-h)2+k平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”歸納成八個(gè)字“左加右減，h上加下減”方法2：yax2bxc沿y軸平移:向上（下）平移m個(gè)單位，yax2bxc變?yōu)閥ax2bxcm（或yax2bxcm）yax2bxc沿軸平移：向左（右）平移m個(gè)單位，yax2bxc變?yōu)閥a(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c）四、二次函數(shù)y2k與

5、yax2c的比較axhbx從分析式上看，yaxh2k與yax2bxc是兩種不同樣的表達(dá)形式，后者經(jīng)過配方能夠得2b2b，k2到前者，即yaxb4ac，此中h4acb2a4a2a4a五、二次函數(shù)yax2bxc圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)yax2bxc化為極點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)2k，確立其開口方向、對(duì)稱軸及極點(diǎn)坐標(biāo)，此后在對(duì)稱軸雙側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)繪圖.一般我們采用的五點(diǎn)為：極點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)0，c、以及0，c對(duì)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)2h，c、與x軸的交點(diǎn)x1，0，x2，0（若與x軸沒有交點(diǎn)，則取兩組對(duì)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：張口方向，對(duì)稱軸，極點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交

6、點(diǎn).六、二次函數(shù)yax2bxc的性質(zhì)1.當(dāng)a0時(shí)，拋物線張口向上，對(duì)稱軸為xb，極點(diǎn)坐標(biāo)為b，4acb22a2a4a當(dāng)xb時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)xb時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)xb時(shí)，y有2a2a2a第-3-頁共9頁最小值4acb24a2.當(dāng)a0時(shí)，拋物線張口向下，對(duì)稱軸為xb，極點(diǎn)坐標(biāo)為b，4acb2當(dāng)xb時(shí)，2a2a4a2ay隨x的增大而增大；當(dāng)xb時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)xb時(shí)，y有最大值4acb22a2a4a七、二次函數(shù)分析式的表示方法1.一般式：yax2bxc（a，b，c為常數(shù)，a0）；2.極點(diǎn)式：ya(xh)2k（a，h，k為常數(shù)，a0）；3.兩根式：ya(xx1)(xx2)（

7、a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的分析式都能夠化成一般式或極點(diǎn)式，但其實(shí)不是全部的二次函數(shù)都能夠?qū)懗山稽c(diǎn)式，20時(shí)，拋物線的分析式才能夠用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)只有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b4ac分析式的這三種形式能夠互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系二次項(xiàng)系數(shù)a二次函數(shù)yax2bxc中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，明顯a0當(dāng)a0時(shí)，拋物線張口向上，a的值越大，張口越小，反之a(chǎn)的值越小，張口越大；當(dāng)a0時(shí)，拋物線張口向下，a的值越小，張口越小，反之a(chǎn)的值越大，張口越大總結(jié)起來，a決定了拋物線張口的大小和方向，a的正負(fù)決定張口方向，a的大小決定張口的大小一次項(xiàng)系數(shù)b在

8、二次項(xiàng)系數(shù)a確立的前提下，b決定了拋物線的對(duì)稱軸在a0的前提下，當(dāng)b0時(shí)，b0，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸左邊；2a當(dāng)b0時(shí)，b0，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；2a當(dāng)b0時(shí)，b0，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的右邊2a在a0的前提下，結(jié)論恰好與上述相反，即當(dāng)b0時(shí)，b0，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸右邊；2a當(dāng)b0時(shí)，b0，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；2a當(dāng)b0時(shí)，b0，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的左邊2a總結(jié)起來，在a確立的前提下，b決定了拋物線對(duì)稱軸的地點(diǎn)ab的符號(hào)的判斷：對(duì)稱軸xb在y軸左邊則ab0，在y軸的右邊則ab0，歸納的說2a第-4-頁共9頁就是“左同右異”總結(jié)：常數(shù)項(xiàng)c當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上

