工程隨機數(shù)學(xué)精品課件

1、工程隨機數(shù)學(xué)第1頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三課程內(nèi)容一、概率論 Ch 1 Ch 5二、數(shù)理統(tǒng)計 Ch 6 Ch 9三、隨機過程 Ch 10 Ch 14第2頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三課程內(nèi)容介紹概率論 是整個隨機理論的基礎(chǔ)，首先研究隨機現(xiàn)象最基本的規(guī)律性，其次給出刻畫隨機變量的方法，進而研究隨機變量的取值規(guī)律性，包括在某些假設(shè)下進一步研究隨機變量的各種規(guī)律性。對于多個或有限個隨機變量，還要研究變量之間在隨機取值規(guī)律性的依賴關(guān)系。第3頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三數(shù)理統(tǒng)計 以概率論為基礎(chǔ)，通過觀測試驗數(shù)據(jù)，根

2、據(jù)建筑在概率論基礎(chǔ)上原理對隨機數(shù)據(jù)進行推斷或預(yù)測，包括如何有效地收集、整理和分析數(shù)據(jù)，如何應(yīng)用這些數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計推斷和預(yù)測估計。 概率論是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是概率論的應(yīng)用課程內(nèi)容介紹第4頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三課程內(nèi)容介紹隨機過程 可稱為概率論的動力學(xué)部分，它把有限或無限多個隨機變量與參數(shù)T聯(lián)系在一起，突出了隨機性和過程性。 作為隨時間變化的隨機變量，隨機過程廣泛存在于社會科學(xué)、自然科學(xué)、管理科學(xué)的各個領(lǐng)域中，有著重要的應(yīng)用前景。第5頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三本課程與后續(xù)課程的關(guān)系現(xiàn)代數(shù)字信號處理隨機信號分析信息論誤差分析

3、方法 通信原理無線電波傳播 。 第6頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三應(yīng)用信號譜估計、高階矩譜分析、雙譜分析等無線電波在隨機介質(zhì)中的傳播日地空間物理雷達信號處理無線通信理論隨機信號處理信號與信息的統(tǒng)計建模誤差分析、可靠性估計時間序列分析 。第7頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三本門課程ABC起源于賭博博弈16世紀(jì)意大利學(xué)者卡丹諾開始研究擲骰子等賭博問題17世紀(jì)中葉，法國數(shù)學(xué)家B. 帕斯卡、荷蘭數(shù)學(xué)家C. 惠更斯基于排列組合方法，研究了較復(fù)雜的賭博問題合理分配賭金問題論賭博中的數(shù)學(xué)（1657）、概率論的分析理論（1812）、統(tǒng)計學(xué)數(shù)學(xué)方法（1946

4、）奠基人：瑞士數(shù)學(xué)家J.伯努利、拉普拉斯、泊松、高斯等20世紀(jì)30年代，蘇聯(lián)人科爾莫格洛夫創(chuàng)建概率的公理化體系，正式作為一個數(shù)學(xué)分支第8頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三名人名言法國數(shù)學(xué)家Laplace： “生活中最重要的問題 , 其中絕大多數(shù)在實質(zhì)上只是概率的問題.”英國的邏輯學(xué)家和經(jīng)濟學(xué)家杰文斯：“ 概率論是生活真正的領(lǐng)路人, 如果沒有對概率的某種估計, 那么我們就寸步難行, 無所作為.”第9頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三Ch1、隨機事件與概率1 隨機事件及其運算內(nèi)容： 引入概率論的基本概念： 隨機現(xiàn)象、隨機試驗、隨機事件、樣本空間、 事

5、件的關(guān)系及運算第10頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三一、隨機現(xiàn)象1確定性現(xiàn)象： 事物概念本身有明確定義，不是模糊不清的，并且在一定條件下，它必然發(fā)生或不發(fā)生，遵從嚴(yán)格的因果關(guān)系。2不確定性現(xiàn)象 ： 包括：隨機現(xiàn)象、模糊數(shù)學(xué)、渾沌數(shù)學(xué)第11頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三一、隨機現(xiàn)象（1）隨機現(xiàn)象： 隨機性：事物概念本身有明確定義，不是模糊不清的，但條件與事件的發(fā)生之間沒有決定性的因果關(guān)系；統(tǒng)計規(guī)律性：指在大量同類隨機現(xiàn)象中所呈現(xiàn)的一種具有集體性質(zhì)的必然規(guī)律統(tǒng)計規(guī)律；客觀性：其發(fā)生的可能性大小卻是可以用數(shù)量關(guān)系精確地描述，是客觀存在的。 第12

