角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)課件

1、角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)內(nèi)容提要本章內(nèi)容Contentschapter 4剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)rotation of rigid-body with a fixed axis剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的功能關(guān)系relation of work with energy in rotation of rigid-body角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒angular momentum andlaw of conservation of angular momentum 剛體的角動(dòng)量守恒law of conservation of angular momentum of rigid-body內(nèi)容提要本章內(nèi)

2、容Contentschapter 4剛體的定第一節(jié)角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律4 - 1ssssangular momentum andlaw of conservation of angular momentum 一、角動(dòng)量angular momentumrqOmv速度位矢質(zhì)量角夾rv大量天文觀測表明rqmvsin常量大?。篖rqmvsin方向：rmv()rvLq定義：rpLrmv運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)mO對 點(diǎn)的 角動(dòng)量 為角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律Angular momentum andlaw of conservation of angular momentum 第

3、一節(jié)角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律4 - 1問題的提出二、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理及其守恒定律theorem of partical angular momentum and its conservation地球上的單擺OmqvrLmvr大小會(huì)變L變太陽系中的行星OrvmqsinqLmvr大小未必會(huì)變?？渴裁磁袛?？L變變變Lvrmsin大小Lmvrq質(zhì)點(diǎn) 對 的角動(dòng)量mO問題的提出問題的提出二、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理及其守恒定律theorem o質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理導(dǎo)致角動(dòng)量 隨時(shí)間變化的根本原因是什么？LddtL思路： 分析與什么有關(guān)？+()由Lvrm則ddtLddtrvmddtrvmrddt(v

4、m)0vmv(兩平行矢量的叉乘積為零)mdvdtmaF得ddtLrF角動(dòng)量的時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn) 對參考點(diǎn) 的mO位置矢量ddtLr所受的合外力F等于叉乘質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理導(dǎo)致角動(dòng)量 隨時(shí)間變化的根本原因是什么？微分形式ddtLrF是力矩的矢量表達(dá)：rF而OrFmd即力矩rFM大小MFrsin方向垂直于rF所決定的平面，由右螺旋法則定指向。Fdqq得質(zhì)點(diǎn) 對給定參考點(diǎn) 的mOddtLrFM角動(dòng)量的時(shí)間變化率所受的合外力矩稱為質(zhì)點(diǎn)的 角動(dòng)量定理 的微分形式 如果各分力與O點(diǎn)共面，力矩只含正、反兩種方向?？稍O(shè)順時(shí)針為正向，用代數(shù)法求合力矩。微分形式ddtLrF是力矩的矢量表達(dá)：rF而OrFm

5、d即力矩積分形式質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理也可用積分形式表達(dá)ddtLM由,dLMdt0ttdLMdtL0LLL0稱為 沖量矩角動(dòng)量的增量這就是質(zhì)點(diǎn)的 角動(dòng)量定理 的積分形式例如， 單擺的角動(dòng)量大小為 L = mv r, v為變量。 在 t = 0 時(shí)從水平位置靜止釋放，初角動(dòng)量大小為 L0= m v0 r =0； 時(shí)刻 t 下擺至鉛垂位置， 角動(dòng)量大小為 L = m v r 。則此過程單擺所受的沖量矩大小等于 L-L0= m v r = m r 2gr 。積分形式質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理也可用積分形式表達(dá)ddtLM由,dL歸納歸納質(zhì)點(diǎn)的 角動(dòng)量定理ddtLrFM角動(dòng)量的時(shí)間變化率所受的合外力矩0ttdLMdtL

6、0LLL0沖量矩角動(dòng)量的增量微分形式積分形式特例：當(dāng)M0時(shí)，有LL00即LL0物理意義：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)不受外力矩或合外力矩為零（如有心力作用）時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量前后不改變。（后面再以定律的形式表述這一重要結(jié)論）歸納歸納質(zhì)點(diǎn)的 角動(dòng)量定理ddtLrFM角動(dòng)量的時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律ddtLM根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的 角動(dòng)量定理 rFM()若MrF0則ddtL0即L常矢量當(dāng)質(zhì)點(diǎn) 所受的合外力對某參考點(diǎn) 的力矩 OmM為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn)的角動(dòng)量的時(shí)間變化率 為ddtLL零，即質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn)的角動(dòng)量 守恒。質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律稱為 若質(zhì)點(diǎn)所受的合外力的方向始終通過參考點(diǎn)，其角動(dòng)量守恒。如

