2021-2022學(xué)年內(nèi)蒙古包頭高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回2答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置3請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符4作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效5如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

2、要求的。1函數(shù)的圖象大致為（ ）ABCD2已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，記，N. 若，則 （ ）ABCD3函數(shù)的大致圖象為（ ）ABCD4我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)（即質(zhì)數(shù)）的和”，如，在不超過20的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于20的概率是（ ）ABCD以上都不對5已知向量，是單位向量，若，則（ ）ABCD6已知數(shù)列滿足：，則( )A16B25C28D337已知函數(shù)的最小正周期為的圖象向左平移個單位長度后關(guān)于軸對稱，則的單調(diào)遞增區(qū)間為( )ABCD8在滿足，的實(shí)數(shù)對中，使得成立的正整數(shù)的最大值為( )A5B6C7

3、D99某個命題與自然數(shù)有關(guān)，且已證得“假設(shè)時該命題成立，則時該命題也成立”現(xiàn)已知當(dāng)時，該命題不成立，那么（ ）A當(dāng)時，該命題不成立B當(dāng)時，該命題成立C當(dāng)時，該命題不成立D當(dāng)時，該命題成立10設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，若在中，則（ ）ABCD11如圖，內(nèi)接于圓，是圓的直徑，則三棱錐體積的最大值為（ ）ABCD12已知雙曲線的漸近線方程為，且其右焦點(diǎn)為，則雙曲線的方程為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13 “直線l1：與直線l2：平行”是“a2”的_條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）14某中學(xué)高一年級有學(xué)生1200人，高二年級有

4、學(xué)生900人，高三年級有學(xué)生1500人，現(xiàn)按年級用分層抽樣的方法從這三個年級的學(xué)生中抽取一個容量為720的樣本進(jìn)行某項研究，則應(yīng)從高三年級學(xué)生中抽取_人15已知盒中有2個紅球，2個黃球，且每種顏色的兩個球均按，編號，現(xiàn)從中摸出2個球（除顏色與編號外球沒有區(qū)別），則恰好同時包含字母，的概率為_.16函數(shù)在的零點(diǎn)個數(shù)為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知數(shù)列的前項和為，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，為數(shù)列的前項和.求證：.18（12分）已知函數(shù).（）當(dāng)時，求不等式的解集；（）若不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19（12分）已知函數(shù)，（

5、1）若，求實(shí)數(shù)的值（2）若，求正實(shí)數(shù)的取值范圍20（12分）在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，是的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）設(shè)是線段上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到平面距離最大時，求三棱錐的體積21（12分）如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，為的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn).（1）證明：面面；（2）當(dāng)為中點(diǎn)時，求二面角余弦值.22（10分）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，為上頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一動點(diǎn)（1）若，求直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)與軸垂直的直線為，的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求證：直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一

6、項是符合題目要求的。1A【解析】用偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱排除,用排除,用排除.故只能選.【詳解】因為 ,所以函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對稱,故可以排除;因為,故排除,因為由圖象知,排除.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),辨析函數(shù)的圖像,排除法,屬于中檔題.2D【解析】通過計算，可得，最后計算可得結(jié)果.【詳解】由題可知：所以所以猜想可知：由所以所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計算以及不完全歸納法的應(yīng)用，選擇題、填空題可以使用取特殊值，歸納猜想等方法的使用，屬中檔題.3A【解析】利用特殊點(diǎn)的坐標(biāo)代入，排除掉C，D；再由判斷A選項正確.【詳解】，排除掉C，D；，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了由

7、函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問題，代入特殊點(diǎn)，采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法，屬于中檔題.4A【解析】首先確定不超過的素數(shù)的個數(shù)，根據(jù)古典概型概率求解方法計算可得結(jié)果.【詳解】不超過的素數(shù)有，共個，從這個素數(shù)中任選個，有種可能；其中選取的兩個數(shù)，其和等于的有，共種情況，故隨機(jī)選出兩個不同的數(shù)，其和等于的概率故選：.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.5C【解析】設(shè)，根據(jù)題意求出的值，代入向量夾角公式，即可得答案；【詳解】設(shè)，是單位向量，,，聯(lián)立方程解得：或當(dāng)時，；當(dāng)時，；綜上所述：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的模、夾角計算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考

