常用概率分布精品課件

1、常用概率分布第1頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三第一節(jié) 事件與概率事 件概率小概率事件實(shí)際不可能性原理 第2頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三一、事件（一）必然現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象 在自然界與生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)試驗(yàn)中，人們會(huì)觀察到各種各樣的現(xiàn)象，把它們歸納起來(lái)，大體上分為兩大類：第3頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 一類是可預(yù)言其結(jié)果的，即在保持條件不變的情況下，重復(fù)進(jìn)行觀察，其結(jié)果總是確定的，必然發(fā)生（或必然不發(fā)生）。這類現(xiàn)象稱為必然現(xiàn)象或確定性現(xiàn)象。 另一類是事前不可預(yù)言其結(jié)果的，即在保持條件不變的情況下，重復(fù)進(jìn)行觀察，其結(jié)

2、果未必相同。這種在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)偶然性、不確定性現(xiàn)象，稱為隨機(jī)現(xiàn)象或不確定性現(xiàn)象。 第4頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 隨機(jī)現(xiàn)象或不確定性現(xiàn)象，有如下特點(diǎn)： 在一定的條件實(shí)現(xiàn)時(shí)，有多種可能的結(jié)果發(fā)生，事前人們不能預(yù)言將出現(xiàn)哪種結(jié)果；對(duì)一次或少數(shù)幾次觀察或試驗(yàn)而言，其結(jié)果呈現(xiàn)偶然性、不確定性； 但在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，其試驗(yàn)結(jié)果卻呈現(xiàn)出某種固有的特定的規(guī)律性頻率的穩(wěn)定性，通常稱之為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。第5頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 （二）隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件 1、隨機(jī)試驗(yàn) 通常我們把根據(jù)某一研究目的，在一定條件下對(duì)自然現(xiàn)

3、象所進(jìn)行的觀察或試驗(yàn)統(tǒng)稱為試驗(yàn)。 一個(gè)試驗(yàn)如果滿足下述三個(gè)特性， 則稱其為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)：第6頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 （1）試驗(yàn)可以在相同條件下多次重復(fù)進(jìn)行； （2）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè) ，并且事先知道會(huì)有哪些可能的結(jié)果； （3）每次 試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè) ，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。 第7頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 2、隨機(jī)事件 隨機(jī)試驗(yàn)的每一種可能結(jié)果，稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，通常用 A、B、C 等來(lái)表示。隨機(jī)事件在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。 第8頁(yè)，共126

4、頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 （1）基本事件 我們把不能再分的事件稱為基本事件。 由若干個(gè)基本事件組合而成的事件稱為復(fù)合事件。 （2）必然事件 我們把在一定條件下必然會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，用表示。第9頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 （3）不可能事件 我們把在一定條件下不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件，用表示。 必然事件與不可能事件實(shí)際上是確定性現(xiàn)象，即它們不是隨機(jī)事件， 但 是 為了方便起見(jiàn)，我們把它們看作為兩個(gè)特殊的隨機(jī)事件。第10頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三二 、 概 率 刻劃事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)，稱為概

5、率。事件A的概率記為P（A）。 （一）概率的統(tǒng)計(jì)定義第11頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)，如果隨機(jī)事件A發(fā)生的次數(shù)為m ，那么m/n稱為隨機(jī)事件A的頻率；當(dāng)試驗(yàn)重復(fù)數(shù)n逐漸增大時(shí)，隨機(jī)事件A的頻率越來(lái)越穩(wěn)定地接近某一數(shù)值 p ，那么就把 p稱為隨機(jī)事件A的概率。 這樣定義的概率稱為統(tǒng)計(jì)概率。第12頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 例如 ， 為了確定1粒小麥種子發(fā)芽這個(gè)事件的概率，在表31中列出了小麥種子發(fā)芽試驗(yàn)記錄。 第13頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 表31 小麥種子發(fā)芽試驗(yàn)記錄

