專題 求遞推數(shù)列通項的特征根法

1、遞歸數(shù)列通項公式的求法確定數(shù)列的通項公式，對于研究數(shù)列的性質(zhì)起著至關(guān)重要的作用。求遞歸數(shù)列的通項 公式是解決數(shù)學(xué)競賽中有關(guān)數(shù)列問題的關(guān)鍵，本文著重對遞歸數(shù)列通項公式加以研究?；A(chǔ)知識定義：對于任意的n e N*，由遞推關(guān)系a二f (a ,a ，,a)確定的關(guān)系稱為k階nn-1 n-2n-k遞歸關(guān)系或稱為k階遞歸方程，由k階遞歸關(guān)系及給定的前k項a ,a，,a的值(稱為初始12k值)所確定的數(shù)列稱為k階遞歸數(shù)列。若f是線性的，則稱為線性遞歸數(shù)列，否則稱為非線 性遞歸數(shù)列，在數(shù)學(xué)競賽中的數(shù)列問題常常是非線性遞歸數(shù)列問題。求遞歸數(shù)列的常用方法：一公式法(1)設(shè)(1)設(shè)a 是等差數(shù)列，首項為a 1n1

2、公差為 d ，則其通項為a = a + (n 一 m)d ；nm設(shè)a 是等比數(shù)列，首項為a，公比為q，則其通項為a = a qn-m ； TOC o 1-5 h z n1n mS(n = 1)已知數(shù)列的前n項和為S，則a =11n n S S (n 2)nn -1迭代法 迭代恒等式：a = （a 一 a ） + （a 一 a ） + + （a 一 a ） + a ；nn n-1n-1 n-22 11a aa迭乘恒等式： a =- t - a，(a 豐0)n aaa 1 nn -1 n-21迭代法能夠解決以下類型一和類型二所給出的遞推數(shù)列的通項問題類型一：已知a = b, a = a + f (

3、n)，求通項a ；1n+1 nn類型二：已知a = b, a= f (n)a，求通項a ；1n+1nn三待定系數(shù)法類型三：已知a = b, a = pa + q(p豐1)，求通項a ；1n+1nn四特征根法類型四：設(shè)二階常系數(shù)線性齊次遞推式為x= px + qx ( n 1,p,q為常數(shù)q豐0)，其n+2n+1n特征方程為x2 = px + q，其根為特征根。(1)若特征方程有兩個不相等的實根a,卩，則其通項公式為x = Aa n + BP n( n 1)， n其中A、B由初始值確定；(2)若特征方程有兩個相等的實根a ,則其通項公式為x二Aa + B(n -l)a-1 (n 1), n其中A

4、、B由初始值確定。證明：設(shè)特征根為a,卩，則a + P= p, a0 = -q所以x-ax= px+ qx -ax=(p-a )x+ qx= Px-aPx= P(x-ax)n+2n+1n+1nn+1n+1nn+1nn+1nn +1n所以 x-ax = (x -ax )P n-1，n +1n所以 x-ax = (x -ax )P n-1，n+1n21(1)當(dāng)a豐卩時，則其通項公式為x(2)當(dāng)a =卩時，則其通項公式為xn所以 x =ax+ (x -ax )P n-2n n -121二 Aa n+ B卩 n，其中 A =x2- Pxi, B = x2-axi:(a - P)a(a - P )Px

5、x - ax=Aa + B(n 1)an-i，其中 A = B = t + aa則數(shù)列x 的通項公n4(改編)已知數(shù)列x x = 2日x = 則數(shù)列x 的通項公nn1-且 n+1x + 2n式命題意圖:本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的求法，根據(jù)遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)而 求得數(shù)列的通項，雖然這樣的解決對于學(xué)生來說是比較有點難度的，但通過不同 的構(gòu)造方法使學(xué)生體會一些特殊的數(shù)列通項公式的推導(dǎo)，有利于學(xué)生思維的開 發(fā)。參考答案：得宀=+1n+1n4 x 得宀=+1n+1n TOC o 1-5 h z 解法一：由 x = n x - 3 = n - 3 n+1 xn+1n得n1 1 1 1 亍二3 +