9、方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的地點(diǎn)總之，只需a，b，c都確立，那么這條拋物線就是獨(dú)一確立的二次函數(shù)分析式確實(shí)定：依據(jù)已知條件確立二次函數(shù)分析式，平常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的分析式必然依據(jù)題目的特色，選擇適合的形式，才能使解題簡單一般來說，有以下幾種狀況：已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般采用一般式；已知拋物線極點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（小）值，一般采用極點(diǎn)式；已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般采用兩根式；已

10、知拋物線上縱坐標(biāo)同樣的兩點(diǎn)，常采用極點(diǎn)式九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種狀況，能夠用一般式或極點(diǎn)式表達(dá)對(duì)于x軸對(duì)稱yax2bxc對(duì)于x軸對(duì)稱后，獲得的分析式是yax2bxc；yaxh2yaxh2；k對(duì)于x軸對(duì)稱后，獲得的分析式是k對(duì)于y軸對(duì)稱yax2bxc對(duì)于y軸對(duì)稱后，獲得的分析式是yax2bxc；yaxh2yaxh2k對(duì)于y軸對(duì)稱后，獲得的分析式是k；對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱yax2bxc對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱后，獲得的分析式是yax2bxc；yaxh2yaxh2k；k對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱后，獲得的分析式是4.對(duì)于極點(diǎn)對(duì)稱（即：拋物線繞極點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180）2yax2bxc對(duì)于極點(diǎn)對(duì)稱后，獲得的分析式是ya

11、x2bxcb；2ayaxh2yaxh2kk對(duì)于極點(diǎn)對(duì)稱后，獲得的分析式是5.對(duì)于點(diǎn)m，n對(duì)稱第-5-頁共9頁22kyaxhk對(duì)于點(diǎn)m，n對(duì)稱后，獲得的分析式是yaxh2m2n依據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，明顯不論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀必然不會(huì)發(fā)生變化，所以a永久不變求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，能夠依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇適合的形式，習(xí)慣上是先確立原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的極點(diǎn)坐標(biāo)及張口方向，再確立其對(duì)稱拋物線的極點(diǎn)坐標(biāo)及張口方向，此后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式十、二次函數(shù)與一元二次方程：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)狀況）：一元二次方程ax2bxc0是二次函數(shù)yax

12、2bxc當(dāng)函數(shù)值y0時(shí)的特別狀況.圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：當(dāng)20時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，此中的x1，x2是一元b4ac二次方程ax2bxc0a0的兩根這兩點(diǎn)間的距離ABx2x1b24ac.a當(dāng)0時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，圖象與x軸沒有交點(diǎn).1當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的上方，不論x為任何實(shí)數(shù)，都有y0；2當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的下方，不論x為任何實(shí)數(shù)，都有y02.拋物線yax2bxc的圖象與y軸必然訂交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)；二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉畏匠蹋磺蠖魏瘮?shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由

13、一般式轉(zhuǎn)變?yōu)闃O點(diǎn)式；依據(jù)圖象的地點(diǎn)判斷二次函數(shù)yax2bxc中a，b，c的符號(hào)，或由二次函數(shù)中a，b，c的符號(hào)判斷圖象的地點(diǎn)，要數(shù)形聯(lián)合；0拋物線與x軸有二次三項(xiàng)式的值可正、一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根兩個(gè)交點(diǎn)可零、可負(fù)0拋物線與x軸只二次三項(xiàng)式的值為非一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根有一個(gè)交點(diǎn)負(fù)0拋物線與x軸無二次三項(xiàng)式的值恒為一元二次方程無實(shí)數(shù)根.交點(diǎn)正二次函數(shù)的圖象對(duì)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，乞降已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式ax2bxc(a0)自己就是所含字母x的二次函數(shù)；下邊以a0時(shí)為例，揭