6、頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三一、隨機現(xiàn)象基本定義： 在個別實驗中呈現(xiàn)出不確定性，但在大量重復(fù)試驗中其結(jié)果具有統(tǒng)計規(guī)律性的現(xiàn)象就成為隨機現(xiàn)象。第13頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三一、隨機現(xiàn)象（2）模糊現(xiàn)象： 事物概念沒有明確的外延、模糊不清，從而造成事物分類歸屬上的不確定性模糊性。 第14頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三二、隨機試驗 對某事物特征進行觀察, 統(tǒng)稱試驗 ： 可重復(fù)性試驗在相同條件下可重復(fù)進行，它是隨機現(xiàn)象具有統(tǒng)計規(guī)律性的客觀依據(jù)。隨機性進行一次試驗前不可能事先確定哪個結(jié)果會發(fā)生，否則就無意義了。完備

7、性 盡管事先不能明確試驗結(jié)果（或各次試驗的結(jié)果不盡相同），但能事先明確試驗的所有可能結(jié)果。 具有上述三個特征的試驗稱為隨機試驗，記為E。 第15頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三二、隨機試驗注意：隨機試驗是相對于確定性試驗而言，指一個試驗可以在相同條件下重復(fù)進行，且每次試驗結(jié)果不能事先確定；并非指“試驗的結(jié)果都具有同等發(fā)生的可能性”，僅指都有可能發(fā)生，但有的發(fā)生的機率大，有的小，這個幾率就是概率；有的具有等可能性，如擲硬幣，有的不具有，如射擊中靶的環(huán)數(shù)；若E是由一系列試驗依次各做一次所組成，則稱為復(fù)合試驗。第16頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三

8、三、隨機事件隨機事件表示： 在隨機試驗中，對一次試驗可能發(fā)生或不發(fā)生、但在大量重復(fù)試驗中具有某種規(guī)律性的事情 隨機事件。 隨機事件常用A、B、c等表示 隨機事件又可分為： 基本事件、復(fù)合事件、絕對型事件。第17頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三三、隨機事件基本事件： 不能再分或不必再分的隨機事件。 復(fù)合事件： 由多個基本事件組成的事件。 絕對型事件： 為了描述絕對型現(xiàn)象（確定性現(xiàn)象）而引入： 必然事件（S ）、不可能事件（ ） 第18頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三三、隨機事件基本事件的三個重要特征：（1）等可能性： 在每次試驗中，每個基本事件

9、發(fā)生的可能性相等；（2）互不相容性： 在一次試驗中，只可能發(fā)生基本事件中的一個，即任意2個基本事件不會同時在在一次試驗中發(fā)生；（3）完備性： 在一次試驗中，所有基本事件中必有一個會發(fā)生。第19頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三四、樣本空間 在一次試驗中所有基本事件的集合稱為該隨機試驗的樣本空間，記為。故基本事件又稱為樣本點，記為，即是全體樣本點的集合，也即是隨機試驗所有可能結(jié)果的集合。第20頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三四、樣本空間袋中摸球：E為判斷顏色 1=黑，2=白，則 1 =1，2 可列、可數(shù)、有限樣本空間打靶：E為判斷中靶否 擊中=“

10、+”，脫靶=“” 則 2 =+，-+，- -+，- - - + 不可列、無限交換臺在10分鐘內(nèi)收到的呼喚次數(shù)：E為判斷次數(shù)， 3 =0，1，2，3， 可列、離散第21頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三四、樣本空間注意：（1） 由E決定，不同的E有不同的。 關(guān)鍵在于基本事件的選擇（2）可以概括各種實際內(nèi)容大不相同的問題， 如 1 =1，2勝負(fù)、正反等（3）可以是可數(shù)集，亦可謂不可數(shù)集 這對隨機過程、極限定理等問題的討論很重要！第22頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三歸納 隨機現(xiàn)象 隨機試驗 包含許多可能結(jié)果（隨機事件） 基本事件的集合（樣本空間）

