玩轉(zhuǎn)高中數(shù)學(xué)研討 專(zhuān)題08 立體幾何與空間向量學(xué)霸必刷100題（原卷版）

1、 立體幾何與空間向量學(xué)霸必刷100題1如圖，在三棱錐中，兩兩互相垂直，點(diǎn)，分別在側(cè)面、棱上運(yùn)動(dòng)，為線段中點(diǎn)，當(dāng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡把三棱錐分成上、下兩部分的體積之比等于( )ABCD2在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是對(duì)角線上的點(diǎn)（點(diǎn)與、不重合），則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（ ）存在點(diǎn)，使得平面平面；存在點(diǎn)，使得平面；若的面積為，則；若、分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點(diǎn)，使得.A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)3如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段上，E、F分別為、的中點(diǎn)，設(shè)異面直線與所成的角為，則的最大值為（ ）ABCD4已知三棱錐外接球的表面積為，直線與平面所成角為，則等于（

2、）A1B2C3D45長(zhǎng)方體中，為該正方體側(cè)面內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且滿足.則四棱錐體積的取值范圍是（ ）ABCD6已知四邊形為等腰梯形，將沿折起，使到的位置，當(dāng)時(shí)，異面直線與直線所成角的正切值為( )ABCD7邊長(zhǎng)為6的兩個(gè)等邊，所在的平面互相垂直，則四面體的外接球表面積為（ ）ABCD8已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，高為1，過(guò)頂點(diǎn)A作一平面與側(cè)面交于EF，且EFBC，若平面與底面ABC所成二面角的大小為四邊形BCEF面積為則函數(shù)的圖像大致是（ ）ABCD9有一容積為的正方體容器，在棱、和面對(duì)角線的中點(diǎn)各有一小孔、，若此容器可以任意放置，則其可裝水的最大容積是（ ）ABCD10已知四棱錐的底面是正

3、方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)直線與所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（ ）ABCD11在正方體中,若點(diǎn)(異于點(diǎn))是棱上一點(diǎn),則滿足與所成的角為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）A0B3C4D612正方體的棱長(zhǎng)為1，M，N為線段BC，上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，M，N的平面截該正方體所得截面記為S，則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（ ）當(dāng)且時(shí)，S為等腰梯形；當(dāng)M，N分別為BC，的中點(diǎn)時(shí)，幾何體的體積為；當(dāng)M，N分別為BC，的中點(diǎn)時(shí)，異面直線AC與MN成角60；無(wú)論M在線段BC任何位置，恒有平面平面A1B2C3D413已知球O為三棱錐SABC的外接球， ，則球O的表面積是（ ）ABCD14在三

4、棱錐中，為正三角形，設(shè)二面角，的平面角的大小分別為，則下面結(jié)論正確的是（ ）A的值可能是負(fù)數(shù)BCD的值恒為正數(shù)15斜三棱柱中，底面是正三角形，側(cè)面是矩形，且，是的中點(diǎn)，記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（ ）A，B，C，D，16已知正方體記過(guò)點(diǎn)A且與三直線 、所成的角都相等的直線的條數(shù)為,過(guò)點(diǎn) 與三個(gè)平面 所成角都相等的直線的條數(shù)為則（ ）ABCD17在正方體中，為上一點(diǎn)，且，是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則與平面所成角的正切值構(gòu)成的集合是（ ）ABCD18如圖所示，直平行六面體的所有棱長(zhǎng)都為2，過(guò)體對(duì)角線的截面S與棱和分別交于點(diǎn)E、F，給出下列命題中：四邊形的面積最

5、小值為；直線EF與平面所成角的最大值為；四棱錐的體積為定值；點(diǎn)到截面S的距離的最小值為.其中，所有真命題的序號(hào)為（ ）ABCD19體積為216的正方體中，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，則正方體被平面AMN所截得的截面面積為（ ）ABCD20在外接球半徑為4的正三棱錐中，體積最大的正三棱錐的高（ ）ABCD21在棱長(zhǎng)為3的正方體中，E是的中點(diǎn)，P是底面所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，與底面所成的角分別為（均不為0），若，則三棱錐體積的最小值是（ ）ABCD22在邊長(zhǎng)為的等邊三角形中，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，滿足且，將沿直線折到的位置. 在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論成立的是（ ）A在邊上存在點(diǎn)，使得在翻折過(guò)程中，滿足

