3.2條件分布與隨機變量的獨立性課件

1、3.2 條件分布與隨機變量的獨立性一、條件分布的一般概念設(shè)X是一隨機變量,為在事件A發(fā)生的條件下，滿足稱條件概率是一隨機事件，記X的條件分布函數(shù).如與獨立性設(shè)且對于實數(shù)則同理,且若則且是另一隨機變量,與 獨立事件與獨立獨立性:事件定義3.6如果對任意實數(shù) 有則稱隨機變量X與Y與設(shè)隨機向量( X，Y )的聯(lián)合分布函數(shù)為相互獨立.定義3.6如果對任意實數(shù) 有則稱隨機變量X與Y相互獨立.與設(shè)隨機向量( X，Y )的聯(lián)合分布函數(shù)此時且時,時,同理，為隨機變量X與Y相互獨立事件與相互獨立.對任意實數(shù) 有有事件與相互獨立.對任意實數(shù)集A與B ,事件與相互獨立.可以證明與對任意實數(shù) 與對任意實數(shù) 與對任意實

2、數(shù) 與定理3.1隨機變量X與Y的充要條件是事件與相互獨立.對任意實數(shù)集A與B,即定理3.2如果隨機變量X與Y相互獨立,則對于任意連續(xù)函數(shù)隨機變量與也相互獨立.和相互獨立定義3.7設(shè)是n個隨機變量,聯(lián)合分布函數(shù)為邊緣分布函數(shù)為恒有如果對任則稱相互獨立.二、離散型隨機變量的條件分布設(shè)( X，Y )是二維離散型隨機向量,概率分布為若對某個有則且記與獨立性稱為條件下,X的條件概率分布.在其定義此時，有定義設(shè)( X，Y )是二維離散型隨機向量,若對有則稱固定的為條件下,X的條件概率分布.在如設(shè)( X，Y )的概率分布為則在條件下，X的條件概率分布為如設(shè)( X，Y )的概率分布為則在條件下，X的條件概率分

3、布為可列表表示且( 非負(fù)性 )( 歸一性 )時，定義設(shè)( X，Y )是二維離散型隨機向量,若對有則稱固定的為條件下,Y的條件概率分布.且在此時，有記( 非負(fù)性 )( 歸一性 )時，且X與Y相互獨立有可以證明對任意實數(shù)集A與B ,有設(shè)X與Y是離散型隨機變量 對任意 Th3.1獨立性有有與 對任意 與 對任意實數(shù) 與定理3.3則X與Y相互獨立分布設(shè)X與Y是離散型隨機變量，其聯(lián)合概率分布為邊緣分別為的充要條件是10件產(chǎn)品中每次任取一件,(1) 無放回抽取(2) 有放回抽取有3件次品,7件正品, 例 連續(xù)取兩次.設(shè) 表示第一次取到的次品件數(shù),設(shè) 表示第二次取到的次品件數(shù).與 獨立. 與 不獨立.由聯(lián)合

4、分布,可求出邊緣分布;但由邊緣分布,一般不能確定聯(lián)合分布.如 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2但若已知X與Y則可由邊緣分布,確定它們的聯(lián)合分布.相互獨立,三、連續(xù)型隨機變量的條件分布設(shè)( X，Y )是二維連續(xù)型隨機向量,其分布函數(shù)為密度函數(shù)為此時， 都是連續(xù)型隨機變量,它們?nèi)蝹€值的概率均為0故在且中,分子均為0,從而上式無意義.分母、 必須用極限的形式,所以對連續(xù)型隨機向量，的合理定義.給出的條件分布與獨立性 X與Y 且記記稱為條件下,X的條件分布函數(shù).定義 稱為條件下,X的條件分布函數(shù).稱為條件下,X的條件密度稱為條件下,Y的條件分布函數(shù).稱為條件下,Y的條件密度記函數(shù).記函

5、數(shù).稱為條件下,X的條件密度函數(shù).稱為條件下,Y的條件密度函數(shù).例設(shè)X和Y的聯(lián)合密度函數(shù)為其它求條件密度函數(shù).解時其它例設(shè)X和Y的聯(lián)合密度函數(shù)為其它求條件密度函數(shù).解時,y取其它值其它當(dāng)時，或不存在.當(dāng)例其它求條件密度函數(shù).解時，時，解例其它求條件密度函數(shù).其它時,x取其它值解例其它求條件密度函數(shù).其它當(dāng)時，或不存在.當(dāng)例設(shè)求條件密度函數(shù).解( X,Y )概率密度函數(shù)為此時，故X與Y相互獨立對任意實數(shù)有對任意實數(shù)有設(shè)( X，Y )是連續(xù)型隨機向量,獨立性度為關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為其聯(lián)合密有對任意實數(shù)與與與定理3.4設(shè)連續(xù)型隨機向量(X，Y)的密度函數(shù)為獨立邊緣密度分別為和的充分必要條件是則