數(shù)學(xué)建模第二章作業(yè)答案章紹輝

1、. 習(xí)題 作業(yè)講評(píng)1. 繼續(xù)考慮 2.2 節(jié)的汽車(chē)剎車(chē)距”案例，問(wèn)“兩秒準(zhǔn)則和“車(chē)長(zhǎng)度準(zhǔn)”一嗎？“秒準(zhǔn)則是否足夠安全？對(duì)于安全車(chē)，有沒(méi)有更的建議“兩準(zhǔn)則，后車(chē)司機(jī)從前車(chē)經(jīng)某一標(biāo)志開(kāi)，數(shù) 2 之后到達(dá)同一志，不管 車(chē) 速 如 何 .剎 車(chē) 距 離 與 車(chē) 速 的 經(jīng) 驗(yàn) 公 式 v 解答，速度單位 距離單位 （“秒準(zhǔn)則”明前后車(chē)距車(chē)速成正例關(guān)系 . 引 入以下符號(hào) 前后車(chē)距（ m 車(chē)速（m/s；于是“兩秒則”的數(shù)學(xué)型為 K v . 與“一長(zhǎng)度準(zhǔn)則”相比是一樣，依賴(lài)一車(chē)長(zhǎng)度的取 比較 v 與 D v，得： 所以當(dāng) （約合 54.43 ）時(shí)有 dD，即前后距大于剎車(chē)離的理論值認(rèn)為足夠全當(dāng) v 時(shí)，有

2、 ，即前后車(chē)小于剎車(chē)離的理論值不夠安. 也就 說(shuō)兩秒準(zhǔn)則適用于車(chē)速算很快的情 .另外還可以通繪圖直觀解釋“秒準(zhǔn)則夠不夠全 .用以下 MATLAB 程序把剎車(chē)距實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)“兩秒準(zhǔn)則都畫(huà)在 同一幅圖中圖 ）學(xué)習(xí)參考. v=(20:5:80).*0.44704;d2=18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,33422,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,41820,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376;d2=0.3048.*d2;k1=0.75;

3、k2=0.082678; K2=2;d1=v;v;v.*k1;d=d1+d2;plot(0,40,0,K2*40,k)hold onplot(0:40,polyval(k2,k1,0,0:40),:k)plot(v;v;v,d,ok,MarkerSize,2)title( 較剎車(chē)距實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)理論值和秒準(zhǔn)則 ) legend( 兩秒準(zhǔn)則,車(chē)距離理論 ,. 剎車(chē)距離最小值、平值和最大 ,2)( 速 m/s）( 離（ mhold off學(xué)習(xí)參考. 比 較 剎 車(chē) 距 離 實(shí) 測(cè) 數(shù) 據(jù) 、 理 論 值 和 兩 秒 準(zhǔn) 則兩 秒 準(zhǔn) 剎 車(chē) 距 離 理 論 值剎 車(chē) 距 離 的 最 小 值 、 平 均

4、和 最 大 值 5 20 25車(chē) 速 （ m/s ）圖 1 35 （用最剎車(chē)距離以車(chē)速，得最大剎車(chē)離所需要 的尾隨時(shí)間表 1 ，以尾隨時(shí)間依據(jù)，提更安全的“ t 秒準(zhǔn)則（ 2）后車(chē)司機(jī)據(jù)車(chē)速快的范圍，從車(chē)經(jīng) 過(guò)某一標(biāo)志始，默數(shù) t 鐘之后達(dá)同一標(biāo)志表 尾隨時(shí)間車(chē)速mph)車(chē)速m/s) 最大剎車(chē)距 m) 尾隨時(shí)間(20 8.9408 13.411 1.525 11.176 17.831 1.595530 13.411 23.774 1.772735 15.646 29.413 1.879940 17.882 37.795 2.113645 20.117 46.482 2.310650 22.35

