頻率特性分析法主編修改版演示文稿

1、第六章 頻率特性分析法版本2.02021年6月主編修改版制作:羅家祥 審校:胥布工深圳大學機電與控制工程學院第六章 頻率特性分析6.1 引言6.2 頻率特性的根本概念6.3 頻率特性圖示法6.4 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性6.5 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)6.6 穩(wěn)定裕度6.7 基于開環(huán)對數(shù)頻率特性的系統(tǒng)性能分析6.8 閉環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能指標6.9 利用MATLAB進行控制系統(tǒng)的頻率特性分析6.10 小結6.1 引言本章知識體系基于開環(huán)對數(shù)頻率特性的性能分析閉環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能指標系統(tǒng)開環(huán)頻率特性奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定裕度法頻率特性概念閉環(huán)系統(tǒng)的典型頻率特性頻率特性圖示法MATLAB應用6.1 引言引入頻率

2、法的原因：對于某些高階系統(tǒng)，由于可能包含數(shù)十個以上的儲能元件，難于建模和求解。頻率法將系統(tǒng)看作是具有信號處理能力的黑箱，以正弦波為根本鼓勵信號建立系統(tǒng)的輸入輸出特性。頻率特性分析法：以不同頻率的正弦信號作為輸入，通過研究系統(tǒng)的頻率響應特性來分析系統(tǒng)性能，稱為頻率特性分析法。優(yōu)點：圖形方式進行系統(tǒng)分析與設計，簡單、直觀。將乘法計算轉化為簡單的加法計算，在頻率域中通過頻率指標直接分析系統(tǒng)的性能。不需要求解時域響應，也不需按照系統(tǒng)工作原理進行微分方程的建模。6.2 頻率特性的根本概念6.2.1 頻率響應與頻率特性的定義線性定常系統(tǒng)的頻率響應：在零初始條件下，系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應。線性定常系統(tǒng)

3、的頻率特性：輸入：正弦信號；輸出：正弦信號，頻率不變，幅值和相位發(fā)生變化。假設采用極坐標將系統(tǒng)的正弦輸入信號和正弦輸出響應表示為復數(shù)，那么系統(tǒng)的頻率特性定義為：系統(tǒng)的輸出與輸入之復數(shù)比。6.2 頻率特性的根本概念考慮系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，pl0和K0時，其相頻特性分別為0和-180的水平線6.4 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性(1) 幅相頻率特性曲線: 積分環(huán)節(jié)正頻率局部的幅相頻率特性曲線與負虛軸重合，而微分環(huán)節(jié)的那么與正虛軸重合 (2) 對數(shù)幅相頻特性: 均通過橫軸上(,L()=(1,0)點，積分環(huán)節(jié)斜率為-20dB/dec，微分環(huán)節(jié)斜率為20dB/dec，相位那么分別為-90和90。6

4、.4 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性(1) 慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線: 幅相頻率特性曲線呈圓形。穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)和不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)正頻率局部的幅相頻率特性曲線如圖6-19。6.4 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性(2) 一階微分環(huán)節(jié)1jTP=1, Q= T;(3) 對數(shù)幅頻特性: (1jT)-1在低頻段增益近似為1，而在高頻段增益隨頻率增大而減小，具有低通濾波作用。穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)在低頻段引入的相位滯后小，特性與比例環(huán)節(jié)相似；在高頻段相位滯后接近-90，作用與積分環(huán)節(jié)相似。1jT具有高通濾波作用，(1+jT)可以提供正相位。6.4 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性(4) 慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性的漸近特性近似 對數(shù)頻率特性漸近線：低頻

5、段：0dB的水平線 高頻段：-20dB/dec斜率的斜線兩條漸近線相交于(1/T,0dB)轉折頻率： =1/T反映慣性環(huán)節(jié)響應的快慢程度，轉折頻率越大，那么響應越快。對漸進曲線的修正：1/T處誤差最大。遠離1/T，誤差逐漸減小。6.4 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性(5) 對數(shù)相頻特性如圖6-21: 對數(shù)相頻特性的橫坐標以lg為刻度；10/T時，()-90或90。1/(10T)10/T之間，可以先確定幾個特征點的位置，然后以光滑曲線連接這些點即可得對數(shù)相頻特性的大致輪廓。 6.4 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性(1) 幅相頻率特性: 從(1,j0)出發(fā), 最終趨于原點;=1/T時,特性與負虛軸交于(0，-1/2)穩(wěn)定

