高考理科數(shù)學《解三角形》題型歸納與訓練教學提綱

1、2022 年 高 考 理 科 數(shù) 學 解 三 角 形 題 型 歸納 與 訓 練精品資料【題型歸納】2022 年高考理科數(shù)學解三角形題型歸納與訓練題型一 正弦定理、余弦定理的直接應用例 1C ABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對邊分別為 a , b , c ,已知sinA8sin2B21求 cos B2如ac6,ABC 面積為 2,求 b B41 cos B 【答案】 （1）cos B15（2）b217【解析】 由題設及 ABC得sinB8sin2B,故 sin2上式兩邊平方,整理得2 17cosB32cosB150,4 17ac 解得 cosB1（舍去）,cosB15.17（2）由cos B1

2、5得sinB8,故SABC1acsinB17172又SABC2,就ac17c22ac1cosB2由余弦定理及ac6得b2a2c22accosBa362171154217所以b2【易錯點】 二倍角公式的應用不嫻熟,正余弦定理不確定何時運用【思維點撥】 利用正弦定理列出等式直接求出僅供學習與溝通,如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 感謝2 精品資料例 2 ABC的內(nèi)角A B C 的對邊分別為a b c ,如 2 cosBacos CccosA ,就B . 【答案】 3BcosBsinAcosCsinCcosAsinACsinBcosB1B. 【解析】2sin32【易錯點】 不會把邊角互換,特別三角恒等變化時,

3、留意符號；【思維點撥】 邊角互換時,一般遵循求角時,把邊換成角；求邊時,把角轉(zhuǎn)換成邊；2例 3 在 ABC中, a,b,c 分別是角 A,B,C 的對邊,如 b1,c3,C3,就 S ABC_.3【答案】4b c 1 3【解析】 由于 cb,所以 BC,所以由正弦定理得 sin Bsin C,即 sin B22,即 sin sin 31 2 1 1 1 3B2,所以 B 6,所以 A 63 6.所以 SABC2bc sin A2324 .【易錯點】 大邊對大角,應留意角的取值范疇【思維點撥】 求面積選取公式時留意,一般選取已知角的公式,然后再求取邊長；題型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的外

4、形例 1 在 ABC中,角 A B C 的對邊分別為 a b c ,且 A B C 成等差數(shù)列1如 b 2 3, c 2,求 ABC的面積2如 sin A ,sin B ,sin C 成等比數(shù)列,試判定 ABC的外形【答案】 1 2 3 2等邊三角形【解析】 1由 A,B,C 成等差數(shù)列,有 2BAC1 由于 A,B,C 為 ABC 的內(nèi)角,所以 ABC2 得 Bb 2a 2c 22accosB3 3 ,僅供學習與溝通,如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 感謝3 精品資料所以232a244acos3解得a4或a2舍去 所以 s ABC 1 ac sin B 1 4 2 sin 2 32 2 32由 a,b

5、,c 成等比數(shù)列,有 b 2ac4 由余弦定理及 3,可得 b 2a 2c 22accosBa 2c 2ac再由 4,得 a 2c 2acac,即ac由235,得 ABC3所以 ABC 為等邊三角形【易錯點】 等差數(shù)列,等比數(shù)列簡潔混淆20；因此 ac 從而 AC5 【思維點撥】 在三角形中,三邊和三角都是實數(shù),三個數(shù)很簡潔聯(lián)想到數(shù)列的三項,所以,三角函數(shù)與數(shù)列的結(jié)合也是較為常見的問題,解答中留意幾個常見結(jié)論,此類問題就不難解 答了 . 例 2 在 ABC 中,已知2abc ,sin2AsinBsinC ,試判定 ABC 的外形；【答案】 等邊三角形【解析】2 sinAsinBsinCa2bc

6、,又2abc ,所以4 a2bc2,所以4bcbc2,即bc20,因而 bb ；所以 ac ；由2abc 得 abc, ABC 為等邊三角形；【易錯點】 條件的轉(zhuǎn)化運用【思維點撥】 判定三角形外形時,一般考慮兩個方向進行變形：（1）一個方向是邊,走代數(shù)變形之路,通常是正、余弦定理結(jié)合使用；（2）另一個方向是角,走三角變形之路 題型三與三角形中有關的不等式問題僅供學習與溝通,如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 感謝4 .通常是運用正弦定理精品資料例 1 ABC的內(nèi)角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c,已知 ABC的面積為a2A. 3sin（1）求sinB sinC; （2）如 6cos Bcos C=1