11、第23頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三五、事件之間的關(guān)系與運算目的： 通過研究事件之間的關(guān)系與運算，把某些復(fù)雜事件表示為若干簡單事件的積、差、和，達到化繁為簡，從而可利用簡單事件的概率求解復(fù)雜事件的概率。（一）事件之間的關(guān)系（二）事件的運算 設(shè)：E隨機試驗，樣本空間，A，B，Ak隨機事件（k=1，2，3）第24頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三五、事件之間的關(guān)系與運算（一）事件之間的關(guān)系基本關(guān)系 ：等價、包含、互斥、互逆 （1）包含 若A的發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，即A是B的子集，或A包含于B中。對任意事件有：（2）等價 若A發(fā)生B必然發(fā)生，反之，若

12、B發(fā)生A必然發(fā)生，A = BSAB第25頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三五、事件之間的關(guān)系與運算（3）和（并）A與B中至少有一個發(fā)生，記： 三種情況：或A發(fā)生；或B發(fā)生；或A，B都發(fā)生。 即C包含了屬于A和B的全體樣本點。當(dāng)B A時，AB=B，由此類推：SAB第26頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三五、事件之間的關(guān)系與運算和事件可推廣N個事件的和事件，N可有限或可列無窮多個 有限可加性可列可加性如：“故障不超過十次”（B）=“0次”（A1） “1次”（A2） “10次”（A11）這11個事件之和。 第27頁，共108頁，2022年，5月20日，

13、4點38分，星期三五、事件之間的關(guān)系與運算（4）積（交）A與B同時發(fā)生記為：C=AB，或 C = ABC只包含了既屬于A，又屬于B的那些樣本點。有限可積性 可列可積性 SAB顯然，當(dāng)BA時，AB=A，由此類推：對任意事件總有：第28頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三五、事件之間的關(guān)系與運算（5）互斥（互不相容） 若A與B不可能同時發(fā)生，則稱A，B互斥（互不相容）記為： AB = （積事件）三種情況：A發(fā)生但B不發(fā)生；B發(fā)生但A不發(fā)生；A，B都不發(fā)生。ABS第29頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三五、事件之間的關(guān)系與運算 注意： “等價”同發(fā)或同不

14、發(fā)；“積”同發(fā)，“互斥”不同發(fā) 基本事件一定互斥，任一事件（包括必然事件）與不可能事件互斥 兩事件互斥時，AB可寫為A+B 互斥并不意味著A，B互不相干，實際上是有關(guān)的。即相 互獨立互斥。AB = ，指其中一個發(fā)，另一個必不發(fā)； 若一組事件中，A1，A2，A3Ak中任意兩個互斥，則稱這組事件兩兩互斥第30頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三五、事件之間的關(guān)系與運算（6）互逆（對立）若，S=AB，且AB = ，則A，B對立（互逆），并稱 A 是B的逆事件，記 ，反之亦然。條件1：A，B構(gòu)成一個完備事件組條件2：A，B互斥 對立只適于描述兩個事件之間的關(guān)系，互斥只是對立的必要

15、條件，而非充分條件 AS第31頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三五、事件之間的關(guān)系與運算互斥與對立的區(qū)別 1）兩事件對立必互斥，但互斥不一定對立2）相互獨立互逆3）互逆只適于兩個事件，互斥則可多個事件4）“A B都發(fā)生”與 “A，B都不發(fā)生”并非對立事件，相反， “A B都發(fā)生”與“A，B不都發(fā)生”是對立事件。 5）對任意事件，有第32頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三五、事件之間的關(guān)系與運算（7）差若A發(fā)生但B不發(fā)生，記為C=A-B由于B不發(fā)生，其對立事件一定發(fā)生，所以：A-B=ABSAB如A=直徑合格，B=長度合格，則 C=直徑合格，但長度不

16、合格=A-B第33頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三五、事件之間的關(guān)系與運算若 A1、A2 ，.An 兩兩互斥，且則稱， A1、A2 ，.An 為的一個劃分（8） 完備事件組第34頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三五、事件之間的關(guān)系與運算（二）事件的運算1交換律：2結(jié)合律：3分配律： 4重迭律：5互逆律：第35頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三五、事件之間的關(guān)系與運算6吸收律：A=， A=A；A=A， A= 7差化積：8吸收律： ：和之逆=逆之積 至少發(fā)生一個的對立事件為都不發(fā)生 ：積之逆=逆之和 都發(fā)生的對立事件為不都發(fā)

