線性系統(tǒng)極點(diǎn)配置問題

1、線性系統(tǒng)極點(diǎn)配置問題張穎( 控制學(xué)院檢測技術(shù)與自動化裝置2009010191)摘要： 極點(diǎn)配置是一類最為典型和最為簡單的綜合問題。機(jī)點(diǎn)配置實(shí)質(zhì)上是對經(jīng)典控制理論綜合方法的一個直接推廣。本文針對單輸入連續(xù)時間線性時不變受控系統(tǒng)，基于狀態(tài)反饋類型控制，系統(tǒng)討論極點(diǎn)配置問題的綜合理論和綜合算法。. 問題的提出：狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置問題狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置問題：就是對給定的受控系統(tǒng)，確定狀態(tài)反饋律u=-Kx+v, v 為參考輸入即確定一個p n 的狀態(tài)反饋增益矩陣K，使所導(dǎo)出的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)x (A BK)x Bu的極點(diǎn)為 *1, *2, , *n，也就是成立i(A BK)i*,i 1,2, ,n解決上

2、述極點(diǎn)配置問題，需要解決兩個問題：建立可配置條件問題，即利用狀態(tài)反饋而任意地配置其閉環(huán)極點(diǎn)所應(yīng)遵循的條件。建立相應(yīng)的算法，即用以確定滿足極點(diǎn)配置要求的狀態(tài)反饋增益矩陣K的算法。.問題的解決：一準(zhǔn)備知識循環(huán)矩陣定義：如果系統(tǒng)矩陣A 的特征多項(xiàng)式等同于其最小多項(xiàng)式，則稱為循環(huán)矩陣。循環(huán)矩陣特性：A為循環(huán)矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)它的約當(dāng)規(guī)范形中相應(yīng)于每一個不同的特 征值僅有一個特征塊。2)如果A 的所有特征值為兩兩相異，則對應(yīng)于每一個特征值必僅有一個約當(dāng)塊，因此A 必定是循環(huán)的。3)若A 為循環(huán)矩陣，則其循環(huán)性是指：必存在一個向量b，使向量組可張成一個n 維空間，也即A， b為能控。4)若A， B為能控，且A

3、 為循環(huán)，則對幾乎任意的實(shí)向量p,單輸入矩陣對 A ， Bp為能控。5) 若 A 不是循環(huán)的，但 A ， B為能控， 則對幾乎任意的常陣K， A-BK為循環(huán)。二 極點(diǎn)可配置條件線性定常系統(tǒng)x Ax Bu 可通過線性狀態(tài)反饋任意地配置其全部極點(diǎn)的充分必要條件，是此系統(tǒng)為完全能控。證：必要性：已知可配置極點(diǎn)，欲證A， B為能控。利用反證法，假設(shè)A ， B不完全能控，則必可分解為：1A PAP 11A PAP 1AcA120Ac ,B PBBcB PB0對任一狀態(tài)反饋K K1 K2 , 有det(sI A BK) det(sI A BKP 1)det sI Ac BcK1A12 BcK20sI Ac

4、det(sI Ac BcK1)det(sI Ac)其中 K KP 1 K1 K2。上式表明，狀態(tài)反饋不能改變系統(tǒng)不能控部分的特征值，因此不可能任意地配置極點(diǎn)，與已知前提矛盾，故假設(shè)不成立。所以 A， B為能控。充分性 :已知 A， B為能控，欲證可配置極點(diǎn)。分三步來證明：( 1)使系統(tǒng)矩陣A 為循環(huán)矩陣。若是即可。是循環(huán)陣，則可予置一個狀態(tài)反饋uK1x w ，使得x (A BK1)x Bw中 (A BK1) A?為循環(huán)陣.2) 化多輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問題為等價的單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問題。設(shè) A為循環(huán)的,則當(dāng)引入狀態(tài)反饋u Kx v,并取K k,其中 為 p 1陣 , 且選取為使 A, B 保持

