數(shù)理方程課后習題答案

1、0,0,1.性為r的均勻桿側(cè)面絕絳一端溫度為霉，胡一端有恒定熱流9進人（即單位吋聞內(nèi)通過羊也赧面積流人的熱量為*）.桿的初始隔度分布是屋與出，試寫出相應(yīng)的定解問題.這是一個熱傳導問題由于考壌細桿內(nèi)的漏度分朮所以屋一維的、諫者可以按朧教材第-節(jié)中例4的方註來建立方程r也可以在二維熱傳導方程中假定溫度不fR賴于爭人只與工有關(guān)把細桿放在工軸上）來得到.0,0,剰下的問題就足要寫出邊界條件，設(shè)在工-0這個端點處漓產(chǎn)是零度，則有o,L=i；=o,另一端（即r-?處海恒定的熱流q進人桿內(nèi)，所謂恒定昭指q是牛常數(shù)，根據(jù)熱流的定義有其中6Q是在df時問內(nèi)通過面積dS的熱景*現(xiàn)襄璃量墨流人桿內(nèi)、表明熱流方向與丄

2、軸正向相反，由專里葉實驗定律得彳二蟲=陽窪（在鼻二f端，截面的外法向就是工柚的正向人其中k是桿的熱傳導系數(shù)因為桿是均勻的敬是常數(shù)”所以在工=/處的邊界條件為4.Mx_0Mx_0二0,薯L=Hftt0,t=0任為/的弦闖端固定開媳時在龍=巴社受到?jīng)_量山的萍用，試寫出相應(yīng)的定解問題.這展一個弦振動問題，方程在教材第章第一節(jié)搠1中已輕推導過了，邊界條件也簡單、設(shè)弦的兩端為工=0授工二扎由于迖曲耀魁固足的，所以社這悶點位移為霉，即wL=n=wL=;=O現(xiàn)在的問題是耍找出初始條件已知在初始時刻菠上工二處量到一牛沖燉k利用動最原理動疑的改璧等干沖SD知，這個案件就相當于在這點給了-個初速匿.為了清楚起見我

3、們考慮以c點為中心、長為28的一小段蠢-矗f町,設(shè)張是均勻的，其密度為p姬這一小段弦的質(zhì)量為2,在受曲擊之前弦的速度為零爰沖擊時速度為詩所以由動蜃原理得2fffl-3,在這個小段以擠,初速度仍為零&我們的問題并不是在這一小啓上受到?jīng)_擊両是在一點廠&處受到?jīng)_擊.所以最后還要令此外顯然弦是沒有初位移的，即uL-o.于是初始條件為la=Ot,0,0,n(iin(iis.2如果要求解這個冋題時先固定右把解找出來：這樣的解當然依賴于扒再令汩亠0所得的極跟函教就是原問題的解.如果瀆者熟悉狄拉克（Dirac）函數(shù)（簡稱古-函數(shù)），廁上述第二個初始條件可表示為二&(上-c)70弍直=0P占-函數(shù)是-個廣義函數(shù)

4、，簡卑一點講它是-個可積函數(shù)，它的定義足對任意逹續(xù)函數(shù)卩（J有+g冷Ud工=ptO)._oo由此可知(X-Ck5!J7)dx=F(c).kj注從占-西數(shù)的定叉知它的拉普趟斯變拱及傅里葉變換很容易求鬻，事實上：mS0)e_Edf-(-oLS(l-)乂憶OCTF&)=J(3d-F&)=tjlrtFJ(J7疋Q0,0,4.一均何桿原長是農(nóng)一端固定、另一端沿桿的軸線方向被拉長疋面靜止，突熔放手任其撮動，試建立振動方程和定解條件.這是一個桿的縱振戲問題，由上一題已知振勒方程為護血2護扭5P現(xiàn)在的問題是聲寫出定解條仲先看邊界條件，設(shè)固定端在識=0點側(cè)有Mr=Q-70?I0,/D.i=f再考慮初始條件.因為