6、試驗(yàn)種子粒數(shù)n 100200300400500600700發(fā)芽種子粒數(shù)m 65155204274349419489頻率m/n 0.6500.6750.6800.6850.6980.69830.6986第14頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 從表3-1可看出，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多， 1粒小麥種子發(fā)芽這個(gè)事件的概率越來(lái)越穩(wěn)定地接近0.7，我們就把0.7作為這個(gè)事件的概率。 在一般情況下，隨機(jī)事件的概率 p 是不可能準(zhǔn)確得到的。通常以試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)隨機(jī)事件A的頻率作為該隨機(jī)事件概率的近似值。 即 P（A）=pm/n （n充分大） 第15頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20

7、日，5點(diǎn)45分，星期三 （二）概率的古典定義 有很多隨機(jī)試驗(yàn)具有以下特征： 1、試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個(gè)，即樣本空間中的基本事件只有有限個(gè)； 2、各 個(gè) 試驗(yàn)的可能結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，即所有基本事件的發(fā)生是等可能的； 3、試驗(yàn)的所有可能結(jié)果兩兩互不相容。第16頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 具有上述特征的隨機(jī)試驗(yàn)，稱為古典概型。對(duì)于古典概型，概率的定義如下： 設(shè)樣本空間由 n 個(gè)等可能的基本事件所構(gòu)成，其中事件 A 包含有 m 個(gè)基本事件，則事件 A 的概率為m/n，即 P（A）=m/n 這樣定義的概率稱為古典概率。 第17頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20

8、日，5點(diǎn)45分，星期三 【例31】 在1、2、3、 、20這20個(gè)數(shù)字中隨機(jī)抽取1個(gè)，求下列隨機(jī)事件的概率。 （1）A=“抽得1個(gè)數(shù)字4”； （2）B=“抽得1個(gè)數(shù)字是2的倍數(shù)”。第18頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 因?yàn)樵撛囼?yàn)樣本空間由20個(gè)等可能的基本事件構(gòu)成，即n=20,而事件A所包含的基本事件有4個(gè)，既抽得編號(hào)為1，2，3，4中的任何1個(gè)，事件A便發(fā)生，即mA=4，所以 第19頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 同理，事件B所包含的基本事件數(shù)mB=10，即抽得數(shù)字為2，4，6，8，10，12，14，16，18，20中的任何1個(gè)，事件B

9、便發(fā)生，故第20頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 （三）概率的性質(zhì) 1、對(duì)于任何事件A，有0P（A）1； 2、必然事件的概率為1，即P（）=1； 3、不可能事件的概率為0，即P（）=0。第21頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三三、小概率事件實(shí)際不可能性原理 隨機(jī)事件的概率表示了隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性大小。若隨機(jī)事件的概率很小，例如小于0.05、0.01、0.001，稱之為小概率事件。 第22頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 小概率事件雖然不是不可能事件，但在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性很小，不出現(xiàn)的可能性很 大 ，

10、以 至于實(shí)際上可以看成是不可能發(fā)生的。在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，把小概率事件在一次試驗(yàn)中看成是實(shí)際不可能發(fā)生的事件稱為小概率事件實(shí)際不可能性原理，亦稱為小概率原理。小概率事件實(shí)際不可能性原理是統(tǒng)計(jì)學(xué)上進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)（顯著性檢驗(yàn)）的基本依據(jù)。 第23頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三第二節(jié) 概率分布 事件的概率表示了一次試驗(yàn)?zāi)骋粋€(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性大小。 若要全面了解試驗(yàn)，則必須知道試驗(yàn)的全部可能結(jié)果及各種可能結(jié)果發(fā)生的概率，即必須知道隨機(jī)試驗(yàn)的概率分布。為了深入研究隨機(jī)試驗(yàn) ，我們先引入隨機(jī)變量的概念。第24頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三一、隨機(jī)變量 作一次試

