工程力學第九章

1、第九章剛體的平面運動第一節(jié) 剛體平面運動的概述和運動分解教學時數(shù)： 1 學時教學目標：1、 明確剛體平面運動的特點2、 把握討論平面運動的方法3、 能夠正確判定機構(gòu)中作平面運動的剛體教學重點：把握討論平面運動的方法 教學難點：把握討論平面運動的方法 教學方法： 板書 PowerPoint一平面運動的概念引例 1：汽車沿直線行駛時,車輪的運動（圖 10.1 ）車輪的運動 隨著車身的平動 +相對車身的轉(zhuǎn)動；引例 2曲柄連桿機構(gòu)的連桿 AB的運動O B引例 3板擦在黑板上的任意運動A 1SB 1ABB 2A2上述運動有何共性？平面運動定義： 剛體運動時其上任一點到某一固定平面的距離始終保持不變,也就

2、是說剛體內(nèi)的各點都在平行于固定平面的某一平面內(nèi)運動；2力學模型簡化如下列圖, 剛體作平面運動時,剛體上全部與空間某固定平面距離相等的點所構(gòu)成的平面圖形就保持在它自身所在的平面內(nèi)運動；A 點代表A 1A 2線段的運動B 點代表線段的運動B 1B2平面圖形 S 代表剛體運動結(jié)論：剛體的平面運動可以簡化為平面圖形在其自身平面內(nèi)的運動；3、運動方程yx確定平面圖形 S 在 Oxy 坐標系內(nèi)的位置只需確定任一線段 AB 在 Oxy 中的位置確定 AB線段的位置,需確定坐標 x Ay A , ,A 點稱為基點；所以平面運動的運動方程：x A x A t y A y A t （1）A t 上式稱為剛體的平面

3、運動方程；分析運動方程可知,平面運動包函了平動和定軸轉(zhuǎn)動這兩種基本運動形式,即：平面運動是平動和轉(zhuǎn)動的合成運動；4、運動的分解及分解運動的特性分析特例分析：在方程（1）中,如C 就“S” 作平動,如x AC 1就“S” 作定軸轉(zhuǎn)yAC2動一般情形下,平面運動可以看成為由平動和定軸轉(zhuǎn)動的合成；運動分解：討論對象：平面圖形S y相伴 A 作平動 ,是虛構(gòu)的一坐標系） ；靜系：固定平面Oxy ；動系：A xy（其中 A 是“ S” 上一點,Ax牽連運動：動系Axy隨 A 點平動；相對運動：繞A 點轉(zhuǎn)動所以,平面運動隨基點 A 平動 +相對基點 A 轉(zhuǎn)動；分解運動特性：平動：隨基點的不同而不同轉(zhuǎn)動：相

4、對不同基點轉(zhuǎn)過的角位移、角速度和角加速度都是相同的,即轉(zhuǎn)動與基點挑選無關；證明 1：證明 2：A YY Y MXBA XBO XB A 常量B A B AB A B A其次節(jié) 求平面圖形內(nèi)各點速度的基點法教學時數(shù)： 1 學時教學目標：1、 能嫻熟地應用基點法求平面圖形上任一點的速度；1、課本習題 9-1、 9-3；2、 速度投影法求平面圖形上任一點的速度；教學重點：以運動的分解與合成為動身點,討論求平面圖形上各點的速度的基點法,以求速度為主,速度投影發(fā)從基點法推導出來；教學難點：正確懂得平面運動分解為隨基點的平動和饒及點的轉(zhuǎn)動時,動的運動特點 教學方法： 板書 PowerPoint教學步驟：1

5、基點法（合成法）選基點的意義和相對基點轉(zhuǎn)平面運動隨基點平動+相對基點的轉(zhuǎn)動設已知A 點速度v 和角度求圖形上任一點B 的速度；vBAvBvABvAvBABBAv AvAAv AA2 個求知vBA（1）B 點的速度為：vB式中vAve,其中vBAABvBAAB,式（ 1）只能求量,通常的已知量為v和vBA的方向；BOrBrAAr Br AAB其中 AB 是常量；式（ 1）也可用矢量求導得到,rBrAvBABvA,ABvBA,也即vBvAvBA其中rB,rA2速度投影法將式（ 10.3）向 AB 連線和 AB 連線的正垂向投影,有v B AB v A AB（ 2）v B v A v BAv B v

6、 A（3）AB式（ 2）稱為速度投影定理,是剛體不變形的屬性,式（3）中的正垂向投影過 B 點作逆時針轉(zhuǎn) 90 的射線為正方向,如圖中的 v BA 所指的方向；例 1、如下列圖,在曲柄連桿機構(gòu)中,已知曲柄 OA 長為 R,繞 O 軸以 0逆時針轉(zhuǎn)動,求45 ,15 時,滑塊 B 的速度 v B 及連桿 AB 的角速度 AB；v Av AO 0 v BABv B圖 10.11解： 1. 分析運動：OA 桿定軸轉(zhuǎn)動, AB 桿作平面運動2分析速度OA 桿：v AR0,AB 桿：vBvAvBAv BvAvBA只有 2 個未知量,可求解,由速度合成圖11,有45sin60sin75sin求得vBvAs

