(補(bǔ)充講義)一元一次方程的應(yīng)用(教師版)

1、 TOC o 1-5 h z 一元一次方程的應(yīng)用 1知識(shí)框架 2一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn) 2知識(shí)點(diǎn)1列方程解應(yīng)用題的合理性 2知識(shí)點(diǎn)2建立書(shū)寫(xiě)模型常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系 3知識(shí)點(diǎn)3分析數(shù)量關(guān)系的常用方法 3二、典型題型 6題型1和差倍分問(wèn)題 6題型2總（分）量問(wèn)題 6題型3調(diào)配問(wèn)題 7題型4配套問(wèn)題 7題型5分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題 8題型6方案優(yōu)化問(wèn)題 9題型7利潤(rùn)問(wèn)題、打折問(wèn)題、盈虧問(wèn)題 9題型8儲(chǔ)蓄問(wèn)題 10題型9行程問(wèn)題 11題型10工程問(wèn)題 12題型11等積問(wèn)題 13題型12數(shù)字問(wèn)題 13題型13積分問(wèn)題 14三、培優(yōu)題型16題型1設(shè)輔助未知數(shù) 16題型2商品銷(xiāo)售問(wèn)題（復(fù)雜） 16題型3行程問(wèn)題（復(fù)雜） 17題型

2、4工程問(wèn)題（多個(gè)未知數(shù)） 19題型5濃度問(wèn)題 20知識(shí)框架（冽方程解應(yīng)用題的合理性基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，建立書(shū)寫(xiě)模型常見(jiàn)的熟量關(guān)系必折愛(ài)數(shù)量關(guān)系的常用方法分段計(jì)將問(wèn)題方案優(yōu)化問(wèn)題理型題型彳利潤(rùn)問(wèn)題. 打折問(wèn)題 儲(chǔ)蓄問(wèn)題行程問(wèn)題工程問(wèn)題 等積問(wèn)題 數(shù)字問(wèn)題I積分問(wèn)題設(shè)輔助未知數(shù)商品銷(xiāo)售問(wèn)題（盒希 魔點(diǎn)題型彳行程問(wèn)題復(fù)雜工程問(wèn)題（多個(gè)未知數(shù)）.。度問(wèn)題、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1列方程解應(yīng)用題的合理性列方程解實(shí)際問(wèn)題，對(duì)于方程的解轉(zhuǎn)為為實(shí)際問(wèn)題的解答，一定要注意檢驗(yàn)它是否符合實(shí)際情況。若不 符合，必須舍去。有時(shí)，要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題的區(qū)別，對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解進(jìn)行修正。同時(shí)，在設(shè)與答 時(shí)，單位要同一。例1.一隊(duì)學(xué)生去

3、校外進(jìn)行軍事訓(xùn)練，他們以達(dá)給隊(duì)長(zhǎng)，通訊員從學(xué)校出發(fā)，騎自行車(chē)以5千米/小時(shí)的速度行進(jìn)，走了 18分鐘，學(xué)校要將一緊急通知傳14千米每小時(shí)的速度按原路追上去，通訊員用多少分鐘可以追上學(xué)生隊(duì)伍?【答案】設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)可以追上學(xué)生隊(duì)伍18 分=0.3h依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：學(xué)生走的路程=通訊員走的路程方程為：5 (0.3+x) =14x11解得：X=7&L7-=10minE1b答：需要10分鐘追上隊(duì)伍。本題中，時(shí)間單位不統(tǒng)一，需要先換算成相同的時(shí)間單位，在進(jìn)行計(jì)算。知識(shí)點(diǎn)2建立書(shū)寫(xiě)模型常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系1）公式形數(shù)量關(guān)系生活中許多數(shù)學(xué)應(yīng)用情景涉及如周長(zhǎng)、面積、體積等公式。在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，必須通過(guò)情景中

4、的信息，準(zhǔn)確聯(lián)想有關(guān)的公式，利用有關(guān)公式直接建立等式方程。長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)X寬長(zhǎng)方形周長(zhǎng)=2 （長(zhǎng)+寬）正方形面積=邊長(zhǎng)X邊長(zhǎng)正方形周長(zhǎng)=4邊長(zhǎng)2）約定型數(shù)量關(guān)系利息問(wèn)題，利潤(rùn)問(wèn)題，質(zhì)量分?jǐn)?shù)問(wèn)題，比例尺問(wèn)題等涉及的數(shù)量關(guān)系，像數(shù)學(xué)中的公式，但常常又不算數(shù)學(xué)公式。我們稱(chēng)這類(lèi)關(guān)系為約定型數(shù)量關(guān)系。3）基本數(shù)量關(guān)系在簡(jiǎn)單應(yīng)用情景中，與其他數(shù)量關(guān)系沒(méi)有什么差別，但在較復(fù)雜的應(yīng)用情景中，應(yīng)用方法就不同了。我么把這類(lèi)數(shù)量關(guān)系稱(chēng)為基本數(shù)量關(guān)系。單價(jià)X數(shù)量=總價(jià)速度x時(shí)間=路程工作效率x時(shí)間=總工作量等。例1.一只船在逆水中航行，船上一只救生圈掉入水中，5分鐘后船員發(fā)現(xiàn)救生圈落水，船掉頭追趕救生圈,幾分鐘能夠追

