數(shù)值分析第四版習(xí)題與答案

1、7832 1.417832 1.41. . .第四版1. 設(shè) 第一章 的相對誤差的誤.緒 論2. 設(shè) 的相對誤差為 2 的相對誤.3. 下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入到的近似數(shù) 誤限不超過最后一位的半個單位 指 它們是幾位有效數(shù):* * * * * 1 2 3 4 54. 利用公式下近似的誤差:7 1.0.* * * * * /x* 1 2 4 1 2 3 2 4,其中* * * * 1 2 3 4均為第 3 題給的.5. 計算球體積要使相對誤差限 度半徑 時允許的相對誤差限是多?6. 設(shè)Y028,按遞推公式Y(jié)Y 1783100 ( 計算到Y(jié)100783Y位有效數(shù)字)算 100 將多大差?7. 求方

2、程 x2 56x 1 的兩個根至有四位有效( 8. 當(dāng) 充分大11 xdx?9. 正方形的邊長大約為 樣量能其積差超 2 S假定 g 準(zhǔn)確 t測量 秒誤差當(dāng) t 加時 S 絕對誤差增加對卻減. 列y n滿足遞推關(guān)系yn10 n 11y0位數(shù)字 算到y(tǒng)10時誤差有多大這算過程穩(wěn)? 算f ( 2 6 列等式計個到的結(jié)果最?1 ,(3 3 ,( 2 3,99 2.13. x x 值平六位函對時誤差有多若學(xué)習(xí)參考 .x x k x x k . .改用另一等價公式 x x計算求對數(shù)時誤差有多大14. 試消元法解方程組 x ; 2 假定只用三位數(shù)計算問果是否可靠15. 已三角形面積s c, 其中 c 為弧

3、, 且量 的誤差分別為, , 證明面積的誤差 足 .s 第二章1. 根義的范德蒙行列令插值法x0 x 20 x n0證明V ( x )n ( ( x , x x ) n 0 n x , , 且是 次多項它根是0n xn xx 2n x 2x n x V ( ) x , n n 1, x n 0 .2. 當(dāng) 時(x)= 求 (的次插值多項.3. 給 ()=lnx的數(shù)值表用線性插值及二次插值計算 的近似值xlnx0.40.50.60.70.84. 給 cosx4的函數(shù)表步 h 若數(shù)表具有 5 位效數(shù)字研究用線性插值求 cos x 近似值時的總誤差界5. 設(shè) 求max l ( 2x .6. 設(shè)i)j

4、為互異節(jié)點j),求: n k l ( x ) k ( k 0,1, , ); j jj .學(xué)習(xí)參考.nf ( x xy n mnnf ( x xy n mn n n f 7 4把 . .ii)7. 設(shè) ) k l ( ) n j jj f x ) 2 ( a ) f ( ) 0 求證maxa 1f ( ) (b )82maxa f ).8. 在 上給出 的距節(jié)點函數(shù)表 若二次插值求e的近似值 要截斷誤差不超過問用函數(shù)表的步長 h應(yīng)取多?9. 若 求 及 .10. 如 果f ( )是 次 多 項 式 記 ( ) f ( ) f x), 證 明f ( )的 k 階 差 分kf ( x)(0 是 次

5、項式并 f x 0(l為正整.證明證明 f g .k k k k k f f n 0 .13. 證j 2 j 014. 若f ( x x x n 有 個同實根x , x x 1 n證 x j f )j j0,0 15. 證 階均差有下列性:i)若F ( ) ( ),則 , , , x ;ii)若F ) ( ) ( x)則 x 1, x , 0 , x , .16. ( x) x x 求 ,2 1 ,27及f 0 ,2817. 證兩點三次埃爾米特插值余項是R ( x) (4) ( ) ( x 3 并由此求出分段三次埃爾米特插值的誤差.k )2/ 4!, xkk )18. 求個次數(shù)不高于 次多項式

6、P ( x)使?jié)M足P ( 并由此求出分段三次埃爾米特插值的誤差.19. 試出一個最高次數(shù)不高于 次函數(shù)多項式 (0) P 0 , P .P ( x),以使它能夠滿足以下邊界條件20. 設(shè)f ( x) 分為 等試構(gòu)造一個臺階形的零次分段插值函數(shù) ( )n并證明當(dāng) 時 ( )n在上一致收斂到f ( ).21. 設(shè)f ( ) 2 ), 在 上取 n 按距節(jié)點求分段線性插值函數(shù)I ( )h,計算各節(jié)點間中點處的I ( )h與f ( x的值并估計誤差.學(xué)習(xí)參考.rr. .22. 求f ( x2在上的分段線性插值函數(shù)I ( )h并計誤差23. 求f ( x4在上的分段埃爾米特插并計誤差24. 給數(shù)據(jù)表如:

7、jj0.250.300.390.450.53試求三次樣條插值 ( x)并滿足條件25. 若 S 0.f ( x) 2 ) 是次樣條函數(shù)證明i) a af ) ) ) ) ;ii)若f ( x x i 0,1, ) i i, 式 中xi為 插 值 節(jié) 點 , 且a x x x 0 1 n, 則 ) ) .26. 編計算三次樣條函數(shù)S )系數(shù)及其在插值節(jié)點中點的值的程序框圖 S ( x )可用 8.7)式的表達(dá)式.第三章函數(shù)逼近與計算1. 利區(qū)間變換推區(qū)間為的伯恩斯坦多項.(b)對f ( 在 上求 次三次伯恩斯坦多項式并畫出圖并與相應(yīng)的馬克勞林級數(shù)部分和誤差做比 2. 求:當(dāng) ) M時m f )

8、M n. 當(dāng)f ( x) x時B ( ) n.3. 在數(shù)不超過 6 的項式中求f ) 4 在的最佳一致逼近多項.4. 假f ( x在上連續(xù)求f ( )的零次最佳一致逼近多項.5. 選常數(shù) a 使max 03達(dá)到極小又這個解是否?6. 求f ( 在 上的最佳一次逼近多項式并計誤.7. 求f ( x x在 上最佳一次逼近多項.8. 如選取 r 使p ( x) 2 在上與零偏差最小 是唯一9. 設(shè)f ( x) x4 x 3在上求三次最佳逼近多項式.學(xué)習(xí)參考.求 n n定義f dx 求 n n定義f dx )( ) 11. .10. 令 ( ) n nT * ( x), T * * ( ( ) 2 .

9、11. 試 ) 是在 上權(quán)x 的正交多項式12. 在上利用插值極小化求 1f ( x) x的三次近似最佳逼近多項.13. 設(shè)f ( x x在上的插值極小化近似最佳逼近多項式為L ( )n, 若f n有界 證明對任何 存常數(shù)、 使14. 設(shè)上 T ( x) f ( ) ( x) ( x) ( 1). n 1 3 15 x) x x3 4 5 8 24 384 試將 )降低到 3 次多項式并估計誤差15. 在上利用冪級數(shù)項數(shù)求f ( x) sin x的 次近多項使差超過 16.f ( )是上的連續(xù)奇 ) 函,證不管 是數(shù)或偶數(shù) f ( )的最佳逼近多項式F * ( x) H nn也是奇偶函數(shù)17.

10、 求 a 18. f ( x) 、 x 使 ( x) C1 為最小并 題及 題一次逼近多項式誤差作比.( )( , ) b f dx ( ) ( );a a問它們是否構(gòu)成內(nèi)積19. 用瓦茲不等式 (4.5) 估計10 61 的上界 , 并積分中值定理估計同一積分的上下界 并比較其結(jié).x ) 2 , x 2 20. 選 a 使列積分取得最小: . 21. 設(shè)間 x 上求出一個元素 , 得其22.x2 為 的佳平方逼近并較其結(jié). f ( x) x span x 4在 上求在 上的最佳平方逼.23. ) n 1)arccos 是第二類切比雪夫多項式證它有遞推關(guān)系unn .24. 將f ) sin 在

11、上按勒讓德多項式及切比雪夫多項式展求次最佳平方近多項式并畫出誤差圖形再算均方誤.25. 把.考f ( x) x在上展成切比雪夫級數(shù)學(xué)習(xí)參.1h n 1h n n . .26. 用小二乘法求一個形如y a 2的經(jīng)驗公式使與下列據(jù)擬并均方誤差xiyi19.032.349.073.397.827. 觀物體的直線運(yùn)動得以下數(shù)據(jù)時間距離t(秒(米000.91.93.03.95.0求運(yùn)動方程28. 在化學(xué)反應(yīng)根實驗所得分解物的濃度與時間關(guān)系如:時間濃度0 5 15 20 30 45 50 550 1.27 2.16 2.86 3.44 4.15 4.37 4.58 4.62 4用最小二乘擬合求y f (

12、).29. 編用正交多項式做最小二乘擬合的程序框. 30. 編改進(jìn) FFT 法的程序框圖31. 現(xiàn)出一張記錄 k試改進(jìn) FFT 算求出序列k 的離散頻譜k( 0,1, 第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分1. 確下列求積公式中待定參數(shù) 使其代數(shù)精度盡量高,并明所構(gòu)造出的求積公式所具 有的代數(shù)精:(1)f x)dx f ( f A f h 0 1;(2)2 hhf ( )dx A f A f (0) f (h) 0 1;(3)f ( )dx f ( x ) f ( x ) 1 2;(4)0f ( ) (0) f ( ) 2f f .2. 分用梯形公式和辛森公式計算下列積:11 1 ) (1) 0 2 ; (

13、2) .學(xué)習(xí)參考.1bbb11bbb1. .(3) ; (4), .3. 直驗證柯特斯公式有 次數(shù)精度4. 用普森公式求積分 0并計算誤差5. 推下列三種矩形求公:aaf ( )dx f (a) f ( ) dx f ) f f ( )( )22;(3)af ( )dx f ( f ) 24 6. 證梯形公辛普森公式當(dāng) 時收斂到積分f ( x)dx.7. 用化梯形公式求積f ( x)dx問將積分區(qū)間分成多少等分才能保證誤差不超過不計舍入誤差8. 用貝格方法計算積2 e 0要誤差不超過 .9. 衛(wèi)軌道是一個橢圓橢圓周長的計算公式是 cS 1 ) 2 2 0 ,這里 是橢圓的半長軸 , 是地球中心