7、,a=3,求 ABC 的周長 . 【答案】 （1）sinBsinC2；（ 2）CABC3333【解析】1 由題設得1acsinB3a2A,即1csinB1aA.2sin23sin由正弦定理得1sinCsinBsinA.23sinA,sinCsinB2.3 2 由題設及 1 得cosBcos CsinBsinC2即cos BC1.BC2,A3.239 ,又1bcsinAa2A,即bc.823 sin由余弦定理得b22 cbc,9即 bc 23 bcbc33 .CABC333 .【易錯點】 不會利用將角的關系轉(zhuǎn)化為邊的關系【思維點撥】 在處懂得三角形問題時,要留意抓住題目所給的條件,當題設中給定三

8、角形的面積,可以使用面積公式建立等式,再將全部邊的關系轉(zhuǎn)化為角的關系,有時需將角的關系轉(zhuǎn)化為邊的關系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角,求面積或周長的取值范疇 ”或者 “已知一條邊的長度和它所對的角,再有另外一個條件,求面積或周長的值 ”,這類問題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關系,建立函數(shù)關系式,如y A sin x b ,從而求出范疇,或利用余弦定理以及基本不等式求范疇；求詳細的值直接利用余弦定理和給定條件即可 . 例 2 已知 a,b,c 分別為 ABC三個內(nèi)角 A,B,C 的對邊 , a cos C 3 sin C b c 0 . 僅供學習與溝通,如有侵權(quán)請聯(lián)系

9、網(wǎng)站刪除 感謝5 精品資料1求 A 的大小；2如 a7,求ABC 的周長的取值范疇【答案】 1 3 2 14,21【解析】 1由正弦定理得：acosC3 sinCbc0sinAcosC3 sinAsinCsinBsinC2sinAcosC3 sinAsinCsinACsinC3sinAcosA1sinA61A66A3；22由已知：b0,c0,bca7, 3 bc bc 23 bc 21 bc由余弦定理492 bc22 bccos3 bc 244當且僅當 bc7 時等號成立 ,bc 2449,又bc7,7bc14, 從而 ABC 的周長的取值范疇是 14,21【易錯點】 求周長范疇的問題,應先用

10、余弦定理列出等式,再依據(jù)基本不等式求出所求問題 . 【思維點撥】 周長問題也可看做是邊長問題的延長 ,所以在解決周長相關問題時 ,著眼于邊長之間的關系 ,結(jié)合邊長求最值 范疇 的解決方式 ,通常都能找到正確的解題途徑 .例 3 ABC的內(nèi)角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c,已知 2c-a= 2bcos A.1求角 B 的大小 ; 2如 b= 2 ,求 a+c 的最大值 .【答案】 1B=（2）43【解析】 :12c-a= 2bcos A, 僅供學習與溝通,如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 感謝6 精品資料依據(jù)正弦定理 ,得 2sin C- sin A= 2sin Bcos A.A+B= -C ,s

11、in C=sinA+B=sin Bcos A+cos Bsin A, 代入 式,得 2sin Bcos A= 2sin Bcos A+ 2cos Bsin A- sin A,化簡得 2cos B- 1sin A=0.A 是三角形的內(nèi)角 ,sin A0,2cos B- 1= 0,解得 cos B= , B0,B=3.時取等號 , 2由余弦定理 b 2=a2+c2- 2accos B,得 12=a2+c2-ac.a+c 2- 3ac=12,12a+c 2-a+c2,當且僅當 a=c= 2a+c4【易錯點】 涉及到最值問題時 ,常利用基本不等式或表示為三角形的某一內(nèi)角的三角函數(shù)形式求解 .1依據(jù)正弦