6、，(0，1/2)不穩(wěn)定6.4 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性(2) 振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性特點:當阻尼系數(shù)較小時，=n=1/T處出現(xiàn)一明顯的峰值，稱為諧振峰值，相應頻率n稱為諧振頻率。當阻尼系數(shù)接近1時，振蕩環(huán)節(jié)具有低通濾波的作用；而隨著減小，=n=1/T處的幅值迅速增大，說明其對輸入信號中該頻率附近分量的放大作用逐漸加強，此時，振蕩環(huán)節(jié)具有選頻作用。 6.4 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性用漸進線代替精確曲線，在=n附近誤差最大；誤差大小與阻尼比相關，0.31時，奈奎斯特曲線逆時針與最小相位傳遞函數(shù)情況不同包圍點(1, j0)一圈，由于P=1，Z=N+P= 1+1=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當K0)型系統(tǒng): 0-和0+ ，

7、G(j)均趨于無限遠處,2) 當=0-0+時，角從90經0逆時針變化到+90 ，在GH(s)平面上的映射曲線將沿著半徑為無窮大的圓弧按順時針方向轉過v180。構成封閉曲線。廣義奈奎斯特路徑I型系統(tǒng)=0-0+的映射曲線6.5 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)奈奎斯特曲線的正、負頻率局部正是通過6-32所述無窮大圓弧彼此銜接形成封閉的曲線.v=1v=2v=36.5 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)因奈奎斯特曲線的正、負頻率局部關于實軸互為鏡像，故常只需正頻率局部: 0+奈奎斯特曲線由0+奈奎斯特曲線和 0 0+順時針繞v90的輔助線構成來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。記正頻率局部包圍 (1, j0)點的權屬為N，而F(s)在右半s平面的零

8、點個數(shù) (T(s)在右半平面的極點個數(shù))Z： Z= N+P =2N+P (6-33)3. 僅從正頻率局部判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性例6-8 設單位反響系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為v=2，起點：其奈奎斯特曲線起始點+180 (=0+), 終點：0180 ，當=0時， 先增后減。 0+奈奎斯特曲線和 0 0+順時針v90的輔助線構成如圖6-48所示。Z=2N+P=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。6.5 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)4、從正負穿越判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性正穿越：隨,頻率特性曲線自上而下穿過負實軸 (-1)區(qū)段一次，伴隨相角增加,故稱為正穿越；負穿越：隨,頻率特性曲線自下而上穿過負實軸(-1)區(qū)段一次，伴隨相角減少，故稱為負穿越。半次

9、正、負穿越: 正頻率局部奈奎斯特曲線及對應輔助線起始于(1, j0)點左側負實軸的算半次正穿越，反之，終止于(1, j0)點左側的負實軸的算半次負穿越。如圖6-50。6.5 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)例6-9 單位反響系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性如圖6-49所示，其中，P=0，v=1，試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：先補充完整負頻率局部曲線，用半徑為無窮大的右半圓將, =0 和=0+ 處的特性曲線連接起來，如圖6-51所示?？梢姡篜3負穿越一次，P2正穿越一次。故N-=1，N+=1，即N=-2(N-N+)=0Z=N+P=0 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。當K發(fā)生變化時，P1，P2，P3位置發(fā)生變化，假設 (1, j0)位于點P1和原

10、點之間，或者在P2與P3之間，系統(tǒng)不穩(wěn)定。這種參數(shù)無論增大還是減小都可能不穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。 6.5 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)6.5.4 基于對數(shù)頻率特性的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 正頻率局部奈奎斯特曲線與其伯德曲線之間具有以下對應關系：1奈奎斯特圖的單位圓對應伯德圖上的0分貝線；在GH平面上單位圓內、外區(qū)域分別對應0分貝線以下和以上的區(qū)域，即L()0的局部。2GH平面上的負實軸對應于伯德圖上的180線。 6.5 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)在L()0的區(qū)間內，()曲線自下而上通過180線為正穿越，而()曲線自上而下通過180線為負穿越。當開環(huán)傳遞函數(shù)的型別v2時，相頻特性曲線在=0+附近小于180，此時可在對

11、數(shù)相頻特性曲線=0+附近自上而下補畫一條輔助線，使該輔助線通過的相角為v90，如圖6-53所示。計算正、負穿越次數(shù)時，應將補上的輔助線看成對數(shù)相頻特性曲線的一局部。相角增加：正穿越相角較少：負穿越6.5 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)基于伯德圖的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可表述為： 設開環(huán)傳遞函數(shù)GL(s)在右半s平面的極點數(shù)為P，且在開環(huán)對數(shù)幅頻特性L()0的所有頻率范圍內，對數(shù)相頻特性曲線及對應輔助線對180線的負穿越為N ，正穿越為N+，當2(N+ N)=P時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否那么，有 Z=2N+P個特征根在右半s平面，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。例6-10 一單位負反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面的無極點，其開環(huán)對數(shù)頻