17、生第36頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三五、事件之間的關(guān)系與運算例1：計算：（A-AB）+B=？：AAB=AB，（AB）+B=A+B和（差）的運算時不能通過去括號、移項來處理的。第37頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三五、事件之間的關(guān)系與運算例2：證明： 解： A+B包括：A發(fā)B不發(fā)，B發(fā)A不發(fā)，A，B都發(fā)由分配律：但不能由此得出： 因為和（差）不能去括號處理第38頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三2 隨機事件的概率及其運算簡單定義： 刻畫事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)，稱作為隨機事件的概率 P。P 應(yīng)具有客觀性、可度量性

18、一、古典概型（等可能概型）二、幾何概型三、概率的統(tǒng)計定義第39頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三2 隨機事件的概率及其運算一、古典概型（等可能概型） （一）模型與計算公式 試驗的可能結(jié)果有限，即樣本空間所含樣本點（基本事件）有限，且這有限個事件兩兩互不相容有限性各基本事件發(fā)生的可能性相同，即機會均等等可能性第40頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三一、古典概型（等可能概型） 設(shè)有一隨機試驗E發(fā)生，其基本事件總數(shù)有限，記為n，且等可能性發(fā)生。設(shè)事件A包含了k個基本事件（k n），則定義事件A發(fā)生的概率為 第41頁，共108頁，2022年，5月20日，

19、4點38分，星期三一、古典概型（等可能概型） 用古典概型計算概率要注意：弄清E（判斷有限性和等可能性）根據(jù)試驗?zāi)康?，?gòu)建樣本空間（求出基本事件總數(shù)n）考察所關(guān)心的事件A（求出A所包含的基本事件個數(shù)k）利用定義式計算（求P（A）關(guān)鍵：基本事件數(shù)目的計算做到不遺漏、不重復(fù)常用方法：乘法定理（串聯(lián)）、加法定理（并聯(lián)），排列與組合（注意區(qū)分有序或無序排列，重復(fù)與不重復(fù)排列、有放回和無放回抽樣）。第42頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三一、古典概型（等可能概型）例如：（1）2個人入座3個座位：一個人不能同時座2個座位，一個座位也不能同時座2個人，故問題屬于不重復(fù)排列問題，其座法為

20、（2）2封信投入3個信箱：雖然一封信不能同時投入2個信箱，但1個信箱可同時容納多封信，故屬于可重復(fù)排列問題，其投法為32。 注意區(qū)分底數(shù)n和指數(shù)m。 第43頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三一、古典概型（等可能概型）例1:設(shè)甲類設(shè)備有8套，乙類設(shè)備有6套，一次雷擊毀壞了3套，問這3套是同一類設(shè)備的概率解：E：毀壞了3套設(shè)備 則14套中3套被毀的基本事件數(shù)為： A = 毀壞的為同類設(shè)備毀壞的均為甲類的基本事件數(shù)：均為乙類的基本事件數(shù)：所以： 第44頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三一、古典概型（等可能概型）例2：摸球問題袋中有a個黑球，b個白球，無

21、放回依次抽，摸k次，求第k（ka+b）次摸到黑球概率。解：考察E：從a+b個球中依次摸k次。由于要求把k個球一個一個摸出來，第k次摸到黑球，并且是無放回，因此考慮摸球的順序，故屬于無重復(fù)排列，基本事件總數(shù)應(yīng)為： 第45頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三一、古典概型（等可能概型） 也可在摸球時暫不考慮順序，而在取出后再考慮順序。則第一步為不可重復(fù)組合（由于無放回），有 種取法；第二步將取出的k個球進行全排列，有K！中排法。再由乘法定理，基本事件總數(shù)為考察A：A=第k次摸到黑球第一步：從a個黑球中任取一個放到第k個位置上，屬于任意 不重復(fù)排列，有 種取法；第二步：從余下的個

22、球中任取個球排列到前面的位置上，有 種取法； 第46頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三一、古典概型（等可能概型）第三步：由乘法定理 ，A所含基本事件總數(shù)為 第四步：利用定義式求P（A） 第47頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三一、古典概型（等可能概型）例3： 將n個人等可能地分配到N個房間中（nN）中每一間，求下列事件概率事件A：A = 某指定的n間房中各有一人事件B：B = 恰有n間房各有一人事件C：C = 某指定房中恰有m個人（mn）事件D：D = 余下N-1間房中各有一人第48頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三一、古

