高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)極限與連續(xù)教案

1、學(xué)習(xí)必備 歡迎下載【教學(xué)內(nèi)容】 1.1 函數(shù)【教學(xué)目的】 懂得并把握函數(shù)的概念與性質(zhì)【教學(xué)重點(diǎn)】 函數(shù)的概念與性質(zhì)【教學(xué)難點(diǎn)】 函數(shù)概念的懂得【教學(xué)時數(shù)】 4 學(xué)時【教學(xué)過程】一、組織教學(xué),引入新課 極限是微積分學(xué)中最基本、最重要的概念之一,極限的思想與理論,是整個高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),連續(xù)、微分、積分等重要概念都?xì)w結(jié)于極限. 因此把握極限的思想與方法是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的前提條件 . 本章將在初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上,介紹極限與連續(xù)的概念；二、講授新課（一）、實(shí)數(shù)概述 1、實(shí)數(shù)與數(shù)軸（1）實(shí)數(shù)系表（2）實(shí)數(shù)與數(shù)軸關(guān)系 封閉性（3）實(shí)數(shù)的性質(zhì)：有序性 稠密性連續(xù)性2、實(shí)數(shù)的肯定值（1）肯定值的定義：xx x0 x

2、 x0（2）肯定值的幾何意義（3）肯定值的性質(zhì)練習(xí)：解以下肯定值不等式：x53,x123、區(qū)間（1）區(qū)間的定義：區(qū)間是實(shí)數(shù)集的子集（2）區(qū)間的分類：有限區(qū)間、無限區(qū)間 有限區(qū)間：長度有限的區(qū)間 設(shè) a 與 b 均為實(shí)數(shù),且 a b ,就名師歸納總結(jié)大肚能容,容學(xué)習(xí)困難之事,學(xué)習(xí)有成第 1 頁,共 27 頁數(shù)集 x ax學(xué)習(xí)必備歡迎下載b 為以 a 、 b 為端點(diǎn)的閉區(qū)間,記作 a , b 數(shù)集 x a x b 為以 a 、 b 為端點(diǎn)的開區(qū)間,記作（a , b ）數(shù)集 x a x b 為以 a 、 b 為端點(diǎn)的半開半閉區(qū)間,記作 a , b ）數(shù)集 x a x b 為以 a 、 b 為端點(diǎn)的半

3、開半閉區(qū)間,記作（a , b 區(qū)間長度： b a 無限區(qū)間數(shù)集 x ax 記作 a ,）,數(shù)集 x axx 記作（ a ,）數(shù)集 xxa 記作（, a , 數(shù)集 xa 記作（, a ）實(shí)數(shù)集 R 記作（,）（3）鄰域 鄰域：設(shè) a 與均為實(shí)數(shù),且0 ,就開區(qū)間（ a, a）為點(diǎn) a的鄰域記作U a , ,其中點(diǎn) a 為鄰域的中心,為鄰域的半徑； 去心鄰域：在的鄰域中去掉點(diǎn) a后,稱為點(diǎn) a 的去心鄰域,記作U a ,（二）、函數(shù)的概念1、函數(shù)的定義 ：設(shè)有一非空實(shí)數(shù)集 D,假如存在一個對應(yīng)法就 f ,使得對于每一個 x D,都有一個惟一的實(shí)數(shù) y 與之對應(yīng),就稱對應(yīng)法就 f 是定義在 D 上的

4、一個 函數(shù). 記作 y f x ,其中 x 為自變量 , y 為因變量 ,習(xí)慣上 y 稱是的函數(shù)；定義域： 使函數(shù) y f x 有意義的自變量的全體,即自變量 x 的取值范疇 D函數(shù)值 ：當(dāng)自變量 x 取定義域 D 內(nèi)的某肯定值 0 x 時,按對應(yīng)法就 f 所得的對應(yīng)值 y 0 稱為函數(shù) y f x 在 x x 時的函數(shù)值,記作 0 y 0 f x 0 ；值 域：當(dāng)自變量 x 取遍 D 中的一切數(shù)時,所對應(yīng)的函數(shù)值 y 構(gòu)成的集合,記作 M,即 M y y f x , x D函數(shù)的二要素 ： 定義域、對應(yīng)法就名師歸納總結(jié)大肚能容,容學(xué)習(xí)困難之事,學(xué)習(xí)有成第 2 頁,共 27 頁【例 1.1】設(shè)

5、fxx11,求（ 1）f學(xué)習(xí)必備歡迎下載f1 x1 ；（2）fx答： （1）fx1 x111；f1x1y. 12x6x21 x（2）ff1fxx1x1x2x1x1【例 1.2】設(shè)fx1x24 x3,求 x,f1x答：fxx22x6,f1=1221 x61xx2 x【例 2】判定以下每組的兩個函數(shù)是否相同（2）x,y2 x（ 1）y2ln , x yln2 x ,【例 3】求以下函數(shù)的定義域：（ 1）fx,x21242 ,x；2 ,（ 2）f x=f,10 x1,11x2答：（1）Dy22 4；（ 2）函數(shù)x的定義域是 0 , 2 2、函數(shù)的表示法（1）公式法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示函數(shù)的方法分段函數(shù)