12、率特性曲線如圖6-53所示，其中，v=2，試判斷其穩(wěn)定性。Z=2(NN+)+P=2(10)+0=2,閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。右半s平面有2個極點。6.6 穩(wěn)定裕度6.6.1 幅穩(wěn)定裕度和相穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度是一種基于開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的頻域指標，包括幅穩(wěn)定裕度和相穩(wěn)定裕度，它們既可以在奈奎斯特圖中表示，也可以在伯德圖中表示，兩者存在對應關系。大小對穩(wěn)定性有重要意義6.6 穩(wěn)定裕度1. 幅值裕度KGM：與負實軸相交時開環(huán)幅相頻率特性幅值的倒數(shù)。6.6 穩(wěn)定裕度2. 相角裕度：當幅值|GH(j)|=1時開環(huán)幅相頻率特性向量與負實軸的夾角。6.6 穩(wěn)定裕度對于最小相位系統(tǒng)，欲使系統(tǒng)穩(wěn)定需保證1或KGM1 .為保

13、證在許多不確定因素作用下系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定，應使幅值裕度和相位裕度都足夠大。但是，穩(wěn)定裕度過大往往會影響系統(tǒng)的其它性能，例如系統(tǒng)響應的快速性。 工程上一般選擇, =3060, LGM =620dB6.6 穩(wěn)定裕度例6-11 某反響系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為6.6 穩(wěn)定裕度開環(huán)增益增大了10倍系統(tǒng)穩(wěn)定裕度依然滿足工程上對相位裕度的一般要求，這在很大程度上得益于零點s+2抵消了其臨近極點s+1滯后相位對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，使得相位在相當寬的頻段內下降都很平緩。令GH(j)的虛部為0，求出穿越頻率g，計算幅值裕度的精確值。因為截止頻率c的精確值計算復雜,往往需要通過試探法求取。實際應用更多利用仿真軟件直接調用命

14、令計算。6.6 穩(wěn)定裕度例6-12 某反響系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為利用MATLAB得到的伯德圖，計算其幅值裕度和相位裕度分別為兩個閉環(huán)系統(tǒng)均穩(wěn)定，但前者的幅值裕度和相位裕度遠大于后者。忽略開環(huán)小慣性環(huán)節(jié)即便不一定導致系統(tǒng)穩(wěn)定性的誤判，也容易得到錯誤的相對穩(wěn)定性分析結果。假設添加延遲環(huán)節(jié)，那么其所引入的相位滯后隨頻率增大而增大，也將削弱閉環(huán)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，甚至使相位裕度為負值(0)從而導致不穩(wěn)定 由圖6-57可知，由于相位隨頻率增加而減小，故可通過減小開環(huán)傳遞系數(shù)使對數(shù)幅頻特性下移，以降低截止頻率c，從而增大相位裕度。6.6 穩(wěn)定裕度需要指出的是穩(wěn)定裕度法一般適用于以下兩類系統(tǒng)：1開環(huán)系統(tǒng)是最小相位

15、的系統(tǒng)；2含有純時延且不含右半s平面零點的開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)。a圖，G1和G2雖然具有相同的幅值裕度，但G2更遠離(-1,j0)點，因而對應的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度高。b圖，G1和G2相角裕度相同，但G1遠離(-1,j0)點，因此G1對應的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度高。(a)(b)只要添加適當?shù)募儠r延環(huán)節(jié)兩種情況均可變?yōu)闂l件穩(wěn)定系統(tǒng)，不能用簡單的穩(wěn)定裕度法來判定穩(wěn)定性或估計系統(tǒng)動態(tài)性能。6.6 穩(wěn)定裕度6.6.2 穩(wěn)定裕度與時域性能指標的關系穩(wěn)定裕度與閉環(huán)時域性能指標之間的聯(lián)系，通常以研究相位裕度與時域性能指標之間的量化關系為主 1、典型二階閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 其對應的單位反響開環(huán)頻率特性為6.6 穩(wěn)定裕度6.