5、2 56.693 2.536455 24.587 68.732 2.795560 26.822 81.686 3.045565 29.058 96.469 3.3199學(xué)習(xí)參考. 70758031.29333.52835.763113.39132.74154.233.623495913125車(chē)速mph)t (s)表 t 秒準(zhǔn) 0 1035 351 2 3604繪制圖 2 MATLAB 序：v=(20:5:80).*0.44704;d2=18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,33422,31,45,58,80,103,131,165,202,245,

6、295,353,41820,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376;d2=0.3048.*d2;k1=0.75; k2=0.082678;d=d2+v;v;v.*k1;vi=0:40;plot(0,10*0.44704,0,10*0.44704,k,.vi,k1.*vi+k2.*vi.*vi,k:,.v;v;v,d,ok,MarkerSize,2)legend(t 秒準(zhǔn)則,車(chē)距離理值 ,.車(chē)距離的小值、平值和最大值,2)hold onplot(10,35*0.44704,2*10,35*0.44704,k,.35,60*0.44

7、704,3*35,60*0.44704,k,.60,75*0.44704,4*60,75*0.44704,k)title(t 秒準(zhǔn)則，車(chē)距離的模和數(shù)據(jù)( 速 m/s）( 離（ mhold off學(xué)習(xí)參考. t 秒 準(zhǔn) 則 ， 剎 車(chē) 距 離 的 模 型 和 數(shù) 180t 秒 160140120剎 車(chē) 距 離 理 論 剎 車(chē) 距 離 的 最 小 值 、 平 均 和 最 大 值1008060402000 5 車(chē) 速 （ m/s 圖 230 404. 繼續(xù)考慮 2.3 “生豬出時(shí)機(jī)”案，假設(shè)在 t 天 的生豬出售市場(chǎng)價(jià)格（ 公斤）為 ( ) p (0) gt ht(1)其中 h 價(jià)格的平率，取 =0

8、.0002. 其它模假設(shè)和參取 值保持不變.試比較1)式與 (2.3.1)，釋新的假和原來(lái)的假 設(shè)的區(qū)別與系；在新的假設(shè)求解最佳出時(shí)機(jī)和多賺純利潤(rùn)； （作靈度分析，別考慮 h 最佳出售機(jī)和多賺的純利潤(rùn)的影；學(xué)習(xí)參考. （討論型關(guān)于價(jià)假設(shè)的強(qiáng)健 解答一（用 MATLAB 數(shù)值算）（ 1 ）比較 ( 與 (2.3.1) 式， (1)式表明價(jià)格先降升，(2.3.1) 假設(shè)價(jià)格速下降(1)更接近際（圖 3） 兩個(gè)假設(shè)都滿足 ，在最佳出時(shí)機(jī)附近誤微小（圖 ）.繪圖的程序p=(t)12-0.08*t+0.0002*t.2;figure(1)n=400;plot(0,n,12,12-0.08*n,k:,.0

9、:.1:n,p(0:.1:n),k)axis(0,400,0,20)title( 型假設(shè)1)式與 2.3.1)式的比 legend(p(0) - g t 式,.p(0) - t + h t2 式) xlabel(t （天） )ylabel(p （元 /斤） )figure(2)n=20;plot(0,n,12,12-0.08*n,k:,.0:.1:n,p(0:.1:n),k)title( 型假設(shè)1)式與 2.3.1)式的比 legend(p(0) - g t 式,.p(0) - t + h t2 式)xlabel(t （天） ), ylabel(p（元斤） )學(xué)習(xí)參考/. 模 型 設(shè) (1)式

10、 與 (2.3.1)式 的 比 較20p(0) - g t (1) 式18p(0) - g t + t2 式161412）斤公 10元（ 8p64200 50 100 150 200t （ 天 圖 3250 300 350 400模 型 設(shè) (1)式 與 (2.3.1)式 的 比 較12p(0) - g t (1) 式11.8p(0) - g t + t2 式）11.611.4斤公 11.2元（p1110.810.610.402 4 6 8 1012 14 16 18 20t （ 天 圖 4學(xué)習(xí)參考. （在1)和2.3.1)組成的設(shè)下，多賺純利潤(rùn)為 (t ) (0) 保留 h代入其他具體數(shù)，得