14、與軌道中心 橢中心 的離 記 為地點距離 H 為遠(yuǎn)地點距離R 6371公里為地球半徑 , 則 (2 ) 2, ) / 2. 我第顆人造衛(wèi)星近地點距離 439 公里遠(yuǎn)點距離 公試求衛(wèi)星軌道的周.10. 證等式n sinn3! 2 n4試依據(jù)n / n n 的值 ,用推算法求 的似值11. 用列方法計算積分31并比較結(jié)果龍貝格方法三點及五點高斯公式將積分區(qū)間分為四等用化兩點高斯公.12. 用點公式和五點公式分別求f ( x 1(1 )2在 和 處導(dǎo)數(shù)值并估計誤差f ( )的值由下表給出xf ( )1.01.11.21.31.4.學(xué)習(xí)參考.nn2nn2. .1. 就值問題y第五章 y 0常微分方程數(shù)

15、值解法分別導(dǎo)出尤拉方法和改進(jìn)的尤拉方法的近似解的表達(dá)式并與準(zhǔn)確解y 2 相比較2. 用進(jìn)的尤拉方法解值問題y x y (0) 取步長 計算，并與準(zhǔn)確解y x相比較3. 用進(jìn)的尤拉方法解 x ; (0) 取步長 計y，并與準(zhǔn)確解y x 2 x 相比較4. 用形方法解初值問y y 證明其近似解為 y 并證明當(dāng) h 時它原初值問題的準(zhǔn)確解y 。5. 利尤拉方法計算積xet在點x 的近似值06. 取 用階經(jīng)典的龍庫塔方法求解下列初值問： ,0 x (0) /(1 x 7. 證對任意參數(shù) 下列龍庫塔公式是二階 y y ( K ); K f ( n K f ( th thK ); f ( )h y )hK

16、 ). n 8. 證下列兩種龍庫方法是三階：.學(xué)習(xí)參考. n 3 n n 3 n . .y y ( K ); n 1 3K f ( , n K f x , K ); 2K ( n y y (2 K ); K f ( x y ); n K f ( K ); K f ( ). n 9. 分用二階顯式亞當(dāng)斯方法和二階隱式亞當(dāng)姆斯方法解下列初值問y, (0) 0,取h y 0.181,0 1計算y 并與準(zhǔn)確解y 相比較10. 證明解y ( y 的下列差分公式y(tǒng) y y ) (4 是二階的并出截斷誤差的首 11. 導(dǎo)出具有下列形式的三階方：y a y n 12. 將下列方程化為一階方程：n a y2n

17、( 0 n n y2n ).y y (0) y y) 0,y (0) y 0;xx y , r r 3 r 3y 2 x(0) 0.4, x 0, y (0) 0, 2. 13. 取 用差分方法解邊值問題14. 對方程y )y 0;y y(1) 1.68. 可建立差分公式y(tǒng)n y ynn 2f ( , ), n 試用這一公式求解初值問題.學(xué)習(xí)參考.xx 1/ x xx 1/ x kx k x . .y y (0) 驗證計算解恒等于準(zhǔn)確解 x) 215. 取 差分方法解邊值問題 x ) x (0) (1) 2.第六章方程求根1. 用分法求方程 x x 0的正根要求誤差2. 用例求根法求 f )

18、f x) sin x 時終止計算在區(qū)間內(nèi)一個根，直近似根 k 滿精度3. 為方程 x3x2 在x 1.50附近的一個根 ，設(shè)將程改寫成下列等價形式 并建立相應(yīng)的迭代公式 1/ x 2 ，迭代公式 x ，迭代公式 ；xx 迭代公式x x k 。試分析每種迭代公式的收斂性并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似。4. 比求 x 的根到三位小數(shù)所需的計算；在區(qū)間內(nèi)二分；2) 用迭代法x (2 ) /10 k ，取初值x 。5. 給 定 函 數(shù)f ( x) 設(shè) 對 切x f存 在 且 m f M 證 明 對 于 范 圍0 / 的任意定數(shù) 迭過程x x f ( x 均收斂于f ( x的根 6. 已x )

19、在區(qū)間內(nèi)有而當(dāng) axb 時| ，試問如何將x )化為適于迭代的形式將 化適于迭代的形式并求 弧度）附的。7. 用 下 列 方 法 求f ( x) 3 0在x 2附 近 的 根 。 根 值要計算結(jié)果準(zhǔn)確到四位有效數(shù) 1) 用牛頓法用弦截取x 0 1；.學(xué)習(xí)參考.02k 02k . .用拋物線法取x x 3, x 0 1 2。8. 用分法和牛頓法求x 0的最小正根9. 研求a的牛頓公式x a( x ), x證明對一切k , 且序列 , 1 2是遞減的10. 對于f ( ) 0的牛頓公式x ( x ) k k，證 ( x x ) /( x )收斂到 f f ，這里 x為f ( ) 0的根11. 試就

20、下列函數(shù)討論牛頓法的收斂性和收斂速：1) f ) x x 0; x 0;2) , x f ( ) x 2 12. 應(yīng)用牛頓法于方程 導(dǎo)求立方根3a的迭代公式并論其收斂性13. 應(yīng)牛頓法于方程f ) 0 x ， 導(dǎo)求a的迭代公式 ， 并此公式求115的值。14. 應(yīng)牛頓法于方程f ( xn 0和f ( ) ， 別導(dǎo)出求na的迭代公式并求15. 證明迭代公式lim( n ) /( ).x ( a) x k k x k是計算 a 的階假初值 0 充分靠近根 x 求lim( a ) /( a ).第七章解線性方程組的直接方法1. 考方程組.學(xué)習(xí)參考.22. . x 0.3678 x 0.2943 0.