11、驗(yàn)，其結(jié)果有多種可能。每一種可能結(jié)果都可用一個(gè)數(shù)來(lái)表示，把這些數(shù)作為變量x的取值范圍，則試驗(yàn)結(jié)果可用變量x來(lái)表示。 【例 32】 對(duì) 100 株樹(shù)苗進(jìn)行嫁接，觀察其成活株數(shù)，其可能結(jié)果是 “0 株成活”，“1 株成活”， ，“100 株成活”。 用x表示成活株數(shù)，則x的取值為0、1、2、100。第25頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 【例33】 拋擲一枚硬幣，其可能結(jié)果是“幣值一面朝上” 、“幣值一面朝下”。“幣值一面朝上”用1表示，“幣值一面朝下”用0表示，用x表示試驗(yàn)結(jié)果，則x的取值為0、1。 第26頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 【例

12、 34】 測(cè)定某品種小麥產(chǎn)量（/667.7），表示測(cè)定結(jié)果的變量x所取的值為一個(gè)特定范圍(a, b)，例如200300（/667.7），x 值可以取這個(gè)范圍內(nèi)的任何數(shù)值。 第27頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 如果表示試驗(yàn)結(jié)果的變量 x ，其可能取值至多為可列個(gè)，且以各種確定的概率取這些不同的值， 則稱 x 為離散型隨機(jī)變量； 如果表示試驗(yàn)結(jié)果的變量 x ，其可能取值為某范圍內(nèi)的任何數(shù)值 ，且 x 在其取值范圍內(nèi)的任一區(qū)間中取值時(shí)，其概率是確定的，則稱 x 為 連續(xù)型隨機(jī)變量。 第28頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三二、離散型隨機(jī)變量的概率

13、分布 要了解離散型隨機(jī)變量 x 的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，就必須知道它的一切可能值 xi 及取每種可能值的概率pi。 如果我們將離散型隨機(jī)變量 x 的一切可能取值xi ( i=1, 2 , )，及其對(duì)應(yīng)的概率pi，記作 P(x=xi)=pi i=1,2, (33) 則稱 （33）式為離散型隨機(jī)變量 x 的概率分布或分布。第29頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 常用列表法表示離散型隨機(jī)變量的概率分布： x x1 x2 xn p p1 p2 pn 顯然離散型隨機(jī)變量的概率分布具有pi0和pi=1這兩個(gè)基本性質(zhì)。 第30頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三三、連續(xù)型

14、隨機(jī)變量的概率分布 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布不能用分布列來(lái)表示， 因?yàn)槠淇赡苋〉闹凳遣豢蓴?shù)的。 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量x，要了解的是它在某個(gè)區(qū)間a，b）上取值的概率，即（axb）？ 下面通過(guò)頻率分布密度曲線予以說(shuō)明。 第31頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 由表2-6 作140行水稻產(chǎn)量資料的頻率分布直方圖，見(jiàn)圖3-1 ，圖中縱座標(biāo)取頻率與組距的比值 。 可以設(shè)想，如果樣本取得越來(lái)越大(n+) ，組分得越來(lái)越細(xì) (i0)，某一范圍內(nèi)的頻率將趨近于一個(gè)穩(wěn)定值 概率。這時(shí)，頻率分布直方圖各個(gè)直方上端中點(diǎn)的聯(lián)線 頻率分布折線將逐漸趨向于一條曲線，換句話說(shuō)，當(dāng)n+、i0時(shí)，頻率分

15、布折線的極限是一條穩(wěn)定的函數(shù)曲線。 第32頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 對(duì)于樣本是取自連續(xù)型隨機(jī)變量的情況，這條函數(shù)曲線將是光滑的。這條曲線排除了抽樣和測(cè)量的誤差，完全反映了基礎(chǔ)母羊體重的變動(dòng)規(guī)律。這條曲線叫概率分布密度曲線，相應(yīng)的函數(shù)叫概率分布密度函數(shù) 。第33頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 (34) 式 為 連 續(xù) 型 隨機(jī)變量 x 在 區(qū)間a,b）上取值概率的表達(dá)式?？梢?jiàn)，連續(xù)型隨機(jī)變量的概率由概率分布密度函數(shù)確定。 若記體重概率分布密度函數(shù)為 f(x) ，則 x 取值于區(qū)間a,b）的概率為圖中陰影部分的面積，即 (3-4)第34