11、Qt ) ht32t令Q ht 2 解得生豬出時(shí)機(jī)為 10.16 0.16 6（舍去負(fù)根多賺的純利為 t1 1 1 .代入 =0.0002 ，得t 13.829 天 10.798 1元或者用 MATLAB 數(shù) fminbnd 計(jì)，腳本如： C=(t)3.2*t;w=(t)90+t;p=(t,h)12-0.08*t+h*t.2;Q=(t,h)p(t,h).*w(t)-C(t)-90*12;Qh=(t)-Q(t,0.0002);t1=fminbnd(Qh,0,30)Q1=Q(t1,0.0002)為幫助理解可用以下腳繪制圖 ： figure(2)tp=0:250;plot(tp,Q(tp,0.000

12、2),k)title( 利潤(rùn) (t （天） )(Q （元） )學(xué)習(xí)參考）元（Q. 純 利 Q1000-100-200-300-400-500-6000 50 100150 200 250t （ 天 圖 5（ 3 ） 以 MATLAB 腳 本 敏 QS ( h) ，將結(jié)果列 hS , ) t 和結(jié)論： 的微小變化對(duì) t Q 影響都很 Qh=(t)-Q(t,0.0002*1.01);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-t1)/t1/0.01(-Qn-Q1)/Q1/0.01Qh=(t)-Q(t,0.0002*1.05);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-t1)/

13、t1/0.05(-Qn-Q1)/Q1/0.05Qh=(t)-Q(t,0.0002*1.1);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-t1)/t1/0.1學(xué)習(xí)參考. (-Qn-Q1)/Q1/0.1表 數(shù)值計(jì)算最出售時(shí)機(jī) t h 的靈敏度 h(%)t (%)S (t , h) t h0.0002020.000210.00022151088612114.4310.414592.11764.35360.414590.423520.43536表 數(shù)值計(jì)算多的純利潤(rùn) Q h 的靈敏度h h(%) (%)S (Q ) 0.0002020.000210.00022151083800111.214

14、0.369361.88023.84790.369360.376040.38479（市場(chǎng)格是經(jīng)常動(dòng)的，如果格下跌，往會(huì)止跌回穩(wěn)，模型設(shè) 1)式以二次函數(shù)刻畫(huà)價(jià)格跌回升的化趨勢(shì)，果考慮的時(shí)段長(zhǎng)達(dá)數(shù)，比 2.3.1)更接近實(shí)際（見(jiàn)圖 3，但本問(wèn)題的最出售時(shí)機(jī)不過(guò) 20 ，(1)式與(2.3.1) 在最佳出時(shí)機(jī)附近常近似（圖 4導(dǎo)致的模型解答以由 (2.3.1)導(dǎo)致的解加上靈敏分析所代 . 所以采用更簡(jiǎn)單的 2.3.1) 式作假設(shè)更好具體分析如：由 2 g t ( , h學(xué)習(xí)參考，得. 12 p( ) gt，代入 h=0.0002，=13.82852279 g=0.08得由于 (t )t g.根據(jù)課

15、節(jié)代入 S (t g =10算得 t ，與 t=13.829 只相差兩天用于以上分計(jì)算的 MATLAB 腳本： dg_g=(12-p(ts,0.0002)/ts/0.08-110+dg_g*10*(-5.5)解答二（用 MATLAB 的 Symbolic Math Toolbox MuPAD 軟 件符號(hào)計(jì)算（運(yùn)行下 MuPAD 語(yǔ)句繪得圖 6 和圖 (1) 式表價(jià)格先降升，在實(shí)當(dāng)中有一定理 . 而(2.3.1) 式假設(shè)格勻速下 . 兩個(gè)假都滿足 ，在最佳出售時(shí)附近誤差微 學(xué)習(xí)參考. 圖 6 假式與1)的較圖 7 假式與1)的較(2) 在1)式和(2.3.1)式組的假設(shè)下保留 h，代入其具體數(shù)值