21、4043;1 2 4 x 0.4015 x x 0.1550;1 2 0.1920 0.3781 x 1 4 x 0.2786 x 0.3927 x 1 2 4用高斯消去法解此方程組用位小數(shù)計），用列主元消去法解上述方程組并且比結(jié)。2. 設(shè) A 是稱陣且a 0，經(jīng)過高斯消去法一步 約為a0a 證明 是對稱矩。用斯消去法解對稱方程組 x 0.3475 x 1 3 x 1.8423 x 1.7321;1 30.8468 x 0.4759 0.8621.1 4. 設(shè) 為 階奇異矩陣且有分解式 其中 為位下三角陣U 為三角求 證 的有順序主子式均不為。5. 由斯消去法說明當(dāng) i 1,2, i 時則 其

22、 為位下三角陣為上三角陣| a ii| a |(iij , ),6. 設(shè) 為 階矩陣如j j 稱 為對角優(yōu)勢。證明若 是對角優(yōu)勢陣經(jīng)高斯消去法步A 具形式a0a 7. 設(shè) 是稱正定矩陣經(jīng)高斯消去法一步 約為a0a T其中A aij ij(2)n 證明 （ 的角素aii0(i , n);（2是對稱正定矩陣（a( )a , (i ii n);（ 的絕值最大的元素必在對角線；（max a j (2)ij max ij j .考 a （從）推出如ij| a ( ) ij學(xué)習(xí)參.，則對所有 kk 求證當(dāng)時 ij k ij也k 求證當(dāng)時 ij k ij也是一個指標(biāo)為 k 的等下三角其 ij為初等排A L

23、1 7 0 5 2 0 0 0 0 3 x . .8. 設(shè)L為指標(biāo)為 k 的等下三角陣即 1 L m 1k nk 1角下元素，和單位陣 相）i j k L I I I列陣。9. 試導(dǎo)矩陣 的 分 的算其 L 為三角 為單位上三角。 10. 設(shè) U d 其 為角矩陣(a) 就 為及下三角矩推導(dǎo)一般的求解公病出算法(b) 計算解三角形方程組U d的乘除法次數(shù)(c) 設(shè) 為奇異，試推導(dǎo)求U的計算公式11. 證明如果 是稱正定則 也是正定陣（如果 是稱正定則 A 可唯一寫成 陣12. 用高斯約當(dāng)方法求 的陣其 L 是具有正對角元的下三角 1 A 2 13. 用追趕法解三對角方程組 ，其 A 0 14.

24、 用改進(jìn)的平方根法解方程組 0 15. 下述矩陣能否分解為 其中 為位下三角，U 為上三角陣若分那 分解是否唯一？.學(xué)習(xí)參考. 1| x n . . 2 3 1 1 2 2 1 . 6 7 3 1 4616. 試劃出部分選主元素三角分解法框并用此法解方程組 3 x 1 .17. 如果方陣 有a 0(| i j | ij，則稱 為寬 的狀矩，設(shè) 滿三角分解條件試推導(dǎo) LU 的算公式對r ri rir l rk ki i (i r , r , n r ；l ir irr l ) / u ik kr i rr(i r n r .18. 設(shè)A 0.5 計算 的范列，范及 F-范。 19. 求證(a)

25、x | x | | ，(b)1n| | | | F 2F。20. 設(shè) 且非奇又設(shè) 為R上一向量范數(shù)定 x | Px 。試證明| x |是 上一種向量范。21. 設(shè) A n為對稱正定，定 | ( , x 1/ 2，試證明| x A為 上量的一種范。22. 設(shè)x , x( x , ) 1 nT，求lim( | x | 1 / p max |i ii 1。23. 證明當(dāng)盡當(dāng) x 和 y 性相關(guān)且x 0時才 x y x | 2 2。24. 分別描述 R中畫圖S x R 2 , ( 1,2, v 。.學(xué)習(xí)參考.n T 1n T 1. .25. 令 是 R 或C）上任意一種范而 P 是意非奇異實或復(fù)矩定義

26、范數(shù) Px |，證明 A | |。26. 設(shè) A A |st為 上意兩種矩陣算子范數(shù)證明存在常數(shù)c , c 0 2，使對一切 R滿足c A A c | 1 t 27. 設(shè) A R，求證 A A 特值相等即證 A) AA 。28. 設(shè) 為奇異矩求 A A y 。29. 設(shè) 為奇異矩且 A | ，求 A 存在且有估計| A A | A | cond ( A)| A | 1 cond ( )| A |30. 矩陣第一行乘以一，成為A 證明當(dāng)時 ( A)有最小31. 設(shè) 為稱正定矩陣且其分解為 A LDL T ，其中W D / 求(a) A) 2 2(b)32. 設(shè)cond ( cond ( 2 co