6、平面B存在，使得在翻折過(guò)程中的某個(gè)位置，滿足平面平面C若，當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，D在翻折過(guò)程中，四棱錐體積的最大值記為，的最大值為23如圖所示，在直角梯形BCEF中，CBF=BCE=90，A，D分別是BF，CE上的點(diǎn)，ADBC，且AB=DE=2BC=2AF（如圖1），將四邊形ADEF沿AD折起，連結(jié)BE、BF、CE（如圖2）在折起的過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)（）AC平面BEF；B、C、E、F四點(diǎn)可能共面；若EFCF，則平面ADEF平面ABCD；平面BCE與平面BEF可能垂直A0B1C2D324在四面體中，用平行于，的平面截此四面體，得到截面四邊形，則四邊形面積的最大值為（ ）ABCD325等

7、腰直角斜邊CB上一點(diǎn)P滿足，將沿AP翻折至，使二面角為，記直線、CP與平面所成角分別為、，則（ ）ABCD26設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為ABCD27邊長(zhǎng)為2的等邊和有一內(nèi)角為的直角所在半平面構(gòu)成的二面角，則下列不可能是線段的取值的是（ ）ABCD28若點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，記平面為，平面為，點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)（與、不重合），.給出下列三個(gè)結(jié)論：線段長(zhǎng)度的取值范圍是；存在點(diǎn)使得平面；存在點(diǎn)使得.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）ABCD29a，b為空間兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與a，b都垂

8、直，斜邊以為旋轉(zhuǎn)軸選擇，有下列結(jié)論：當(dāng)直線與a成60角時(shí)，與b成30角；當(dāng)直線與a成60角時(shí)，與b成60角；直線與a所成角的最小值為45；直線與a所成角的最大值為60；其中正確的是_.（填寫(xiě)所以正確結(jié)論的編號(hào)）.ABCD30如圖來(lái)自某中學(xué)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組所研究的幾何圖形，大球內(nèi)有4個(gè)小球，每個(gè)小球的球面過(guò)大球球心且與大球球面有且只有1個(gè)交點(diǎn)，4個(gè)小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個(gè)頂點(diǎn)，小球相交部分(圖中陰影部分)記為，大球內(nèi)、小球外的部分(圖中黑色部分)記為，若在大球中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取，的概率分別記為，則（ ）ABCD1如圖來(lái)自某中學(xué)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組所研究的幾何圖形，大球內(nèi)有4個(gè)

9、小球，每個(gè)小球的球面過(guò)大球球心且與大球球面有且只有1個(gè)交點(diǎn)，4個(gè)小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個(gè)頂點(diǎn)，小球相交部分(圖中陰影部分)記為，大球內(nèi)、小球外的部分(圖中黑色部分)記為，若在大球中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取，的概率分別記為，則（ ）ABCD2如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)，最后返回.已知的運(yùn)動(dòng)速度為，那么三棱錐的體積（單位：）關(guān)于時(shí)間（單位：）的函數(shù)圖象大致為（ ）ABCD3在四面體ABCD中，為等邊三角形，二面角的大小為，則的取值范圍是（ ）ABCD4如圖，在菱形ABCD中，ABC60，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD的中點(diǎn)，現(xiàn)將ABC沿著對(duì)角線AC翻折，則直線EF與

10、平面ACD所成角的正切值最大值為( )ABCD5已知球是正三棱錐（底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，點(diǎn)在線段上，且，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（ ）ABCD6點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球的球面上，若四面體ABCD體積的最大值為，則這個(gè)球的表面積為（ ）ABCD7已知棱長(zhǎng)為3的正方體,點(diǎn)是棱AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且面，則PC的長(zhǎng)度范圍為（ ）ABCD8已知P,A,B,C是半徑為2的球面上的點(diǎn)，PA=PB=PC=2，點(diǎn)B在AC上的射影為D，則三棱錐體積的最大值為（ ）ABCD9在三棱錐中，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，設(shè)異面直線與所成角為，則的最小值為

11、ABCD10點(diǎn)，分別是棱長(zhǎng)為1的正方體中棱BC，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且面，則的長(zhǎng)度范圍為（ ）ABCD11在平面四邊形ABCD中，ABBD，BCD=30，若將ABD沿BD折成直二面角A-BD-C，則三棱錐A-BDC外接球的表面積是( )A4B5C6D812如圖,矩形中,是線段上一點(diǎn)且滿足,是線段上一動(dòng)點(diǎn),把沿折起得到,使得平面平面,分別記,與平面所成角為,平面與平面所成銳角為,則:（ ） ABCD13設(shè)點(diǎn)M是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在面BCC1B1所在的平面內(nèi)，若平面D1PM分別與平面ABCD和平面BCC1B1所成的銳二面角相等，則點(diǎn)