6、：當(dāng)自變量在定義域內(nèi)的不同區(qū)間取值時,用不同的表達(dá)式表示的函數(shù)1, x 0 x x 0例如： 肯定值函數(shù) y x；符號函數(shù) y sgn x 0, x 0 x x 01, x 0取整函數(shù) y n n x n 17.5,0 x 3現(xiàn)行出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：p x 7.5 1.5 x 3 ,3 x其中 x 表示不小于 x 的最小整數(shù)（2）列表法：將一系列自變量 x 的數(shù)值與對應(yīng)的函數(shù)值 y 列成表格表示函數(shù)的方法（3）圖形法：用圖形表示函數(shù)的方法名師歸納總結(jié)大肚能容,容學(xué)習(xí)困難之事,學(xué)習(xí)有成第 3 頁,共 27 頁學(xué)習(xí)必備 歡迎下載說明：三種形式各有其優(yōu)點(diǎn)和不足,實(shí)際問題中往往把三種形式結(jié)合起來使用 .

7、 3、函數(shù)的性質(zhì)（1）單調(diào)性定義：設(shè)函數(shù)yfx的定義域為 D,區(qū)間 ID,如對 I 內(nèi)的任意兩點(diǎn)x 1, x 2,當(dāng)x 1x 2時,fx 1fx 2,就稱yfx在 I 上單調(diào)增加；如當(dāng)x 1x 2時,有fx 1 x fx 2,就稱f在 I 上單調(diào)削減,區(qū)間I 稱為單調(diào)區(qū)間 . 說明：爭論函數(shù)的單調(diào)性必需指明所在的區(qū)間；（2）奇偶性定義：設(shè)函數(shù)yfx在 D 上有定義,如對于任意的xD,都有fxfx,就稱yfxyfx為奇函數(shù) . 為偶函數(shù)；如有fx fx,就稱性質(zhì)：奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域必定關(guān)于原點(diǎn)對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對稱,奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱. 【例 4】判定以下函數(shù)的奇偶性（1）y

8、ax2ax,a0,a1 ；2yln1x；1x（3）fx x42x2；（4）fxx31答： 1 偶函數(shù)； 2 奇函數(shù)；（3）偶函數(shù)；（4）非奇非偶函數(shù)（3）有界性定義：設(shè)函數(shù)的定義域為 D,區(qū)間 I D,如存在一個正數(shù) M,使得對任意的 x I ,恒有f x M,就稱函數(shù) y=fx 在區(qū)間 I 上有界；如不存在一個正數(shù) M,就稱函數(shù)y f x 在區(qū)間 I 上無界 . 說明：爭論函數(shù)的有界性必需指明所在的區(qū)間；例如：ysinx 與ycosx 都在（,）內(nèi)有界 . 1,2）上有界1 x在（ 0,1）上無界,而在（y（4）周期性定義：設(shè)函數(shù)yfx 在 D 上有定義,如存在一個非零的實(shí)數(shù)T,對于任意的x

9、D,恒名師歸納總結(jié)大肚能容,容學(xué)習(xí)困難之事,學(xué)習(xí)有成第 4 頁,共 27 頁有fxTfx,就稱f x學(xué)習(xí)必備歡迎下載是以 T 為周期的周期函數(shù) . 最小正周期 ；周期函數(shù)的周期由很多個,其中正周期中最小的周期為最小正周期說明：通常所說的函數(shù)的周期,指的是最小正周期,但有些周期函數(shù)無最小正周期例如：ysinx的周期是 2,ytanx的周期是,yAsin wx, 的周期是2. w函數(shù)yc,（ c 為常數(shù)）是周期函數(shù),但不存在最小正周期（三）、反函數(shù)1、定義 ：設(shè)函數(shù) y f x ,其定義域為 D,值域為 M. 假如對于每一個 y M,有惟一的一個 x D 與之對應(yīng),并使 y f x 成立,就得到一

10、個以 y 為自變量, x 為因變量 y 的函數(shù),稱此函數(shù)為 y f x 的反函數(shù),記作 x f 1 y 說明：x f 1 y 的定義域為 M,值域為 D. 因習(xí)慣上自變量、 因變量分別用 x 、y 表示,就 y f x 的反函數(shù)表示為 y f 1 x 例如：y x 的反函數(shù)是 y x 2x 0 ,其定義域就是 y x 的值域 0 ,值域是 y x 的定義域 ,02、性質(zhì)： 函數(shù) y=fx 和其反函數(shù) y f 1 x 的圖象關(guān)于直線 y x 對稱3、反函數(shù)的存在性 ：一一對應(yīng)的函數(shù)肯定有反函數(shù),從而嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)肯定有反函數(shù)【例 5】求以下函數(shù)的反函數(shù)；（2）yx e1,x,（1）y2x1,x,