12、定理與兩角和的正弦公式,化簡條件等式 ,可得 2cos B-1sin A= 0,結(jié)合 sin A0 得到cos B,從而解出 B;2由余弦定理 ,可得出 12=a 2+c 2-ac.再利用基本不等式求最大值 .【思維點撥】 1正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情形下求解其余元素 ,基本思想是方程思想 ,即依據(jù)正弦定理、余弦定理列出關于未知元素的方程 ,通過解方程求得未知元素 ; 2 正弦定理、余弦定理的另一個作用是實現(xiàn)三角形邊角關系的互化 ,解題時可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關系 ,也可以把已知條件化為三角形邊的關系 ; 3 涉及到最值問題時 ,常利用基本不等式或表示為三角形的

13、某一內(nèi)角的三角函數(shù)形式求解 .題型四解三角形的實際應用僅供學習與溝通,如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 感謝7 精品資料例 1 在某次測量中,在A 處測得同一平面方向的B 點的仰角是50,且到A 的距離為2,C 點的俯角為70,且到 A 的距離為 3,就 B、C 間的距離為 A.16 B.17 C.18 D.19【答案】 D【解析】 因 BAC120,AB2, AC3. BC 2AB 2AC 22ABAC cos BAC49223cos 12019. BC19.【易錯點】 沒有正確懂得題意,不能將應用轉(zhuǎn)化為可運算的三角模型【思維點撥】 正弦定理、余弦定理及其在現(xiàn)實生活中的應用是高考的熱點,主要利用正弦定

14、理、余弦定理解決一些簡潔的三角形的度量問題以及幾何運算的實際問題,常與三角變換、三角函數(shù)的性質(zhì)交匯命題例 2 設甲、乙兩樓相距 20m,從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0 ,就甲、乙兩樓的高分別是（）. 3mA. 15 23m ,203m B. 103m , 20 3m3C. 1032m ,20 3m D. 20 3m ,403【答案】 D【解析】 設甲樓為 DA ,乙樓為 BC ,如圖,在60 ,從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫镽 t ABD , ABD 60 , BD 20 , AD BD tan60 20 3 , m AB 20 40 m,cos60CAB ABC 30 , AC BC , ACB 1

15、20,在 ABC中,設 AC BC x ,由余弦定理得：AB 2AC 2BC 22 AC BCcos ACB ,即 1600 x 2x 2x ,解得 2x 403,就甲、乙3兩樓的高分別是 20 3 , 40 3 m ,3【易錯點】 沒有正確懂得題意,不能將應用轉(zhuǎn)化為可運算的三角模型【思維點撥】 正弦定理、余弦定理及其在現(xiàn)實生活中的應用是高考的熱點,主要利用正弦定理、余弦定理解決一些簡潔的三角形的度量問題以及幾何運算的實際問題,常與三角變換、三角函數(shù)的性質(zhì)交匯命題【鞏固訓練】僅供學習與溝通,如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 感謝8 精品資料題型一 正弦定理、余弦定理的直接應用1.在 ABC中,角 A、B

16、、C 所對的邊分別為 a,b,c,已知 a=2, 2sinA=sinC=10時,求 b 及 c4的長【答案】 b=6 或 26 ；c4；c,得 c=4 【解析】 當 a=2,2sinA=sinC 時,由正弦定理a sin Asin C由 sinC=10,及 0C得 cosC=644由余弦定理 c 2=a2+b2-2abcosC,得 b26 b-12=0 解得 b=6 或 26所以b46或b2 6cc42.在 ABC中,內(nèi)角 A,B,C 所對的邊分別為 a,b,c. 已知 b+c=2a cos B. （I）證明： A=2B；（II）如 ABC 的面積S =a2,求角 A 的大小 . B,B ,4

17、【答案】 （1）略 （2）2或4【解析】 （I）由正弦定理得 sinBsinC2sinAcos故 2sinA cosBsinBsinABsinBsinAcosBcosAsin于是 sinBsinAB ,又A B0,故 0AB,所以2 BBAB 或 BAB 因此 A（舍去）或A所以,A2 .（II）由Sa2得1absin Ca2,故有424僅供學習與溝通,如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝9 精品資料sinsinC1sin2sincos,由于 sin0,得 sinCcosB+bcos c .2又, C0,所以 C2當C2時,2；當 C2時,4綜上,2或43.ABC的內(nèi)角 A,B,C 的對邊分別為 a,b