7、行星繞太陽運(yùn)動(dòng)，以及微觀粒子中與此類似的運(yùn)動(dòng)模型，服從角動(dòng)量守恒定律。質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律ddtLM根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的 角開普勒第二定律應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律可以證明開普勒第二定律行星與太陽的連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積開普勒第二定律應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律可以證明開普勒第二定律定律證明證： 時(shí)刻 m 對 O 的角動(dòng)量大小為tLrvmddtrrmsinqrmddtsmddtsh2mAddt即LAddt2m因行星受的合外力總指向是太陽，角動(dòng)量 守恒。hmsdOrdr+dtt()t)(r+drqAd21Addrh21sdhdt瞬間位矢掃過的微面積L則LAddt2m常量（稱為掠面速率）故，

8、位矢在相同時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等定律證明證： 時(shí)刻 m 對 O 的角動(dòng)量大小為tL質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量三、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理theorem of angular momentum of partical system 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量LSiLirSiimivi各質(zhì)點(diǎn)對給定參考點(diǎn)的角動(dòng)量的矢量和慣性系中某給定參考點(diǎn)m12m3mr13r2r3v2vv1O質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量三、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理theorem of an質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理LSiLiSirimivi將對時(shí)間求導(dǎo)ddtL(SiLiSiddtrimividdt+rimividdt(Si0+FiSivimivi+miiariri

9、 內(nèi)力矩在求矢量和時(shí)成對相消Om12mF1F1內(nèi)F2內(nèi)外F2外r12rd某給定參考點(diǎn)Si+iF內(nèi)外Fi外ririSiMi內(nèi)+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量的時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn)受外力矩的矢量和質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理稱為微分形式質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理LSiLiSirimivi微、積分形式質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理LSiLiSirimivi將對時(shí)間求導(dǎo)ddtL(SiLiSiddtrimividdt+rimividdt(Si0+FiSivimivi+miiariri 內(nèi)力矩在求矢量和時(shí)成對相消Om12mF1F1內(nèi)F2內(nèi)外F2外r12rd某給定參考點(diǎn)Si+iF內(nèi)外Fi外ririSiM

10、i內(nèi)+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量的時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn)受外力矩的矢量和質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理稱為微分形式ddtLSiMi外M質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量的時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn)受外力矩的矢量和質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)系所受的0tdtMtdLLL0LL0質(zhì)點(diǎn)系的沖量矩角動(dòng)量增量質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理的積分形式 若各質(zhì)點(diǎn)的速度或所受外力與參考點(diǎn)共面，則其角動(dòng)量或力矩只含正反兩種方向，可設(shè)順時(shí)針為正向，用代數(shù)和代替矢量和。微、積分形式質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理LSiLiSirimivi將對質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律0tdtMtdLLL0LL0ddtLSiMi外M由若,M0則LL0或L恒矢量當(dāng)質(zhì)點(diǎn)

11、系所受的合外力矩為零時(shí)，其角動(dòng)量守恒。質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律0tdtMtdLLL0隨堂小議結(jié)束選擇（1）（2）（3）（4）兩人同時(shí)到達(dá)；用力上爬者先到；握繩不動(dòng)者先到；以上結(jié)果都不對。（請點(diǎn)擊你要選擇的項(xiàng)目）兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動(dòng)一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略隨堂小議結(jié)束選擇（1）（2）（3）（4）兩人同時(shí)到達(dá)；用力上小議鏈接1（請點(diǎn)擊你要選擇的項(xiàng)目）兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動(dòng)一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略結(jié)束選擇（1）（2）（3）（4）兩人同時(shí)到達(dá)；用力上爬者先到；握繩不動(dòng)者先到；