5、弦是由靜止狀態(tài)開始0,/D.i=f再考慮初始條件.因為弦是由靜止狀態(tài)開始振動的，故初速礎(chǔ)為家即3工37匸隊0笛文W牡X-0開始時整個桿菽縱向拉長s卿單位長度桿的伸長為莘心點處的位移（伸心戰(zhàn)為子即0,0,1.設(shè)弦的兩端固定于工二仆及工二匚弦的初始鋰移如圈離汞，初速度為零戈沒有外力作用求茁柞橫向振動時的位移函數(shù)譏u）要解這個問題,苜先要寫出初始位移譏衣），由圖知它由兩個直絨段組成，枉久門內(nèi)的直線段由兩點）與5川）確定,在M昇內(nèi)的肓線段曲匸川）與（八要解這個問題,苜先要寫出初始位移譏衣），由圖知它由兩個直絨段組成，枉久門內(nèi)的直線段由兩點）與5川）確定,在M昇內(nèi)的肓線段曲匸川）與（八確定，利用解析幾何

6、中宜線的兩點式可得脫（丁*0）V門，cjrr所要求解的聞題是護超_2尸址喬=疔迂0J0,=0,利用教枕申2.1的方法得到解S匚心號%+j-l樣）切-t）71TC510二曲袂始條件可穩(wěn)0,0,0.,.T丄SsanxJi0.,.T丄SsanxJi=Er0,0,0,0,2-就下列初始條件及邊界條件解弦振動方程；(JT,0)=0,OWzM匚計(心心=T(/-T),QMHWa(011)=甘(匚門=0:i0+這個題不應(yīng)該有困難，因為邊界條件是第一類齊次邊界條件、可以苣接用分離變量法來做.在用分離變童醫(yī)時應(yīng)該寫出全過捏,千萬不能挹教材中的結(jié)果十作公式來套否則容易把特征函數(shù)搞錯.5.試求適合于下列初蠟棗件及垃

7、界朵轄的一維熱傳導方理的解肚1=打二.可(一才，工伍r-D=“L-(=0這個問題的邊界條件是齊次的，而且都是第一魏的,直接用分篇變嚴法求解只要是第一類邊界條件，不論是熱傳導方程還是波祠方程J它們的持征甌數(shù)系是一樣的，因為特征函數(shù)只由方程申關(guān)T工的導數(shù)項及邊界條件來確定，所以適過分離變量疳得魁恃征碉數(shù)為兩罕2一維栩傳導方程和一維滋動方超的差別在于方程中關(guān)干/的導數(shù)項不同，所以分離變量后得到的丁U)的方程就不一祥，盼披動方程得列T7/)十a(chǎn)3AT(z)-0,它的通解是1f)=Ceosa4Dsinu忑:.對于熱傳導方程得到廠(Q+和-0,它的通懈為T(i)-Ce也上而的丄應(yīng)該用特征值代薔.J解一堆熱

8、轉(zhuǎn)導問題，其初始條件及邊界條件為MLO-H*0黑丁，詳|=o肆“-芒尤上二(JoJCj=這個間題的邊界條件是齊次的故可宣接用分離變量苦，與前而的習題不同的是兩個邊界條件都是第二婁的.通過分離變量得到持征值問題；+AX(r)=0sXJ(O)=疋=0.由此可得特征值與特征函數(shù)為13-半徑為“曲半圖羽平板，其園周邊界上的溫度探持血而克輕邊界上溫度保持為0C,板的側(cè)而絕緣，試求穂恒狀態(tài)下的溫度分布規(guī)律衣要解這個問題，首先要把定解問題寫出來，由于求穩(wěn)恆的溫度分布，所以懸拉普拉期方程的邊值問題，現(xiàn)在求解區(qū)域是半圓板,根據(jù)第一段亠內(nèi)容評述內(nèi)所講的選坐標泰的原則直取極坐標系此外，還和教材2.3樣應(yīng)補充自燃邊界

9、條件|譏0#)|Cm,郎求解U-050,0n.pU-050,090,0,剩下的冋題就是用分離變趙法求解了，與教材中23所不同的罡一,衽那里特征函數(shù)由周期條件譏p,十2=比(6們來確定，現(xiàn)在只在半圓內(nèi)求塀，股有周期條件但在直徑邊界上的條件足齊決的可也用來確定特征值與特征函奴丫注庶宜徑的方程是H二0A彳工工令泌嚴#)=經(jīng)過分離變量后得到.申”十ZID)=0.0&V亦(0)=5)0*”疋+州嚴R=山0CpsI/?(0)|+8.下面的工作讀者可以自比來完成了(參閱教材2.3).14.-圓環(huán)玳平板，內(nèi)半徑為r，外半徑為忙齊側(cè)面絕緣，如內(nèi)圓溫度保持0圮外圓溫度保持1匕，試求穩(wěn)恒狀態(tài)下的溫度分布規(guī)律U(rt

