統(tǒng)計(jì)學(xué)原理（第七版）第九章相關(guān)與回歸分析

1、統(tǒng)計(jì)學(xué)原理（第七版）目錄CONTENT010302第一章總論第二章統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)和統(tǒng)計(jì)調(diào)查第三章統(tǒng)計(jì)整理04第四章總量指標(biāo)和相對(duì)指標(biāo)050706第五章平均指標(biāo)和變異指標(biāo)第六章動(dòng)態(tài)數(shù)列第七章統(tǒng)計(jì)指數(shù)0809第八章抽樣調(diào)查與推斷第九章相關(guān)與回歸分析1011第十章統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)第十一章統(tǒng)計(jì)綜合分析第九章相關(guān)與回歸分析【內(nèi)容提要】相關(guān)分析與回歸分析是兩種既有區(qū)別又有聯(lián)系的統(tǒng)計(jì)分析方法。本章闡述了相關(guān)關(guān)系的概念與特點(diǎn)；相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別與聯(lián)系；相關(guān)關(guān)系的種類；相關(guān)關(guān)系的測(cè)定方法（直線相關(guān)系數(shù)的含義、計(jì)算方法與運(yùn)用）；回歸分析的概念與特點(diǎn)；回歸直線方程的求解及其精確度的評(píng)價(jià)；估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差的計(jì)算。01 PART

2、ONE第一節(jié)相關(guān)分析的一般問(wèn)題點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本相關(guān)關(guān)系的概念與特點(diǎn)一（一）相關(guān)關(guān)系的概念在自然界與人類社會(huì)中，許多現(xiàn)象之間是相互聯(lián)系、相互制約的，表現(xiàn)在數(shù)量上也存在著一定的聯(lián)系。這種數(shù)量上的聯(lián)系和關(guān)系究其實(shí)質(zhì)，可以概括為兩種不同類型，即函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系。函數(shù)關(guān)系是指現(xiàn)象之間客觀存在的，在數(shù)量變化上按一定法則嚴(yán)格確定的相互依存關(guān)系。在此種關(guān)系中，對(duì)于某一變量的每一個(gè)數(shù)值，都有另一個(gè)變量的確定值與之對(duì)應(yīng)，并且可以用一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式表達(dá)出來(lái)。例如，正方形面積（s）與邊長(zhǎng)（a）的函數(shù)關(guān)系是s=a2；電流（I）與電壓（U）和電阻（R）的關(guān)系是I=U/R；商品銷售額（y）是

3、商品銷售價(jià)格（P）與商品銷售量（x）的乘積，當(dāng)商品銷售價(jià)格（P）不變時(shí)，銷售額（y）由銷售量（x）唯一確定，x與y具有一一對(duì)應(yīng)的確定關(guān)系，可以用y=Px這種函數(shù)來(lái)表達(dá)。以上這些都是函數(shù)關(guān)系，這類現(xiàn)象的變化關(guān)系是確定的，已知某現(xiàn)象數(shù)值，可求解出另一現(xiàn)象的數(shù)值。相關(guān)關(guān)系是指現(xiàn)象之間客觀存在的，在數(shù)量變化上受隨機(jī)因素的影響，非確定性的相互依存關(guān)系。例如，商品銷售額與流通費(fèi)用率之間的關(guān)系就是一種相關(guān)關(guān)系。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本相關(guān)關(guān)系的概念與特點(diǎn)一（二）相關(guān)關(guān)系的特點(diǎn)相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)為數(shù)量相互依存關(guān)系。（1）相關(guān)關(guān)系在數(shù)量上表現(xiàn)為非確定性的相互依存關(guān)系。（2）點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加