11、（四）、初等函數(shù)1、基本初等函數(shù)（1）常數(shù)函數(shù)yxc（ c 為常數(shù)）,其圖形為一條平行或重合于x 軸的直線 . （2）冪函數(shù)y（為實(shí)數(shù)） ,其在第一象限內(nèi)的圖形名師歸納總結(jié)大肚能容,容學(xué)習(xí)困難之事,學(xué)習(xí)有成第 5 頁,共 27 頁（3）指數(shù)函數(shù)yax（a,0 a1學(xué)習(xí)必備歡迎下載0,）,定義域為 R,值域為（4）對數(shù)函數(shù)ylogax a,0a1,定義域,0,值域為 R,圖形如圖 1-3（b）所示 . （5）三角函數(shù)ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysec ,ycscx. 其中正弦函數(shù)ysinx和余弦函數(shù)yxcosx的定義域都為 R,值域都為1,1,正切函數(shù)ytanx的定義域為x

12、R ,且xk2,kZ,值域為 R （a）（ b）（6）反三角函數(shù)yarcsinx,yarccos ,yarctanx,yarccotx；和0 ,其中yarcsinx與yarccosx的定義域都為1,1,值域分別為2,2y=arcanx的定義域 R,值域為2,2,名師歸納總結(jié)大肚能容,容學(xué)習(xí)困難之事,學(xué)習(xí)有成第 6 頁,共 27 頁學(xué)習(xí)必備歡迎下載 2、復(fù)合函數(shù)（1）定義：設(shè)函數(shù)yfu的定義域為D,函數(shù)ux的值域為 M ,如MDf,就將yfx 稱為yfu與ux復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),u 稱為中間變量,x為自變量 . 例如：函數(shù)ylnu ,uyx21,由于ux2u1的值域,1包含在ylnu的定義域ln

13、x21是（0,+）內(nèi),所以yln與ux21復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù) . （2）留意： 并不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合的. 1,1,所以對于任意的 x 所如yarcsinu與u2x2就不能復(fù)合 . 由于u2x2的值域為2 ,而yarcsinu的定義域為對應(yīng)的 u ,都使yarcsinu無意義； 復(fù)合函數(shù)仍可推廣到由三個及以上函數(shù)的有限次復(fù)合. 【例 6】指出以下復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程（1）y32x1；（2）ylntanx. 2解：（1）y32x1是由y3 u與u2x1復(fù)合而成的；（2）ylntanx是有ylnu,utan, x復(fù)合而成的 . 22【例 7】已知f x 的定義域為1,1,求fln x的定義域

14、. 名師歸納總結(jié)大肚能容,容學(xué)習(xí)困難之事,學(xué)習(xí)有成第 7 頁,共 27 頁解：由1lnx1得1xe學(xué)習(xí)必備f歡迎下載1,e. , 所以ln x的定義域為ee3、初等函數(shù)（1）定義：由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四就運(yùn)算和有限次的復(fù)合,且可用一個解析式表示的函數(shù),稱為初等函數(shù). 1 y1 x（2）說明：分段函數(shù)中有些是初等函數(shù),有些是非初等函數(shù)2xx0【例 8】 已知fx1x0 x1,1x1求f2,f0,f1,f2 ,并作出函數(shù)圖形y2解：f2 2xx21；f0 2xx01；4f1 1x x11；f2 1x21o 222（五）、建立函數(shù)關(guān)系舉例 運(yùn)用函數(shù)解決實(shí)際問題,通常先要找到這個實(shí)際問題中的變量與

15、變量之間的依靠關(guān) 系,然后把變量間的這種依靠關(guān)系用數(shù)學(xué)解析式表達(dá)出來（即建立函數(shù)關(guān)系）,最終進(jìn)行 分析、運(yùn)算 . 【例 9】從邊長為 a 的正三角形鐵皮上剪一個矩形,設(shè)矩形的一條邊長為 x , 周長為 P ,面積為 A ,試分別將 P 和 A 表示為 x 的函數(shù) . 解：設(shè)矩形的另一條邊長為a2xtan600=3ax2該矩形周長P=3ax2 x23 x3 a,x0 ,a矩形面積A3ax x3ax3x2,x0,a. 222【例 10】電力部門規(guī)定,居民每月用電不超過30 度時,每度電按0.5 元收費(fèi),當(dāng)用電超過30 度但不超過60 度時,超過的部分每度按0.6 元收費(fèi) ,當(dāng)用電超過60 度時 ,

16、超過部分按每度 0.8 元收費(fèi)；解：試建立居民月用電費(fèi)G 與月用電量W 之間的函數(shù)關(guān)系. 當(dāng)0w30時, G=05W 名師歸納總結(jié)大肚能容,容學(xué)習(xí)困難之事,學(xué)習(xí)有成第 8 頁,共 27 頁當(dāng)30W60時,G=05.30學(xué)習(xí)必備w歡迎下載6w30.6300 .當(dāng)w60時,G=0.53006.300 .8W6008. W15所示Gfw 05.w0w300.6w330w600.8w15w60名師歸納總結(jié)大肚能容,容學(xué)習(xí)困難之事,學(xué)習(xí)有成第 9 頁,共 27 頁學(xué)習(xí)必備 歡迎下載【教學(xué)內(nèi)容】 1.2 極限【教學(xué)目的】 懂得并把握極限的概念與性質(zhì)【教學(xué)重點(diǎn)】 極限的概念與性質(zhì)【教學(xué)難點(diǎn)】 極限概念的懂得