5、能控.則有 :x (A BK)x Bv (A B k)x Bv(A bk)x Bv其中 b B 為 n 1 陣 ,并且 det(sI A BK) det(sI A bk)表明 :多輸入極點(diǎn)配置問題A,B, K化成了單輸入極點(diǎn)配置問題 A,b,k,其中 k 為 1 n 反饋增益陣.設(shè) A為循環(huán)的, 則當(dāng)引入狀態(tài)反饋uKx v,并取 K k,其中 為 p 1陣 ,且選取為使A,B 保持能控 .則有 :x (A BK)x Bv (A B k)x Bv(A bk)x Bv其中 b B 為 n 1 陣 ,并且det(sI A BK) det(sI A bk)表明:多輸入極點(diǎn)配置問題A, B, K化成了單

6、輸入極點(diǎn)配置問題 A,b,k,其中k 為 1 n 反饋增益陣.對單輸入問題來證明,若 A,b能控 ,則必可任意地配置閉環(huán)環(huán)極點(diǎn) . TOC o 1-5 h z nn1令(s) det(sI A) s n 1s1s 0由 A,b能控,導(dǎo)出如下能控規(guī)范形:001In 11A P 1 APb P 1b00 01n1 ,1再由任意指定的期望閉環(huán)極點(diǎn) *1, *2, *n, 導(dǎo)出:n* n * n1*(s) (s 1 ) s n 1s1 s 0i1并且 ,取k kP k0,kn 1 0*0, , n* 1 n 1于是 :A bkInA bkIn* 00, n 1 n 1n1In1而且n1而且det( s

7、I A bk) det(sI A bk)n * n1*s n 1s1s 0表明對任給 1*, *2, , *n 都必可找到k kP 1 使上式成立，即可任意配置閉環(huán)極點(diǎn)。 算法1 單輸入極點(diǎn)配置問題的算法 TOC o 1-5 h z 給定能控矩陣對A ， b和一組期望的閉環(huán)特征值 *1, *2, , *n，要確定1 n的反饋增益據(jù)陣k ，使成立i(A bk)*i(i 1,2, ,n)第一步：計算A 的特征多項(xiàng)式，即det(sI A) snn 1 sn 11s 0第二步：計算由 *1, *2, *n 所決定的多項(xiàng)式，即1(s) (s 1) (s n) s n 1s1s 0第三步：計算k 00,

8、11, n 1 n 1第四步：計算變換陣PAn 1PAn 1b, , Ab,bn1 1n1第五步：求k kQ第六步：所求增益陣Q P例：給定單輸入線性定常系統(tǒng)0 x10 0 x10 再給定期望的一組閉環(huán)00 x1210u0特征值為*3 1j063 完全能控100323 1j063 完全能控10032s 60 s 18s72s1 s 12解 : 可控性判斷10rankQ c rank 0 100計算A的特征多項(xiàng)式sdet(sI A) det 10再計算 *(s)332* (s) (si* ) (s 2)(s 1 j)(s 1 j) s3 4s2 6s 4i1 TOC o 1-5 h z 求 kk

9、0*01*12*246614計算變換陣P1811810P A2b Ab b 216 1 018 101212 11 0 072 18 110011Q P10112118 144所要確定的反饋增益陣k為001k kQ 46614011214 1861220118 1442 多輸入極點(diǎn)配置問題的算法算法一：1) 條件： 給定能控矩陣對A， B和一組所期望的閉環(huán)特征值 1*, *2, , *n ，要確定p n 的反饋增益矩陣K，使i (A BK )*i(i 1,2,n)成立。2）算法：第一步：判斷A 是否為循環(huán)矩陣。若否，選取一個p n 常陣K1 ，使A BK1 為循環(huán)，并表示為A A BK1 ；若

10、是，則A A。第二步：對循環(huán)陣A ， 通過適當(dāng)選取一個p 1 實(shí)常向量， 表示為 b B ，且 A, b為能控。第三步：對于等價單輸入問題 A, b，利用單輸入極點(diǎn)配置問題的算法，求出增益向量k。第四步：當(dāng)A 為循環(huán)時，所求的增益矩陣K k ； 當(dāng) A 為非循環(huán)時，所求的增益矩陣為K k K1。算法二：1）條件：同上。2）算法：第一步：把能控矩陣對A， B，化為龍伯格規(guī)范形。假設(shè)n=9, p=3 .如：1A S 1 AS100210031100001001112141500012223202100001A S 1 AS10021003110000100111214150001222320210