10、5).這是在環(huán)形區(qū)域內(nèi)求解拉普拉斯方程第一邊值問題與教材中2.4/的例子棚比城在的問題更簡單些.由于在環(huán)形域內(nèi).0冬2叭所以應(yīng)諫補充周期性條件a(r“十2?t)=zt(r這個條件用來確定特征價與特絶麗數(shù)-此外，因乃丟廠廠心山故不需票在r-0處添加自熊邊界條杵因此，我們要求解問題1dj1dj1滬舛n7芥(廠芥)十尹麗二。uJ=fi0?uJ.j=1,tt(r,0t2ir)=譏廠，G),rjr廠2冬9農(nóng)2w,0Mfl2k,廠1電丁電F令煮砒二經(jīng)分離變量后礙窗J2=0,0?2心8+2n)=及WR十-dR=0,rLr),代入方程與所有的齊次邊界條件可無比-趙二0,0rx(0)-0?(Y+丄丫二0,Cy-

11、+K利用邊界條件知蟲二0,即YD0記成入二滬，則得Y(y)=C補C加in矽.利用邊界條件得彳H)的非零解兀1二遜為所UMU)的特征值為“0及兀二乍亡仏二匚2,)，特征函數(shù)為Yo二E,Y.三m-y(=1,2,-0-厶jprrtit厶-r)二仆護+此滬，左0.故fur繪氏TJ呂古0fur繪氏TJ呂古0il-5小管jn-Lr2T.0,0,0,0,利用疊加原理可礙原問題的評為,.y)匸口。工+肆hxoo5v再由條件(乂=加得Aj/-gfi+口詐h-y-HCQS尹,特Ay在沁飛上展成余弦的扁里葉纏數(shù)并比較系數(shù)得Ab孔二石.故原問題的解為、Ab)=厲,MK科7Tsh故原問題的解為、Ab)=厲,MK科7Ts

12、htco3iy.b白+y2血1廣-空XwVsh平b需要菇出的是這里用來確定特征直的邊界條件都是第二類的，故A=Q也星一個特征值I這一點一走要注盍，I.求方程g八T0滿足邊界條件盤丨，=0=卯卞i=OS5y的解這亍方程雖然是非齊次闕由于右端可厲對丈及丿稅分所處仍然可逋過直接積分禿獲得“通解J然后利用邊界條件確定兩令任意函數(shù),解這類問題應(yīng)該注意兩點；一是在對菽(或)進行積分時危加一個任意“常數(shù)所說的“常數(shù)，是就班或為而言的*故一般說來它應(yīng)依賴于了(或北)，實際上是兩牛任意函數(shù)；二是在利用定解條件確定任意函數(shù)時有可能合出現(xiàn)任意國數(shù)在某點的特定值這個值也是不知道的，但不必二且實際上也不可能求出耒，先保

13、留在式子里，最后會清掉例如，本題通過對方程積分得到通解u(xty)匕亠54+6(上幾并利用條評得工=0)十L,即C2(j?)=x2-Cj(0).令/=1并利用條件得COSy=十+CJy+C?=*/十Ci(y)1-Cj(0),故Ci(y)=cos-1寸Ci(0),再把CKQ與代人譏丈)中就消去丁cfc(o).10,求下列Goursat13題的算:其中列。）=以。這塵所諂的Goufsat問題屋一個未瀆及過的新何題，只有陂動方程才會談到*它的提法與初懂冋題及籾邊值問題都不同其磐點是定解為件中的已知數(shù)據(jù)是給在兩條特征統(tǒng)上對這個方程而言，它的毬征線是const”特別是過原點有兩條特征線=丄陸=-心圖25