17、【教學(xué)時數(shù)】 4 學(xué)時【教學(xué)過程】一、組織教學(xué),引入新課 二、講授新課（一）、數(shù)列的極限 1、數(shù)列（1）定義：按正整數(shù)次序排成的一列數(shù)為數(shù)列,記作 nx數(shù)列中的每一個數(shù)為數(shù)列的項,第 n 項為通項（2）通項公式：第 n 項與項數(shù) n之間的關(guān)系式例如：（1）數(shù)列 1,1 ,21 ,31 ,1, 的通項為nx1,簡記為數(shù)列1nn14nnn（ 2）數(shù)列1 ,22 ,33 ,44 ,nn1, 的通項為xnnn1,簡記為數(shù)列5說明：數(shù)列可以看作是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),記作nxf n nN（3）分類： 按項數(shù)分為有窮數(shù)列：項數(shù)有限 無窮數(shù)列：項數(shù)無限 按是否有界分為有界數(shù)列：對數(shù)列xn,如存在M0,對n

18、 都有xn使M,就x n為有界數(shù)列無界數(shù)列：對數(shù)列xn,如對M0,都存在一個n ,x nM,就x n為無界數(shù)列 按是否有極限分為收斂數(shù)列發(fā)散數(shù)列2、數(shù)列的極限（1）定義：如當(dāng) n 無限增大時,數(shù)列nx n無限接近于一確定的常數(shù)A,就稱常數(shù) A 數(shù).）列xn的極限（或數(shù)列x收斂于 A）,記作nlimxnA（ n時,xnA名師歸納總結(jié)大肚能容,容學(xué)習(xí)困難之事,學(xué)習(xí)有成第 10 頁,共 27 頁學(xué)習(xí)必備xn歡迎下載x n1 n. 說明： 并非全部數(shù)列都有極限；如數(shù)列n 2 , 沒有極限的數(shù)列,我們稱該數(shù)列的極限不存在,亦稱該數(shù)列發(fā)散 . 一個常數(shù)數(shù)列的極限等于這個常數(shù)本身,即 nlim c c（ c

19、 為常數(shù)） 當(dāng) n 無限增大時,數(shù)列雖無極限,卻有肯定的變化趨勢,如數(shù)列 x n 2 ,稱 n其極限為正無窮大,記作 lim 2 n；n【例 1】觀看下面數(shù)列的變化趨勢,并寫出它們的極限 . （1）x n 1n 1（2）xn n 12 n（3）x n 1n（ 4）x n 4 3 解：（1）nx 1n 1 的項依次為 1,1 ,1 ,1 ,當(dāng) n 無限增大時,x 無限接近于 0,2 2 4 81所以 lim x 2 n 1 =0 （2）xn n 1的項依次為 2,3 ,4 ,5 ,當(dāng) n 無限增大時,x 無限接近于 1,n 2 3 4n 1所以 lim =1；x n（3）nx 1n 的項依次為

20、1,1 ,1, ,當(dāng) n 無限增大時,x 無限接近于 0, 3 3 9 271所以 lim x 3 n =0；（4）nx 4 為常數(shù)數(shù)列,無論 n取怎樣的正整數(shù),x 始終為 4,所以 limn 4 4 . （2）收斂數(shù)列的性質(zhì) 唯獨(dú)性：收斂數(shù)列的極限是唯獨(dú)的 有界性：收斂數(shù)列肯定有界；即有界是收斂的必要條件,無界數(shù)列肯定發(fā)散；（3）數(shù)列極限的存在準(zhǔn)就 夾逼準(zhǔn)就：設(shè)有三個數(shù)列x n、y n、z n滿意條件：z nAx ny nz n,n1,2.,且 lim nx nlim n就y n收斂,且 lim ny nA名師歸納總結(jié)大肚能容,容學(xué)習(xí)困難之事,學(xué)習(xí)有成第 11 頁,共 27 頁例如：lim

21、nn11n12學(xué)習(xí)必備n歡迎下載n11n212n21n1,lim n222n2 單調(diào)有界準(zhǔn)就：單調(diào)有界數(shù)列必有極限（二）、函數(shù)的極限1、當(dāng) x 時,函數(shù) y f x 的極限（1）當(dāng) x 時,函數(shù) y f x 的極限設(shè)函數(shù) y f x 在 x a 時有定義（a 0）,假如當(dāng)自變量 x 的肯定值無限增大時,函數(shù) y f x 無限趨近于一個確定的常數(shù) A ,就稱常數(shù) A 為當(dāng) x 時,函數(shù)y f x 的極限,記作 xlim f x A（或當(dāng) x 時,f x A）. （2）當(dāng) x 時,函數(shù) y f x 的極限設(shè)函數(shù) y f x 在 x a時有定義（a 0）,假如當(dāng)自變量 x 無限增大時,函數(shù) y f

22、x 無限趨近于一個確定的常數(shù) A,就稱常數(shù) A 為當(dāng) x 時,函數(shù) y f x 的極限,記作 lim x f x A（或當(dāng) x 時,f x A）（3）當(dāng) x 時,函數(shù) y f x 的極限設(shè)函數(shù) y f x 在 x a 時有定義（a 0）,假如 x 0 且 x 無限增大時,函數(shù) y f x 無限趨近于一個確定的常數(shù) A,就稱常數(shù) A 為當(dāng) x 時,函數(shù) y f x 的極限,記作 lim x f x A（或當(dāng) x 時,f x A）（4）定理：limx f x A 的充要條件是x lim f x x lim f x A . 說明：只有當(dāng) x lim f x 與 lim x f x 都存在且相等時 l