23、典概型（等可能概型）E：由于沒有限定每間可住多少人，屬于任意可重復(fù)排列數(shù)問題，故基本事件為：事件A：A = 某指定的n間房中各有一人解：n個人等可能地分配到n間房，保證每房一人，則第一人有n中選擇，第二人有n-1種選擇，類推，A包含的基本事件數(shù)為 A=n?。ㄈ帕校┑?9頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三一、古典概型（等可能概型）事件B：B = 恰有n間房各有一人解：恰有n間房，表示要在N間房中選取，故屬于不重復(fù)組合問題，再加上各有一人的條件，故事件C：C = 某指定房中恰有m個人（mn）解：首先從n個人中找出m個人放在指定房間中，有 種余下的n-m個人等可能地分到N-

24、1間房中，有 種分法，由乘法定理第50頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三一、古典概型（等可能概型）事件D：若D=余下N-1間房中各有一人第51頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三 例4 將 15 名新生隨機地平均分配到 3 個班中去，這 15 名新生中有 3 名是優(yōu)秀生。問： (1) 每個班各分配到一 名優(yōu)秀生的概率是多少？ (2) 3 名優(yōu)秀生分配到同一個班級的概率是多少？解：15名新生平均分配到 3 個班級中去的分法總數(shù)為：一、古典概型（等可能概型）第52頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三(1) 將 3 名優(yōu)秀生分配到

25、3 個班級，使每個班級都有一名優(yōu)秀生的分法共有 3! 種。其余 12 名新生平均分配到 3 個班級中的分法共有每個班各分配到一 名優(yōu)秀生的分法總數(shù)為：于是所求的概率為：第53頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三三名優(yōu)秀生分配在同一班級內(nèi)其余12名新生，一個班級分2名，另外兩班各分5名(2) 3 名優(yōu)秀生分配到同一個班級的概率為：第54頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三例5 某接待站在某一周曾接待過 12 次來訪，已知所有這 12次接待都是在周二和周四進行的。問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的？ 解：假設(shè)接待站的接待時間沒有規(guī)定，各來訪者在一周的任一天

26、中去接待站是等可能的，那么，12 次接待來訪者都在周二、周四的概率為: 212/712=0.0000003，即千萬分之三。一、古典概型（等可能概型）第55頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三 人們在長期的實踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次實驗中幾乎是不發(fā)生的”（稱之為實際推斷原理）?，F(xiàn)在概率很小的事件在一次實驗中竟然發(fā)生了，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認(rèn)為其接待時間是有規(guī)定的。一、古典概型（等可能概型）第56頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三一、古典概型（等可能概型）（二）古典概型的性質(zhì)根據(jù)定義，對任意事件A有（1） 非負(fù)性（2） 歸一

27、性（3）若A1，A2，A3兩兩互不相容，則， 有限可加性即 和的概率等于概率之和：第57頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三二、幾何概型（一）定義及計算方法有一個可度量的幾何圖形S：試驗E可看成在S中隨機地投擲一點M，M的每個落點就是一個樣本點，因此S中有無窮多個樣本點（試驗結(jié)果）。S即為樣本空間，而事件A就是所投擲的點落在S中的可度量圖形A中。 事件A的概率與A的度量L（A）成正比，即 第58頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三二、幾何概型例：約會問題甲乙相約9-10點見面，約定先來者等20分鐘過時即走，問見面機會多少？解：二人均可能在此段時間（6

28、0分）內(nèi)的任意時刻到達。設(shè)，甲、乙到達時間分別為X、Y（分鐘），則有， 將（X，Y）看作平面直角坐標(biāo)系的一點，則所有基本事件總數(shù)為6060（分鐘）第59頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三二、幾何概型設(shè)，事件A=兩人見面（1）甲先到（XY），即（2）乙先到（Y 0 ，則，可推廣到n個事件情形，設(shè)P（AB） 0，如第82頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三二、乘法公式例1：一批產(chǎn)品100個，10%次品率，接連兩次無放回抽取， 求第二次才取到正品概率。解：A=第一次次品，B=第二次正品， C=第二次才取到正品因為： C的發(fā)生要求A，B同時發(fā)生，而不是A發(fā)