16、，算多賺的純潤(rùn) 運(yùn)行以 MuPAD 語(yǔ)句 學(xué)習(xí)參考. 算得Q h ) 3 8 2 25 ，繪得圖 8.圖 (t ,0.0002)的像運(yùn)行以下 MuPAD 句： 學(xué)習(xí)參考. 由方程，解得兩根 1 324002384 h 5h166254500h 2 32400 2 384 165 代入 h=0.0002， 2（天）.符合題意，t應(yīng)該舍去（應(yīng)的 Q 是數(shù).對(duì)應(yīng)的多賺純利潤(rùn)為 10.79837809元（接著一小題，行以下 MuPAD 語(yǔ)句： /t h 的靈敏 利用導(dǎo)數(shù)算 對(duì) h 的靈敏度：dt hS (t , h dh t運(yùn)行以下 MuPAD 句：. /Q h 的敏，法 /Q h 的敏，法，簡(jiǎn)用兩種

17、方法用導(dǎo)數(shù)算得 h 的靈度：Q hS ( h .結(jié)論： 的微小變化對(duì) t 的響都很小.2 2（同解一學(xué)習(xí)參考. 5. 繼續(xù)考慮 “生豬出時(shí)機(jī)”案，假設(shè)在 t 天的生豬體（公斤）為w w(t ) m w w e 0(2)其中w (0) 90 0（公斤，w （公斤，其它模假設(shè)和參數(shù)取值持不變 （試比 2)式與2.3.2) 式解釋新的假和原來(lái)的假 設(shè)的區(qū)別與系（提示：明當(dāng) (何值時(shí)， t 可以保持 w 說(shuō)明當(dāng) 大時(shí)豬的重會(huì)如何變.（在新假設(shè)下求最佳出售時(shí)和多賺的利潤(rùn) （）數(shù) w 代表豬長(zhǎng)時(shí)的最終重，對(duì) w 做靈度分 析，分別考 w 對(duì)最佳出售時(shí)機(jī)多賺的純潤(rùn)的影響.（討論型關(guān)于生體重假設(shè)的健性 .解答

18、一（用 MATLAB 數(shù)值算）（在(中，為使 ，必須w ( w w ) w 0 m.當(dāng) w =270， w =90 時(shí)，有 0 60.新假設(shè) (是阻滯增模型，假生豬體重的長(zhǎng)率是體重的線性遞函數(shù)，是體重增的速率先后慢時(shí)間充分后體重趨于 w . 而(2.3.2)式w w rt 只假設(shè)體重速增加 長(zhǎng)時(shí)間來(lái)，新假設(shè)原假設(shè)更符實(shí)際（圖 9） 兩個(gè)假設(shè)都滿足 ，在最佳出時(shí)機(jī)附近誤微小（圖 學(xué)習(xí)參考/. 模 型 設(shè) (2.3.2)式 與 (2)式 的 比 較300250）斤公元（p格價(jià)20015010050p(0) - g t (2.3.2) 式p(0) - g t + 2(2) 式01150 50 100

19、 150 200t （ 天 圖 9p(0) - g t (2.3.2) 式250 300 350 400p(0) - g t + 2(2) 式）斤公元（p格價(jià)11010510095900 2 4 6 8 10t （ 天 圖 1012 14 16 18 20學(xué)習(xí)參考. (2) 在 ( 式和 (2) 組成的設(shè)下，用 MATLAB 函數(shù) fminbnd 計(jì)算，以求得生出售時(shí)機(jī)為 t=14.434 天，賺的 純利潤(rùn)為 Q=12.151 元(3) 編程計(jì)算 (t , w w 和 (Q w ) 將結(jié)果列表表 數(shù)值計(jì)算最出售時(shí)機(jī) t w 的靈敏性mw w(%)t (%) (t , w ) t 272.728

20、3.52971 14.9775 17.05710 19.463.76718.17334.8253.7673.63453.4825表 數(shù)值計(jì)算多的純利潤(rùn) Q w 的靈敏性mw w(%) (%)S ( , ) Q 272.7283.52971 13.1085 17.12110 22.4757.87240.89784.96387217948.4963結(jié)論： w 的微小變化對(duì) t Q 影響都較小.m（模型設(shè) (式導(dǎo)致模型解答以由 2.3.2) 導(dǎo)致的解答加上敏度分析所替，所以實(shí)中采用更簡(jiǎn)單的(2.3.2) 作為假設(shè)可 具體分析過(guò)程解答二之 4） MATLAB 腳：學(xué)習(xí)參考. % (1) 圖的程w=(t