5、上救生圈（調(diào)轉(zhuǎn)船頭時(shí)間不計(jì)）？【答案】設(shè)x分鐘能夠追上救生圈，船靜水的速度為v1,水流速度為v2依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：救生圈走的路程 =船走的路程v2- （5+x） =x- 解得：x=5答：需要5分鐘追上救生圈。常見(jiàn)的幾種等量關(guān)系公式，我們需要熟練掌握知識(shí)點(diǎn)3分析數(shù)量關(guān)系的常用方法1)譯式法分析數(shù)量關(guān)系將題中關(guān)鍵性的數(shù)量關(guān)系的語(yǔ)句譯成含有未知數(shù)的代數(shù)式，并找出沒(méi)有公國(guó)的等量關(guān)系，翻譯成含有未知數(shù)的等式。例1. 一個(gè)三位數(shù)，百位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大1,個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字的3倍少2,若將個(gè)位與百位數(shù)字調(diào)換位置后，所得的三位數(shù)與原來(lái)三位數(shù)的和是1171,求這個(gè)三位數(shù)。【答案】設(shè)原十位數(shù)

6、字為 x,則百位數(shù)字為x+1,個(gè)位數(shù)字為3x 2依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：原來(lái)三位數(shù)+變換后的三位數(shù)=1171100 (x+1) +10 x+ (3x 2) +100 (3x 2) +10 x+ (x+1) =1171解得：x=3故原數(shù)百位數(shù)為：3+1=4,十位數(shù)為：3,個(gè)位數(shù)為3X3 2=7三位數(shù)為：437譯式法時(shí)最常見(jiàn)的列寫(xiě)等式方程的方法之一2)列表分析數(shù)量關(guān)系當(dāng)題目中條件較多，關(guān)系較復(fù)雜時(shí)，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格進(jìn)行分析。這種方法的好處在于把已知量和未知量“對(duì)號(hào)入座”，便于正確理解各數(shù)量之間的關(guān)系。例2.超市以每支4元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)100支鋼筆，賣(mài)出時(shí)每支的標(biāo)價(jià)為6元，

7、當(dāng)賣(mài)出一部分鋼筆后，剩余的以9折出售，賣(mài)完時(shí)超市盈利188元，其中打9折的鋼筆有幾支？【答案】題干中數(shù)量比較多，利用列表法分析數(shù)量關(guān)系售價(jià)(元)數(shù)量(支)售出總價(jià)(元)按標(biāo)價(jià)出售6100-x6 (100-x)打折出售6X 90%x6 x 90%x設(shè)有x支鋼筆打9折，則不打折的鋼筆為(100 x)支依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：售出的費(fèi)用一進(jìn)貨費(fèi)用=利潤(rùn)6 (100 x) +690%Y100 4=188解得：x=20答：有20支鋼筆打折出售。3)圖解法分析數(shù)量關(guān)系用圖形表示題目中的數(shù)量關(guān)系，這種方法能幫助我們透徹地理解題意，并可直觀(guān)形象的體會(huì)題意。在行程問(wèn)題中，我們常常用此類(lèi)方法。例3.甲、乙兩人相距

8、285m,相向而行，甲從 A地除法每秒走8米，乙從B地出發(fā)每秒走6米。如果甲先走 12米，那么甲出發(fā)幾秒后與乙相遇?【答案】在行程問(wèn)題當(dāng)中，我們往往利用圖解法來(lái)分析題干中的等量關(guān)系設(shè)甲出發(fā)x秒后與乙相遇依據(jù)題意，等量關(guān)系為：甲走的距離+乙走的距離=2858x+6 (x-) =285解得：x=21答：甲出發(fā)21秒后與乙相遇二、典型題型題型1和差倍分問(wèn)題解題技巧：此類(lèi)題型，需要弄清楚“倍數(shù)”“多” “少”等關(guān)系。(1)甲是乙的a倍：甲=乙* a(2)甲比乙多甲=乙* (1+3 aa,(3)甲比乙少甲=乙* (1-1) aa例1.今年收入比去年提高 20%,今年人均收入比去年的 1.5倍少1200元

9、，求去年的人均收入是多少？【答案】設(shè)去年的人均收入為x元，則今年收入為(1+20%) x元依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：今年收入=去年收入X 1.5-1200(1+20%) x=1.5x - 1200解得：x=4000答：去年人士!收入為 4000元。例2.把一根長(zhǎng)100cm的木棍據(jù)成兩段，使其中一段長(zhǎng)比另一段的2倍少5cm,求分成的兩段木棍的長(zhǎng)度。【答案】設(shè)一根長(zhǎng)為 xcm,則另一根長(zhǎng)為(100 x) cm依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：一根長(zhǎng)=另一根長(zhǎng)X 2-5x=2 (100 x) - 5解得：x=65則另一根木棍長(zhǎng)為：100 65=35cm答：一根木棍長(zhǎng)為 65cm ,另一根木棍長(zhǎng)為 35cm。題型

10、2總(分)量問(wèn)題解題技巧：此類(lèi)題型，總量始終是不變的量，類(lèi)似與工程問(wèn)題，多利用這個(gè)不變量來(lái)列寫(xiě)等式方程。例1.把一批圖書(shū)分給同學(xué)，若每人分3本，則剩下20本；若每人分4本，則還差25本。問(wèn)有多少同學(xué)?【答案】無(wú)論如何分，同學(xué)數(shù)量不變，圖書(shū)數(shù)量始終不變。則等量關(guān)系式為：第一種方法分書(shū)時(shí)書(shū)本數(shù)量=第二種方法分書(shū)時(shí)書(shū)本數(shù)量設(shè)有x名同學(xué)。3x+20=4x 25解得：x=45答：有45名同學(xué)。例2.用A型機(jī)器和B型機(jī)器生產(chǎn)同樣的產(chǎn)品，5臺(tái)A型機(jī)器生產(chǎn)一天的產(chǎn)品裝滿(mǎn)8箱后還剩4個(gè)；7臺(tái)B型機(jī)器生產(chǎn)一天的產(chǎn)品裝滿(mǎn)11箱后還剩1個(gè)，每臺(tái)A型機(jī)器比B型機(jī)器一天多生產(chǎn)1個(gè)產(chǎn)品，求每箱產(chǎn)品有多少個(gè)產(chǎn)品？【答案】每箱