14、示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：第-6-頁共9頁二次函數(shù)察看要點(diǎn)與常有題型1察看二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出此刻選擇題中，如：已知以x為自變量的二次函數(shù)y(m2)x2m2m2的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，則m的值是2綜合察看正比率、反比率、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特色是在同向來角坐標(biāo)系內(nèi)察看兩個(gè)函數(shù)的圖像，試題種類為選擇題，如：如圖，假如函數(shù)ykxb的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)ykx2bx1的圖像大概是（）yyyy110 xo-1x0 x0-1xABCD3察看用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的分析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻次很高，習(xí)題種類有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：已知一條拋

15、物線經(jīng)過(0,3)，(4,6)兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為x5，求這條拋物線的分析式。34察看用配方法求拋物線的極點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如：已知拋物線23yaxbxc（a0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1、3，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2（1）確立拋物線的分析式；（2）用配方法確立拋物線的張口方向、對(duì)稱軸和極點(diǎn)坐標(biāo).察看代數(shù)與幾何的綜合能力，常有的作為專項(xiàng)壓軸題?！纠}經(jīng)典】由拋物線的地點(diǎn)確立系數(shù)的符號(hào)例1（1）二次函數(shù)yax2bxc的圖像如圖1，則點(diǎn)M(b,c)在（）aA第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限（2）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖2所示，?則以下結(jié)論：

16、a、b同號(hào)；當(dāng)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；4a+b=0；當(dāng)y=-2時(shí)，x的值只好取0.此中正確的個(gè)數(shù)是（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)(1)(2)【談?wù)摗颗鍜佄锞€的地點(diǎn)與系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系，是解決問題的要點(diǎn)2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2，O)、(x1，0)，且1x12，與y軸的正半軸的交點(diǎn)在點(diǎn)(O，2)的下方以下結(jié)論：abO；4a+cO，此中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()第-7-頁共9頁A1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D4個(gè)會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)分析式例3.已知：對(duì)于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個(gè)根為x=-2，且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=2，則

17、拋物線的極點(diǎn)坐標(biāo)為()A(2，-3)B.(2，1)C(2，3)D(3，2)例4、（2006年煙臺(tái)市）如圖（單位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形挪動(dòng)，直到AB與CD重合設(shè)x秒時(shí)，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2（1）寫出y與x的關(guān)系式；（2）當(dāng)x=2，3.5時(shí)，y分別是多少？（3）當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時(shí)，三角形挪動(dòng)了多長時(shí)間？求拋物線極點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸.5、已知拋物線y=1x2+x-521）用配方法求它的極點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸2）若該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，求線段AB的長【談?wù)摗看祟}（1）是對(duì)二次函數(shù)的“基本方法”的察看，第（2）問主要察看二次函數(shù)與一元

18、二次方程的關(guān)系例6.已知：二次函數(shù)y=ax2-(b+1)x-3a的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(4，10)，交x軸于A(x1,0)，B(x2,0)兩點(diǎn)(x1x2)，交y軸負(fù)半軸于C點(diǎn)，且知足3AO=OB(1)求二次函數(shù)的分析式；(2)在二次函數(shù)的圖象上能否存在點(diǎn)M，使銳角MCOACO?若存在，請(qǐng)你求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)你說明原因例7、“已知函數(shù)y1x2bxc的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（c，2），2求證：這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=3。”題目中的矩形框部分是一段被墨水污染了沒法鑒其他文字。（1）依據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)分析式？若能，請(qǐng)寫出求解過程，并畫出二次函數(shù)圖象；若不可以夠，請(qǐng)說明原因。2）請(qǐng)你依據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個(gè)適合的條件，把原題增補(bǔ)圓滿。談?wù)摚簩?duì)于第（1）小題，要依據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)分析式，就要把本來的結(jié)論“函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=3”看作已知來用，再聯(lián)合條件“圖象經(jīng)過點(diǎn)A（c，2）”，就能夠列出兩個(gè)方程了，而分析式中只有兩個(gè)未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)分析式。對(duì)于第（2）小題，只需給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)分析式是第（1）小題中的分析式就能夠了。而從不同樣的角度考慮能夠增添出不同樣的條件，能夠考慮再給圖象上的一個(gè)隨意點(diǎn)的坐標(biāo)，能夠