27、nd ( . 2 2A 計算 的件。 33. 證明如 是交，則cond ( A) 2。34. 設(shè)A, R且 為矩陣的算子范數(shù)證cond ) ( A ( )。第八章解方程組的迭代法1. 設(shè)程組.學(xué)習(xí)參考. 0 4 ( 0 4 ( ) 1 2 x x 1 2 3. . x 1 2 201 2 x 1 3(a) 考察用雅可比迭代法高塞爾迭代法解此方程組的收;(b) 用可比迭代法 高 塞德爾迭代法解此方程組 , 求當(dāng) x( k x( ) 10時迭代終止2. 設(shè)A 明即使 | | 1 級數(shù)I A也收斂3. 證對于任意選擇的 A, 序 I , , A , 收斂于零 . 設(shè)程組a x b ; 1 12 2

28、a x b 1 22 ( , 0); 迭代公式為x ( k ) ( x ( ); x ( k ) (b ( k ); 1( ).求證: 由述迭代公式產(chǎn)生的向量序列收斂的充要條件是5. 設(shè)程組a r 21a 22 x x 2 1 2 3 (a) (b) x x 1 x 1 2 3 1 試考察解此方程組的雅可比迭代法及高塞爾迭代法的收斂性6. 求lim 的充要條件是對任何向量 都有 x 設(shè) 其 對正，問解此方程組的雅可比迭代法是否一定收斂？試察習(xí) 題 方。設(shè)方程組.學(xué)習(xí)參考. 4要求當(dāng)( k i ni n 4要求當(dāng)( k i ni n. . 1 x ;4 4 21 1 1 x ; 2 4 4 1

29、1 1 x ; 4 21 1 1 x x 4 2(a) 求解此方程組的雅可比迭代法的迭矩陣B0的譜半求解此方程組的高斯塞爾迭代法的迭代矩陣的譜半；考察解此方程組的雅可比迭代法及高塞德爾迭代法的收斂。9. 用 方解方程分取松弛因子 1.03, 1.1）精確解x ,1, ) 1 2 1 2 2 x x ( ) | 時迭代終止并對每一個值確定迭代次數(shù)10. 用 SOR 法解方程組取 x 1 2 20; 1 2 3 x 1 2 要求當(dāng) x ( x ( ) | 10時迭代終止11. 設(shè)有方程組 ，中 為對正定陣迭代公式x( x( ) ( k ),( k )試證明當(dāng)0 2時上述迭代法收其0 ）。12. 用

30、高斯塞德爾方法解 Ax 用 i 記 x( 的第 i 個量且ri( k i ijj ( k j ijj ( )i。(a) 證明x( ix( k )iri( k i；(b) 如 ( k )x( k )x，其中 是方程組的精確求證( k r( k )( k ii其中ri( k ijj ( k j ijj ( k )i。.學(xué)習(xí)參考. 7( 7( ( )n. .(c) 設(shè) 是稱二次型 ) A ), )證明Q ( ) ( ) j ( r( k jajj)。(d) 由推出，如果 是有正對角元素的非奇異矩陣且斯塞德爾方法對任意初始向量(0)是收斂的則 A 是定13. 設(shè) 與 B 為 階，A 為奇異考慮解方程組

31、其中z z , d 2 。Az Bz , Bz Az 2 (a) 找出下列迭代方法收斂的充要條件Az ( m Bz ( m ) , ( m b Bz 1 2 (b) 找下列迭代方法收斂的充要條件( m )1 m ( 1 1( m 2, ( 2 2( 1 m 0);比較兩個方法的收斂速。 14. 證明矩陣 a 對于 1 1 1 a a 是定的而可比迭代只對 2 是收斂的 115. 設(shè)A 3 4 明 A 為約矩陣16. 給定迭代過， x Cx g 其 C k ，試明如 的特征值i 0(i )，則迭代過程最多迭代 次斂于方程組的。畫出 SOR 迭法的框。設(shè) 為可約弱對角優(yōu)勢陣且 求證解 19. 設(shè)

32、其中 為奇異。的 方法收。(a) 求證ATA為對稱正定陣(b) 求證cond ( A A) cond ( 2 。第九章矩陣的特征值與特征向量計算1. 用法計算下列矩陣主特征值及對應(yīng)的特征向.學(xué)習(xí)參考. 3, (b) 3, (b) 3 1 . . 3(a) 3 4 2 3 ,當(dāng)特征值有 3 位數(shù)穩(wěn)定時迭代終 2. 方 分塊式其中T (iii1,2, , ) 11 1n 2 n ,nn為方陣 稱為塊上三角，如果對角塊的階數(shù)至多不超過 ，則稱 為三角形形式用 )記矩陣 T 的征值集證明 ii3. 利反冪法求矩陣i 2 1 1 1的最接近于 6 的征值及對應(yīng)的特征向。 4. 求陣 與特征值 對的特征向