11、產(chǎn)品的數(shù)量始終是不變的，利用這個(gè)不變的關(guān)系，可以求解出A型機(jī)器和B型機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量。然后利用 A型機(jī)器比B型機(jī)器多生產(chǎn)1個(gè)產(chǎn)品列等量關(guān)系是。依據(jù)題意，等量關(guān)系是為：1臺(tái)A型機(jī)器每天生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量 =1臺(tái)B型機(jī)器每天生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量 +1 設(shè)每箱產(chǎn)品有x個(gè)”.、1T （8x+4）=二（11x+1） +1 &7解得：x=12答：每箱產(chǎn)品的數(shù)量為 12個(gè)。題型3調(diào)配問(wèn)題解題技巧：調(diào)配問(wèn)題中，調(diào)配前后總量始終保持不變，可利用這個(gè)關(guān)系列寫(xiě)等式方程，有時(shí)又在調(diào)配前后的變化中找等量關(guān)系。調(diào)出者的數(shù)量=原有的數(shù)量一調(diào)出的數(shù)量調(diào)進(jìn)者的數(shù)量=原有的數(shù)量+調(diào)入的數(shù)量例1.第一組有36人，第二組有24人。因工作需要，從

12、第二組調(diào)了幾個(gè)人到第一組，結(jié)果第一組的人數(shù)是第二組的2倍，求從第二組調(diào)了幾人到第一組。【答案】調(diào)動(dòng)前后，第一組人數(shù)增加，第二組人數(shù)對(duì)應(yīng)減少。依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：調(diào)動(dòng)后第一組人數(shù)=調(diào)動(dòng)后第二中人數(shù)X 2設(shè)從第二種調(diào)動(dòng)了 x人到第一組，則第一組人數(shù)為（36+x）人，第二組人數(shù)為（24x）人36+x=2 （24x）解得：x=4答：從第二組調(diào)4人到第一組例2.第二組比第一組人數(shù)的 士少30人，從第二組調(diào)出10人到第一組，那么第一組的人數(shù)比第二組多60人,求第一組原來(lái)有多少人？【答案】調(diào)動(dòng)前后，第一組人數(shù)增加10人，第二組人數(shù)對(duì)應(yīng)減少 10人。依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：調(diào)動(dòng)后第一組人數(shù)=調(diào)動(dòng)后第二中人

13、數(shù)+60設(shè)原來(lái)第一組有x人，則第二組原來(lái)有（x- 30）人。一 * _ x+10= （zx 30） 10+60解得：x=50答：第一組原來(lái)有 50人。題型4配套問(wèn)題解題技巧：因工藝上的特點(diǎn)，某幾個(gè)工序之間存在比例關(guān)系，需這幾道工序的成對(duì)應(yīng)比例才能完全配套完成，這類(lèi)題型為配套問(wèn)題。配套問(wèn)題，主要利用配套的比例來(lái)列寫(xiě)等式方程。例1.某水利工程派35人去挖土和運(yùn)土，如果每人每天挖2方或運(yùn)3方土，那么應(yīng)該怎么安排人員，正好使挖出的土能及時(shí)運(yùn)走？【答案】挖土與運(yùn)土之間的比例為2:3,要能夠剛好把挖出的土運(yùn)走，則挖出的土和運(yùn)走的土相同依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：挖出的土=運(yùn)走的土設(shè)x人挖土，則（35 x）人運(yùn)

14、土2x=3 （35 x）解得：x=21則運(yùn)土人數(shù)為：35-21=14答：士 21人，運(yùn)土 14人。例2.某車(chē)間有工人68人，平均每人每天可以加工大齒輪8個(gè)或小齒輪10個(gè)，又知一個(gè)大齒輪和三個(gè)小齒輪配為一套，問(wèn)應(yīng)該如何安排勞力使生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好配套？【答案】大齒輪和小齒輪的數(shù)量比為1:3依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：大齒輪生產(chǎn)數(shù)量：小齒輪生產(chǎn)數(shù)量=1:3設(shè)分配x人生產(chǎn)大齒輪，則（68-x）人生產(chǎn)小齒輪8x： 10 (68 x) =1:3解得： x=20則生產(chǎn)小齒輪人數(shù)為：68 20=48 人答：生產(chǎn)大齒輪20 人，小齒輪48 人。題型 5 分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題解題技巧：此類(lèi)題型，收費(fèi)往往因?yàn)椴煌姆侄危瑯?biāo)準(zhǔn)會(huì)不

15、一樣。因此，在列寫(xiě)此類(lèi)問(wèn)題的等式方程時(shí)，需要先依據(jù)題意將路程進(jìn)行合理分段，然后在按照不同分段中的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)列寫(xiě)等式方程。例 1. 某種出租車(chē)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：起步價(jià)7 元（即行駛距離不超過(guò)3 千米需付7 元車(chē)費(fèi)） ，超過(guò) 3 千米后，每增加 1 千米加收2.4 元 （不足 1 千米按 1 千米計(jì)算）， 某人乘坐這種出租車(chē)從甲地到乙地共支付車(chē)費(fèi)19 元，則此人從甲地到乙地經(jīng)過(guò)的路程是多少千米？【答案】設(shè)他乘此出租車(chē)從甲地到乙地行駛的路程是x 千米，依題意：7+2.4（ x-3） =19，解得： x=8答：他乘此出租車(chē)從甲地到乙地行駛路程不超過(guò)8 千米例 2. 一出租車(chē)起步價(jià)是5 元， 8 公里內(nèi)按起步