12、以上結(jié)果都不對。小議鏈接1（請點(diǎn)擊你要選擇的項(xiàng)目）兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動(dòng)小議鏈接2（請點(diǎn)擊你要選擇的項(xiàng)目）兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動(dòng)一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略結(jié)束選擇（1）（2）（3）（4）兩人同時(shí)到達(dá)；用力上爬者先到；握繩不動(dòng)者先到；以上結(jié)果都不對。小議鏈接2（請點(diǎn)擊你要選擇的項(xiàng)目）兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動(dòng)小議鏈接3（請點(diǎn)擊你要選擇的項(xiàng)目）兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動(dòng)一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略結(jié)束選擇（1）（2）（3）（4）兩人同時(shí)到達(dá)；用力上爬者先到；握繩不動(dòng)者先到；以上結(jié)果都不對。小議

13、鏈接3（請點(diǎn)擊你要選擇的項(xiàng)目）兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動(dòng)小議鏈接4（請點(diǎn)擊你要選擇的項(xiàng)目）兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動(dòng)一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略結(jié)束選擇（1）（2）（3）（4）兩人同時(shí)到達(dá)；用力上爬者先到；握繩不動(dòng)者先到；以上結(jié)果都不對。小議鏈接4（請點(diǎn)擊你要選擇的項(xiàng)目）兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動(dòng)小議分析Om12mv12vR同高從靜態(tài)開始往上爬忽略輪、繩質(zhì)量及軸摩擦質(zhì)點(diǎn)系m12m,若m12m系統(tǒng)受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。系統(tǒng)的初態(tài)角動(dòng)量系統(tǒng)的末態(tài)角動(dòng)量m1v1R2m2vR0得2vv1不論體力強(qiáng)弱，兩人等速上升。若m12m系統(tǒng)受合外力矩不為零，角

14、動(dòng)量不守恒?？蓱?yīng)用質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理進(jìn)行具體分析討論。小議分析Om12mv12vR同高從靜態(tài)開始往上爬忽略輪、繩質(zhì)第二節(jié)剛體運(yùn)動(dòng)的分類rotation of rigid-body with a fixed axis剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)4 - 2ssss 剛體：形狀固定的質(zhì)點(diǎn)系（含無數(shù)質(zhì)點(diǎn)、不形變、理想固體。）平 動(dòng) 剛體任意兩點(diǎn)的連線保持方向不變。各點(diǎn)的 相同，可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)處理。rrva定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體每點(diǎn)繞同一軸線作圓周運(yùn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)軸空間位置及方向不變。平面運(yùn)動(dòng) 剛體質(zhì)心限制在一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)軸可平動(dòng)，但始終垂直于該平面且通過質(zhì)心定點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 剛體上各質(zhì)點(diǎn)都以某一定點(diǎn)為球心的各個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)。一般運(yùn)動(dòng)

15、 復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)與平動(dòng)的混合。rotation of rigid body with a fixed axis剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)第二節(jié)剛體運(yùn)動(dòng)的分類rotation of rigid-bo定軸轉(zhuǎn)動(dòng)參量剛體轉(zhuǎn)軸1. 角位置q轉(zhuǎn)動(dòng)平面（包含p并與轉(zhuǎn)軸垂直）(t)pp(t+t)qrqrqqrp參考方向Xpp剛體中任一點(diǎn)p剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程qq()t2. 角位移qrrt0rqdq3. 角速度wwtdqwdw0w常量靜止勻角速()tww變角速4. 角加速度btddwb變角加速b()tb常量b勻角加速b0勻角速,wdq轉(zhuǎn)動(dòng)方向用矢量表示 或 時(shí)，它們與 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)方向采用右螺旋定則 wdq描述剛