18、,c,已知 2cosC a cos（I）求 C；（II）如c7,ABC的面積為3 3 2,求ABC的周長sinC ,【答案】 （I）3；（ II） 57cossincos【解析】 （I）由已知及正弦定理得,2cosC sin2cosCsinsinC 故 2sinCcosCsinC 可得cosC1,所以 C32II由已知,1 2absinC3 3. 2又C3,所以ab6. 由已知及余弦定理得,2 ab22 abcos C7. 故a2b213,從而ab225. 所以ABC 的周長為 57題型二 利用正弦定理、余弦定理判定三角形的外形1.在 ABC 中,內(nèi)角 A,B, C 所對的邊分別是 a,b,c

19、,如 cacosB2abcos A,就 ABC 的外形為 僅供學習與溝通,如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 感謝10 精品資料A等腰三角形 B 直角三角形 C等腰直角三角形【答案】 D【解析】 由于 cacosB2abcos A, CAB,D等腰或直角三角形所以由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos A sin B cos A,所以 sin Acos Bcos Asin Bsin Acos B 2sin Acos A sinBcos A,所以 cos Asin Bsin A 0,所以 cos A0 或 sin Bsin A,所以 A 2或 BA 或 BA舍去 ,所以 ABC為等腰或

20、直角三角形2.在 ABC中,如 sin A=2cos Bsin C,就 ABC 的外形是 .【答案】 等腰三角形【解析】 由已知等式得 a=2c 2a 2b22+c2-b2,所以 c 2=b2,即 c=b.故 ABC為等腰c,所以 a 2=a2ac三角形 . 3. ABC 中,角 A、B、C 所對的邊分別為a、b、c,如c b cos A,就 ABC為 A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形D等邊三角形【答案】 A【解析】 依題意,得sin C sin Bcos A,sin Csin Bcos A,所以 sinABsin Bcos A,即 sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos

21、 A0,所以 cos Bsin A0.又 sin A0,于是有 cos B0,B 為鈍角, ABC 是鈍角三角形,選 A.題型三 與三角形有關的不等式問題1.在 ABC中,內(nèi)角 A,B,C 所對的邊分別為a,b,c,已知 cos2Bcos B1cos A cos C. 1求證： a,b,c 成等比數(shù)列；2如 b2,求 ABC的面積的最大值【答案】 （1）略 （2）3. 僅供學習與溝通,如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 感謝11 精品資料【解析】 1證明：在 ABC中, cos B cosAC由已知,得 1sin 2B cosAC 1cos A cos C, sin 2Bcos A cos C sin A

22、 sin C cos A cos C,化簡,得 sin2 Bsin A sin C. 由正弦定理,得b2ac,a, b,c 成等比數(shù)列2由1及題設條件,得ac4. 1 2,2 就 cos Ba2cb2 2a2cac 2ac ac2ac 2ac2ac當且僅當 ac 時,等號成立2 在0 B , sin B1 cos2B1.1 2. 23 2 . sin2B2Csin sin C1. S ABC1 12ac sin B243 23. ABC的面積的最大值為3. ABC 中,內(nèi)角A B C 的對邊分別為a b c 已知41.求角 A 的大?。?.如a7,ABC 的面積為3,求 bc 的值bc2bc

23、,2【答案】 1. A2 2. bc33【解析】 1.由已知得1cos2BCsin sinC1,4化簡得1cos cos Csin sinCsin sinC1,24整理得cos cos Csin sinC1,即cosBC1,22由于 0BC,就BC,所以A2332.由于SABC1bc sin A1bc33,所以bc22222依據(jù)余弦定理得72b22 c2 bccos2b2c2bc3僅供學習與溝通,如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝12 精品資料即7bc22,所以bc33.在 ABC中,角 A、B、C 所對的邊分別為a、b、c,且滿意 cos2Ccos2A2sin3Csin3C1求角 A 的大??；2如 a3,且 ba,求 2bc 的取值范疇【答案】 （1）A 3或 23 .（2） 3,2 3 【解析】 1由已知得 2sin 2A2sin 2C2 3cos 2C 1sin 2C ,4 43 3化簡得 sin 2A4, sin A2,3 2又 0 A, sin A2, 故 A 3或 3 . c2由 sinA b sinBsinC,得 b2sinB, c2sinC,由于 ba,所以 BA,所以 A 3,故 2b c4sinB2sinC4sinB2sin2B 3sinB3cos B3323sin B6. 由于 ba,所以