16、價(jià)收費(fèi)，8 公里以上20公里以?xún)?nèi)按每增加1 公里另收費(fèi)0.5 ；20 公里以上按每增加1 公里另收費(fèi)1 元，一乘客付出車(chē)費(fèi)21 元，問(wèn)他乘坐多少公里？【答案】設(shè)他乘此出租車(chē)從甲地到乙地行駛的路程是x 千米，依題意：5+（ 20-8） *0.5+（ x-20） *1=21解得： x=30例3.某市居民用電基本價(jià)格為每度0.4元，若每月用電量超過(guò)a度，超過(guò)部分按基本電價(jià)的70%收費(fèi)。（ 1 ）某戶(hù) 5 月份用電84 度，共交電費(fèi)30.72 元，求 a.（ 2）若該戶(hù)6 月份的電費(fèi)平均每度0.36 元，求 6 月份共用電多少度？應(yīng)交電費(fèi)多少元？【答案】 （ 1 ） 0.4a+（ 84-a） *0.4

17、*0.7=30.72解得： a=60（ 2）設(shè)共用電x 度0.4*60+ （ x 60） *0.4*0.7=0.36x解得： x=90應(yīng)交費(fèi)：90*0.36=32.4 元題型6方案優(yōu)化問(wèn)題解題技巧：此類(lèi)題型，一般會(huì)提供多種方案供選擇，要求我們選出最合算的方案。解此類(lèi)題型，有2種思路。思路1:分別求解出每種方案的最終費(fèi)用，在比較優(yōu)劣思路2:求解出每種方案費(fèi)用相同時(shí)的臨界點(diǎn)，在根據(jù)臨界點(diǎn)進(jìn)行討論分析。例1.某單位急需用車(chē)，但又不需買(mǎi)車(chē)，他們準(zhǔn)備和一個(gè)個(gè)體車(chē)主或一國(guó)營(yíng)出租公司中的一家簽定月租車(chē)合同，個(gè)體車(chē)主的收費(fèi)是 3元/千米，國(guó)營(yíng)出租公司的月租費(fèi)為2000元，另外每行駛1千米收2元，(1)這個(gè)單位

18、若每月平均跑 1500千米，租用哪個(gè)公司的車(chē)比較合算？(2)每月跑多少千米兩家公司的費(fèi)用一樣？【答案】設(shè)當(dāng)路程為 x時(shí)，兩種方案的費(fèi)用一樣3x=2000+2x解得：x=2000所以當(dāng)x2000時(shí)，公司合算例2運(yùn)送一批木材，甲公司收費(fèi)是3000元起步，每公里另收 5元；乙公司起步價(jià)位 1000元，每公里另收8元。(1)當(dāng)路程為100千米時(shí)，選用哪家公司？(2)什么情況下，兩家公司的收費(fèi)一樣？【答案】(1)甲公司費(fèi)用為：3000+5 X 100=3500元乙公司費(fèi)用為：1000+8 X 100=1800元(2)設(shè)當(dāng)路程為x千米時(shí)，兩家公司收費(fèi)一樣依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：甲公司費(fèi)用=乙公司費(fèi)用300

19、0+5x=1000+8x解得：x=11,.一工的口 答：當(dāng)路程為一7千米時(shí)，兩家公司的收費(fèi)一樣。 題型7禾【J潤(rùn)問(wèn)題、打折問(wèn)題、盈虧問(wèn)題(P77; P90)解題技巧：此類(lèi)題型，需要我們找出利潤(rùn)和利潤(rùn)率之間的關(guān)系來(lái)列寫(xiě)等式方程。利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)禾I潤(rùn)率=售價(jià)=標(biāo)價(jià)X銷(xiāo)售折扣例1.七年級(jí)社會(huì)實(shí)踐小組調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某襯衫進(jìn)價(jià)為80元，購(gòu)進(jìn)了 500件，并以每件120元的價(jià)格銷(xiāo)售了 400件。剩下襯衫，準(zhǔn)備降價(jià)銷(xiāo)售。請(qǐng)你幫忙計(jì)算一下,每件襯衫降價(jià)多少元時(shí)，銷(xiāo)售完這批襯衫正好盈利 45%的預(yù)期目標(biāo)?【答案】等量關(guān)系式為:=45%設(shè)每件降價(jià)x元=45%和a 120+必皿 lSD-jv)-EaD-9)解得：x=

20、20 答：每彳降價(jià) 20元?jiǎng)偤糜?5%。例2.書(shū)店舉行購(gòu)書(shū)優(yōu)惠活動(dòng)：一次性購(gòu)書(shū)不超過(guò) 100元，不享受優(yōu)惠；一次性購(gòu)書(shū)超過(guò) 100元，但不超過(guò) 200元，一律九折；一次性購(gòu)書(shū)200元或以上，一律七折小林在這次活動(dòng)中，兩次購(gòu)書(shū)總共付費(fèi)229.4元，第二次購(gòu)書(shū)原價(jià)是第一次購(gòu)書(shū)原價(jià)的3倍，那么小林兩次購(gòu)書(shū)原價(jià)的總和是多少？【答案】設(shè)第一次購(gòu)書(shū)原價(jià)為x元，則第二次購(gòu)書(shū)原價(jià)為3x元假設(shè)x100,當(dāng)x最小為100,則3x為300時(shí)，優(yōu)惠后的價(jià)格為：100X 0.9+300 X 0.7=300 229.4所以x必定小于100假設(shè)3x 100,則x100,則兩次的費(fèi)用不足 200元所以3x必定大于100廣武