16、體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)參量剛體轉(zhuǎn)軸1. 角位置q轉(zhuǎn)動(dòng)平面（包含p并與轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)方程求導(dǎo)例題單位：qrqdqrad,w-1rads,b-2rads例已知求()tqp+05t21p+pt2w()tb()trad)( 50p 51p 52p 53pw1rads0213tsqrad100p150p03st 50p p12b 2rads0213tsp解法提要tdqwd05p+ptw()ttddwb-1rads()b()tp-2rads(),勻 變 角 速 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)方程求導(dǎo)例題單位：qrqdqrad,w-1rads,b-積分求轉(zhuǎn)動(dòng)方程例已知求w()t()tq任意時(shí)刻的b

17、()tkk0恒量且 t = 0 時(shí) w0wq0q()ttddwb,tddwbwwbw0dw0ttdk0ttd得解法提要t+w0kdqwtd,dqwtd)(t+w0ktd0tdqqq0)(t+w0ktd得qrqq0t+w0kt212或()tqq0+t+w0kt212勻變角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移方程勻變角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程積分求轉(zhuǎn)動(dòng)方程例已知求w()t()tq任意時(shí)刻的b()tkk線量與角量的關(guān)系例bw定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在某時(shí)刻t 的瞬時(shí)角速度為 ，瞬時(shí)角加速度為 ，已知求剛體中一質(zhì)點(diǎn)P至轉(zhuǎn)軸的距離為r質(zhì)點(diǎn)P 的大小rPPrOOw 瞬時(shí)線速度v瞬時(shí)切向加速度atna瞬時(shí)法向加速度()batdtdvdtdr

18、wrvdstdqdrtdwrnavr2(wr)2rrw2這是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中線量與角量的基本關(guān)系qdqddsds解法提要dsqdr線量與角量的關(guān)系例bw定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在某時(shí)刻t 的瞬時(shí)角速度為公式對比質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)或剛體平動(dòng)剛 體 的 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng)速度角速度加速度角加速度位移角位移vrx1t2x()tx()r1t2()t()qqqwddtwddtqabddtvddt勻速直線運(yùn)動(dòng)ssvt勻角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)qwt勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)s021+vt2atqw0+t21b2t2vv022asw2w022bqvv0+atww0+bt公式對比質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)或剛體平動(dòng)剛 體 的 定 軸 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律引言剛體的轉(zhuǎn)

19、動(dòng)定律剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律質(zhì) 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)定律或剛體平動(dòng)F = m a慣性質(zhì)量合 外 力合加速度若剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，服從怎樣的運(yùn)動(dòng)定律？主要概念使剛體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效果的合外力矩剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律引言剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律質(zhì) 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)定律合外力矩 外力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面上對轉(zhuǎn)軸的力矩使剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)M = r F111力矩切向1FtFrM叉乘右螺旋1M2MM = r F222M = r F sin j222大小2r2=2Ftd2=2F1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ftr11Ftr1=1FtM = r F sin j111大小1d1=1Fj1d1r1F1P1OF2r22F

20、tP2j2d2切向一、外力矩與合外力矩方向合外力矩 外力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面上對轉(zhuǎn)軸的力矩使剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)M轉(zhuǎn)動(dòng)定律某質(zhì)元rmirmifi受內(nèi)力受外力FiFi+f=rmirmiaii其法向n分量均通過轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。t其切向投影式為ijFisin+ifsinqit=rmirmiai=rmirmiribtnrmirmiFiOrifiijqi瞬時(shí)角速度w角加速度瞬時(shí)b等式兩邊乘以 ri 并對所有質(zhì)元及其所受力矩求和=內(nèi)力矩成對抵消= 0+riifsinqiiFijsinri合外力矩 Mbrrmirmii2()得Mbrrmirmii2()=二、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律某質(zhì)元rmirmifi受內(nèi)力受外力FiF