7、in600.897R0,vBAvAsin45sin75sin75而ABvBAvAsin150. 2680ABsin75Rsin45另解：用速度投影法：v A30A y /C0 v BO BAB ：圖 10.12設 v方向如圖 10.12 所示AB：v A cos 30 v B cos 15v B v A cos 300 . 897 R 0（負號說明與假設相反）cos 15:（ y 軸指向為正）cos 30 sin 15v B v A v B sin 15 v A sin 30 v A cos 15 sin 30 ABAB AB ABv A sin 150 . 268 0 負號說明 AB是順時針

8、轉(zhuǎn)向的 AB cos 15問題,如求 v C .（C 點是 AB 桿的中點）例 2、在圖所示的平面機構(gòu)中,已知 OA AC r,O 1 B 2 r,30 ,OA 桿以 0繞O 軸勻速轉(zhuǎn)動,在圖示位置時,OA 、CB 沿水平方向,O1 B、AC 沿鉛垂方向,試求此瞬時（1）O1 B 桿的角速度 O1 B；（2）板上 C 點速度 v C .；O1v AO1O 0O 0v A v BA v Av CAC v BC 圖 13.b解： 1.分析運動OA 桿,O1B桿定軸轉(zhuǎn)動ABC 作平面運動2分析速度OA ：vABrv0vBAABC ：vA由速度合成圖：3v B v A t a n r 03v BA v

9、 A 2 3 r 0 AB vBA 30c o s 3 AB 3O1 B：O 1 B vB 30O 1 B 63求 v C v C v A v CA 其中 v CA AC AB由圖 10.13：v cx v cA 3 r 0 v cy v A r 033vC i j r 03問題：如不分析 B 點速度,求出 AB,能否求出 v？例 3、圖 10.14 中給出一種平面鉸接機構(gòu),已知桿 O1 A 的角速度是 1,桿 O2 B 的角速度是2,轉(zhuǎn)向如圖 10.14 所示；在圖示瞬時,桿 O1 A 鉛直,桿 AC 和 O2 B 水平,而桿 BC 對鉛直線成偏角 30 ,又 O 2 B l,O 1 A 3

10、 l；試求該瞬時點 C 的速度；B O 2B O2230；2 C v BA C A v Av B vv CB A1 O 1 1 v CA v CO1 圖 10.14b解： 1 分析運動O1 A、O2 B 桿作定軸轉(zhuǎn)動,AC、BC 桿作平面運動；O2B2 分析速度3l1（a）O1A：v A：v Bl2AC：vCvAvCABC：vCvBvCB（b）由式（ a）、（b）得：vCl31i12j課堂小結(jié)：總結(jié)以上例題,基點法解題步驟如下：1、 分析構(gòu)件中各剛體的運動,判定各剛體分別作什么樣的運動；2、 討論作平面運動的剛體上哪一點的速度大小和方向為已知；基點就選在該點上,作圖時 必需說明基點的挑選,但在

11、圖中可以不畫動坐標軸；3、 畫速度合成圖,作圖時要使肯定速度在平行四邊形的對角線上,并依據(jù)三個速度所涉及 的六個要素中分析出四個要素；4、 依據(jù)基點法公式vBvAvBA的合成公式及利用平行四邊形中的幾何關系求解未知量；作業(yè)布置：1.課本習題 9-1、9-3；2. 課本習題 9-5 第三節(jié) 求平面圖形上各點速度的瞬心法教學時數(shù)： 1 學時教學目標：能嫻熟地應用瞬心法求平面圖形上任一點的速度；教學重點：以運動的分解與合成為動身點,討論求平面圖形上各點的速度瞬心法,從基點法推導出來；教學難點：速度瞬心的概念；教學方法： 板書 PowerPoint教學步驟：引言：vBvAvBA,如vA0,就vBvBA

12、vBABBv此時圖形上各點速度分布如圖 10；15 所示速度瞬心： 某瞬時平面圖形上速度為零的那一點稱為該瞬時平面圖形的瞬時速度中心,簡稱為速度瞬心,通常用“P” 表示；定理：一般情形下,每瞬時平面圖形上速度瞬心是唯獨存在的；Nv PMPv MMv M證明：設已知平面圖形上任一點 M 的速度 v M 和平面圖形的角速度,過 M 點作 MN v M 如圖 10.16 所示, MN 上一點 P 的速度為：v P v M v PM v M 與 v PM 方向相反 . vPvMPMv當PMvM時,vP0MN 直線上有滿意此條件的當0 時,PMM只有一個確定的值,且只能在點,所以定理得證；找瞬心的幾種方

13、法：1）已知兩點速度方向a vvBvBBvAAvAAv BBPb vv且vAvB瞬時平動v的大小（圖10.19 ）cvAv且vAAB 時,需知v、vAv AvAAv BvBBv B圖10.19 2）已知平面圖形沿某一線或面純滾,接觸點瞬心（圖 10.20）圖 10.20例 1、在平面機構(gòu)中,直角三角板ABD 的兩直角邊長為AD5 cm,AB10 cm,A 、B為光滑鉸接,O 、O 為兩固定鉸支座,O1A桿以O 12rads繞O 軸勻速轉(zhuǎn)動,設O 1A10cm,O 1 O25 cm,圖示瞬時O 、A、D 在同一鉛垂線上,求該瞬時D 點的速度和桿的角速度；Dv DADvBv AAO11O2圖10.