21、100情況一：則方程為：x+3x1： = U解得：x=62則第一次夠書(shū)原價(jià)為 62元，第二次購(gòu)書(shū)原價(jià)為 186元，成立,士 r 工io。情況二：占北200則方程為：x+3x - = U解得：x=74則第一次購(gòu)書(shū)原價(jià)為 74元，第二次購(gòu)書(shū)原價(jià)為 222元，成立。綜上得：第一次購(gòu)書(shū)和第二次購(gòu)書(shū)原價(jià)為62元、186元或74元、222元。題型8儲(chǔ)蓄問(wèn)題解題技巧：本金、利息、年利率、利息稅稅率和實(shí)得本利和之間的相等關(guān)系：本金鄧率=利息利息xa率=利息稅本金+利息-利息稅=實(shí)得本利和例1.小明把壓歲錢(qián)按定期一年存入銀行。當(dāng)時(shí)一年期存款的年利率為1.98%,利息稅的稅率為20%.到期支取時(shí)，扣除利息稅后小明

22、實(shí)得本利和為507.92元。問(wèn)小明存入銀行的壓歲錢(qián)有多少元？【答案】設(shè)小明存入銀行的壓歲錢(qián)為x元。依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：本金+利息-利息稅=實(shí)得本利和x+1.98%x 5一二胤肺；=507.92解得：x=500答：小明存入銀彳T的壓歲錢(qián)為500元。例2.老王把5000元按一年期的定期儲(chǔ)蓄存入銀行。到期支取時(shí)，扣去利息稅后實(shí)得本利和為5080元。已知利息稅稅率為 20% ,問(wèn)當(dāng)時(shí)一年期定期儲(chǔ)蓄的年利率為多少？【答案】設(shè)老王存入銀行的年利率為x%。依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：本金+利息-利息稅=實(shí)得本利和5000+5000 x%（1一 題）筋；=5080解得： x=2答：利率為2%。題型 9 行程問(wèn)

23、題解題技巧：行程問(wèn)題總公式為：路程 =速度X時(shí)間。行程問(wèn)題可分為3大類(lèi)，不同類(lèi)型的問(wèn)題，在求解速度時(shí)有所不同，具體如下：（ 1 ）相遇問(wèn)題：總速度=甲的速度+乙的速度（ 2）追擊問(wèn)題：總速度=追擊者速度被追擊者速度（快慢）（ 3）航行問(wèn)題：順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度+水（風(fēng)）速逆水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度水（風(fēng)）速例 1. 甲、乙兩地相距100 千米，小張與小王分別從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，小張的速度比小王的速度每小時(shí)快10 千米，經(jīng)過(guò)2 小時(shí)相遇，小張和小王的速度分別是多少？【答案】設(shè)小王的速度為xkm/h ，則小張的速度為（x+10） km/h。依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：小張走的

24、路程+小王走的路程=總路程2x+2（ x+10） =100解得： x=20則小王的速度為20km/h ，小張的速度為20+10=30km/h 。答：小王的速度為 20km/h,小張的速度為 20+10=30km/h。例 2.一列火車(chē)勻速行駛，完全通過(guò)一條長(zhǎng)300 米的隧道需要20 秒的時(shí)間，隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車(chē)上的時(shí)間是10 秒，求火車(chē)的速度?！敬鸢浮吭O(shè)火車(chē)的速度為xm/s依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：火車(chē)速度X時(shí)間=隧道長(zhǎng)度+火車(chē)長(zhǎng)度20 x=300+10 x解得： x=30答：火車(chē)的速度為30m/s。例 3.一輛慢車(chē)從A 地開(kāi)往 300 千米的 B 地， 一輛快車(chē)同時(shí)從

25、B 地開(kāi)往 A 地， 若慢車(chē)速度為40千米每小時(shí)，快車(chē)速度是慢車(chē)速度的1.5 倍，他們出發(fā)多久后相距100千米？題型12數(shù)字問(wèn)題 【答案】出發(fā)后相距 100千米，有2種情況。一種為還未相遇，距離為 100千米；另一種為相遇后，再次相距100千米。情況一：兩車(chē)還未相遇，之間的距離為100千米設(shè)出發(fā)時(shí)間為xh依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：快車(chē)走的距離+慢車(chē)走白距離=300 10040 x+15 4x=300- 100解得：x=2情況二：兩車(chē)相遇后，之間的距離再次為100千米設(shè)出發(fā)時(shí)間為xh依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：快車(chē)走的距離+慢車(chē)走白距離=300+10040 x+1.5 案：二=300+100解得：x=

26、4 綜上得：出發(fā)2小時(shí)和出發(fā)4小時(shí)時(shí)，相距100千米。題型10工程問(wèn)題解題技巧：我們常常把工作總量看做單位“1”，工作效率則用幾分之幾表示。在工程問(wèn)題中，常常用“不同的對(duì)象所完成的工作量之和等于總工作量”這個(gè)關(guān)系來(lái)列寫(xiě)等式方程。例1.一件工程單獨(dú)甲做 20小時(shí)，乙要12小時(shí)，現(xiàn)由甲先單獨(dú)做 4小時(shí)，然后乙加入合做，一共需要合做幾個(gè)小時(shí)？【答案】設(shè)一共需要 x個(gè)小時(shí)，工程量為單位“1”依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：甲獨(dú)做的工程量+甲乙合作的工程量=12*4+（今去奪富=1解得：x=6答：合作一共需要做 6小時(shí)。例2.加工一批零件，由一人做需要 100小時(shí)，現(xiàn)在計(jì)劃先由若干人做2小時(shí)，再增加5人做9小時(shí)