21、i+f=rm轉(zhuǎn)動(dòng)慣量某質(zhì)元rmirmifi受內(nèi)力受外力FiFi+f=rmirmiaii其法向n分量均通過轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。t其切向投影式為ijFisin+ifsinqit=rmirmiai=rmirmiribtnrmirmiFiOrifiijqi瞬時(shí)角速度w角加速度瞬時(shí)b等式兩邊乘以 ri 并對所有質(zhì)元及其所受力矩求和=內(nèi)力矩成對抵消= 0+riifsinqiiFijsinri合外力矩 Mbrrmirmii2()得Mbrrmirmii2()=二、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律Mbrrmirmii2()=與剛體性質(zhì)及質(zhì)量分布有關(guān)的物理量，用 表示稱為 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IbIM剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律即bMIMI剛體所獲得的角

22、加速度 的大小與剛體受到的 b合外力矩 的大小成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 成反比。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量某質(zhì)元rmirmifi受內(nèi)力受外力FiFi+f=rm轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其計(jì)算Mb=I將剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)定律F=am對比轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度IIrmiriri2 與剛體的質(zhì)量、形狀、大小及質(zhì)量對轉(zhuǎn)軸的分布情況有關(guān)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體用積分求Ir 為體積元 dV 處的密度rVdVrmdIr2m2I的單位為m2kg轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其計(jì)算Mb=I將剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律與質(zhì)分立質(zhì)點(diǎn)的算例轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算舉例可視為分立質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的剛體m12m轉(zhuǎn)軸Or1r2 若連接兩小球（視為質(zhì)點(diǎn)）的輕細(xì)硬桿的質(zhì)

23、量可以忽略，則Irmiriri2m1r12+2mr22轉(zhuǎn)軸O2mm1601l2lIrmiriri2+2mm121l(sin60)2(sin60)2l0.75(m11l2+2m2l2)分立質(zhì)點(diǎn)的算例轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算舉例可視為分立質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的剛體m1直棒算例質(zhì)量連續(xù)分布的剛體勻直細(xì)桿對中垂軸的ILmOdmrdrI2rdmL2L22rmLdr3mL1r3L2L2211mL2勻直細(xì)桿對端垂軸的ILmOdmrdrI2rdmL2rmLdr0mL31r3L031mL22IOIC+mrmCO質(zhì)心新軸質(zhì)心軸r,L平行移軸定理對新軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IO對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ICr新軸對心軸的平移量例如：rL2時(shí)代入可得I端31

24、mL2直棒算例質(zhì)量連續(xù)分布的剛體勻直細(xì)桿對中垂軸的ILmOdmrd圓盤算例勻質(zhì)薄圓盤對心垂軸的I 取半徑為 微寬為 的窄環(huán)帶的質(zhì)量為質(zhì)元rdrdm2dmmpR2pdrr2mRdr2rOrdrRmdmdm3I2rdm0R2r2mRdr2r2mRdr20Rr2mR24r40R21R2m圓盤算例勻質(zhì)薄圓盤對心垂軸的I 取半徑為 微寬為 球體算例勻質(zhì)實(shí)心球?qū)π妮S的ImORrryyddmdm2rR2y2rRp343m可看成是許多半徑不同的共軸薄圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 的迭加Id距 為 、半徑為 、微厚為Oyydr的薄圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dmrdVpr2ryd2rdmId21其中IId212rpr2ryd21prr4

25、ydRR2y2()yd221prR158prR5225mR()球體算例勻質(zhì)實(shí)心球?qū)π妮S的ImORrryyddmdm2rR2常用結(jié)果LRmm勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)細(xì)直棒轉(zhuǎn)軸通過中心垂直盤面22I =m R123I =m L1轉(zhuǎn)軸通過端點(diǎn)與棒垂直常用結(jié)果LRmm勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)細(xì)直棒轉(zhuǎn)軸通過中心垂直盤面22其它典型RRRR12RRLba勻質(zhì)矩形薄板轉(zhuǎn)軸通過中心垂直板面I = (a + b ) 22m12勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸通過中心垂直環(huán)面I = m R 2勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸沿著環(huán)的直徑2I =2m R勻質(zhì)厚圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸I = (R1 + R2 ) 22m2勻質(zhì)圓柱體轉(zhuǎn)軸通過中心垂直于幾何軸mI = R + 22m