11、000000000003233343500001617002627010000303100001819002829001001323300001001B SB 0 100000000000000001第二步：把給定的期望閉環(huán)特征值 1* , *2對角線塊陣的維數(shù)，相應(yīng)地計算, *n 按龍伯格規(guī)范形A 的321 (s) (s 1)(s2)(s3) s 12s 11s 10*2*2 (s) (s 4)(s5) s 21s 20*3(s)(s 6)(s7)(s8)(s9)4*3*2*s 33s32s31s30第三步：取K*101021*111122*121223142131223223*( 2020

12、 )*2020162626*3030172727*3131182828*323219332929*333334*15( 2121 )*212135A BK00*10*1101*12*201*21*30100*31*32001*33det(sI A BK)第三步：取K*101021*111122*121223142131223223*( 2020 )*2020162626*3030172727*3131182828*323219332929*333334*15( 2121 )*212135A BK00*10*1101*12*201*21*30100*31*32001*33det(sI A BK)

13、(s) 2(s) 2(s) (s i )i1S1T 11e1 1ATer rerT r AerT r A r 1由給定的矩陣對A， B，計算出變換矩陣第五步：所求狀態(tài)反饋增益矩陣即為K KS 1算法三例：給定多輸入線性定常系統(tǒng)規(guī)范形再給定期望的一組特征100010101000算法三例：給定多輸入線性定常系統(tǒng)規(guī)范形再給定期望的一組特征100010101000311值為*11*2,32 j*4,51 2j方案 1:利用算法2先求 :1 (s) (s 1 )(s2)(s3 ) (s 1)(s 2 j)(s 2 j )32s 5s 9s 52*(s) (s*4)(s*5)(s 1 2j)(s 1 2j

14、)s2 2s 5反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣求:K 5 ( 3) 9 ( 1)435115128 10 5 12反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣求:K 5 ( 3) 9 ( 1)435115128 10 5 12244314201000010A BK 3 1 01000043110000211040008 10 5 12043142010100000100 TOC o 1-5 h z 595000000100052特征多項(xiàng)式為322det(sI A BK) (s3 5s2 9s 5)(s2 2s 5)S1 I8 10 5 12KK43142方案 2(1)(1)先求出* (s) (si*) s5 7s4 24s3 48

15、s255s 2501000001000001000001255548247為A BK可知期望閉環(huán)系統(tǒng)矩陣可知期望閉環(huán)系統(tǒng)矩陣BK A (A BK )00304101030100100101K 310029 58 49 2323 狀態(tài)反饋對傳遞函數(shù)矩陣的零點(diǎn)的影響單輸入 單輸出系統(tǒng)1 分析給定完全能控線性定常系統(tǒng)x Ax buy cx規(guī)范形x Ax buy cx0其中 :A系統(tǒng)傳遞函數(shù)003029n10010580021400004900002500002311g(s) c(sI A) b c(sI A) b n 1sn 11s0snn 1sn 11s 0任意給定期望的一組閉環(huán)極點(diǎn) 1* , *

16、2 , , *n相應(yīng)的特征多項(xiàng)式為(s) (s i) si1實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋增益矩陣為0020310005500100n n 1sn 11s 01 k kQ, Q P 1.P為使 A, b, c化為能控規(guī)范形A,b,c的變換矩陣0100480000102400017n1其能控規(guī)范形為:x (A bk)x buy cx其中 :01A bk01 TOC o 1-5 h z *01n1c 01n1系統(tǒng)狀態(tài)反饋的傳遞函數(shù)11gk (s) c(sI A bk) b c(sI A bk) b(2)n 1sn 11s 0(2)snn* 1sn 11*s0*結(jié)論：1)比較(1) 、 ( 2)式，一般情況下，引入狀態(tài)反饋雖能使g(s)的極點(diǎn)移動位置，但卻不影響g(s) 的零點(diǎn)。2)設(shè)某些極點(diǎn)在狀態(tài)反饋引入后被移動到與g(s) 的零點(diǎn)相重合，而構(gòu)成對消的情況下，則此時狀態(tài)反饋也影響了g(s) 的零點(diǎn)，并且造成了被對消掉的那些極點(diǎn)成為不可觀測。多輸入 多輸出系統(tǒng)利用狀態(tài)反饋可以影響受控系統(tǒng)的G(s) 的元傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。.應(yīng)用小結(jié)一般地說，利用非動態(tài)輸出反