27、，恰好完成任務(wù)，先安排多少人做2小時(shí)？【答案】先安排x人做2小時(shí)，工程量為單位“ 1”，一個(gè)人的工作效率為 工依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：先做 2小時(shí)的工程量+增加5人的完成的工作量=12x + - -+ 5) = 11*0ILOOi f解得：x=5答：先安排5人做2小時(shí)。題型11等積問(wèn)題解題技巧：圖形無(wú)論如何切割或邊形，其面積或體積始終不變，利用這個(gè)不變的特點(diǎn)，列寫(xiě)等式方程。例1.某工廠(chǎng)鍛造直徑為 60毫米，高20毫米的圓柱形零件毛坯，需要截取直徑40毫米的圓鋼多長(zhǎng)?【答案】構(gòu)造成零件，雖然形狀改變，但是總體積始終不變，依次來(lái)列寫(xiě)等量方程。依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：零件的體積=圓鋼的體積設(shè)圓鋼長(zhǎng)度

28、為x毫米兀解得：x=45答：需要截取 40mm的圓鋼45mm。例2.如圖一個(gè)鐵片長(zhǎng) 30cm,寬20cm,打算從四個(gè)角各截去一個(gè)小正方形，然后把四邊折起來(lái)做一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒，鐵盒的底面周長(zhǎng)為60cm,問(wèn)鐵盒的高是多少?【答案】設(shè)鐵盒的高為 xcm依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：鐵盒的底面周長(zhǎng)+截取正方形邊長(zhǎng)=鐵片周長(zhǎng)60+24 =2 (30+20)解得：x=5答：鐵盒的高是5cm 解題技巧：任何一個(gè)正數(shù) N=3qN_nn_二一都可以表示為0ta/1。再+/tX 1。吁1+ +的 X I。1 + aaX 10 o利用這個(gè)特點(diǎn)和題干中的關(guān)系，尋找等式方程。例1.一個(gè)兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大5

29、,并且這個(gè)兩位數(shù)比它的兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和的8倍還要大5,求這個(gè)兩位數(shù)?！敬鸢浮吭O(shè)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為x,則十位數(shù)字為(x+5)依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：這個(gè)兩位數(shù)=各位數(shù)字之和X 8+510 (x+5) +x=8 (x+5+x) +5解得：x=1所以這個(gè)數(shù)個(gè)位數(shù)字為 1,十位數(shù)字為1+5=6所以這個(gè)兩位數(shù)為 61答：這個(gè)兩位數(shù)為 61例2.一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)字之和為11,如果十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，則所得的新數(shù)比原來(lái)的數(shù)大 63,求原來(lái)的兩位數(shù)?！敬鸢浮吭O(shè)個(gè)位數(shù)字為 x,則十位數(shù)字為(11 x)依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：新的兩位數(shù)=原兩位數(shù)+6310 x+(11 x)=

30、10(11 - x)+x+63解得:x=9所以原數(shù)個(gè)位數(shù)為：9,十位數(shù)為：119=2所以原來(lái)的兩位數(shù)為 29答:原來(lái)的兩位數(shù)為29.題型13積分問(wèn)題解題技巧：此類(lèi)問(wèn)題，主要是通過(guò)積分來(lái)列寫(xiě)等式方程。需要注意，有些比賽結(jié)果只有勝負(fù)；有的比賽結(jié)果又勝負(fù)和平局。比賽總場(chǎng)數(shù)=勝場(chǎng)數(shù)+負(fù)場(chǎng)數(shù)+平場(chǎng)數(shù)比賽積分=勝場(chǎng)積分+負(fù)場(chǎng)積分+平場(chǎng)積分例1.足球賽8輪，勝一場(chǎng)記3分，平一場(chǎng)記1分，輸一場(chǎng)不得分。在這次足球比賽中，猛虎隊(duì)平的場(chǎng)次是負(fù)的場(chǎng)次的2倍，且8場(chǎng)比賽共得17分，該隊(duì)共勝多少場(chǎng)？【答案】設(shè)該隊(duì)共負(fù) x場(chǎng)，則平2x場(chǎng)，勝（8 3x）場(chǎng)依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：平場(chǎng)分?jǐn)?shù)+勝場(chǎng)分?jǐn)?shù)=總得分2x+3（ 8 3x

31、） =17解得： x=1所以負(fù) 1 場(chǎng)，平 2 場(chǎng)，勝8 3=5 場(chǎng)答：該隊(duì)共勝5 場(chǎng)。例 2.足球比賽，勝一場(chǎng)記3 分，平一場(chǎng)記1 分，輸一場(chǎng)不得分。一支足球隊(duì)在某個(gè)賽季中共比賽14場(chǎng)，現(xiàn)在已比 8 場(chǎng)，輸了1 場(chǎng)，共得17 分。問(wèn)：（ 1 ）前 8 場(chǎng)比賽中，這支球隊(duì)共勝多少場(chǎng)？（ 2）打滿(mǎn) 14場(chǎng)，最高能得多少分？通過(guò)比賽分析，到比賽結(jié)束，得分不低于29 分， 則后面的6 場(chǎng)比賽至少要?jiǎng)賻讏?chǎng)才能達(dá)到預(yù)期目標(biāo)？【答案】（1）設(shè)前8場(chǎng)比賽，該隊(duì)共勝 x場(chǎng)，則平（7x）場(chǎng)依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：平場(chǎng)分?jǐn)?shù)+勝場(chǎng)分?jǐn)?shù)=總得分3x+（ 7 x） =17解得： x=5答：這支球隊(duì)共勝5 場(chǎng)（ 2）打滿(mǎn)