26、124L勻質(zhì)薄球殼轉(zhuǎn)軸通過球心2I =2m R3其它典型RRRR12RRLba勻質(zhì)矩形薄板轉(zhuǎn)軸通過中心垂直板轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題一三、轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用選例bIM合外力矩 應(yīng)由各分力矩進(jìn)行合成 。 合外力矩 與合角加速度 方向一致。bM在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，可先設(shè)一個(gè)正軸向（或繞向），若分力矩與此向相同則為正，反之為復(fù)。MMb與時(shí)刻對應(yīng)，何時(shí)何時(shí)b則何時(shí) ，M00b則何時(shí)M恒定恒定。例 勻直細(xì)桿一端為軸水平靜止釋放OLm,qmgMmgL21qcos,m2I31LbMI23Lgqcos2pq,q0,bMmgL21,23LgM0,b0轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題一三、轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用選例bIM合外力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題二例已知求T1T2a（以

27、后各例同）Rm1m2m輪軸無摩擦輕繩不伸長輪繩不打滑解法提要T2T1G1G2T2T1aab T1 m1 g = m1am2 g T2 = m2a( T2 T1 ) R = Ib a = RbI = m R 22轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)線-角聯(lián)立解得a=m1m1+ m2+ gm2m21gT1 = m1 ( g + a )T2 = m2 ( g a )m1 gm2 g如果考慮有轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦力矩 Mr ,則 轉(zhuǎn)動(dòng)式為( T2 T1 ) R Mr= Ib再聯(lián)立求解。轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題二例已知求T1T2a（以后各例同）Rm1m2m輪轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題三例Rm1m細(xì)繩纏繞輪緣Rm（A）（B）恒力F滑輪角加速度 b細(xì)繩線加速度 a求解法提

28、要（A）bMIFR21mR22FmRabR2Fm（B）bIRT21mR2bam1gTm1m1Rbbm121mm1+()RgabRm121mm1+()g轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題三例Rm1m細(xì)繩纏繞輪緣Rm（A）（B）恒力F滑轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題四Rm1m2m例已知m= 5kgm2= 1kg m1= 3kgR = 0.1mT2T1T1T2G1G2baa解法提要對m1m2m分別應(yīng)用和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律m1 g T1 = m1aT2 m2 g = m2a( T1 T2 ) R = Ib及 a = RbI = mR221得b =(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)常量qdqt00dtw(m1-m2)gR(m1+

29、 m2+ m 2)0ttdtwtb故tdqdwqdwtd由,qt(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)222 (rad)gt求()tqq物體從靜止開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，滑輪的 轉(zhuǎn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題四Rm1m2m例已知m= 5kgm2= 1kg 轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題五例已知qqmB()A()LmLL2LOOq 從等傾角 處靜止釋放兩勻直細(xì)桿地面求兩者瞬時(shí)角加速度之比bb解法提要MbIbbMIMI213singmLq1mLsingmLq1mL32122根據(jù)1L1LLL2短桿的角加速度大且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題五例已知qqmB()A()LmLL2LOOq 從第三節(jié)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能關(guān)系剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功

30、能關(guān)系4 - 3ssssrelation of work with energy in rotation of rigid-bodywOviviririrmirmi剛體中任一質(zhì)元 的速率rmirmiviviririw該質(zhì)元的動(dòng)能Erik21rmivi221rmiririw22對所有質(zhì)元的動(dòng)能求和EkErik21rmiriri2w2()轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 IEk21Iw2得剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能公式一、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能關(guān)系剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能關(guān)系Relation of work with energy in rotation of rigid-body第三節(jié)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能關(guān)系剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能關(guān)系4 -