16、頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)：1、f(x)0；2、 (c為任意實(shí)數(shù))3、第35頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三第三節(jié) 二項(xiàng)分布 一、貝努利試驗(yàn)及其概率公式 將某隨機(jī)試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n 次，若各次試驗(yàn)結(jié)果互不影響，即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的。 第36頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 對(duì)于n次獨(dú)立的試驗(yàn)，如果每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)且只出現(xiàn)對(duì)立事件A與 之一 ，在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)A的概率是常數(shù)p(0p1) ，因而出現(xiàn)對(duì)立事件 的概率是1-p=q，則稱這

17、一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重貝努利試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱貝努利試驗(yàn)。 第37頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k(0kn)次的概率為 k=0,1,2，n (3-6)第38頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 若把(3-6)式與二項(xiàng)展開(kāi)式相比較就可以發(fā)現(xiàn)，在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生k次的概率恰好等于 展開(kāi)式中的第k+1項(xiàng)，所以也把(3-6)式稱作二項(xiàng)概率公式 。第39頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三二、二項(xiàng)分布的意義及性質(zhì) 二項(xiàng)分布定義： 設(shè)隨機(jī)變量x所有可能的取值為零和正整數(shù)：0，1，2， ，n，且

18、有 (k=0，1，2，n) 其中p0，q0，p+q=1，則稱隨機(jī)變量x服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記為 xB(n，p)。第40頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 二 項(xiàng) 分布是一種離散型隨機(jī)變量的概率分布。 容易驗(yàn)證，二項(xiàng)分布具有概率分布的一切性質(zhì)，即： 1、P(x=k)= Pn(k) (k=0,1,，n) 2、二項(xiàng)分布的概率之和等于1，即第41頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 3、 4、 5、 （m130時(shí)，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的區(qū)別很??；n 100 時(shí)，t分布基本與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相同；n時(shí)， t 分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布完全一致。第114頁(yè)，共12

19、6頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 用 表示t分布的概率密度函數(shù)，則 t分布的概率分布函數(shù)為： 因而t在區(qū)間（t1，+）取值的概率右尾概率為1-F t (df)。 由于t分布左右對(duì)稱，t在區(qū)間（-，-t1）取值的概率也為1-F t (df)。第115頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 于是 t 分布曲線 下由-到- t1和由t1到+ 兩個(gè)相等的 概 率 之和兩尾概率為2(1-F t (df)。 對(duì)于不同自由度下t分布的兩尾概率及其對(duì)應(yīng)的臨界t值已編制成附表3，即t分布表。 第116頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 例如，當(dāng)df=1

20、5時(shí)，查附表3得兩尾概率等于0.05的臨界t值為 t0.05(15)=2.131，其意義是： P(-t-2.131) = P(2.131t+) =0.025； P(-t-2.131)+ (2.131t+) =0.05。 第117頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三二、2分布 設(shè)有一平均數(shù)為、方差為 的正態(tài)總體?，F(xiàn)從此總體中獨(dú)立隨機(jī)抽取n個(gè)隨機(jī)變量：x1、x2、xn，并求出其標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差：第118頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 記這n個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差的平方和為2 ： 它服從自由度為n的2分布，記為 第119頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 若用樣本平均數(shù) 代替總體平均數(shù)，則隨機(jī)變量 服從自由度為n-1的2分布，記為 第120頁(yè)，共126頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)45分，星期三 2分布密度曲線是隨自由度不同而改變的一組曲線。隨自由度的增大， 曲線由偏斜漸趨于對(duì)稱；df30時(shí)， 接 近 平均數(shù)為 的正態(tài)分布。圖