橢圓知識點及相關(guān)習(xí)題

1、橢圓知識點知識點一：橢圓的定義平面內(nèi)一個動點P到兩個定點F、F的距離之和等于常數(shù)(pF+PFI二2aFF|),121212這個動點P的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.注意：若(pF|+|pf|二|ff|)，則動點p的軌跡為線段ff；若(|PF+|PF|b0):說明:a2b2把x換成-x2y2(1)對稱性：對于橢圓標準方程一+J=1(ab0):說明:a2b2把x換成-x、或把y換成-y、或把x、y同時換成-x、-y、x2y2原方程都不變，所以橢圓+=1是以x軸、y軸為對稱軸a2b2的軸對稱圖形，并且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。a2

2、b2y2x2當(dāng)焦點在y軸上時，橢圓的標準方程：+-=1(ab0)，其中c2a2b2；a2b2注意：1.只有當(dāng)橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程；2在橢圓的兩種標準方程中，都有(ab0)和c2=a2-b2；橢圓的焦點總在長軸上.當(dāng)焦點在x軸上時，橢圓的焦點坐標為(c,0)，(-c,0)；當(dāng)焦點在y軸上時，橢圓的焦點坐標為(0,c)，(0,-c)知識點三：橢圓的簡單幾何性質(zhì)x2y2橢圓：+=1(ab0)的簡單幾何性質(zhì)a2b222范圍：橢圓上所有的點都位于直線x=a和y=b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標滿足頂點：橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。x

3、2y2橢圓+J=1(ab0)與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為a2b2A(-a,0)，A(a,0)，B(0,-b)，B(0,b)1212線段AA，BB分別叫做橢圓的長軸和短軸，|AA|=2a,BB丄2b。a和1212丨12丨1121b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。離心率：2cc橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作e=。2aa因為(ac0)，所以e的取值范圍是(0e1)。e越接近1,則c就越接近a，從而bfa2-c2越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0,從而b越接近于a，這時橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變

4、為圓，方程為x2+y2a。注意:橢圓三+掃=1的圖像中線段的幾何特征(如下為圓，方程為x2+y2a。注意:橢圓三+掃=1的圖像中線段的幾何特征(如下圖)：(1)(|PF|+PF=2a)；2PFPF2(|PMI+PM2a2)；c(2)(BF1(3)AF11PM1I二|bfI二a)；(|ofhAF12=IPM2OF|=c)；AB|=|ABI=%a2+b2；I=|AFI=a+c；a-cPFIb0)的區(qū)別和聯(lián)系a2b2a2b2標準方程x2y2+y=1(ab0)a2b2y2x2y+=1(ab0)a2b2圖形rt丘0亜xV性質(zhì)焦占八、八、F(-c,0),F(c,0)12or),ac)焦距FF=2c12FF

5、=2c12范圍x5a,ybb,ya對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱頂點(土a,0),(0,b)(0,a),(b,0)軸長長軸長-2a，短軸長-2b離心率e二-(0eb0)的相同點：形狀、大小都相同；參數(shù)間a2b2a2b2的關(guān)系都有(ab0)和e二(0eb0)，(ac0)，且(a2二b2+c2)?？山柚覉D理解記憶：顯然：a,b,c恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。如何由橢圓標準方程判斷焦點位置橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2，y2的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。4.方程Ax2+By2二C(A,B,C均不為零)是表示

6、橢圓的條件Ax2By2x2By2方程Ax2+By2=C可化為一+十=1，即一C+十二1，所以只有A、B、C同ABCCCC號，且A圭B時，方程表示橢圓。當(dāng)=時，橢圓的焦點在x軸上；當(dāng)=時，橢圓ABAB的焦點在y軸上。求橢圓標準方程的常用方法：待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標準方程,再由條件確定方程中的參數(shù)a,b,c的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。判斷曲線關(guān)于x軸、y軸、原點對稱的依據(jù)：若把曲線方程中的x換成-x，方程不變，則曲線關(guān)于y軸對稱；若把曲線方程中的y換成-y，方程不變，則曲線