31、 3力矩的功二、力矩的功和功率OqdjPrrdtF力 的元功FdAFrdcosFrd2pj()FrdrdsinjFrsinjqdMqddAMqd力對轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所作的功用力矩的功來計(jì)算若在某變力矩 的作用下，剛體由 轉(zhuǎn)到 ，q12qMM作的總功為dAAq12qMqd力矩的瞬時(shí)功率NAddtwMqddtM力矩的功二、力矩的功和功率OqdjPrrdtF力 力矩的功算例求撥動(dòng)圓盤轉(zhuǎn)一周，摩擦阻力矩的功的大小RrOrdmmd2p()解法提要總摩擦力矩 是Mrr各微環(huán)帶摩擦元力矩 的積分Mrd環(huán)帶面積dsdr環(huán)帶質(zhì)量dmpr2dmdsd環(huán)帶受摩擦力gmmdmfdr環(huán)帶受摩擦力矩Mrdfdrr2mmgR2r2

32、dr圓盤受總摩擦力矩 MrMrd轉(zhuǎn)一周摩擦力矩的總功A0p2Mrdq0R2mmgR2r2drA0p2Mrdq0p2dq34pmmgR得例已知粗 糙 水 平 面mmmRO轉(zhuǎn)軸d平放一圓盤力矩的功算例求撥動(dòng)圓盤轉(zhuǎn)一周，摩擦阻力矩的功的大小RrOrd剛體的動(dòng)能定理三、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理回憶質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理mA21v21mv202剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理？由 力矩的元功dAqdM轉(zhuǎn)動(dòng)定律bIMdAbIqdIwdtdqdIqdtdwdIwwd則AdAqdMq0qw0wIwwd2121202IwIw合外力矩的功轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理稱為剛體的動(dòng)能定理三、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理回憶質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理mA2動(dòng)能定理

33、例題一例R1mqO2m勻質(zhì)圓盤盤緣另固連一質(zhì)點(diǎn)水平靜止釋放通過盤心垂直盤面的水平軸求圓盤下擺 時(shí)質(zhì)點(diǎn) 的03q2m角速度wat、切向、法向加速度na的大小解法提要對1m2m系統(tǒng)外力矩的功系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增量w2I21m1其中I212R+m22RR2msing03得w2m2g()+m12m2R由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得bIMcosR2mg03I32mg()+m12m2R則atbR32mg+m12m2,Rnaw22m2g+m12m2動(dòng)能定理例題一例R1mqO2m勻質(zhì)圓盤盤緣另固連一質(zhì)點(diǎn)水平靜動(dòng)能定理例題二解法提要外力矩作的總功gmA02pL2qdcosq從水平擺至垂直由Aw212I0w212I得w2AI代入得wgm

34、L2LmI231本題gL3利用vrw的關(guān)系還可算出此時(shí)桿上各點(diǎn)的線速度已知例水平位置靜止釋放求擺至垂直位置時(shí)桿的wGqw00wgmO？Lm,()勻直細(xì)桿一端為軸動(dòng)能定理例題二解法提要外力矩作的總功gmA02pL2qdco動(dòng)能定理例題三解法提要Lgm392段，外力矩作正功aA2qdcos02paqa段，外力矩作負(fù)功b2Aqdcos02pqLgm132bb41AAiLgm合外力矩的功aGbG從水平擺至垂直由Aw212I0w212I得w2AI轉(zhuǎn)軸對質(zhì)心軸的位移 L4rIIc+mr2Lm2487代入得w247gL已知例求擺至垂直位置時(shí)桿的wabL1434LbGaGqw00w14gm34gmO水平位置靜

35、止釋放動(dòng)能定理例題三解法提要Lgm392段，外力矩作正功aA2qd含平動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)問題四、含 的功能原理質(zhì) 點(diǎn) 平 動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)+rE機(jī)械A(chǔ)外力A非保守內(nèi)力矩力力矩(E動(dòng)+)E勢(E動(dòng)+)E勢00()E平動(dòng)+E轉(zhuǎn)動(dòng)()E+E00平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)（輪、繩、重物、地球）左例忽略摩擦A外力力矩0,A非保守內(nèi)力矩力0E平動(dòng)E轉(zhuǎn)動(dòng)E勢,E0平動(dòng)E0轉(zhuǎn)動(dòng)E勢0,I+m1v212ghm121w200gm1h0可求a,v,b,w或()hh0此外RmI212,av22()hh0,vwRabR,00勢ghhv00vawbOm1m1mR含平動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)問題四、含 的功能原第四節(jié)剛體的角動(dòng)量守恒定律4 - 4sssslaw o