16、6 穩(wěn)定裕度假設兩系統(tǒng)相位裕度相同時，那么超調量相等，而截止頻率c較大的系統(tǒng)因響應快而調節(jié)時間較短。6.6 穩(wěn)定裕度例6-13 某隨動系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試判斷K ex6_16回車運行結果見圖6-73、6-74。6.9 利用MATLAB進行控制系統(tǒng)的頻率特性分析6.9.2 分析控制系統(tǒng)的性能1單回路系統(tǒng)例6-17 小功率角度隨動系統(tǒng)1忽略傳感器與濾波電路慣性，即T1=0。設K=10，試判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解：開環(huán)傳遞函數(shù)為奈奎斯特曲線如圖6-73 ，不包含(1, j0)點，系統(tǒng)穩(wěn)定。6.9 利用MATLAB進行控制系統(tǒng)的頻率特性分析2令T1=0，試判斷是否可通過調整K值，使系統(tǒng)相位裕度30。解:

17、 繪制伯德曲線需要給定K。由于K的取值不會影響相頻特性，因此可先令K=10。伯德圖如圖6-74所示，相位裕度約為18，不滿足要求。減小K可以使對數(shù)幅頻特性下降，截止頻率c左移，從而增大相位裕度。 利用伯德圖，找到相位為150的點，其對應頻率約為1.7rad/s。該頻率下幅值約為9.4dB，故應將20lgK減小9.4dB，此時K3.3，那么截止頻率落于1.7rad/s左方，相位裕度大于30。6.9 利用MATLAB進行控制系統(tǒng)的頻率特性分析3假設濾波電路慣性、電機電磁慣性和功率放大器慣性的總效應不能忽略，可將其影響等效為一個一階慣性環(huán)節(jié)1/(0.2s+1)，此時開環(huán)傳遞函數(shù)為K/s(s+1)(0

18、.2s+1)。試判斷是否可通過K值，使系統(tǒng)相位裕度30。 解: 編寫ex6_17_3.m文件，求出新的開環(huán)傳函的伯德圖，見圖6-76。其相位裕度約為13.3，不滿足要求。在相頻特性曲線找到相位為150的點，對應頻率約為1.08rad/s。對數(shù)幅頻特性需要下降約6dB才能使截止頻率落于1.08rad/s左方，即需將K減小至小于1.65。將K改為1.65，重新執(zhí)行ex6_17_3.m文件，可得此時相位裕度約為30.2，滿足要求。6.9 利用MATLAB進行控制系統(tǒng)的頻率特性分析兩者的幅頻特性在低頻段幾乎沒有差異，只是后者的相頻特性在中頻段開始明顯滯后于前者，因而相位裕度較小。實際系統(tǒng)的閉合回路中一

19、般都存在很多小慣性環(huán)節(jié)，即使每一個對系統(tǒng)的影響都很小，但是其總體效將可能顯著降低系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，因而不能輕易忽略。假設小慣性環(huán)節(jié)具有高頻諧振特性，那么對系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度影響更大。本例中2與3之間只相差了小慣性環(huán)節(jié)1/(0.2s+1)，為比較該差異對系統(tǒng)特性的影響，可編寫218頁M文件ex6_17_23.m并執(zhí)行，結果如圖6-77所示 。6.9 利用MATLAB進行控制系統(tǒng)的頻率特性分析2雙回路系統(tǒng)設某雙回路系統(tǒng)的結構如圖6-78所示，且K1，K20。1試計算K2=1.3時局部反響回路的穩(wěn)定裕度。2試計算K2=1.3時，K1的穩(wěn)定域。解：分步求解如下： 1當K2=1.3時，局部反響回路的開環(huán)頻率特

20、性為編寫M文件ex6_18.m見219頁，畫出伯德圖圖6-79。輸出穩(wěn)定裕度Lg_L =Inf6.9 利用MATLAB進行控制系統(tǒng)的頻率特性分析2為運用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，應確定主回路開環(huán)頻率特性表達式。在命令窗口輸入指令：GCL=feedback(GL,HL,-1) 回車運行結果得局部反響回路閉環(huán)傳遞函數(shù)為令K1=1，那么主回路開環(huán)傳遞函數(shù)為在命令窗口中鍵入以下指令：得到主回路奈奎斯特曲線圖6-80。6.9 利用MATLAB進行控制系統(tǒng)的頻率特性分析為確定曲線與負實軸交點，將其靠近原點附近局部曲線放大，得圖6-81。由圖知，其交點約為(0.075,j0)。曲線未包圍臨界點(1,j0)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。隨著K1的增大，該交點左移，直至與(1, j0)重疊，此時系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。故K1的穩(wěn)定域為可運行以下指令驗證的穩(wěn)定域：Lg,Y,Wg,Wc=margin(GO) 回車得到Lg=13.2995。 6.10 小結1頻率特性及其圖示方法 頻率特性是線性定常系統(tǒng)的一種頻域模型。對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，假設采用極坐標將系統(tǒng)的正弦輸入信號和穩(wěn)態(tài)正