6、 廠 5(+ 4)n+1n113故數(shù)列+!是以-為首項以5為公比的等比數(shù)列x - 3 44nj + 1 = - 3 X 5 n-1 故 x = 3 -(x 3 44n3 x 5n-1 +1解法二：由x = 解法二：由x = n + 3n+1 x + 2n4x + 3x +1 n+1得 n +1x + 2n得 111+1得一X + X +15 X +1 5n +1n1 1 1 1 1 TOC o 1-5 h z ()X +1 45 X +1 4n +1n1 1 1 1故數(shù)列無呂”是以1為首項以1為公比的等比數(shù)列n1 =丄 X(5)n1 故 x 3 44 125n3 X 5n1 +1解法三n +解

7、法三n +1汚得到該數(shù)列的一個特征方程x -即 x 2 2 x 3 0，解得 x 3 或 x 14x + 3 x 4x + 3 x 3/. x 3 n 3 nn+1x + 2x + 2nnx(1)n +15 x + 5nx +2兩式相除可得汚-5X，而n +1n12 3_1 2 +13故數(shù)列汀是以-1為首項以5為公比的等比數(shù)列n.x 3 nx +1113 .x 3 nx +1113 -(5)n1,3 3X5n1 +13X5n1 +1五代換法代換法主要包括三角代換、分式代換與代換相消等，其中代換相消法可以解決以下類型五：已知a b,a c， a pa + qa + r（r豐0），求通項a。 TO

8、C o 1-5 h z 12n +1nn 1n六不動點法若f Q） a，則稱a為f （x）的不動點，利用不動點法可將非線性遞歸式化歸為等差數(shù)列、等比數(shù)列或易于求解的遞關(guān)系的遞推關(guān)系，從而達(dá)到求解的目的。a - a + b / 小小、類型六：（1）已知a n（c豐0，且ad - bc豐0），求通項a ；n+1 c - a + dnna - a 2 + b（2）已知a n，求通項a ；n+12a - a + cn七數(shù)學(xué)歸納法八構(gòu)造法典例分析例 1.數(shù)列a 中，a1=1,a 1a ,且 a2 + a2 +1 二 2（a a + a + a ）成立，求a。 TOC o 1-5 h z 1n+1 nn+

9、1nn+1 nn+1nn2a a例2.已知數(shù)列a 滿足：a = 1, a = 2,a=n訕，求a。n12n+ 2 a + annn +1a = 1例 3.數(shù)列a 滿足例 3.數(shù)列a 滿足Snan+1=(1 + 4a1 + 24a ), n = 1,2,16 n n專題 求遞推數(shù)列通項的特征根法一、形如a = pa + qa （p, q是常數(shù)）的數(shù)列 TOC o 1-5 h z n +2n+1n形如a = m ,a = m ,a = pa + qa （p,q是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特11 22 n+2n+1n征根法求得通項a，其特征方程為x2 = px + qn若有二異根a,卩，則可令a =

10、 c an + c P n （c , c是待定常數(shù)）n 1212若有二重根a = P ,則可令a = （c + nc ）a n（c ,c是待定常數(shù)）n 1212再利用a = m , a = m ,可求得c , c，進(jìn)而求得a112212n例1已知數(shù)列a 滿足a = 2,a = 3,a = 3a - 2a （n e N*），求數(shù)列a 的通項n12n + 2n +1nna例2已知數(shù)列a 滿足a = 1,a = 2,4a= 4a- a (n e N*)，求數(shù)列a 的通項n12n+2n+1nnan二、形如an二、形如an+2Aa + BnCa + Dn的數(shù)列對于數(shù)列 a 二 Aan + B , a = m,n e N*(A,B, C, D是常數(shù)且 C 豐 0,AD-BC豐 0 )n+2 Ca + D 1n其特征方程為x =+ ，變形為Cx2 + (D - A)x - B二0Cx + D若有二異根a,卩，則可令冬匸學(xué)二c字（其中c是待定常數(shù)），代入 a - p a - pn+1na , a的值可求得c值。12這樣數(shù)列|是首項為住孚，公比為c的等比數(shù)列，于是這樣可求得I a -pla - pn1an11若有二重根a = p,則可令=+ c （其中c是待定常數(shù)），代a -a a