29、生后要求B發(fā)生所以： 第83頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三二、乘法公式例2：設(shè)甲地10條線路，在t時間內(nèi)平均有100人用，乙地也有10條，在t時間內(nèi)平均有50個當(dāng)?shù)厝擞?。在甲地打不了電話的人中?0人到乙地去打。問，任一個在甲地打電話的人，在甲地打不通，且到乙地也打不通電話的概率。解：A=在甲地打不通，B=由甲地轉(zhuǎn)到乙地， C=在乙地也打不通求 P（ABC）第84頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三二、乘法公式則： ，P（B/A）= 0.2，而在t時間內(nèi)由甲地轉(zhuǎn)到乙地的人數(shù)為： （100-10）0.2 = 18在甲地打不通，轉(zhuǎn)到乙地后打通電話的

30、概率：所以： 故：第85頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三（三）全概率公式目的：計算一類較復(fù)雜事件的概率意義：根據(jù)先驗知識，推算結(jié)果發(fā)生可能性方法：借助于其它事件組，將這類隨機事件分解為若干較簡單的事件，把這些簡單事件的概率綜合起來。 即：全概率公式=加法和乘法公式定理：設(shè)A1，A2，An構(gòu)成一個互不相容的完備事件組，即A1+A2+An=S，AiAj=，且P（Ai） 0，則對任意事件B，有第86頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三（三）全概率公式全概率公式的證明 B = BS = B（A1+A2+A3+An） = BA1+BA2+BA3+BAn 完

31、備事件組由加法公式和互不相容性：P（B）=P（BA1）+ P（BA2）+P（B An） （I）由乘法公式： （II） （I）中包括了所有可能導(dǎo)致事件發(fā)生的可能性（II）指明了其中任一可能與事件發(fā)生的關(guān)系的概率第87頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三（三）全概率公式注意：即使不是完備群，但一定要能蓋住B，使B當(dāng)且僅當(dāng)A1，A2，An，中某一事件出現(xiàn)時才發(fā)生；直觀意義：對一個試驗，某一結(jié)果的發(fā)生可能有多種原因，每一原因都對這一結(jié)果的發(fā)生作出一定貢獻。不要把全概公式作為一個計算公式來理解，以為只要有和和積，就可用全概公式，它是其意義的。Ai是導(dǎo)致試驗結(jié)果的原因，P（Ai）則是

32、各種原因發(fā)生的概率，稱為先驗概率，是試驗前對各種原因的認(rèn)識，B是結(jié)果 由因?qū)Ч?8頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三（三）全概率公式例1：去某地出差，乘飛機、船、汽車、火車的概率分別為3/10，1/5，1/10和2/5，而乘這些交通工具遲到的概率分別1/4，1/3，1/12，0，求此人遲到的概率。解： 設(shè)Ai（i=1，2，3，4）表示乘 飛機、船、汽車、火車 B：遲到由題設(shè)： P(A1)= 3/10，P(A2)= 1/5，P(A3)= 1/10，P(A4)= 4/10P（B/A1）=1/4，P（B/A2）=1/3，P（B/A3）=1/12，P（B/A4）=0第89頁，

33、共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三（三）全概率公式例2：五個球分別標(biāo)1，2，3，4，5，無放回抽兩次，一次一球，求已知第一次取到偶數(shù)球，第二次取到奇數(shù)球的P第二次才取到奇數(shù)球的P第二次取到奇數(shù)球的P解：設(shè) A=第一次取到奇數(shù)球，B=第二次取到奇數(shù)球， =第一次取到偶數(shù)球第90頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三（三）全概率公式（1）求的是： 發(fā)生條件下，B的概率條件概率 （2） 第二次才取到奇數(shù)球意味著第一次應(yīng)取到偶數(shù)球，兩者同時發(fā)生乘法公式（3）由于B包括了第一次取到奇數(shù)球或偶數(shù)球兩種情況全概率公式第91頁，共108頁，2022年，5月20日，4點3