12、P到點(diǎn)C1的最短距離是（ ）ABC1D14已知求的表面積為，在球面上，且線段的長(zhǎng)為，記的中點(diǎn)為，若與平面的所成角為，則三棱錐外接球的體積為（ ）ABCD15邊長(zhǎng)為6的兩個(gè)等邊，所在的平面互相垂直，則四面體的外接球的體積為（ ）ABCD16如圖，矩形中，為邊的中點(diǎn)，沿將折起，點(diǎn)折至處（平面），若為線段的中點(diǎn)，則在折起過(guò)程中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）A始終有平面B不存在某個(gè)位置，使得平面C三棱錐體積的最大值是D一定存在某個(gè)位置，使得異面直線與所成角為17如圖，正四面體的頂點(diǎn)、分別在兩兩垂直的三條射線，上，則在下列命題中，錯(cuò)誤的是( )A是正三棱錐B直線與平面相交C直線與平面所成的角的正弦值為D異面直

13、線和所成角是18已知正方體的棱長(zhǎng)為1，平面過(guò)正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，且與正方體每條棱所在直線所成的角相等，則該正方體在平面內(nèi)的正投影面積是（ ）ABCD19設(shè)為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為4、5、6的直線，給出下列三個(gè)結(jié)論：存在使得是直角三角形；存在使得是等邊三角形；三條直線上存在四點(diǎn)使得四面體為在一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩互相垂直的四面體，其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )A0B1C2D320正四面體A-BCD中，DA=2,保持BC在平面內(nèi)，正四面體A-BCD繞BC旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，正四面體A-BCD在平面內(nèi)的投影面積的最大值等于（ ）ABC4D221在矩形中，為邊上的一點(diǎn)，現(xiàn)將沿直線折成，使得點(diǎn)在

14、平面上的射影在四邊形內(nèi)（不含邊界），設(shè)二面角的大小為，直線，與平面所成的角分別為，則（ ）ABCD22空間中不共面的4點(diǎn)A，B，C，D，若其中3點(diǎn)到平面的距離相等且為第四個(gè)點(diǎn)到平面的2倍，這樣的平面的個(gè)數(shù)為（ ）A8B16C32D4823正三棱錐SABC的外接球半徑為2，底邊長(zhǎng)AB3，則此棱錐的體積為AB或CD或24如圖，已知等邊三角形中，為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)），記，現(xiàn)將沿折起至，記異面直線與所成的角為，則下列一定成立的是（） ABCD25中，已知，D是邊AC上一點(diǎn)，將沿BD折起，得到三棱錐若該三棱錐的頂點(diǎn)A在底面BCD的射影M在線段BC上，設(shè)，則x的取值范圍為（）ABCD26在正

15、四面體中，點(diǎn)，分別在棱，上，若且，則四面體的體積為（ ）ABCD27在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則與平面所成角的正切值為ABCD228已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=，則棱錐SABC的體積為（ ）ABCD129某三棱錐的三視圖如圖所示，此三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）ABCD30如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AD，CD上若，（大于零），則四面體PEFQ的體積A與都有關(guān)B與m有關(guān)，與無(wú)關(guān)C與p有關(guān)，與無(wú)關(guān)D與有關(guān)，與無(wú)關(guān)31在中，現(xiàn)將繞所在直線旋轉(zhuǎn)至，設(shè)二面角的大小為，與平面所成角為，與平面所成角為，若，則（

16、）ABCD32在三棱錐中，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）ABCD33如圖所示，在四邊形ABCD中，.將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體，使平面平面BCD，則下列結(jié)論中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（ ） ；與平面ABD所成的角為30；四面體的體積為A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè)34如圖，在矩形中，在線段上，且，將沿翻折在翻折過(guò)程中，記二面角的平面角為，則的最大值為（ ）ABCD35在RtABC中，AC=1，BC=x，D是斜邊AB的中點(diǎn)，將BCD沿直線CD翻折，若在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使得CBAD，則x的取值范圍是（）ABCD（2，41如圖，在邊長(zhǎng)為4正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體表面上移