32、 14場(chǎng)，還剩下14 8=6 場(chǎng)，要想得到最高分，則剩下的比賽全勝。得分為：17+6X3=35分（3）要求最少的勝場(chǎng)，則未勝的場(chǎng)次為平局。設(shè)至少要?jiǎng)?y場(chǎng)，則平（6y）場(chǎng)依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：勝場(chǎng)分?jǐn)?shù)+平局分?jǐn)?shù)=29 173y+（ 6 y） =29 17解得： y=3答：至少需要?jiǎng)? 場(chǎng)。0三、難點(diǎn)題型題型1設(shè)輔助未知數(shù)解題技巧：我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，除了應(yīng)設(shè)的未知數(shù)外，增設(shè)一些輔助未知數(shù)，其目的不是要具體地求出它們的值，而是以此作為橋梁，溝通數(shù)量之間的關(guān)系，架起連接以質(zhì)量和未知量。例1.從下午3點(diǎn)步行到晚上8點(diǎn)，先走平路，然后上山，到達(dá)山頂后就按原路下山，再走平路返回出發(fā)地。若他走平路每小時(shí)

33、 4千米，上山每小時(shí) 3小時(shí)，下山每小時(shí) 6千米，問(wèn)這個(gè)人一共走了多少千米？【答案】設(shè)全程為x千米，山路長(zhǎng)為y千米，則他上山需要2小時(shí)，下山需要二小時(shí)，走平路來(lái)回需要工里小 54時(shí)依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：平路時(shí)間+上山時(shí)間+下山時(shí)間=總時(shí)間3&*通過(guò)化簡(jiǎn)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)未知數(shù) y在化簡(jiǎn)中會(huì)被抵消掉解得：x=20答：這個(gè)人一共走了 20千米。例2.一個(gè)水池，底部裝有一個(gè)常開(kāi)的排水管，上部裝有若干粗細(xì)相同的進(jìn)水管，打開(kāi)4個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要5小時(shí)注滿(mǎn)水池。打開(kāi) 2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿(mǎn)水池?，F(xiàn)在要在2小時(shí)內(nèi)將水池注滿(mǎn)，至少要打開(kāi)多少個(gè)進(jìn)水管？【答案】設(shè)水池容量為 w,進(jìn)水每根水管每小時(shí)為 x,出水

34、為V。依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：進(jìn)水-出水=水池容量51 4x - 5y = w15 1 2x 15y = w化簡(jiǎn)得：雖然無(wú)法解出未知數(shù)具體得數(shù)，但可以得到未知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系設(shè)至少打開(kāi)z個(gè)進(jìn)水管，可以在 2小時(shí)注滿(mǎn)水依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：進(jìn)水-出水=水池容量2zx 2y=w將y, z都用x表示出來(lái)，求解過(guò)程中，x也會(huì)抵消掉解得：z=8.5所以至少需要9個(gè)進(jìn)水管答：至少需要9個(gè)進(jìn)水管。題型2商品銷(xiāo)售問(wèn)題(復(fù)雜)解題技巧：在解決復(fù)雜商品銷(xiāo)售問(wèn)題時(shí)，通常會(huì)多設(shè)原價(jià)為a這個(gè)未知數(shù)，雖然在解題過(guò)程中，這個(gè)未知數(shù)會(huì)被消掉。但是，若不設(shè)這個(gè)未知數(shù)，許多關(guān)系就不好表達(dá)了。例1.某商品的標(biāo)價(jià)比成本高 p%,當(dāng)

35、該商品降價(jià)出售時(shí)，為了不虧損成本，售價(jià)的折扣(即降價(jià)的百分?jǐn)?shù)) 不得超過(guò)d%,試用p表示d?！敬鸢浮吭O(shè)商品成本為 x依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：利潤(rùn) =售價(jià)X折扣-成本x (1+p%) (1 d%) x=0求解過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)x會(huì)抵消掉解得：d=答：d和p的關(guān)系式為:13B+p例2.商店一種商品的進(jìn)價(jià)降低了 8%,而售價(jià)保持不變，可使得商品的利潤(rùn)提高 10%,問(wèn)原來(lái)的利潤(rùn)是多少?【答案】設(shè)原來(lái)的進(jìn)價(jià)為 a元，原利潤(rùn)率為x%。依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：原利潤(rùn)率 +10%= -一化簡(jiǎn)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，a可以抵消掉解得：x=15答：原來(lái)的利潤(rùn)率為 15%。例3.某商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)一種商品，由于進(jìn)貨時(shí)價(jià)格比原價(jià)降低了6.4%