36、f conservation of angular momentum of rigid-body剛體的角動(dòng)量剛體的角動(dòng)量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量是無數(shù)質(zhì)點(diǎn)對公共轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的疊加 所有質(zhì)點(diǎn)都以其垂軸距離為半徑作圓周運(yùn)動(dòng)任一質(zhì)元（視為質(zhì)點(diǎn)）的質(zhì)量mri其角動(dòng)量大小Limriviriw2mririvimriOriwviriw全部質(zhì)元的總角動(dòng)量LLiw2mriri()wI對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體LLiwwIm2r()dLwI定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量大 小方 向L與 同繞向wLw或 與 沿軸同指向角動(dòng)量第四節(jié)剛體的角動(dòng)量守恒定律4 - 4sssslaw of c剛體的角動(dòng)量定理wbML1.剛體

37、的角動(dòng)量定理IItdd()dtdtddIw合外力矩角動(dòng)量的時(shí)間變化率（微分形式）（積分形式）L112d2121dt2ttMLLLLIwIw沖量矩角動(dòng)量的增量剛體的角動(dòng)量定理剛體的角動(dòng)量定理回憶質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理（微分形式）（積分形式）0ttdLMdtL0LLL0ddtLrFM剛體的角動(dòng)量定理wbML1.剛體的角動(dòng)量定理IItdd()d剛體系統(tǒng)的角動(dòng)量定理2.剛體系統(tǒng)的角動(dòng)量定理若一個(gè)系統(tǒng)包含多個(gè)共軸剛體或平動(dòng)物體系統(tǒng)的總合外力矩MiLtddi系統(tǒng)的總角動(dòng)量的變化率1dt2ttM系統(tǒng)的總沖量矩系統(tǒng)的總角動(dòng)量增量()1LLii2系統(tǒng)： 輕繩mm1（忽略質(zhì)量）總合外力矩對O的角動(dòng)量mm1對O的角動(dòng)量g

38、m1RLmLm1Iw21mR2wm1vRmR2wMiMiLtddi由得gm1Rtdd同向(21mR2w+mR2w)21m(m1+)R2wtddwtddb而解得bgm121m(m1+)R例如wOvm1gm1mRR靜止釋放b求角加速度剛體系統(tǒng)的角動(dòng)量定理2.剛體系統(tǒng)的角動(dòng)量定理若一個(gè)系統(tǒng)包含多主要公式歸納剛 體MLtdd（微分形式）（積分形式）剛體系統(tǒng)角動(dòng)量定理MiLtddi1dt2ttM()1LLii21dt2ttM1LL2剛體的歸納：IwL角動(dòng)量關(guān)鍵式：IwLMLtdd是矢量式IwLMLtdd與質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)對比mvpFtddp主要公式歸納剛 體MLtdd（微分形式）（積分形式）剛體系剛體的角動(dòng)量守恒定律剛體的角動(dòng)量守恒定律剛體的角動(dòng)量守恒定律剛體的角動(dòng)量定理由MLtdd剛體所受合外力矩M0若則Ltdd0即LIw常矢量 當(dāng)剛體所受的合外力矩 等于零時(shí)，MIw 剛體的角動(dòng)量 保持不變。剛體的角動(dòng)量守恒定律剛體的角動(dòng)量守恒定律剛體的角動(dòng)量守恒定律剛體的角動(dòng)量守恒定律回轉(zhuǎn)儀定向原理LwI萬向支架受合外力矩為零回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對稱分布；軸摩擦及空氣阻力很小。角動(dòng)量守恒LwI恒矢量回轉(zhuǎn)儀定向原理wI其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為常量若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向任一方向使其以角速度 高速旋轉(zhuǎn)則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變而不會(huì)受基座改向的影響基 座回轉(zhuǎn)體（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ）Iw回轉(zhuǎn)儀定向