香港首屆精英賽決賽試題和解答

1、 因此，（1）COSVACO3y4xOMSvAMO4.（10 分）（2）由 x 3y x y （1）COSVACO3y4xOMSvAMO4.（10 分）（2）由 x 3y x y 7y 1444y 8,x 6,所以三角形ABC的面積2x 6y2 6 6 8 60 （平方厘米）（15 分）.在1 30m （其中m是非零自然數(shù)）這些自然數(shù)中，（1）能被2整除的合數(shù)共有多少個？能被 3整除的合數(shù)共有多少個？（2）請說明：在1 30m這些自然數(shù)中，質(zhì)數(shù)的個數(shù)不超過 10m.解：（1）在1 30m （其中m是非零自然數(shù)）這些自然數(shù)中，被 2整除的數(shù)有15m個，由于2是質(zhì)數(shù)，所以偶合數(shù)共有15m -1個；

2、（3分）被3整除的數(shù)有10m個，由于3是質(zhì)數(shù)，其中的合數(shù)有10m T個.（6分）（2）由（1）的結(jié)果可知：在1 30m （其中m = 1, 2, 3,）這些自然數(shù)中， 被2整除的合數(shù)有15m -1個；被3整除的合數(shù)有10m - 1個；既被2整除同時又被 3整除的數(shù)有5m個，每一個都是合數(shù).（9分）在1 30m （其中m = 1, 2, 3,）這些自然數(shù)中，減去15m -1個偶合數(shù)； 再減去10m T個被3整除的合數(shù)，其中被6整除的數(shù)減重復(fù)了，注意再補回5m個 重復(fù)減掉的被6整除的合數(shù).注意，1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)；止匕外，對任意非零自然 數(shù)m,在1 30m中，25是既不被2整除也不被3整除的一個

3、合數(shù)，因而尚未被除 去.所以，再除掉1與25這兩個數(shù)后，質(zhì)數(shù)包含在剩下部分的數(shù)中，因此，質(zhì)數(shù)的 個數(shù)不會超過剩下部分的數(shù)的個數(shù)，也就是質(zhì)數(shù)的個數(shù)不會超過30m （15m 1） （10m 1） 5m 2 10m（15 分）另一解法：從1至I 30m中，能被2整除的數(shù)共有15m個，能被3整除的數(shù)共有10m 個，能被5整除的數(shù)共有6m個；能被2和3整除的數(shù)共有5m個，能被2和5整除 的數(shù)共有3m個，能被3和5整除的數(shù)共有2m個；能被2、3和5整除的數(shù)共有m 個.由“包含排除”原理，1到30m中不能被2或3或5整除的數(shù)共有30m （15m 10m 6m） （5m 3m 2m） m 8m （個）設(shè)1到3

4、0m中質(zhì)數(shù)的個數(shù)為z,因為2、3和5都是質(zhì)數(shù)，1既不是質(zhì)數(shù)也不是 合數(shù)，因此z 8m 13 8m 2 .由8m 2 10m,得到1 30m中，質(zhì)數(shù)的個數(shù)不超過10m .三.解答下列各題，要求寫出詳細過程（第9題20分，第10題25分，滿分45分）.在A到B的公路段上，每30千米設(shè)一個慢車站，每50千米設(shè)一個快車站，如果 相鄰兩個車站間的路程大于15千米，則在這段路程的中點設(shè)一個維修點.如果一 個車站既是慢車站也是快車站，則在這個車站設(shè)一家商店.已知從A到B共設(shè)有7 家商店，A和B既是慢車站也是快車站.問：（1）從A到B的路程有多少千米？（2） 從A到B的途中共設(shè)有多少個維修點？解：（1）計算從

5、A到B的路程和快車站、慢車站的站數(shù).易知A是第1個商店，其 余各商店到A的路程是30和50的公倍數(shù)，而30, 50=150, B是第7個商店，所以，從A到B的路程是（7 1） 150 6 150 900 （千米）.（8分）（2）途中的5個商店將全路程等分成6等份，每個等份中快車站、慢車站的設(shè) 置完全相同.由于A是第1個商店，因此只要考慮從 A到第2個商店這一段150千 米的路程上的快車站與慢車站的分布情況就可以了 .設(shè)第2個商店為C點，則AC =150千米.在AC這一段上（不包括A,C）,有4 個慢車站，2個快車站，如圖所示：綠色口表示快車站，表示慢車站.從圖上可以商店商店慢車站由維修站點口快

6、車站看出：相鄰兩站的路程為30千米的品&段有3段；相鄰兩站的路程為20千米的路段 有2段；相鄰兩站的路程為10千米的路段也有2段.其中相鄰兩站的路程大于15 千米的路段共有5段，因此在AC這一路段上應(yīng)該設(shè)有5個維修站點.從A到B全路程上應(yīng)該設(shè)有5 6 30個維修站點.（18分）答：從A到B的路程為900千米；途中共設(shè)有30個維修站點.（20分）另解：若學(xué)生按比例畫出示意圖，從圖中標出 A, B及快車站、慢車站，商店和維修 點，從圖中數(shù)出全程長900千米；一共設(shè)有30個維修站點.也給滿分20分.10.圖5是由16個面積為1的等邊三角形組成的一個大的9（圖 5-1）（圖 5-2）（圖 5-1）（圖

7、 5-2）等邊三角形，這個大的等邊三角形內(nèi)部及邊上共有 15個交叉點.請回答：（1）以這些交叉點為頂點，可以連成多少個等邊三角形?（2）所連成的全部等邊三角形的面積的總和是多少？解：（1）總計可以連成35個等邊三角形.其中：面積是1的等邊三角形有16個；面積是4的等邊三角形有7個；面積是9的等邊三角形有3個；面積是16的等邊三角形有1個；（10分）利用對稱的性質(zhì)，如圖5-1 ,紅色等邊三角形的面積是由6個面積是1的等邊三角形組成的正六邊形面積的一半，等于3,面積是3的等邊三角形共有6個；利用對稱的性質(zhì)，如圖5-2,藍色等邊三角形的1面積是16 1 6 3 7,面積是7的等邊三角形共2有2個；（18分）此外，不能再連成別的等邊三角形了 .因此，可以連成的等邊三角形總計有（20 分）16 + 7 +