36、,使得利潤(rùn)增加了 8%,求經(jīng)銷(xiāo)這種商品原來(lái)的利潤(rùn)率?！敬鸢浮吭O(shè)原進(jìn)價(jià)為 x元，售價(jià)為y元 依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：原利潤(rùn)率+8%=+8% =jFT L一氐冷鹿化簡(jiǎn)彳導(dǎo):100y=117x口后RE工八、Hn y-SF _ UKjIODjic _ HXit-lBax _ 17jt _ - 題干要求求斛原利潤(rùn)率，即答：商品原來(lái)白利潤(rùn)率為 17%。題型3行程問(wèn)題（復(fù)雜）解題技巧：行程問(wèn)題時(shí)基本的數(shù)學(xué)模型，我們需要找到合適的數(shù)學(xué)模型，建立等量關(guān)系。在行程問(wèn)題中，最常見(jiàn)的方式是通過(guò)對(duì)速度的疊加與分解來(lái)建立等量關(guān)系。例1.甲、乙分別從 A、B兩地出發(fā)相向而行，若同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò) 36分鐘相遇；若甲比乙提前15

37、分鐘出發(fā),乙出發(fā)后30分鐘相遇，求甲由 A地到B地、乙由B地到A地所用的時(shí)間。1 1 1【答案】設(shè)甲從 A到B所用的時(shí)間為x分鐘，總路程為單位“ 1”，則甲的速度為一，乙的速度為（二一一） MJF依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：甲走的路程+乙走的路程=總路程“15 + 30）+30=1解得：x=90所以甲從A到B的時(shí)間為90分鐘乙從B到A的時(shí)間為=T=T 丁=60分鐘答：甲從A地到B地需要90分鐘，乙從B到A需要60分鐘。例2.某商場(chǎng)有一部自動(dòng)扶梯勻速由下至上運(yùn)動(dòng)，甲、乙都急于上樓辦事，因此在乘自動(dòng)扶梯的同時(shí)勻速登樓，甲登55級(jí)后達(dá)到樓上，乙登樓速度是甲的2倍，他登了 60級(jí)后到達(dá)樓上，那么，由樓下到

38、樓上自動(dòng)扶梯級(jí)數(shù)為多少級(jí)？【答案】設(shè)甲的速度為 x,則乙的速度為2x,設(shè)樓梯的速度為 y此題為流水模型，依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：（甲的速度+樓梯速度）X甲上樓梯的時(shí)間 二樓梯長(zhǎng)度=（乙的速度+樓梯速度）X乙上樓梯的時(shí)間區(qū)58。甲上樓的時(shí)間為： ;，乙上樓的時(shí)間為：55 z 、印 一 電一（x+y ） = Cm +篁） x2x化簡(jiǎn)可以求得x與y之間的等量關(guān)系：x=5y樓梯長(zhǎng)度=-（x+y）,將x=5y代入可求得為：66答：樓梯長(zhǎng)度為66級(jí)。例3.某人勻速走在馬路上，馬路的前后兩端都有公共汽車(chē)站，每間隔相同時(shí)間發(fā)出一輛公共汽車(chē)，他發(fā)現(xiàn)每隔15分鐘有一輛汽車(chē)追上他；每隔10分鐘有一輛公共汽車(chē)迎面駛來(lái)

39、。問(wèn)公共汽車(chē)每隔多少分鐘發(fā)車(chē)輛（設(shè)每輛公共汽車(chē)速度相同）?！敬鸢浮吭O(shè)人的速度為 x,車(chē)的速度為y,發(fā)車(chē)間距時(shí)間為 zo當(dāng)?shù)谝惠v車(chē)與人相遇后，第二輛車(chē)距人的距離為yz。從后追上人的車(chē)，為追擊模型，即yz這段距離，車(chē)需要15分鐘追上迎面的車(chē)，為相遇模型，即yz這段距離，車(chē)需要 10分鐘相遇lyz = 10 0+ x?化簡(jiǎn)可抵消z,求得x與y之間的數(shù)量關(guān)系：y=5x代入產(chǎn)7= 15 6?一衰,可求得：z=12答：每個(gè)12分鐘發(fā)一輛車(chē)。題型4工程問(wèn)題（多個(gè)未知數(shù)）解題技巧：工程問(wèn)題關(guān)鍵是把“一項(xiàng)工程”看成單位“1”，工作效率就可以用工作時(shí)間的倒數(shù)來(lái)表示。復(fù)雜的工程問(wèn)題，往往需要設(shè)多個(gè)未知數(shù)，不要擔(dān)心，

40、在求解過(guò)程中，有一些未知數(shù)是可以約掉的。例1.一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做 24小時(shí)完成，乙單獨(dú)做 36小時(shí)完成。先要求 20小時(shí)完成，并且兩人合作的時(shí)間 盡可能短，那么，甲乙合作多長(zhǎng)時(shí)間？【答案】設(shè)甲乙合作 x小時(shí)，工程量為單位“ 1”因?yàn)橐蟊M量少合作，則合作完成后，后續(xù)的工作給完成得快的單位完成，即合作完成后，剩下的工作交給甲完成。依據(jù)題意，等量關(guān)系為：合作的工程量+甲后續(xù)完成的工程量 =1化簡(jiǎn)求得：x=6 答：甲乙合作6小時(shí)。例2.現(xiàn)有男、女工人1100人，其中全體男工和全體女工可用同樣的天數(shù)完成同樣的工作。若將男工人數(shù)和女工人數(shù)對(duì)調(diào)一下，則全體男工25天能完成工作，讓女工做 36天才能完成。問(wèn)男、女工人數(shù)各是多少？【答案】設(shè)男工人 x人，則女工人有（1100 x）人；設(shè)男工人的工作效率為 y,女工人的工作效率為 z,工 程量為單位“ 1”。依據(jù)題意，等量關(guān)系式為：男工人數(shù)x男工人工作效率x男工人工作時(shí)間=1=女工人數(shù)