14、21b1O1O 2P解： 1分析運動O1A、O2B桿作定軸轉(zhuǎn)動,ABD 作平面運動 2 分析速度O1A：v AO1A120cmsuB 沿水平方向抽出之速度為u,使輪ABD ：ABDvA201radsAP20vDPDABD25cmsvBPBA B D2 O2BA B DO2B：O2BvBO2B例 2、繞線輪半徑為R,其凸沿半徑為r,繞線之線點沿水平線純滾動；試求滾輪上1、2、3 點的速度；2213B13AA解： 1 分析運動2 速度分析vAvBuO 向左滾動？（演示不斷轉(zhuǎn)變線頭B 與水平RrRrRrvDRRurv12RR2Ruv3rv22 urR問：線頭與水平線夾角為多少度時,輪線夾角拉輪子滾動

15、）例 3、平面機構(gòu)如圖10.23 所示,已知O1Ar,以0勻速轉(zhuǎn)動,O2BBCl,圖示時O1A水平,O1B在鉛直方向,、均為已知,求該瞬時,O2B桿的角速度和滑塊C 的速度；O 20O1CO 2vAO2B0O1v BCvC圖10.23b 解： 1 分析運動O1A、O2B定軸轉(zhuǎn)動AB 、BC 桿平面運動 2分析運動O1A: v AAr0Bcos0AB ：vBvAvBAAB:vcosvcosvBrcosO2B：OvBr0cos2BO2BlcosBC：CBCvBvBlsinO2BBC2 r0cossinBP BClvCPBCBC2cos第四節(jié) 用基點法求平面圖形內(nèi)各點的加速度教學時數(shù)： 1 學時教學

16、目標：會應用基點法求平面圖形上任一點的加速度教學重點：以運動的分解與合成為動身點,討論求平面圖形上各點的加速度的基點法教學難點：正確懂得平面運動分解為隨基點的平動和繞基點的轉(zhuǎn)動時,動的運動特點 教學方法： 板書 PowerPoint教學步驟：平面圖形的角加速度及圖形上各點的加速度分析基點法選基點的意義和相對基點轉(zhuǎn)設已知 A 點加速度aA和圖形的角速度,角加速度,求任一點 B 的加速度； 平面運動隨 A 點平動 +相對 A 點轉(zhuǎn)動aBABaAan BAanaA2aBABan BAaAaAan BAAAB 點加速度：aBaAaBA（1）其中a BAAB,方向垂直于AB ,AB,方向由 B 指向 A

17、；BA式（ 1）也只能求解 2 個未知量；式（ 1）也可用矢量求導的方法得到,參看圖,有 r B r A AB求一次導 r B r A AB求二次導 r B r A AB AB 其中 r B a B,r A a A,AB a BA AB v BA a BAna B a A a BA a BA例 1 靠在直角墻上的桿 AB 長為 l 1 m,由鉛垂位置在鉛垂面內(nèi)滑下,如下列圖；當 60時,vA 2 3 m s,a A 2 m s 2方向如下列圖；求該瞬時 B 點的加速度及 AB 桿的角加速度；BaBAaBaAPBan BACAv AaAAaA解： 1. 運動分析2. 分析速度AB 作平面運動,由

18、瞬心法求得60 ：v Al234 rads APsin603分析加速度aBaAaBAan（方向如圖）2 sBA其中aBAAB216ms2AB：aBcos30aAcos60anBAaB1aAcos 60an19 . 63mBAcos 30 x：0aAaBAcos30ancos60BAaBA1aAancos 60cos 30BAa BA11. 55rads2l問：如求 AB 中點 C 的加速度呢？例 2、半徑為 R 的圓盤沿直線軌道作純滾動,如圖 26 所示,設圖示瞬時輪心的速度為 v ,加速度為 a ,方向如下列圖；試求該瞬時輪沿上 A、B、C、D 點的加速度；. a 0 v 0. . . a 0 v 0. O a 0 a BOn.a BOO na AO. a 0 a AO解： 1 分析運動 輪 O 作純滾動,圖示時 v A 0,A 點為速度瞬心v00R由于輪運動過程中,輪心 O 到瞬心點距離始終為定長 R,如把、v看成時間t的函數(shù)關系, 上式仍成立, 因而有 t v t 對此式求導有 d t 1 dv t ar dt R dt Ra0當 a a 0 時,轉(zhuǎn)向為逆時針R2分析加速度aAaOaAOanAO其中a AOR0a 0,anR22 v 0（速度瞬心的加速度不為零）AO0RaBaOaBOan BOnR22 v 0aBOR0a 0,a其中BO0RvBX