21、)90*270./(90+180*exp(-t/60);figure(1)n=400;plot(0,n,90,90+n,k:,.0:.1:n,w(0:.1:n),k)axis(0,400,0,300)legend(p(0) - g t 式,.p(0) - t + h2 (2) 式,4)title( 型假設(shè)2.3.2)與2)式的比較 )(t （天） )( 格 p（元斤） )figure(2)n=20;plot(0,n,90,90+n,k:,.0:.1:n,w(0:.1:n),k)legend(p(0) - g t 式,.p(0) - t + h2 (2) 式,2) xlabel(t （天） )y

22、label( 價(jià)格 p（元斤） )% (2) 佳出售機(jī)和多賺的利潤(rùn)C(jī)=(t)3.2*t;學(xué)習(xí)參考. w=(t,m)90*m./(90+(m-90)*exp(-t/60);p=(t)12-0.08*t;Q=(t,m)p(t).*w(t,m)-C(t)-90*12;Qh=(t)-Q(t,270);ts=fminbnd(Qh,0,30)Qs=Q(ts,270)% (3) 敏度分Qh=(t)-Q(t,270*1.01);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-ts)/ts/0.01(-Qn-Qs)/Qs/0.01Qh=(t)-Q(t,270*1.05);tn,Qn=fminbnd(Qh,

23、0,30);(tn-ts)/ts/0.05(-Qn-Qs)/Qs/0.05Qh=(t)-Q(t,270*1.1);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-ts)/ts/0.1(-Qn-Qs)/Qs/0.1% (4) 健性分dr_r=(w(ts,270)-90)/ts-110+dr_r*10*6.5學(xué)習(xí)參考. 解答二（用 MATLAB 的 Symbolic Math Toolbox MuPAD 軟 件符號(hào)計(jì)算（運(yùn)行下 MuPAD 語(yǔ)句算得 ： a);運(yùn)行以下 MuPAD 句，繪得圖 ： 運(yùn)行以下 MuPAD 句，繪得圖 ：(2) w wt ) m w 60是阻滯增長(zhǎng)型，假設(shè)生體重的

24、增長(zhǎng)是體重的線遞減函數(shù) . 于是體重 w 時(shí)間 的增函數(shù)體重增加的率先快后時(shí)間充長(zhǎng)后體重趨于. 而2.3.2) 式t rt 0只假設(shè)體重速增加 . 長(zhǎng)時(shí)間看，新假設(shè)原假設(shè)更符實(shí). 兩假都滿足 w r 佳出售時(shí)機(jī)近誤差微小.，在最學(xué)習(xí)參考. 圖 假與2)的較圖 假與2)的較（在(2)式(2.3.1) 式成的假設(shè)，保留 ，代其他具體數(shù)，計(jì)算多賺純利潤(rùn) . 行以下 MuPAD 語(yǔ)句：學(xué)習(xí)參考mm. 算得Q ( , w ) m t mt ，繪得圖 13.圖 13運(yùn)行以下 MuPAD 句： t 的像可解出 的駐點(diǎn)的數(shù)值解 14.43357158（天根據(jù)函數(shù)像和問(wèn)題的實(shí)意義，知這是所求最佳出售時(shí)，應(yīng)的多賺 學(xué)習(xí)參考t t . 的純利潤(rùn)為 元（接著一小題，行以下 語(yǔ)句，但是不出當(dāng)Q (t , ) 達(dá)到最大值 于的函數(shù)解析： 運(yùn)行以下 MuPAD 句：可見(jiàn)當(dāng)Q (t , ) 達(dá)到最大值 關(guān)于 反函數(shù)解式卻有可能求得只是 MuPAD 給出表達(dá)式很雜