7、關(guān)于x軸對稱；若把曲線方程中的x、y同時換成-x、-y，方程不變，則曲線關(guān)于原點對稱。橢圓練習(xí)題一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中有只有一項是符合題目要求的）1.橢圓2x2+3y2二6的焦距是（）A.2B.2（A.2B.2（再-邁）C.2、遲D.2（詔+邁）2.行、F2是定點，IFF2I=6，動點M滿足IMFI+IMF2I=6，則點M的軌跡是（）A.橢圓B.直線C.線段D.圓-1），則橢圓方程是（）3.若橢圓的兩焦點為2，0）和（2，0)，且橢圓過點（-,A.21+亙=1B.21+F=1C.22+旦=1D.x2+y2=841064810+6-14.方

8、程x2+ky2二2表示焦點在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是（）A.（0,+）B.（0，2）C.（1，+8）D.（0，1）5.6.過橢圓5.6.過橢圓4x2+2y2=1的一個焦點F1的直線與橢圓交于A、B兩點，則A、B與橢圓的另一焦點F構(gòu)成AABF，那么AABF的周長是（222A.2y2B.2C.B0)與直線x+y=1交于P、Q兩點，且OP丄OQ，其中Oa2b2為坐標原點.11求一+的值；a2b222橢圓練習(xí)題參考答案11、3或等12、11、3或等12、4,1J13、14、4x2+2521題號12345678910答案ACDDACBBBD15、16、解:(1)當(dāng)A(2,0)為長軸端點時，a=2,

9、b=116、橢圓的標準方程為：橢圓的標準方程為：(2)當(dāng)閩2,0)為短軸端點時,b=2,總=4,蘭+4橢圓的標準方程為：4解：設(shè)P(x,y),根據(jù)題意，IPFI=J(x-2)2-y2,d=lx-8l,因為=|，所以k-8=x2y2.化簡，得3x2+4y2=48,整理，得石+話=1，所以，點P的軌跡是橢圓。y2x2解:解法一：根據(jù)題意，設(shè)橢圓的方程為*+希=1，設(shè)交點坐標分別為A(x1,y1),B(x2，y2)將橢圓方程與直線y=3x-2聯(lián)立，消去y,得：+_2-5_=1,化簡，整理，得：(10a2-450)x2+(600-12a2)x+(-a4+54a2-200)=0,11_a2-45_所以，

10、x1，x2為這個方程的兩根，因為相交線段中點橫坐標為，所以x1+x2=60_-12a2=-1，解得，a2=75.于是，因為c=5；2，所以，b2=25，所以橢圓的方程為會+宕=1.解法二：設(shè)橢圓：込+丘=1（ab0）,則a2-b2=50a2b2又設(shè)A（X,y1）,B（x2，y2）,弦AB中點（x0,y0）x一丄X0=23x一丄X0=232=丄22=1y2=12a2亍3kA-仁-士-囂=3-a2=3b2解，得：a2=75,b2=25，橢圓為：止+丘=17525,y=x+119.解設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m0,n0),P(x1,y1),Q(x2,y2)由得1122Imx2+ny2=1(m+

11、n)x2+2nx+n1=0,上4n24(m+n)(n1)0,即m+nmn0,由OP丄OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,2(n-1)2n4(m+n一mn)10、.+1=0,.m+n=2又2=()2,將m+n=2,代入得m+nm-nm+n2mn一4由、式得m-丄,n=或m=,n=故橢圓方程為丄+y2=1或x2+y2=12222222220、(1)設(shè)P(x,y),P(x,y)，由OP丄OQox1x2+y1y2=011221212/y=1x,y=1x,代入上式得：2xx(x+x)+1=0又將y=1x代入11221212x2y22a2+=13(a2+b2)x2-2a2x+a2