4、文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本相關(guān)關(guān)系的種類二現(xiàn)象間的相關(guān)關(guān)系，從不同的角度，按不同的標(biāo)準(zhǔn)劃分，有不同的種類。不同種類的相關(guān)關(guān)系，需要用不同的方法進(jìn)行研究?，F(xiàn)象間的相關(guān)關(guān)系主要有以下幾種分類：（一）相關(guān)關(guān)系按變量的多少，可分為單相關(guān)和復(fù)相關(guān)（三）相關(guān)關(guān)系從變動(dòng)方向上劃分，可分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)（二）相關(guān)關(guān)系從表現(xiàn)形態(tài)上劃分，可分為直線相關(guān)和曲線相關(guān)（四）按相關(guān)的密切程度分，可分為完全相關(guān)、不完全相關(guān)和不相關(guān)點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本相關(guān)分析的內(nèi)容三相關(guān)分析是對(duì)客觀社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象間存在的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行分析研究的一種統(tǒng)計(jì)方法。其目的在于對(duì)現(xiàn)象間所存在的依存關(guān)系及其所表現(xiàn)出的規(guī)律性進(jìn)行

5、數(shù)量上的推斷和認(rèn)識(shí)，以便為回歸分析提供依據(jù)。相關(guān)分析的內(nèi)容和程序是：BA內(nèi)容和程序（二）判定相關(guān)關(guān)系的表現(xiàn)形態(tài)和密切程度（一）判別現(xiàn)象間有無(wú)相關(guān)關(guān)系02 PART TWO第二節(jié)相關(guān)關(guān)系的判斷與分析點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本相關(guān)關(guān)系的一般判斷一（一）定性分析對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行定性分析，就是根據(jù)現(xiàn)象之間的本質(zhì)聯(lián)系和質(zhì)的規(guī)定性，運(yùn)用理論知識(shí)、專業(yè)知識(shí)、實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來(lái)進(jìn)行判斷和分析。例如，根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論來(lái)判斷居民的貨幣收入與社會(huì)商品購(gòu)買力是否存在相關(guān)關(guān)系；根據(jù)會(huì)計(jì)學(xué)理論來(lái)判斷生產(chǎn)成本與利潤(rùn)有無(wú)相關(guān)關(guān)系；根據(jù)生物遺傳理論來(lái)判斷父輩的身高與子輩的身高是否存在相關(guān)關(guān)系等。定性分析是進(jìn)行相關(guān)分析的基礎(chǔ)

6、，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)需要通過(guò)編制相關(guān)表和繪制相關(guān)圖來(lái)進(jìn)行分析。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本相關(guān)關(guān)系的一般判斷一（二）相關(guān)表相關(guān)表就是把被研究現(xiàn)象的觀察值對(duì)應(yīng)排列所形成的統(tǒng)計(jì)表格，如某地區(qū)工業(yè)固定資產(chǎn)投資與工業(yè)增加值的歷史資料對(duì)應(yīng)排列所形成的表9-1。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本相關(guān)關(guān)系的一般判斷一（三）相關(guān)圖相關(guān)圖也叫相關(guān)散點(diǎn)圖，它是根據(jù)相關(guān)表中的觀測(cè)數(shù)據(jù)在坐標(biāo)圖中繪制的點(diǎn)狀圖形。用x和y分別代表兩個(gè)變量，把相關(guān)表中的對(duì)應(yīng)觀測(cè)值一一描繪在坐標(biāo)圖中，則形成了反映相關(guān)點(diǎn)分布狀況的圖形，據(jù)此可以觀測(cè)現(xiàn)象間相關(guān)關(guān)系的情況（如根據(jù)表9-1的數(shù)據(jù)所繪制的圖9-1和根據(jù)

7、表9-2的數(shù)據(jù)所繪制的圖9-2）。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本相關(guān)關(guān)系的一般判斷一（三）相關(guān)圖點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本相關(guān)關(guān)系的定量分析二（一）相關(guān)系數(shù)的含義相關(guān)系數(shù)是指直線相關(guān)條件下，說(shuō)明兩種現(xiàn)象之間相關(guān)關(guān)系密切程度和方向的統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)，用r表示。其定義公式為：依直線相關(guān)系數(shù)的定義公式可知相關(guān)系數(shù)的含義如下：1.r的取值范圍為-1r1。因?yàn)閰f(xié)方差的絕對(duì)值最小為0，最大為x和y的乘積。2.r的絕對(duì)值越接近于1，表明相關(guān)關(guān)系越密切；越接近于0，表明相關(guān)關(guān)系越不密切。3.r=+1或r=-1，表明兩種現(xiàn)象完全相關(guān)，即存在函數(shù)關(guān)系。4.r=0，表明兩種現(xiàn)象無(wú)