23、im x f x 才存在；【例 2】爭論以下函數(shù)當(dāng) x 時的極限 . （1）y 1；（2）y 2 x；（3）y arctan x . x解：（1）當(dāng) x 無限增大時,1 無限接近于x 0, 所以 lim x 1x =0；x x x（2）lim 2,lim 2 0,所以 lim 2 不存在 . x x x名師歸納總結(jié)大肚能容,容學(xué)習(xí)困難之事,學(xué)習(xí)有成第 12 頁,共 27 頁（3）x limarctanx2,x limarctan學(xué)習(xí)必備2歡迎下載arctanx不存在 . x,所以lim x2、當(dāng) x x 0 時,函數(shù) y f x 的極限（1）當(dāng) x x 0 時,函數(shù) y f x 的極限0設(shè)函數(shù)

24、 y f x 在 0 x 的某去心鄰域 N x 0 , 內(nèi)有定義,假如當(dāng) x 無限趨近于 x 時,f x 無限接近于一個確定的常數(shù) A,就稱常數(shù) A 為當(dāng) x 0 x 時函數(shù) f x 的極限,記作 lim f x A 或當(dāng) x x 0,f x A x x 0（2）當(dāng) x x 0 及 x x 時,函數(shù) y f x 的極限設(shè)函數(shù) y f x 在（x 0 , x 0）（或（x 0, x 0）內(nèi)有定義,如當(dāng)自變量 x 從 x 的左（右）近旁無限接近于 0 x ,記作 x x 0（x x 0）時,函數(shù) y f x 無限接近于一個確定的常數(shù) A,就稱常數(shù) A 為 x x 0 時的左（右）極限,記作 lim

25、 f x A 或x x 0f x 0 0 A,（lim f x A 或 f x 0 0 A）. x x 0（3）定理x lim x 0 f x A 的充要條件是x limx 0 f x x limx 0 f x A . 說明：定義中并不要求 f x 在點(diǎn) 0 x 處有定義；x lim x 0 f x 存在當(dāng)且僅當(dāng)x limx 0 f x 與x limx 0 f x 都存在且相等x x例如： 函數(shù) y 2 ,當(dāng) x 從 1 的左、右兩旁無限趨近于 1 時,曲線 y 2 上的點(diǎn) M 與 M 都x x無限接近于點(diǎn) N1,2 ,即函數(shù) y 2 的值無限接近于常數(shù) 2,所以 lim x 1 2 2 .名

26、師歸納總結(jié)大肚能容,容學(xué)習(xí)困難之事,學(xué)習(xí)有成第 13 頁,共 27 頁【例 3】考察當(dāng)x1時,函數(shù)y學(xué)習(xí)必備歡迎下載x1時的極限 . x21的變化趨勢,并求x1解：從函數(shù)yx21x1 x1的圖形可知,當(dāng)x 從左、右兩旁同時無限趨近于-1 時,x1函數(shù)yx21x1 x1的值無限趨近于常數(shù)2 ,x1所以x lim1x21x lim1x12.x1【例 4】爭論以下函數(shù)當(dāng)x0時的極限 . （1）fx sgnx1x0；（2）fx x1x0. 0 x01xx01x0解：（1）由于lim x 0sgnxlim x 011,lim x 0sgnxlim x 01 1,所以lim x 0sgnx不存在 . （2

27、）由于lim x 0fxlim x 0 x1 1,lim x 0fxlim x 0 1x1,所以lim x 0fx1. （四）、極限的四就運(yùn)算 1、極限的四就運(yùn)算定理：設(shè)x lim x 0fxxA,x lim x0gxB,就（1）x lim x 0fxgxlim x x 0fxx lim x 0gxAB；（2）x lim x 0CfCx lim x0fx CA,（C 為常數(shù)）；名師歸納總結(jié)大肚能容,容學(xué)習(xí)困難之事,學(xué)習(xí)有成第 14 頁,共 27 頁（3）x lim x0fxgxx lim x 0fx學(xué)習(xí)必備x歡迎下載；x lim x0gAB（4）x lim x 0fx lim x x 0fxA

28、B0 . n的全部項之和S. lim x x 0g xgx B說明：（1）上述運(yùn)算法就對于x時的情形也是成立的（2）法就 1與3可以推廣到有限個具有極限的函數(shù)的情形（3）對于數(shù)列極限也是有類似的四就運(yùn)算法就. 【例 5】求以下極限（1）lim x 1x22x3；（2）lim x 22x2x3x21【例 6】求以下極限（1）2 lim xx 2 x4；（2）lim x 111x133. 2x【例 7】求以下函數(shù)極限. （1）lim x32 x24x5；（2）lim x2x22x23. 4xx23x3x1a【例 8】設(shè)無窮等比數(shù)列a n的首項為1a ,公比 q 滿意q1,求數(shù)列名師歸納總結(jié)大肚能容