8、查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時注意的兩種情況.6C【解析】依次遞推求出得解.【詳解】n=1時，n=2時，n=3時，n=4時，n=5時，.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.7D【解析】先由函數(shù)的周期和圖象的平移后的函數(shù)的圖象性質(zhì)得出函數(shù)的解析式，從而得出的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，可得選項.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期是，所以，即，所以，的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)解析式為，由于其圖象關(guān)于軸對稱，所以，又，所以，所以，所以， 因為的遞增區(qū)間是：，由，得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.故選：D.【點(diǎn)睛

9、】本題主要考查正弦型函數(shù)的周期性，對稱性，單調(diào)性，圖象的平移，在進(jìn)行圖象的平移時，注意自變量的系數(shù)，屬于中檔題.8A【解析】由題可知：，且可得，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，通過導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)性，結(jié)合圖像得出，即得出，從而得出的最大值.【詳解】因為，則，即整理得，令，設(shè)，則，令,則，令，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，因為，由題可知：時，則，所以，所以，當(dāng)無限接近時，滿足條件，所以，所以要使得故當(dāng)時，可有，故，即，所以：最大值為5.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值和最值，以及運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法和放縮法，同時考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.9C【解析】寫出命題“假設(shè)時該命題成立，則時該命題也

10、成立”的逆否命題，結(jié)合原命題與逆否命題的真假性一致進(jìn)行判斷.【詳解】由逆否命題可知，命題“假設(shè)時該命題成立，則時該命題也成立”的逆否命題為“假設(shè)當(dāng)時該命題不成立，則當(dāng)時該命題也不成立”，由于當(dāng)時，該命題不成立，則當(dāng)時，該命題也不成立，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查逆否命題與原命題等價性的應(yīng)用，解題時要寫出原命題的逆否命題，結(jié)合逆否命題的等價性進(jìn)行判斷，考查邏輯推理能力，屬于中等題.10D【解析】根據(jù)的結(jié)構(gòu)形式，設(shè)，求導(dǎo)，則，在上是增函數(shù)，再根據(jù)在中，得到，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，得到，再利用的單調(diào)性求解.【詳解】設(shè)，所以 ，因為當(dāng)時，即，所以，在上是增函數(shù)，在中，因為，所以，因為，且，所以，即，所以

11、，即故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.11B【解析】根據(jù)已知證明平面，只要設(shè)，則，從而可得體積，利用基本不等式可得最大值【詳解】因為，所以四邊形為平行四邊形.又因為平面，平面，所以平面，所以平面.在直角三角形中，設(shè)，則，所以，所以.又因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查求棱錐體積的最大值解題方法是：首先證明線面垂直同，得棱錐的高，然后設(shè)出底面三角形一邊長為，用建立體積與邊長的函數(shù)關(guān)系，由基本不等式得最值，或由函數(shù)的性質(zhì)得最值12B【解析】試題分析：由題意得，所以，所求雙曲線方程為考點(diǎn)：雙曲線方程.二、填空題：本題共4小題

12、，每小題5分，共20分。13必要不充分【解析】先求解直線l1與直線l2平行的等價條件，然后進(jìn)行判斷.【詳解】“直線l1：與直線l2：平行”等價于a2，故“直線l1：與直線l2：平行”是“a2”的必要不充分條件故答案為：必要不充分.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分必要條件的判定，把已知條件進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化是求解這類問題的關(guān)鍵，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).141【解析】先求得高三學(xué)生占的比例，再利用分層抽樣的定義和方法，即可求解.【詳解】由題意，高三學(xué)生占的比例為，所以應(yīng)從高三年級學(xué)生中抽取的人數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的定義和方法，其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)