17、動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)和滿足條件的所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積是_.2如圖，在側(cè)棱長(zhǎng)為3的正三棱錐A-BCD中，每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，在該三棱錐的表面上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，且點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離始終等于，則動(dòng)點(diǎn)P在三棱錐表面形成的曲線的長(zhǎng)度為_(kāi)3在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），則下列結(jié)論正確的是_存在點(diǎn)，使得平面平面；存在點(diǎn)，使得平面平面；若分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點(diǎn)，使得；的面積可能等于.4已知直角，分別是的中點(diǎn)，將沿直線翻折至，形成四棱錐.則在翻折過(guò)程中，；平面平面.不可能成立的結(jié)論是_.5四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面.過(guò)直線的平面與垂直，且與交于點(diǎn)，當(dāng)三棱

18、錐的體積最大時(shí)，四棱錐的外接球表面積為_(kāi).6直三棱柱中，設(shè)其外接球的球心為，已知三棱錐的體積為，則球表面積的最小值為_(kāi)7已知點(diǎn)均在表面積為的球面上,其中平面,則三棱錐的體積的最大值為_(kāi)8如圖，矩形中，為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻折至，若為線段的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，有下列命題：是定值；一定存在某個(gè)位置，使；若平面，則平面；其中正確的是_.9在矩形中，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，如圖3所示，將沿著翻折至（點(diǎn)不在平面內(nèi)），記線段中點(diǎn)為，若三棱錐體積的最大值為，則線段長(zhǎng)度的最大值為_(kāi).10在四面體中，二面角的大小為，則四面體外接球的表面積為_(kāi).11已知一個(gè)圓錐的底面直徑為，其母線與底面的夾角的余弦值為.圓錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接

19、正方體，該內(nèi)接正方體的頂點(diǎn)都在圓錐的底面或側(cè)面上，則這個(gè)正方體的外接球表面積為_(kāi).12點(diǎn)M是棱長(zhǎng)為4的正方體的內(nèi)切球O球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為BC邊上的點(diǎn)，且滿足，若，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的長(zhǎng)度為_(kāi).13已知正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在棱上，四棱錐的頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積取值范圍是_14已知棱長(zhǎng)為1的無(wú)蓋正方體容器中裝有直徑為1的實(shí)心鐵球且盛滿了水，另將半徑為的小球緩慢放入容器中，若小球能完全淹入水里，則的取值范圍是_15正方體的棱長(zhǎng)為1.，分別是線段和上的動(dòng)點(diǎn).則長(zhǎng)度的最小值為_(kāi).16如圖，在棱長(zhǎng)為 1 的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在底面正方形內(nèi)（不包括邊界），若平面，則長(zhǎng)度的取值范圍是_ 17

20、已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面底面，且，則該四棱錐的外接球的表面積為_(kāi).18在三棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直，且，又M是底面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則M到三個(gè)側(cè)面的距離的平方和的最小值是_.19如圖，等腰梯形中，為上一點(diǎn)，且，為的中點(diǎn).沿將梯形折成大小為的二面角，若內(nèi)（含邊界）存在一點(diǎn)，使得平面，則的取值范圍是_20在RtABC中，B90，BC6，AB8，點(diǎn)M為ABC內(nèi)切圓的圓心，過(guò)點(diǎn)M作動(dòng)直線l與線段AB，AC都相交，將ABC沿動(dòng)直線l翻折，使翻折后的點(diǎn)A在平面BCM上的射影P落在直線BC上，點(diǎn)A在直線l上的射影為Q，則的最小值為_(kāi)21已知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，內(nèi)有一個(gè)體積為的球，若的最大值為，則此三棱柱外接球表面積的最小值為_(kāi).22在九章算術(shù)中，將底面為直角三角形，側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱(chēng)之為塹堵，如圖，在塹堵中，塹堵的頂點(diǎn)到直線的距離為m，到平面的距離為n，則的取值范圍是_.23正四面體的棱CD在平面a上，E為棱BC的中點(diǎn)，當(dāng)正四面體繞CD轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線AE與平面a所成最大角的余弦值為_(kāi).24六棱錐中，底面是正六邊形，底面，給出下列四個(gè)命題：線段的長(zhǎng)是點(diǎn)到線段的距離；異面直線與所成角是；線段的長(zhǎng)是直線與平面的距離；是二面角平面角.其中所有真命