29、,容學(xué)習(xí)困難之事,學(xué)習(xí)有成第 15 頁,共 27 頁學(xué)習(xí)必備 歡迎下載【教學(xué)內(nèi)容】 1.3 兩個重要極限【教學(xué)目的】 懂得并把握極限的概念與運(yùn)算【教學(xué)重點(diǎn)】 極限的概念與運(yùn)算【教學(xué)難點(diǎn)】 極限概念的懂得及運(yùn)算【教學(xué)時數(shù)】 2 學(xué)時【教學(xué)過程】一、組織教學(xué),引入新課 二、講授新課（一）、重要極限lim x 0sinx10 1x1、列表考察當(dāng)x0時,sinx的變化趨勢 . xx10.50.10. 010. 001sinx0.8414709 0.9588511 0.9983342 0.9999833 0.9999998 x從上表可以看出,當(dāng)x0時,sinx的值無限趨近于 1,x所以lim x 0si

30、nx1x說明 ：極限的正確性可用極限存在準(zhǔn)就證明2、特點(diǎn)：0 0型x 1x lim x 0 xsinx【例 1】求以下極限（1）lim x 0sin2x；（ 2）lim xxsin1 x.1=1 （3）lim xsinx.3x【例 2】證明：lim x 0tanx1. lim x 0sinxxlim x 0sinx1x=證：t an xl i m x 0 x=lim x 0 xcosxcosx【例 3】求以下極限x x；lim x 0sin5（ 2）（1）lim x 01cosx；x2tan3xlim x 02sin2xsin xx 2sinx1解：（1）lim x 01cosxlim x 0

31、1 222x2x2x222名師歸納總結(jié)大肚能容,容學(xué)習(xí)困難之事,學(xué)習(xí)有成第 16 頁,共 27 頁（2）lim x 0sin5x=lim x 05sin5x=5學(xué)習(xí)必備歡迎下載lim x 0lim x 0sin5 x5 xtan 3 x5 xtan 3 x3 x=5 3tan3x333x（3）lim xsinx=lim x0sinxx=1 x的變化趨勢 . e1000000 ex（二）、重要極限lim x11xex1、列表考察當(dāng) x時,函數(shù) 11x10000 100000 x 10 100 1000 11x2.59374 2.70481 2.71692 2.71815 2.71827 2.71

32、828 xx -10 -100 -1000 -10000 -100000 -1000000 e 11x2.86797 2.73199 2.71964 2.71842 2.71830 2.71828 x從上表可以看出,當(dāng)x, 11x的值都無限趨近于2.718281828459045x所以lim x 11xex說明：極限的正確性可用極限存在準(zhǔn)就證明如令1t,就當(dāng) x時,t0,所以上式可改寫成：lim t 0 1t1etx2、特點(diǎn)： 1 型1x lim x 0 x1xx elim x 01x35；x2（3）lim xx1x2. e3 1（2）【例 4】求以下極限（1）lim x 12x；xxx12x

33、22 x解：（1）lim x12xlim x=2 e=lim x122xx22（2）lim x 01x35=lim x 01x131x5=lim x 01x1 x3lim x 01x5=xx名師歸納總結(jié)大肚能容,容學(xué)習(xí)困難之事,學(xué)習(xí)有成第 17 頁,共 27 頁學(xué)習(xí)必備歡迎下載x122（3）lim xx1x2=lim x1x21x2=lim x1x111x213x12=x lim 11x11x12.lim x1x213=2 e222名師歸納總結(jié)大肚能容,容學(xué)習(xí)困難之事,學(xué)習(xí)有成第 18 頁,共 27 頁學(xué)習(xí)必備 歡迎下載【教學(xué)內(nèi)容】 1.4 無窮小與無窮大【教學(xué)目的】 懂得并把握無窮小與無窮大

34、的概念與性質(zhì)【教學(xué)重點(diǎn)】 無窮小的性質(zhì)及比較【教學(xué)難點(diǎn)】 無窮小的性質(zhì)及比較【教學(xué)時數(shù)】 4 學(xué)時【教學(xué)過程】一、組織教學(xué),引入新課二、講授新課 一 、無窮小1、無窮小的定義在自變量 x 的某一變化過程中, 如函數(shù) f x 的極限為零, 就稱此函數(shù)為在自變量 x 的這一變化中的無窮小量,簡稱為無窮小 . 例如： 函數(shù) f x x 21,因 lim x 1x 1 20,就函數(shù) f x x 21 是當(dāng) x 1 時的無窮小 . 函數(shù) f x 1x,因 lim x 1x 0,就函數(shù) f x 1x 是當(dāng) x 時的無窮小 . 說明：（1）必需指明自變量的變化趨勢 . （2）常數(shù)中只有“0” 可以看成無窮小

35、2、無窮小的性質(zhì) ：（1）有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮??；（2）有限個無窮小的代數(shù)和為無窮?。徽f明：必需是有限個；如lim n11n12n1n12 n22（3）有限個無窮小的乘積為無窮小. 【例 1】求以下極限（1）lim xsinx；0,sin x（2）lim xx23cos cos 0 xx2x解：（1） 因lim x11, 所以lim xsinx0 xx（2） 因lim xx20, 3x2 x3cosx4, 所以lim xx2xx23、無窮小與極限的關(guān)系定理： 在自變量的某一變化過程中,函數(shù)fx的極限為 A 的充要條件是f x 可以表示名師歸納總結(jié)大肚能容,容學(xué)習(xí)困難之事,學(xué)習(xí)有成第 1

