香港首屆精英賽決賽試題和解答

1、 因此，（1）COSVACO3y4xOMSvAMO4.（10 分）（2）由 x 3y x y （1）COSVACO3y4xOMSvAMO4.（10 分）（2）由 x 3y x y 7y 1444y 8,x 6,所以三角形ABC的面積2x 6y2 6 6 8 60 （平方厘米）（15 分）.在1 30m （其中m是非零自然數(shù)）這些自然數(shù)中，（1）能被2整除的合數(shù)共有多少個(gè)？能被 3整除的合數(shù)共有多少個(gè)？（2）請(qǐng)說(shuō)明：在1 30m這些自然數(shù)中，質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)不超過(guò) 10m.解：（1）在1 30m （其中m是非零自然數(shù)）這些自然數(shù)中，被 2整除的數(shù)有15m個(gè)，由于2是質(zhì)數(shù)，所以偶合數(shù)共有15m -1個(gè)；

2、（3分）被3整除的數(shù)有10m個(gè)，由于3是質(zhì)數(shù)，其中的合數(shù)有10m T個(gè).（6分）（2）由（1）的結(jié)果可知：在1 30m （其中m = 1, 2, 3,）這些自然數(shù)中， 被2整除的合數(shù)有15m -1個(gè)；被3整除的合數(shù)有10m - 1個(gè)；既被2整除同時(shí)又被 3整除的數(shù)有5m個(gè)，每一個(gè)都是合數(shù).（9分）在1 30m （其中m = 1, 2, 3,）這些自然數(shù)中，減去15m -1個(gè)偶合數(shù)； 再減去10m T個(gè)被3整除的合數(shù)，其中被6整除的數(shù)減重復(fù)了，注意再補(bǔ)回5m個(gè) 重復(fù)減掉的被6整除的合數(shù).注意，1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)；止匕外，對(duì)任意非零自然 數(shù)m,在1 30m中，25是既不被2整除也不被3整除的一個(gè)

3、合數(shù)，因而尚未被除 去.所以，再除掉1與25這兩個(gè)數(shù)后，質(zhì)數(shù)包含在剩下部分的數(shù)中，因此，質(zhì)數(shù)的 個(gè)數(shù)不會(huì)超過(guò)剩下部分的數(shù)的個(gè)數(shù)，也就是質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)不會(huì)超過(guò)30m （15m 1） （10m 1） 5m 2 10m（15 分）另一解法：從1至I 30m中，能被2整除的數(shù)共有15m個(gè)，能被3整除的數(shù)共有10m 個(gè)，能被5整除的數(shù)共有6m個(gè)；能被2和3整除的數(shù)共有5m個(gè)，能被2和5整除 的數(shù)共有3m個(gè)，能被3和5整除的數(shù)共有2m個(gè)；能被2、3和5整除的數(shù)共有m 個(gè).由“包含排除”原理，1到30m中不能被2或3或5整除的數(shù)共有30m （15m 10m 6m） （5m 3m 2m） m 8m （個(gè)）設(shè)1到3

4、0m中質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)為z,因?yàn)?、3和5都是質(zhì)數(shù)，1既不是質(zhì)數(shù)也不是 合數(shù)，因此z 8m 13 8m 2 .由8m 2 10m,得到1 30m中，質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)不超過(guò)10m .三.解答下列各題，要求寫(xiě)出詳細(xì)過(guò)程（第9題20分，第10題25分，滿(mǎn)分45分）.在A到B的公路段上，每30千米設(shè)一個(gè)慢車(chē)站，每50千米設(shè)一個(gè)快車(chē)站，如果 相鄰兩個(gè)車(chē)站間的路程大于15千米，則在這段路程的中點(diǎn)設(shè)一個(gè)維修點(diǎn).如果一 個(gè)車(chē)站既是慢車(chē)站也是快車(chē)站，則在這個(gè)車(chē)站設(shè)一家商店.已知從A到B共設(shè)有7 家商店，A和B既是慢車(chē)站也是快車(chē)站.問(wèn)：（1）從A到B的路程有多少千米？（2） 從A到B的途中共設(shè)有多少個(gè)維修點(diǎn)？解：（1）計(jì)算從

5、A到B的路程和快車(chē)站、慢車(chē)站的站數(shù).易知A是第1個(gè)商店，其 余各商店到A的路程是30和50的公倍數(shù)，而30, 50=150, B是第7個(gè)商店，所以，從A到B的路程是（7 1） 150 6 150 900 （千米）.（8分）（2）途中的5個(gè)商店將全路程等分成6等份，每個(gè)等份中快車(chē)站、慢車(chē)站的設(shè) 置完全相同.由于A是第1個(gè)商店，因此只要考慮從 A到第2個(gè)商店這一段150千 米的路程上的快車(chē)站與慢車(chē)站的分布情況就可以了 .設(shè)第2個(gè)商店為C點(diǎn)，則AC =150千米.在AC這一段上（不包括A,C）,有4 個(gè)慢車(chē)站，2個(gè)快車(chē)站，如圖所示：綠色口表示快車(chē)站，表示慢車(chē)站.從圖上可以商店商店慢車(chē)站由維修站點(diǎn)口快

6、車(chē)站看出：相鄰兩站的路程為30千米的品&段有3段；相鄰兩站的路程為20千米的路段 有2段；相鄰兩站的路程為10千米的路段也有2段.其中相鄰兩站的路程大于15 千米的路段共有5段，因此在AC這一路段上應(yīng)該設(shè)有5個(gè)維修站點(diǎn).從A到B全路程上應(yīng)該設(shè)有5 6 30個(gè)維修站點(diǎn).（18分）答：從A到B的路程為900千米；途中共設(shè)有30個(gè)維修站點(diǎn).（20分）另解：若學(xué)生按比例畫(huà)出示意圖，從圖中標(biāo)出 A, B及快車(chē)站、慢車(chē)站，商店和維修 點(diǎn)，從圖中數(shù)出全程長(zhǎng)900千米；一共設(shè)有30個(gè)維修站點(diǎn).也給滿(mǎn)分20分.10.圖5是由16個(gè)面積為1的等邊三角形組成的一個(gè)大的9（圖 5-1）（圖 5-2）（圖 5-1）（圖

7、 5-2）等邊三角形，這個(gè)大的等邊三角形內(nèi)部及邊上共有 15個(gè)交叉點(diǎn).請(qǐng)回答：（1）以這些交叉點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以連成多少個(gè)等邊三角形?（2）所連成的全部等邊三角形的面積的總和是多少？解：（1）總計(jì)可以連成35個(gè)等邊三角形.其中：面積是1的等邊三角形有16個(gè)；面積是4的等邊三角形有7個(gè)；面積是9的等邊三角形有3個(gè)；面積是16的等邊三角形有1個(gè)；（10分）利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，如圖5-1 ,紅色等邊三角形的面積是由6個(gè)面積是1的等邊三角形組成的正六邊形面積的一半，等于3,面積是3的等邊三角形共有6個(gè)；利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，如圖5-2,藍(lán)色等邊三角形的1面積是16 1 6 3 7,面積是7的等邊三角形共2有2個(gè)；（18分）此外，不能再連成別的等邊三角形了 .因此，可以連成的等邊三角形總計(jì)有（20 分）16 + 7 +