14、中陰黑部分是求牌的蛋域，越=越=o,eoT?0,0,2T2T2丿通過積分可得通解為鎖0q）=代）+g其中八g是任意函數(shù)，再代入邊界條件得/U)土2L（自2L（自亠穴0）-皿）.越=越=o,eoT?0,0,越=越=o,eoT?0,0,/CO)=G0-(0)g0)冃$?(o)-fu).由此可得JP）+點0）=哼昨二譏。幾因此最后可得霹-平.譏工，y）=-平.0,0,內(nèi)就農(nóng)和用第二格林公式得tcPV2lnpla山丄工內(nèi)就農(nóng)和用第二格林公式得tcPV2lnpla山丄工ptl在二維情況建立闔和函數(shù),類似于公式（412）的積分表達式逑里所說的公式（4.12）就是*2.4.1小節(jié)中所講殖調(diào)和函數(shù)的積分表達式

15、與三維情形的相同之處是,1都從第二格林公弍團發(fā),2）基本解在點（心,旳）有奇性與三維情形的不同之處寵！在二維情形為了避開基本解的奇性，如圖2,6在H內(nèi)挖出一個取Mo（磯*小為中心、以e為半徑的圓域耳.以R表示平曆上的一個區(qū)域，其邊界為八以口表示位于G內(nèi)的以A/。（工為圓心、以e為半徑的圓其邊界為匚令趾是心內(nèi)的調(diào)和雷數(shù)，它在7T上是一次連綾可微的記r-In丄0,0,0,0,然后與三維情郵做一糕的處理，可得n(Mn)=n(Mn)=0,0,5.求證圓城F十弄的格林函數(shù)為并由此推岀圓內(nèi)狄氏問題的洎松公式(2.36).1并由此推岀圓內(nèi)狄氏問題的洎松公式(2.36).1由1N1!齊,尸叫M化rMjMJ0,

16、0,0,0,按頤定文，二維問按頤定文，二維問GCM.N)=Y-In-苴中七由-b在n內(nèi)，Uv”心確定，SqM=d一工一巧)十ty-丿汀的樓林函數(shù)為為了求岀要求出調(diào)和函數(shù)巴對于圓形區(qū)域我$門黑用敎茁44中光于球域所用的方法饋像袪如圖2工GMM話右端的是恥審關(guān)于圓周孑衛(wèi)的反演點”即満足OM0OMi二戎?具中點O是圓域口的圓心丈尺是其半輕推導的細節(jié)與球域情形完全一樣，請諛考自己完咸，記Og嚴刊QM嚴Q,OMHp,ZMO肱嚴兒由余弦定理得啲少7*用；+-城fcosy，0,0,由于圖2.7i27PCDS7由于圖2.7i20,0,0,0,In_V4+円討一2J?3otipcos/由此式再求出?G=_.l血

17、二*0=貞2ttRp：十疋2d-ffcosX若令厶OM-,Z.rOAf=則Y*-如.由ds=RdSt則得圓內(nèi)耿氏問題的解為譏佝切）=貼齊皿鳥。嚴這就是（2.36）斯表示的泊松公式，武中孤巧是就氏問題的邊揮數(shù)據(jù).6.用格襪函數(shù)法求下列問題gI，=皆（忑），-00J：?5T?邸曲瓠（渤二?這里只要利用顯合函數(shù)微分法及兒（=“人&匚即可得到答案.*刃匸小二？與上一題解祛類似.計算積分（1）衛(wèi)山（工）壯；尼一人（心）Tjt1中的被積函數(shù)是幻江龍丸我們岌設(shè)迭利用遞推關(guān)系將它化成可比直接戒出原函數(shù)的形式，由話左7n（）1二-衛(wèi)-9中3可得刃；文）-加昭工）=-刃卄】（工）取?t-1,得喊細=人（工-姿鶴i

18、故rr|xJg（x）l兀=Jx（x）dx（x）djJ-注m+=-.VjCr）中C.（2）中披積函數(shù)為中的變量是叱，所以先要作變量代換令2啦撤護“丄（血）肛-陽孑小人3）山*&-再利用遞推關(guān)系丁嘰（丁1=TrJrj（T）讀苦可旦把結(jié)果寫出來.18,.試解下列圓柱區(qū)域的邊值問題慮圓柱內(nèi)X.在慟柱健面凸二趴在下底d嚴趴在上底從仁，人=A.為解此題，先要注惹畫點：一是區(qū)域的形狀根踞這個形狀選哦適當?shù)淖鴺讼担憾嵌ń鈫栴}中已知項的特點十其中包括方程的豈山項及定解條件.現(xiàn)在的求解置誡是圖柱形區(qū)域，Jt羋徑為“高為乩所UI選圓柱坐標系比較方便！在這個坐標條中區(qū)城的邊界方程只含有一個自變量，即變屋已經(jīng)分離在柱