33、量 5. 用可比方法計算 1.0 0.25 的全部特征值及特征向量用計算結(jié)果給出例 的于 的優(yōu)6. 設(shè) 是稱矩， 和x(| x 是 的個特征值及相應(yīng)的特征向，又 為一個正交陣使Px (1,0, ,0)1證明 B PAP 的一行和第一列除了 外其余元素均為零 對矩陣 10 5 ,.學(xué)習(xí)參考. 2 , 2 , (b) . . 是其特征值 ，x , , T是相應(yīng)于 9 的征向量 試一初等反射陣 P ，使 ，并計算 B 。7. 利初等反射陣將 4 3 1 1正交相似約化為對稱三對角陣8. 設(shè) , P ， i1 j1 不為零 ij 為使 j1 A的平面旋轉(zhuǎn)陣 試推導(dǎo)計算 ij 第iAPT行第 行素公式及

34、 ij第 列第 列素計算公。9. 設(shè)An 是由豪斯荷爾德方法得到的矩又 是An 的一個特征向量證矩陣 對的特征向量是x P P1 Pn y；對給出的 y 如何計算 10. 用帶位移的 方法計算 1 0(a) 1 1 3 全部特征值11. 試用初等反射陣 分為 ，其中 為正陣R 為三角陣 。.學(xué)習(xí)參考.x* * *x*21001x* * *x*21001. .第一章緒論習(xí)題參考答案（lnx * ) x*r( x*) 。r( x) ( x n )x* x* x* * ) n * ) x*。x*有 5 有效數(shù)字， 2 有 2 位有效數(shù)字 有 4 有效數(shù)字， 4 有 5 有效數(shù)字， 5 有 位有效數(shù)字

35、。( x* * * ) 1 4( * ) 1( *2) ( x*4) 0.5 0.5 1.05 ( x* * x* 3) x* * 3( x*) x* * ( x*) x* *( x*) 0.214790825(x* 1 x* 2 ) * ) x* x* *2 4 ( *4) 8.855668 。r( ) rV( 3 ) 32(V ) 3 ) 1 V rV ) 0.003333。 1 1 ) x ， 28 783 2128 7831 0.0178655.982。N arc tgN 2 1 ) ) S 2 ) 2 .學(xué)習(xí)參考.gt0，2 gt0，2 . .10( S g t(t t，r( S )

36、 t ) 2 0.2 t t，故 t 增加時 的絕對誤差增加，相對誤差減小。 ) 10 10 ) 8，計算過程不穩(wěn)定。f 2 ，如果令 2 1.4 ，則f 2 10.004096，f 2 ( 60.005233，f 2) 3 0.008 3，f 4(3 2)30.005125，f 99 70 2 f 54的結(jié)果最好。f ，開 平 方 時 用 六 位 函 數(shù) 表 計 誤 為 ，分別代入等價公式f (x) ln(x 1),f (x) ln(x 2 1 2中計算可得 1 x2 x2 2 ， ln(1 2 x x 1 60 8.33 。方程組的真解為x 1 1.000000, x 1.000000，而

37、無論用方程一還是方程二代入消元均解得x 1 2，結(jié)果十分可靠。 b c sin ab c sin c a c 第二章插值法習(xí)題參考答案1.V ( x) x ) ii x i )j； ( , x x 1 ) ( x ) i j .2.L ( x) ( x x ( x x x ( 2) 1)(2 x x .3. 線性插值：取 .考x 0.5, x 0.6, y 0.693147, y 0.510826 0 1 0 1學(xué)習(xí)參.，則012 nn012 nn. .ln y y ) 0.620219；二次插值：取x 0.4, x 0.5, y 0.693147, y 0.510826 0 1 1 ，則ln

38、 (0.54 ) ) (0.54 ) y 1 0 2 y 0 ( x )( x ) ( x ) ( )( x ) 0 1 0 1 0 2 10.616707 4.R ( ) f ( x ( x ) f)( x ) ，其中 0 1.所以總誤差界5.| R ( x) ( x x ) x 1 ( ) 1 1 1.06 2 180 ( x x )0 1 3l ( x) 2( x )( x x )2 .當(dāng) x 0 7時，取得最大值 l | 2 .6. i) 對 ( x)x ( 0,1, n)在x , x , 處進(jìn)行 n 拉格朗日插值則有x P ( ) R ( ) n x j ji ( f( n ( x

39、x x 0 n由于f( ，故有ni l ) k x j j.ii) 構(gòu)造函數(shù) g ( x) ( ) ,在x , x 1 , 處進(jìn)行 n 次拉格朗日插，有L ) x n ji l )j.插值余項為( x kL ( x) n ( n n ( n j ( x )j，由于g( 1,2, , n故有 L ) x ) jl j.i 學(xué)習(xí)參考.n4n n4n . .令t x即得i ( j )l ( x 0 j.7. 以 a, b 兩點為插值節(jié)點作 f ( )的一次插值多項式 ( x ( a f (b ( a ( )，據(jù)余項定理，f ( ) ( x ) f ), a b，由于f ( ) f ( ) 故| f

