湖南省湘潭市湘鄉(xiāng)第四中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

1、湖南省湘潭市湘鄉(xiāng)第四中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1. 函數(shù)，則的自變量的取值范圍為（ ）A B C D參考答案：D 本題主要考查分式，絕對值不等式的解法或 或或或選D2. 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)分別為 （ ） A單調(diào)遞減，單調(diào)遞增 B單調(diào)遞增，單調(diào)遞增 C單調(diào)遞增，單調(diào)遞減 D單調(diào)遞減，單調(diào)遞減參考答案：答案：A 3. 直角ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在單位圓x2+y2=1上，點(diǎn)M（，）則|最大值是（）ABCD參考答案：C【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【專題】計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用【分析】由題意，|=|+2

2、|+2|，當(dāng)且僅當(dāng)M，O，A共線同向時(shí)，取等號，即可求出|的最大值【解答】解：由題意，|=|+2|+2|，當(dāng)且僅當(dāng)M，O，A共線同向時(shí)，取等號，即|取得最大值，最大值是+1=+1，故選：C【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，比較基礎(chǔ)4. 已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為A B C D參考答案：A5. 設(shè)集合，則AB=（ ）A0,1 B0,1,2 C0,1,2,3 D1,0,1,2參考答案：B6. 已知函數(shù)(為常數(shù))是奇函數(shù)，則的反函數(shù)是 答( )A BC D參考答案：A7. 函數(shù)的圖象如下，則等于A.0 B.503 C.1006 D.2012參考答案：D由圖象可知，函數(shù)的最大值為，

3、最小值為，解得，函數(shù)的周期，即，所以，所以，當(dāng)時(shí)，所以，所以，即.在一個(gè)周期內(nèi)，所以，選D.8. 等比數(shù)列an中，其公比q0，且a2=1-a1,a4=4-a3,則a4+a5等于（ ）A. 8 B. -8C.16D.-16參考答案：B略9. “”是“函數(shù)的最小正周期為”的（）A充分非必要條件 B必要非充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件參考答案： A略10. “”是“”的 ( )A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件參考答案：A略二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 對正整數(shù)n，設(shè)曲線在x=2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則的

4、前n項(xiàng)和是 。參考答案：曲線，曲線導(dǎo)數(shù)為，所以切線效率為，切點(diǎn)為，所以切線方程為，令得，即，所以，所以，是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以。12. 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn), 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，則點(diǎn)M到曲線C上的點(diǎn)的距離的最小值為 。參考答案：略13. 如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90，AD=2，BC=CD=1，P是AB的中點(diǎn)，則= 參考答案：1【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【分析】由題意可得BCD為等腰直角三角形，求得BD的長，運(yùn)用中點(diǎn)的向量表示和向量數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得

5、到所求值【解答】解：在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90，AD=2，BC=CD=1，可得BCD為等腰直角三角形，則BD=，且P是AB的中點(diǎn)，可得=（+），=（+）?（）=（22）= （）222=1故答案為：114. 若，則的最大值為 參考答案：略15. 設(shè)x，y 滿足約束條件，則的最小值是_參考答案：1【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】x、y滿足約束條件可行域如圖：目標(biāo)函數(shù)，即y=-2x+z,觀察圖像可得目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)取得最小值，又點(diǎn)故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查簡單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函

6、數(shù)的最值問題，其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題16. 為了了解名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為的樣本，則分段的間隔為_.參考答案：2517. 將一骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為 .（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）參考答案：答案： 三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為=4cos，直線l的方程為（t為

7、參數(shù)）（）求曲線C1的直角坐標(biāo)方程及直線l的普通方程；（）若曲線C2的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線C1上點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，Q為曲線C2上的動點(diǎn)，求PQ的中點(diǎn)M到直線l距離的最大值參考答案：【考點(diǎn)】QH：參數(shù)方程化成普通方程；Q4：簡單曲線的極坐標(biāo)方程【分析】（1）由題意可知：2=4cos，將2=x2+y2，x=cos，代入即可求得曲線C1的直角坐標(biāo)方程，消去參數(shù)t，即可求得直線l的普通方程；（2）求得PQ中點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式及輔助角公式化簡，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得PQ的中點(diǎn)M到直線l距離的最大值【解答】解：（1）由曲線C1的極坐標(biāo)方程為=4cos，則2=4cos，由2=x2+

8、y2，x=cos，代入整理：x2+y24x=0曲線，將直線l參數(shù)t消去，即可求得直線l：x+2y3=0；（2）由，直角坐標(biāo)為（2，2），則M到直線l的距離d=丨sin（+）丨，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知：0丨sin（+）丨1，PQ的中點(diǎn)M到直線l的最大值為19. 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且F2為拋物線的焦點(diǎn)，C2的準(zhǔn)線l被C1和圓x2+y2=a2截得的弦長分別為和4（1）求C1和C2的方程；（2）直線l1過F1且與C2不相交，直線l2過F2且與l1平行，若l1交C1于A，B，l2交C1交于C，D，且在x軸上方，求四邊形AF1F2C的面積的取值范圍參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系【分

9、析】（1）由橢圓及拋物線的性質(zhì)，列方程組求得a，b和c的值，即可求得C1和C2的方程；（2）設(shè)直線方程，代入拋物線和橢圓方程，求得丨AB丨，則AB與CD間的距離為，利用橢圓的對稱性及函數(shù)單調(diào)性即可求得四邊形AF1F2C的面積的取值范圍【解答】解：（1）由題意可知：拋物線的準(zhǔn)線方程x=，c=，C2的準(zhǔn)線l被C1和圓x2+y2=a2截得的弦長分別為和4，得，C1和C2的方程分別為（2）由題意，AB的斜率不為0，設(shè)AB：x=ty2，由，得y28ty+16=0，=64t2640，得t21，由，得（t2+1）y24ty4=0，AB與CD間的距離為，由橢圓的對稱性，ABDC為平行四邊形，設(shè)，即為四邊形AF

10、1F2C的面積的取值范圍【點(diǎn)評】本題考查橢圓及拋物線的方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長公式，三角形的面積公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題20. 如圖1，是直角斜邊上的高，沿把的兩部分折成直二面角（如圖2），于. （）證明：；（）設(shè)，與平面所成的角為，二面角的大小為，求證：；（）設(shè)，為的中點(diǎn)，在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面?若存在，求的值；若不存在，請說明理由參考答案：（），是二面角的平面角.又二面角是直二面角，,平面，又，平面，.4分（）由（）,.又，.8分()連接交于點(diǎn)，連接,則.,為的中點(diǎn)，而為的中點(diǎn)，為的重心,.即在線段上是否存在一點(diǎn)，使得，此時(shí).12分略21. （本小題滿分14分）已知函數(shù)，設(shè)函數(shù).（）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（）求在點(diǎn)處的切線與直線及曲線所圍成的封閉圖形的面積；（）是否存在實(shí)數(shù)，使的極大值為3？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由參考答案：1）當(dāng). 1分 3分的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為：，4分（2）切線的斜率為， 切線方程為. 6分所求封閉圖形面積為. 8分（3）， 9分令. 10分x(，0)0（0，2a）2a(2a，+ )0+0極小極大若，則在R上單調(diào)遞減，不存在極大值，舍去；若,列表如下：由表可知， 12分設(shè)，上是增函數(shù)，13分，即，不存在實(shí)數(shù)a，使極大值為