中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題：梯形中常見輔助線的添加方法

1、梯形中常見輔助線的添加方法本文就求解梯形問題時(shí)輔助線的作法進(jìn)行歸類探究，供參考 一、連結(jié)對角線，構(gòu)造三角形 連結(jié)對角線的本質(zhì)是將梯形轉(zhuǎn)化為基本三角形，再利用三角形的一些性質(zhì)與規(guī)律去解決問題 例1 求證： 梯形面積（上底下底）高2二、添加平行線，構(gòu)造平行四邊形 證明 如圖l，梯形ABCD，連結(jié)對角線AC，則S梯形ABCD=SABC+SACD 設(shè)ABC的高為h，顯然ACD的高也為h S梯形ABCD=SABC+SACD BChADh （BCAD）h 故梯形面積（上底+下底）高2，得證 二、添加平行線，構(gòu)造平行四邊形添加平行線的核心是將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，再運(yùn)用平行四邊形的一些性質(zhì)與規(guī)律去解決問題，

2、添加方法有過頂點(diǎn)向形內(nèi)或向形外作平行線兩種情形 1、向形內(nèi)作平行線 例2 如圖2，在梯形ABCD中，ABCD，D80，C50，DC9，AB5，求AD的長 解 過點(diǎn)B作BEAD，交DC于點(diǎn)E 由題可知四邊形ADEB為平行四邊形， ADBEABDE5， DBEC80 C50 EBC180508050， 即BEECDCDE4， 故AD4 2、向形外作平行線例3如圖3，在梯形ABCD中，ADBC，對角線ACBD若AD3，BC7，則梯形ABCD面積的最大值為_解 過點(diǎn)D作DEAC，與BC的延長線交于點(diǎn)E，易知DEBD四邊形ACED為平行四邊形， 即ADCE，所以SABDSCED 由圖3知， S梯形ABC

3、DSABDSBCDSBEDBDDE 兩邊同時(shí)平方，得 S2梯形ABCDS2BDEBD2DE2， 在RtBDE中，由勾股定理，得 BD2BE2DE2100DE2， S2梯形ABCD（100DE2）DE2DE425DE2 配方得 S2梯形ABCD(DE250)2625 即當(dāng)DE250時(shí)， S2梯形ABCD max625， S梯形ABCDmax25 故梯形ABCD面積的最大值為25 三、添加垂線，構(gòu)造直角三角形或矩形作垂線一般是將梯形轉(zhuǎn)化為矩形與直角三角形，再運(yùn)用二者的規(guī)律去解決問題， 例4 如圖4，在等腰梯形ABCD中，上底為10，下底為18，腰長為5求梯形的面積解 過點(diǎn)A、D作BC垂線，垂足分別

4、為E、F，AEDF，四邊形AEFD為平行四邊形，即EF=AD=10根據(jù)對稱性可知，BECF4 在直角ABE中， 由勾股定理，得 AE2AB2BE2， AE3 故梯形的面積為： S（ADBC）AE(1018)342 四、反向延長腰，構(gòu)造特殊三角形 若梯形是等腰梯形，底角特殊，通常反向延長腰將梯形轉(zhuǎn)化成特殊三角形，達(dá)到簡化問題的目的 例5 如圖5，已知梯形ABCD中，ABCD，ADBC，B60，AD2，BC8，求此梯形的周長 解 反向延長AB，DC交于點(diǎn)E， 由題意可知，EBC為等邊三角形 又EADEDA60 EAD為等邊三角形， ABBEAEBCAD826 故梯形的周長為 ABBCCDDA686

5、222 五、添加中位線 作中位線的目的是利用中位線定理去解決問題 例6 如圖6，已知AEDH，B、C分別是AD的四等分點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是EH的四等分點(diǎn)，AE28DH36，求BF和CG的長度 解 分別取AD、EH的中點(diǎn)M、N，連結(jié)MN， MN是梯形ADHE的中位線， 即MN（AEDH）(2836)32 又BF、CG分別是梯形AMNE、MDHN的中位線，BF(AEMN)(2832)30， CG(MNDH)(3236)34 六、作過頂點(diǎn)和腰中點(diǎn)的連線，構(gòu)造全等三角形 添加該輔助線后，通常是將梯形轉(zhuǎn)化為多個(gè)三角形與四邊形，再尋找其中的全等三角形解決問題 例7 如圖7，梯形ABCD中，M為腰AD的中點(diǎn)，MHBC于點(diǎn)H求證：S梯形ABCDBCMH 證明 連結(jié)CM，并延長交AB的反向延長線于點(diǎn)N，連結(jié)BM根據(jù)題意，由“角邊角”可知DMCAMN， 七、添加對稱軸，利用對稱性 具備對稱性質(zhì)的圖形十分優(yōu)美，梯形中添加對稱軸后，對應(yīng)的線段、角度等均相等 例8 如圖8，在梯形ABCD中，ADBC，ABCD請?jiān)谔菪蝺?nèi)部求作一點(diǎn)O，使OAOBOCOD 作法 (1)作梯形ABCD的對稱軸分別交AD、BC于點(diǎn)M、N (2)作腰AB的垂直平分線交MN于點(diǎn)