34、8分，星期三（四）貝葉斯公式全概公式根據(jù)對各原因Ai的認(rèn)識或已知知識，推斷結(jié)果B發(fā)生可能性大小 由因?qū)Ч艚Y(jié)果B在一次試驗中果然出現(xiàn)了，則有必要反過來估計它是由各種原因Ai造成的可能性大小，并從中比較，判別哪種原因可能性最大 執(zhí)果導(dǎo)因 若：事件B能且僅能與兩兩環(huán)不相容的事件 A1、A2，An，中之一事件同時發(fā)生，即則由條件概率和乘法定理，可知 第92頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三（四）貝葉斯公式例1：用某種方法普查肝癌，設(shè)： A= 用此方法判斷被檢查者患有肝癌 ， D= 被檢查者確實患有肝癌 ， 已知 且：P（D）=0.0004 現(xiàn)有一人用此法檢驗患有肝癌，求此人真

35、正患有肝癌的概率第93頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三例 1（續(xù)）解： 由已知，得 所以，由Bayes公式，得（四）貝葉斯公式第94頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三（四）貝葉斯公式第95頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三3.獨立性一、兩個事件的獨立性 一般講，若要兩者相等，則意味著即A的發(fā)生對B是否發(fā)生不產(chǎn)生任何影響，或不提供任何信息。習(xí)慣上稱“無關(guān)”，數(shù)學(xué)上稱“獨立”，如產(chǎn)品有放回抽樣。定義： 若 P（AB）= P（A）P（B）成立，則事件A，B是相互獨立的隨機事件。第96頁，共108頁，2022年，5月20日，4點

36、38分，星期三3.獨立性注： 定義雖有，但用其判斷事件獨立性往往較難，且不必要。許多實際問題本身給出的條件就能顯示獨立性。實際上，數(shù)學(xué)獨立性與物理工程上的獨立性是一致的； 獨立性與互斥有區(qū)別，二者間無必然聯(lián)系；獨立 A發(fā)生與否不影響B(tài)發(fā)生的概率，關(guān)鍵要把握定義， 以定義為準(zhǔn)；互斥 AB = ，說明A，B間有聯(lián)系（三種情況）互斥：和的概率 = 概率之和； 獨立：積的概率 = 概率之積第97頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三3.獨立性設(shè)P（A）0，P（B）0（1）若A，B互斥，則A，B獨立因為：互斥 AB= ，則P（B/A）=P（AB）/ P（A）=0 / P（A）= 0

37、P（B），即 ，所以，A，B不獨立；（2）若A，B獨立，則A，B 不互斥只有在P（A）或P（B）至少有一個為零，才可能同時獨立與互斥（3）A，B不獨立，并不能導(dǎo)致A，B 不互斥（4）既不獨立又不互斥的事件組是存在的第98頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三3.獨立性 事件的獨立性不具有傳遞性即，若A，B獨立，且B，C獨立，但不能推出A，C獨立;即，兩兩相互獨立不能忽略任一等式 由事件的獨立性可直接推出下列命題1）必然事件與任意事件A相互獨立 P（AS）=P（A/S）P（S）=P（A）P（S）2）不可能事件與任意事件A相互獨立3）若A，B獨立，則 也獨立推廣成定理：4對事件

38、，有一對對立，其余3對亦獨立。第99頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三3.獨立性二、多個事件的獨立性定義：對A，B，C三事件，若下列各事件同時成立，則A，B，C為相互獨立事件。P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）P（C），P（AC）=P（A）P（C）P（ABC）= P（A）P（B）P（C）上式：三事件兩兩獨立 必要條件下式：A，B，C中任一個事件與其它事件的積相互獨立 充分條件第100頁，共108頁，2022年，5月20日，4點38分，星期三注意：(1)多個事件相互獨立與多個事件兩兩相互獨立并非一回事，兩兩獨立并不能保證它們是相互獨立的，一定要加上條件2）例如:一個均勻四面體，三面各涂R，B，Y色，第四面涂R，B，Y色，投擲此四面體，觀察出現(xiàn)顏色記：A=R色，B=B色，C=Y色P（A）=P（B）=P（C）=1/2，P（ABC）=1/4，P（AB）=P（AC）=P（BC）=1/4顯然，A，B，C兩兩獨立，但A，B，C不獨立 P（ABC）P（A）P（B）P（C）=1/8同理，由多個事件獨立也導(dǎo)不出兩兩獨立。，即2）式不能代替1）式(2)定理可推廣至N個事件情形第101頁，共108頁，2022