36、9 頁,共 27 頁學(xué)習(xí)必備 歡迎下載成 A 與一個同一變化過程中的無窮小量 x 之和. 即lim x x 0fxAfx Axx 二 、無窮大1、無窮大的定義在自變量 x 的某一變化過程中,函數(shù) f x 的肯定值無限增大,就函數(shù) f x 稱為在自變量 x 的這一變化過程中的無窮大量,簡稱為無窮大,記為x lim x 0 f x x例如：函數(shù) f x 1x,因 lim x 0 1x,就 f x 1x 是 x 0 時的無窮大；函數(shù) f x x ,因 2lim x x 2,所以 f x x 是當(dāng) x 2時的無窮大；函數(shù) f x ln x,因x lim0 ln x .所以 f x ln x 是當(dāng) x

37、0 時的無窮大；說明：（1）這里采納極限記號只為便利起見,并不說明極限存在（2）必需指明自變量的變化趨勢 . 2、無窮小與無窮大的關(guān)系在自變量的同一變化過程中,如fx為無窮大,就1為無窮小；反之,如fx為fx不恒等于零的無窮小,就f1為無窮大 . x【例 2】求lim xx223x12. 1=lim x231 2=x2解：由于lim xx22x12=lim x1x3x22xx2000003 xlim x11xx2xx2所以lim xx223 x12. xana0nma 00 ,b 00 結(jié)論：lim xa0 xna 1xn1an1xb 0nm0b 0 xmb 1xm1bm1xbmnm名師歸納總

38、結(jié)大肚能容,容學(xué)習(xí)困難之事,學(xué)習(xí)有成第 20 頁,共 27 頁學(xué)習(xí)必備 歡迎下載（三）、無窮小的比較1、定義： 設(shè) 與 是自變量的同一變化過程中的兩個無窮小,（1）如 lim 0,就稱 是比 較高階的無窮小,記作 ；（2）如 lim c（ c為非零常數(shù)）,就稱 與 是同階無窮小,特殊地,如 c 1,就稱與 是等價無窮小,記作 . （3）如 lim,就稱 是比 較低階的無窮小2、常用的等價無窮小 （當(dāng) x 0 時）1 2 xsin x x , tan x x ,1 cos x x ,ln1 x x e 1 x2【例 3】以下函數(shù)是當(dāng) x 1 時的無窮小,試與 x 1 相比較,哪個是高階無窮??？哪

39、個是同階無窮小？哪個是等價無窮??？（1）2 x 1（ 2）x 3 1（3）x 33 x 2解 由于 lim x 1 2 x x1 1 = lim x 1 x 21 1,所以當(dāng) x 1 時,2 x 1 是與 x 1 等價的無窮小；3由于 lim x 1 x x1 1= lim x 1 x 2x 1 =3, 所以當(dāng) x 1 時,x 31 是與 x 1 同階的無窮小3由于 lim x 1 xx 3 x1 2= lim x 1 x 2x 2 =0,就當(dāng) x 1 時,x 33 x 2 是比 x 1 高階的無窮小【例 4】利用等價無窮小求以下極限（1）lim x 0sin 4x,（2）lim x 0tan

40、xtan 3 xx3x名師歸納總結(jié)大肚能容,容學(xué)習(xí)困難之事,學(xué)習(xí)有成第 21 頁,共 27 頁學(xué)習(xí)必備 歡迎下載【教學(xué)內(nèi)容】 1.5 函數(shù)的連續(xù)性【教學(xué)目的】 懂得并把握函數(shù)連續(xù)性的概念,明白閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)【教學(xué)重點(diǎn)】 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念【教學(xué)難點(diǎn)】 函數(shù)間斷點(diǎn)的判定【教學(xué)時數(shù)】 6 學(xué)時【教學(xué)過程】一、組織教學(xué),引入新課在很多實(shí)際問題中,變量的變化往往是“ 連續(xù)” 不斷的. 例如,氣溫的變化、物體的運(yùn)動等,其特點(diǎn)是時間變化很小時,這些變量的變化也很小 . 變量的這種變化現(xiàn)象,表達(dá)在函數(shù)關(guān)系上,就是函數(shù)的連續(xù)性 . 本節(jié)我們將用極限來定義函數(shù)的連續(xù)性 . 二、講授新課 一 、連續(xù)函數(shù)

41、的概念1、函數(shù)的轉(zhuǎn)變量（1）變量的增量定義：設(shè)變量 u 從初值u變到終值u ,就終值u 與初值u的差u 2u 1稱為變量 u 的轉(zhuǎn)變量,也稱為增量,記作u .即uu 2u 1說明：變量 u 的轉(zhuǎn)變量u 可以是正的,也可以是負(fù)的. （2）函數(shù)的增量定義：設(shè)函數(shù) y f x 在 N 0 x , 內(nèi)有定義,當(dāng)自變量 x 在該鄰域內(nèi)從 x 變到 0 0 x x（即x 在 x 處有轉(zhuǎn)變量x ）時,函數(shù) y f x 相應(yīng)地從 f x 0 變到 f x 0 x,所以函數(shù) y 相應(yīng)的轉(zhuǎn)變量為 y f x 0 x f x 0【例 1】已知函數(shù) y f x x 2 3,當(dāng)自變量 x 有以下變化時,求相應(yīng)的函數(shù)轉(zhuǎn)變