40、( ) L ( ) | f ( x) f ( ) ( ) 8 f 8. 截斷誤差R ) x )( x x ), 2其中x x , x , 0 1 則 h時取得最大值由題意，max | x )( x )( ) | 2| R ( x) 3 10 .所以， 9. n y (2 n n ) 則可得y n( y ) 2nn / / ，y ) (2 ) ，則可得10.數(shù)學(xué)歸納法證y ny ) nn 當(dāng)k 時， x) f ( x ) ( 為 m1 多項式；假設(shè) f x)(0 )是 m-k 次多項式，設(shè)為g )，則f ( ) h ) ( )為 m-(k+1)次多項式證。11. 右 f ) g f f g f

41、g k k 左12. f g f f f g 0 0 0 2 f f g f f 1 1 0 1 2 2 fn nn n 13. j j y ) y ) y y ) 2 1 0 3 n y n n .學(xué)習(xí)參考. nnnnjnn ( ) x k ,njnn( n nnnnjnn ( ) x k ,njnn( n . .( n y ) y y n 0 n .14. 由于x x 2 , 是f ( )的 n 個互異的零點所以f ( x) a ( x x )( x x )0 1 2 n( ) a ( x )( x ), i 0 j i對f ( x求導(dǎo)得i i i jf ( x ) )( )i i 0 i

42、 j i i i j，f ) a j( xj )i則i i j，j f ) j 0j kj( x ) j ii i j記 則( 2, ( x ) ( n k n 由以上兩式得j 1 f ) aj 0j g ( x ) j ( x )j i1a0g x , x 1 x ni i j1 g ka ( n 0 k a , 015. i) x x , 0 1 nnj ( ) j ( jF x )j)( x j jj ) ) j j ( ) j c ( x )j ( x j j jj ) ( ) j n x , x , , x .ii) 證明同上。16.f (7) ( 7!f ,21 , ,2 7 7!

43、f 0 1 , 8f ( 7!17.考 ( x ) f ( ) ( x ) j j j ( x ) f ) p ) j , k j j j學(xué)習(xí)參. ) ( ) ( , x ),ii . .即x , x k 均為 ( )的二重零點。因而有形式：作輔助函數(shù)R ( x ) ( x x 3 kk t ) f ( ) ( )(t x ) 2 ( t ) . k ) 2 .則 x ) x) x ) 0, ) 0. 由羅爾定理，存在 ( x ), 1 k , x ), 2 使得 類似再用三次羅爾定理，存在 1 2 使得 0,又(4)t f(4) K ( x),可得K ( x) f (4) ( 4!,即R (

44、 ) f (4) x ) 2 ( x x 3 kk ) 2 4!., x , x kk ).18. 采用牛頓插值，作均差表：xif ( )i一階均差二階均差001110 -1/2p x) x x x , x x )( x x f , 0 0 1 0 2 Bx )( x )( x )0 20 ( x 2) x ( x 2)又由 p 得 A 所以 p( ) ( x 4219. 記 x . 則因為 x ( ) f x ) i f ( ) i x i i i if ) Ca 所以 f x , 上一致連續(xù)。, x x .i i 當(dāng)n 時， ，此時有.考max f ( x) ) max | f ( x)

45、) |n na 0 x i i 學(xué)習(xí)參.ii i ii ii hii i ii ii h. . x max max f ( ) f ( ) i 0 x i i ( x i x x i i f ( x) f ( x )i i i x i x i i ( x) ( x )i x ix i i x max i i x x i i i.由定義知當(dāng)n 時， ( x)在 , 上一致收斂于f ( x。20.I x) 在每個小區(qū)間上表示為k k x I ( x f k f , ( x ). k 計算各值的 C 程序如下： #includestdio.h#includemath.hfloat f(float r

46、eturn(1/(1+x*x);float I(float x,float a,float b)return(x-b)/(a-b)*f(a)+(x-a)/(b-a)*f(b);void main() int i;float x11,xc,xx;x0=-5;printf(x0=%fn,x0);for(i=1;i=10;i+) xi=xi-1+1;printf(x%d=%fn,i,xi);for(i=0;i10;i+) xc=(xi+xi+1)/2;I(xc,xi,xi+1);printf(I%d=%fn,i+1,I(xc,xi,xi+1);.學(xué)習(xí)參考.h2k k k iiii ii關(guān)于的方程組為

47、h2k k k iiii ii關(guān)于的方程組為. .for(i=0;i0 ， 則 對 任 意.學(xué)習(xí)參考.tTTT 則時 ，時，TT ( ) 0.2 tTTT 則時 ，時，TT ( ) 0.2 . . ，均有不等式c A max1x a 1a x2x txtt A maxx a 2a x1 A2。27若T A， Ax 就 有AA ( Ax Ax， 推 出)即T ， 同理可以推出T 綜合這兩點即可得 AT A) 。28 x min x y 。29A ( I 1/1 故 ( A )存在，A AA( I A A A A 1 ( A)A ( )A。30 ( A) A A， 當(dāng) cond ( ) ， 當(dāng) 3

48、 ( A) ， 時， ( A)有最小值 7。31 (a)cond ( A) minmax( W ) ( T W ) cond ( ) min，(b) W ) , ) W T W ) / W ) )2 min2，) W )cond A (W。32 ， ( A) A 。33cond ( ) ( T ) 2 ( AAT ) maxImaxI 。34cond ( AB ) AB A A ( Acond ( )。第八章 解線性方程組的迭代法習(xí)題參考答案 1. (a) Jacobi 代矩陣 0.2 D L ) 0.5 特征方程為 .考 B 0.055 0學(xué)習(xí)參. 0.04 T 0.04 T 0A 1. .