8、直線相關(guān)關(guān)系。5.r0，表明現(xiàn)象呈正直線相關(guān)；r0，表明現(xiàn)象呈負(fù)直線相關(guān)。實(shí)際中|r|0.3，視為不相關(guān)；0.3|r|0.5，為低度相關(guān)；0.5|r|0.8，為顯著相關(guān)；|r|0.8，一般稱為高度相關(guān)。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本相關(guān)關(guān)系的定量分析二（二）相關(guān)系數(shù)的計(jì)算1.根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義公式可直接計(jì)算相關(guān)系數(shù)。具體計(jì)算時(shí)，要使用相關(guān)資料，設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算表，將公式9-1中所需要的基本數(shù)據(jù)先計(jì)算出來(lái)，即需要列出5個(gè)計(jì)算欄：x-x 、y-y 、（x-x ）（y-y ）、（x-x ）2、（y-y ）2。2.相關(guān)系數(shù)的簡(jiǎn)捷計(jì)算法。按照定義公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)r運(yùn)算量較大，過(guò)程煩瑣，實(shí)踐

9、中多采用由定義公式推導(dǎo)出的簡(jiǎn)捷公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)。簡(jiǎn)捷計(jì)算公式為：3.相關(guān)系數(shù)的其他計(jì)算公式。在公式9-1中，分子、分母中均有1/n，因此可以消掉，于是可得：03 PART THREE第三節(jié)回歸分析的一般問(wèn)題點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本回歸分析的概念與特點(diǎn)一（一）回歸分析的概念現(xiàn)象之間的相關(guān)關(guān)系，雖然不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但現(xiàn)象之間的一般關(guān)系值，可以通過(guò)函數(shù)關(guān)系的近似表達(dá)式來(lái)反映，這種表達(dá)式根據(jù)相關(guān)現(xiàn)象的實(shí)際對(duì)應(yīng)資料，運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法來(lái)建立，這類數(shù)學(xué)方法稱為回歸分析。其意思是：根據(jù)現(xiàn)象之間相關(guān)關(guān)系的形式，配合一條最適合的直線或曲線（本章只介紹直線），用這條直線反映它們之間數(shù)量變化

10、的一般關(guān)系，即當(dāng)自變量發(fā)生一個(gè)量的變化時(shí)，因變量一般會(huì)（或平均會(huì)）發(fā)生多大量的變化。例如，單位面積化肥施用量增加1千克，稻谷單產(chǎn)量會(huì)增產(chǎn)多少千克。反映現(xiàn)象間相關(guān)關(guān)系數(shù)量變化規(guī)律的這條直線，就叫回歸直線，表現(xiàn)這條回歸直線的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱直線回歸模型，它是推算或預(yù)測(cè)因變量的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)模型。直線回歸模型有一元線性回歸模型（只反映兩個(gè)現(xiàn)象之間的相關(guān)關(guān)系）和多元線性回歸模型（反映三個(gè)或三個(gè)以上現(xiàn)象之間的相關(guān)關(guān)系）。本章僅討論一元線性回歸模型。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本回歸分析的概念與特點(diǎn)一（二）回歸分析的特點(diǎn)與相關(guān)分析相比，回歸分析的特點(diǎn)有：1.回歸分析的兩個(gè)變量是非對(duì)等關(guān)系。2.在