42、量 y . （1） x 從 1變到 1；（2） x 從 1 變到 0；（3） x 從 1 變到 1x . 12 132 112310f解：（1）yf1（2）yf0f10233名師歸納總結(jié)大肚能容,容學(xué)習(xí)困難之事,學(xué)習(xí)有成第 22 頁,共 27 頁（3）yf1xf11x2學(xué)習(xí)必備2 1歡迎下載x2x332、函數(shù)在點(diǎn)x 處的連續(xù)性,0（1）函數(shù)在點(diǎn)x 處連續(xù)定義：設(shè)函數(shù)yfx在N0 x,內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x 在x 處的轉(zhuǎn)變量x0時,相應(yīng)的函數(shù)轉(zhuǎn)變量yf x 0 xf x 00,即lim x 0ylim x 0f x 0 xf x 00就稱函數(shù)yfx在點(diǎn)0 x 處連續(xù),點(diǎn)x 為函數(shù)yfx的連續(xù)點(diǎn) .

43、 注：如令xx 0 x ,就x0就是x0 x,yf x 0 xf x 0fxf0 x,y就是fxf0 x,即lim x 0y0就是lim x x 0fxfx0,因此有等價定義 . 定義：設(shè)函數(shù)yfx在N0 x,內(nèi)有定義,如當(dāng)x0 x時,函數(shù)fx的極限存在,且極限值就等于fx在點(diǎn)x 處的函數(shù)值fx 0,即x lim x 0fxfx 0,就稱函數(shù)yfx在點(diǎn)x 處連續(xù)fx在x 0 處有定義說明：函數(shù)yfx在點(diǎn)x 處連續(xù)的含義lim x x 0fx存在lim x x 0fxfx 0yfx在點(diǎn)0 x 處極限存在是yfx在點(diǎn)x 處連續(xù)的必要條件【例 2】試用定義證明：函數(shù)yx23在點(diǎn)x1處連續(xù) . 證明：

44、 明顯函數(shù)yx23在點(diǎn)x1的鄰域內(nèi)有定義. 設(shè)自變量 x 在x1處有轉(zhuǎn)變量x ,就當(dāng)x0,相應(yīng)的函數(shù)轉(zhuǎn)變量y 的極限 . lim x 0ylim x 02xx20,所以,函數(shù)yx23 在點(diǎn)x1處連續(xù) . 【例 3】試用定義證明：函數(shù)fxx1 sinx0,x0；在點(diǎn)0 .x0處連續(xù) . x證明明顯fx在x0的鄰域內(nèi)有定義,又lim x 0fxlim x 0 xsin10,即xl i m fx 0 xf0,所以函數(shù)fx在點(diǎn)x0處連續(xù) . 名師歸納總結(jié)大肚能容,容學(xué)習(xí)困難之事,學(xué)習(xí)有成第 23 頁,共 27 頁學(xué)習(xí)必備 歡迎下載（2）左連續(xù)與右連續(xù)左連續(xù)：如函數(shù)yfx在x 0, x 0上有定義,且l

45、im x x 0f xf x 0,就稱函數(shù) fx在0 x 處左連續(xù)；上有定義,且x lim xf x 0f x ,就稱函數(shù) fx右連續(xù)：如函數(shù)yfx在x 0, x0在0 x 處右連續(xù)；yfx在點(diǎn)x 處既左連續(xù)又右連續(xù)（3）函數(shù)yfx在點(diǎn)0 x 處連續(xù)函數(shù)【例 4】判定函數(shù)fx cosx1,x0 x2x0在x0處的連續(xù)性1 2,答函數(shù)fx在x0處連續(xù)3、函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性（1）開區(qū)間 a, b 內(nèi)連續(xù)如函數(shù) y f x 在開區(qū)間 a, b 內(nèi)的每一點(diǎn)處都連續(xù),就稱函數(shù) y f x 在開區(qū)間a, b 內(nèi)連續(xù)（2）閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)如函數(shù) f x 在開區(qū)間 a, b 內(nèi)連續(xù),且在 x a 右連續(xù),在 x b 左連續(xù),就稱函數(shù) f x在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù) . （二）、函數(shù)的間斷點(diǎn)1、定義：如函數(shù)yffx在點(diǎn)x 處不連續(xù),就稱函數(shù)yfx在點(diǎn)x 處間斷,稱點(diǎn)x 為函數(shù)yx的間斷點(diǎn) .2、形成：（1）函數(shù)y0fx在點(diǎn)0 x 處無定義；lim x xf 0 xfx 0. （2）當(dāng)xx時,fx的極限x lim x 0fx不存在；（3）極限x lim x0fx不等于fx在點(diǎn)x 處的函數(shù)值,即名師歸納總結(jié)大肚能容,容學(xué)習(xí)困難之事,學(xué)習(xí)有成第 24 頁,共 27 頁學(xué)習(xí)必備 歡迎下載3、分類（1）第一類間斷點(diǎn)設(shè)0