49、特征根均小于 1，Jacobi 迭代法收斂Gauss-Seidel 迭代矩陣 L) U 0.4 0.4 特征方程為 |0.570.0960特征根均小于 1，Gauss-Seidel 迭代法收斂 (b) Jacobi 代格式為其中 B 如上，X ( k BX ( )f D b ( ， 1 f1迭代 18 次得X Gauss-Seidel 迭代格式為，其中 G 如上， k GX ( k ) ff b ( 2.4 2，迭代 8 次得X 2.999985 。2. 證： A ，則故 ( 2,3,4, )，因此I k I ，即級數(shù)收斂。 3. 證： A | ，一方面， nlim 0 !，另一方面， n A

50、 n A a n lim lim lim lim n! n! n n! !因此 nlim 0 !，即序列收斂于零。4. 證：由已知迭代公式得迭代矩陣.學(xué)習(xí)參考.x( k )，即x( k )，即. .G 0 a 21 則特征多項式為 a | 0 11 解得a 21a 22，向量序列 收斂的充要條件是 ，即a r a 。5. (a) 譜半徑 ( B ，Jacobi 迭代法不收斂矩陣 A 對稱正定故 Gauss-Seidel 迭代法收斂 (b) 譜半 ) 0 Jacobi 迭代法收斂；譜半徑 ) 2 ，Gauss-Seidel 迭代法不收斂6. 證：必要性lim A ，則lim A kk ，對任意向

51、量x，有l(wèi)im A Ax lim ( ) lim A x k kk k k 因而有l(wèi)im x Ax lim k kk 。充分性 因?qū)θ魏蜗蛄縳，都有l(wèi)im x ，令x ii，則 e Ae i i 即當(dāng) k 時， k 的任一列向量的極限為 A 對應(yīng)的列向量，因而有l(wèi)im A 。7. A 對稱正定Jacobi 迭代法不一定收斂如題 。8. (a) Jacobi 迭代陣的譜半徑 B )；(b) Gauss-Seidel 迭代矩陣的譜半 ( ；(c) 兩種方法的譜半徑均小于 ，所以兩種方法均收斂。事 實 上 于 組 陣 A 則 Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代法均收。9. 取 X (0)

52、 0，迭代公式為.學(xué)習(xí)參考.12124T時，有i i 12124T時，有i i . .( k ( ) 1 1( k ( ) 2 2( k ( ) 3 3 ( ) X ( k ) 4 (4 X ( X ( ) X 4 ( ( X ( k 2 3( )3)使當(dāng)X X ( ) 時迭代終止，取 1.03時，迭代 5 達(dá)到X(5)1.00000010.4999999； 時迭代 6 達(dá)到X (6) ； 1.1取時，迭代 6 達(dá)到 X (6) 0.99999890.5000003。10. 迭代公式為XXX( ( ( XXX( )( )( ) ( ( ) X ( ) X ( k ) 5 (20 X ( k )

53、 X ( ) 4 X ( k X k 10)( )取X(0)0 ，迭代 8 次達(dá)到精度要求X (8) 2.99989 。11. 證：所給迭代公式的迭代矩陣為 I ，其 n 特征值分別為1121(0 n i i )，當(dāng)0 2 11i1, (i )，因而( B ) ，迭代法收斂。12. 證：(a)X( iX( )ir k ia ii即為 Gauss-Seidel 迭代格式(b) 由X( iX( )ir k ia ii及X ( k ) )i i，可得 i ir k ia ii；其中，ri( k i ijj ( k j ijj ( k )j xij j ijj j ( k j ( k )ij jj .

54、學(xué)習(xí)參考.i i z z( i i z z( ( ( ) ( m ( ( ) . . ( x ij jj ( k j) ( ij jj ( )j) ijj ( j ijj ( )j)。13. (a) 由已知， ( 1 A( m )2Ab1，及 z( 2( )1b2，則z ( ( A 2 z ( BA b b 1 ，即由 到 的迭代矩陣為 1 B ) 所以由 到 的迭代矩陣為 1AB，則迭代方法收斂的充要條件為( A ) 。(b) 由已知可推得 A BA b b1 所以迭代矩陣為 B ) ，則迭代方法收斂的充要條件為 ( A 2 。由迭代矩陣可以看出，迭代法的收斂速度是(的 2 倍。14. 證：由于 1 ，當(dāng) 時， a 1 0, 所以 A 正定Jacobi 迭代矩陣譜半徑 ( ) 2 | P I15. 取排列陣，則23，所以只對 1 收斂。 T AP 1 3 2 4 3 7A 可約矩陣。16. 證： 迭代矩陣的特征方程為iC ) I C 0，若 ( i0, (i1,2, , )， C 0 ，所以，即對任給向量X (0) ，迭 n次后，X( n )CnX(0) f f，其中 f n g ，則X( n C g g f即最多迭代 n 收斂于方程組的解f。17. 用 法解方程組 AX ，其中 A 對稱正定數(shù)組 x