11、回歸分析中，因變量是隨機(jī)變量，自變量是可控制變量。特點(diǎn)點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本回歸分析的內(nèi)容二回歸分析是指將具有相關(guān)關(guān)系的現(xiàn)象的變量轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)關(guān)系，并建立變量關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，來(lái)研究變量之間數(shù)量變動(dòng)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)分析方法。具體內(nèi)容包括兩個(gè)方面：12確定現(xiàn)象之間相關(guān)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型測(cè)定數(shù)學(xué)模型的擬合精度點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本相關(guān)分析和回歸分析的區(qū)別與聯(lián)系三相關(guān)分析與回歸分析既相互區(qū)別又密切聯(lián)系，是相輔相成的。相關(guān)分析是研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上變量之間相關(guān)關(guān)系及其密切程度的分析。判斷相關(guān)關(guān)系及其密切程度，一般可通過(guò)進(jìn)行定性與定量分析、編制相關(guān)圖表、計(jì)算相關(guān)系數(shù)

12、等，來(lái)反映相關(guān)方向和密切程度?；貧w分析是指將相關(guān)現(xiàn)象的關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)關(guān)系，并建立變量關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，來(lái)研究變量之間數(shù)量變動(dòng)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)分析方法。相關(guān)分析和回歸分析是研究現(xiàn)象之間相互依存關(guān)系的不可分割的兩個(gè)方面。一般先進(jìn)行相關(guān)分析，測(cè)定相關(guān)現(xiàn)象之間相關(guān)程度的大小，進(jìn)而決定是否需要進(jìn)行回歸分析，并擬合相應(yīng)的回歸方程，以便進(jìn)行推算和預(yù)測(cè)等，因而可以說(shuō)相關(guān)分析是進(jìn)行回歸分析的基礎(chǔ)，回歸分析是把變量的相關(guān)關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)關(guān)系的手段，是相關(guān)分析的繼續(xù)和深入。但需指出，相關(guān)分析可以不分自變量和因變量，而進(jìn)行回歸分析時(shí)，則必須明確自變量和因變量，當(dāng)自變量與因變量位置互換時(shí)，所得到的回歸方程不同。04 PART

13、FOUR第四節(jié)一元線性回歸模型的建立與檢測(cè)點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本一元線性回歸模型一（一）構(gòu)建回歸模型應(yīng)具備的條件構(gòu)建一元線性回歸模型應(yīng)具備以下幾個(gè)條件：123現(xiàn)象間確實(shí)存在數(shù)量上的相互依存關(guān)系?，F(xiàn)象間存在直線相關(guān)關(guān)系。具備一定數(shù)量的變量觀測(cè)值。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本一元線性回歸模型一（二）回歸直線方程的求法回歸直線方程又稱一元一次線性回歸方程，若以x表示自變量，y表示因變量，則其基本形式為：y =a+bx點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差二一元線性回歸方程是在直線相關(guān)條件下，反映兩個(gè)變量之間一般數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。根

14、據(jù)回歸直線方程，可以由自變量的給定值估計(jì)出因變量的值。但是，估計(jì)出的因變量數(shù)值并不是一個(gè)精確數(shù)值，而是一個(gè)理論值。這就是說(shuō)，由一元線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)是存在誤差的。誤差越大，說(shuō)明擬合的回歸直線方程越不精確；誤差越小，說(shuō)明擬合的回歸直線方程越精確，即代表性越大。因此，一元線性回歸直線方程求出后，有必要對(duì)其擬合精度進(jìn)行評(píng)價(jià)。估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差就是進(jìn)行這種評(píng)價(jià)的統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差二（一）估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差的概念與計(jì)算估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差是用來(lái)說(shuō)明回歸直線方程代表性大小的統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)。其定義公式為：（二）估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差與相關(guān)系數(shù)存在著密切的關(guān)系，二者的關(guān)系可由如下表達(dá)式描述：點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差二（三）相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)的關(guān)系相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)的關(guān)系可用如下公式表示：（四）回歸方程的變形形式在y =a+bx中，b是直線的斜率。由于回歸直線方程必經(jīng)過(guò)（x , y ）點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式直線方程的公式，回歸直線方程可由下式給出：點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本應(yīng)用相關(guān)分析與回歸分析應(yīng)注意的問(wèn)題三相關(guān)分析