高數(shù)下清考試卷

1、GDOU-B-11-302一、填空（ 37=21 分）1.rr1,rr， a b設(shè) a 1,2,0,b1,1 ，則 a b2.過(guò)點(diǎn) (1,0,1) 且與平面 x yz10 垂直的直線(xiàn)方程為3.設(shè)曲線(xiàn) L : xcost , ysin t (0t2) ，則 ?L ( x2y2 )2 ds =4.改變積分次序1x2dxf ( x, y)dy =00函數(shù)函數(shù)yx(x) 的傅立葉級(jí)數(shù)在 x=處收斂于zx2y2在點(diǎn)處的梯度為(1,1)微分方程 y sin5x 通解為 y. 計(jì)算題（ 72=14 分）1. 設(shè) z2x，求 dz .y2x2. 設(shè) zf (x, y) 是由方程 zxyez10 所確定的具有連

2、續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，求 z , z . x y第1頁(yè)共9頁(yè)三 . 計(jì)算下列積分（ 74=28 分）1.( xy) d，其中 D 是由直線(xiàn) y0, yx 以及 x1所圍成的閉區(qū)域。D2.sin( x2y2 ) d，其中 D 是由 x2y21圍成的閉區(qū)域。D設(shè)曲線(xiàn)積分 (1,1) ( x y) dx (kx y)dy 在整個(gè) xoy 平面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，(0,0)求常數(shù) k ，并計(jì)算積分值。第2頁(yè)共9頁(yè)4.計(jì)算 xdydz2 ydzdxzdxdy , 其中是區(qū)域 0 x1,0y1,0z1的整個(gè)表面的外側(cè)。四 . 計(jì)算題（ 84=32 分）判別級(jí)數(shù)收斂。（1)n是否收斂，若收斂，是絕對(duì)收斂，還是條件n 1

3、3n將函數(shù) f (x) x2 e3 x 展開(kāi)為 x 的冪級(jí)數(shù)。3.求微分方程 yy3x的通解。第3頁(yè)共9頁(yè)4. 求微分方程 yy2yx 的通解。五.設(shè)級(jí)數(shù)un2 收斂，證明級(jí)數(shù)(un2)2n 1n 1n也收斂。（5 分）試題答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、填空（ 37=21 分）第4頁(yè)共9頁(yè)8.r1,2,0,r1,1,1 ，則rr-1， a b2, 1, 3設(shè) abab9.過(guò)點(diǎn) (1,0,1) 且與平面 x yz10 垂直的直線(xiàn)方程為x 1yz111110.設(shè)曲線(xiàn) L : xcost , ysin t (0t2) ，則 ?L ( x2y2 )2 ds = 211.改變積分次序 1dxx2f ( x, y)d

4、y = 1dy1f ( x, y)dx000y12.函數(shù) yx(x) 的傅立葉級(jí)數(shù)在 x=處收斂于013.函數(shù) zx2y2 在點(diǎn) (1,1)處的梯度為 2, 214.微分方程 ysin5x通解為 y1 sin 5xc xc2512二 . 計(jì)算題（ 72=14 分）2.設(shè) z2x，求 dz .xy2解： z2 y2,（2）z4xy（2）x ( x y2 ) 2y( x y2 )2dzz dxz dy（2）xy=2 y22 dx4xy2 dy（1）( x2)y2)y( x2. 設(shè) zf (x, y) 是由方程 zxyez10 所確定的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，求 z , z . x y解：在方程兩邊對(duì)

5、 x 求偏導(dǎo)數(shù)，（1）zyezxyez z0（2）xx第5頁(yè)共9頁(yè)z得，zye（1）x1xyez在方程兩邊對(duì) y 求偏導(dǎo)數(shù)，zxezxyez z0（2）yy得， zxez（1）y1 xyez三 . 計(jì)算下列積分（ 74=28 分）4.( xy) d，其中 D 是由直線(xiàn) y0, yx 以及 x1所圍成的閉區(qū)域。D解：區(qū)域 D可表示為 0y x,0 x 1 ，（1）1xy)dy（3）xyddx(x00D= 13x2 dx（2）02= 1（1）25. sin( x2y2 ) d，其中 D 是由 x2y21圍成的閉區(qū)域。D解：區(qū)域 D在極坐標(biāo)下可表示為 02 ,0 r 1 ，（2）原= 2d1sin

6、r 2 rdr（3）002(11 cos1)d（1）=022=(1cos1)（1）第6頁(yè)共9頁(yè)設(shè)曲線(xiàn)積分 (1,1) ( x y) dx (kx y)dy 在整個(gè) xoy 平面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，(0,0)求常數(shù) k ，并計(jì)算積分值。解：設(shè) Pxy, Qkxy,則 QP（2）xyQk, P1，所以 k1（2）xy原式= 1xdx1(1y)dy =1（3）004.計(jì)算 xdydz2 ydzdxzdxdy , 其中是區(qū)域 0 x1,0y1,0z1的整個(gè)表面的外側(cè)。解：設(shè) V是由圍成的閉區(qū)域并表示它的體積，由高斯公式原式 =4(x(2y)z) dv(3)Vxyz4dv(1)V4V(2)（1）四 . 計(jì)算題

7、（ 84=32 分）3. 判別級(jí)數(shù)（1)n是否收斂，若收斂，是絕對(duì)收斂，還是條件n13n收斂。解：（1)n=1 發(fā)散，（2）n 13nn 1 3n1單調(diào)減少， lim 10 ，（3）3nn3n第7頁(yè)共9頁(yè)（n所以1) 收斂，并且是條件收斂。（3）n 13n將函數(shù) f (x) x2 e3 x 展開(kāi)為 x 的冪級(jí)數(shù)。xxn（4）解： en!n 03 x(3 x) n（2）en!n0f (x)23 x3n xn 2x（2）xe，n 0n!求微分方程 y y 3x的通解。解： yy0 的通解為 ycex ，（2）設(shè)原方程的通解為yc( x)ex ，代入方程得c ( x) 3xex ，得 c xxe xe xc（4）( )33原方程的通解為y3x 3 cex（2）4. 求微分方程 yy2yx 的通解。解：特征方程為22 0，特征根為12,21對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 y c1e 2xc2 ex1 x 1242）2）是原方程的一個(gè)特解（2）原方程的通解為 y1 x1c1e 2 xc2ex（2）24第8頁(yè)共9頁(yè)五.設(shè)級(jí)數(shù)un2 收