19、坐標家中A13/施八“1帀5|n邊界條件宥三個：dp二山江L_o二：二兒方程的自由項及邊界條件均5應(yīng)無關(guān)嚴披可推知解昇也應(yīng)與“無關(guān)于是所鑒求螂的定解問題為0,0,昇陰-*heV宀0NV從昇陰-*heV宀0壬-T?=m；tL從而所求的解為eheha剰下的問題是確定系數(shù)C由吐在匕底的條件得co.,_在弋上上展開的系數(shù)，即A=scsj,&4由）這說明Gh（牛）是人按”*|在弋上上展開的系數(shù)，即0,0,-0,f二a-0,f二a若方程換成非齊次的即右端的和分很容易計算、將由此所得的G代人解的表迭式即得所求的解運算的細節(jié)請讀者自行完成.僅辭不列定解問題r）0M卩CL0,0,0,0,1靜口=-為常數(shù)）,0,

20、0,而所有定解臬件均為零,試求其能.這個定解問題描述了圓形薄鑽的振動，而且位移址與無關(guān)這毘包含兩種情況，一種情況是膜不受外力夬振動懸由初始位林引起的；另一種橋況是掘動僅由一個定常的力引起的一（T齊次方稅的情形用分離變墾法令ej（p+B=R（.pT（t）代入方程得iQ人J的表達式”得將民代礙TriQ人J的表達式”得將民代礙Tr(/)=C；cos雖丄E+Dsin門5罟+RJ=-/32(0待定人1即r4xp2十p氏$bFr=o.第一個方思的通解是T（i）-Ccqsapt4-Csincpl,第二個疔程是零険貝塞爾方程，它的通斜為RS=D（i（傑）+口兒（和）由丨忖i_00,0,利用第17利用第17題中

21、所提示豹方法計算右端的積分再將所求得的C；代人泌0）的表達式即得解”（二）非疔次方程的情龍這時定解問題為十際#0,仇辺帶以n十際#0,$3總r註二半tLt0.1-/r-.Op-=-R有兩種方法求這個問題的解，第一個方法是特征函數(shù)法，即將解表示成肚（宀F）一X：州（上）幾II然后代人定解問題確定具體步驟略.第二個方迭是諛法將方程化威齊次的，即令u（p?r）=2十Tv（p），讐+十帶“=jIIX-（O）I8阻（R）=0.創(chuàng)的方程可寫成稅分兩次可得通解珂（嚴）一了+C|In卩4C?由點匚丸”再利用第二十條件得所以w（/）=y（Ji2-利用說（）可將原問題轉(zhuǎn)化成Ld叭p亦i哲丨0,0,0,0,5-證明

22、幾)=盂曰這也是勒讓德多項式的一個遙堆公式要證明這個警式，只要先證明S)二卩：犖(寶S)二卩：犖(寶)+U+門匕“)j還逼利用羅德利克表這式1(771)!dp752ff+1HiI27TV!dx；?1尙翳齊fdrLl齊fdrLl1）十2曲（忑2l）一_J亠/(衛(wèi)_左戶一叮TOC o 1-5 h z2Bl(-1)!dLEJ了)EJ了)十丁(宀！尸+(a)!3-川Tj搐右端稍柞整理即可得所姜證的結(jié)論.&在半徑為丄的球內(nèi).求調(diào)和函敷使J3cos241.所謂求.調(diào)和函數(shù)，就是求拉普拉斯方程g=0的解，在球面坐標系(九/%)中、f7G由于邊界條件不依賴于刑所以0也應(yīng)不依戟于艸于是要解下列邊值問題代人方程R代人方程R即異皮亠2W-AR-為&H+ctg冊+2=0.令1A匕譏氏+1),盂=Os&,farccosx)=f(x),則得(1-JT)士-2衛(wèi)號尸亠探(r?4l)P=02ojc這是勒讓德方程為了使解有界，所以在0內(nèi)叭恒應(yīng)育界洌P（r-i,l上應(yīng)育界很據(jù)