13、算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15【解析】根據(jù)組合數(shù)得出所有情況數(shù)及兩個球顏色不相同的情況數(shù)，讓兩個球顏色不相同的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率【詳解】從袋中任意地同時摸出兩個球共種情況，其中有種情況是兩個球顏色不相同；故其概率是故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了求事件概率，解題關(guān)鍵是掌握概率的基礎(chǔ)知識和組合數(shù)計算公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.161【解析】本問題轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)個數(shù)問題，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】問題函數(shù)在的零點(diǎn)個數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)個數(shù)問題.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出函數(shù)的圖象，如下圖所示：由圖象可知：當(dāng)時，兩個函數(shù)只

14、有一個交點(diǎn).故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)問題，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）證明見解析【解析】（1）利用求得數(shù)列的通項公式.（2）先將縮小即，由此結(jié)合裂項求和法、放縮法，證得不等式成立.【詳解】（1），令，得.又，兩式相減，得.（2）.又，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知求，考查利用放縮法證明不等式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.18（）；（）.【解析】試題分析：（）分三種情況討論，分別求解不等式組，然后求并集即可得不等式的解集；（）根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)可得，不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立，等價于

15、，解不等式即可求的取值范圍.試題解析：（）當(dāng)時，即，當(dāng)時，得，所以；當(dāng)時，得，即，所以；當(dāng)時，得成立，所以.故不等式的解集為.（）因為，由題意得，則，解得，故的取值范圍是.19（1）1（2）【解析】（1）求得和，由，得，令，令導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，利用，即可求解（2）解法一：令，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，令（），利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，分類討論，即可求解解法二：可利用導(dǎo)數(shù)，先證明不等式，令（），利用導(dǎo)數(shù)，分類討論得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解【詳解】（1）由題意，得， 由，得，令，則，因為，所以在單調(diào)遞增， 又，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增； 當(dāng)時，單調(diào)遞減；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立 故方程有且僅有

16、唯一解，實(shí)數(shù)的值為1 （2）解法一：令（），則，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增; 當(dāng)時，單調(diào)遞減;故 令（），則（i）若時，在單調(diào)遞增，所以，滿足題意 （ii）若時，滿足題意（iii）若時，在單調(diào)遞減，所以不滿足題意 綜上述： 解法二：先證明不等式，（*）令，則當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，即變形得，所以時，所以當(dāng)時，.又由上式得，當(dāng)時，.因此不等式（*）均成立 令（），則，（i）若時，當(dāng)時，單調(diào)遞增; 當(dāng)時，單調(diào)遞減;故 （ii）若時，在單調(diào)遞增，所以 因此，當(dāng)時，此時，則需由（*）知，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），所以 當(dāng)時，此時，則當(dāng)時， （由（*）知）；當(dāng)時，（由（*）知）故對于任意，綜上述：【

17、點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題20（1）見解析（2）【解析】（1）連接與交于，連接，證明即可得證線面平行；（2）首先證明平面(只要取中點(diǎn)，可證平面，從而得，同理得),因此點(diǎn)到直線的距離即為點(diǎn)到平面的距離，由平面幾何知識易得最大值，然后可計算體積【詳解】（1）證明：連接與交于，連接，因為是菱形，所以為的中點(diǎn)，又因為為的中點(diǎn)，所以，因為平面平面，所以平

18、面（2）解：取中點(diǎn)，連接，因為四邊形是菱形，且，所以，又，所以平面，又平面，所以同理可證：，又，所以平面，所以平面平面，又平面平面，所以點(diǎn)到直線的距離即為點(diǎn)到平面的距離，過作直線的垂線段，在所有垂線段中長度最大為，因為為的中點(diǎn)，故點(diǎn)到平面的最大距離為1，此時，為的中點(diǎn)，即，所以，所以【點(diǎn)睛】本題考查證明線面平行，考查求棱錐的體積，掌握面面垂直與線面垂直的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵21（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）要證明面面，只需證明面即可；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，分別為，軸建系，分別計算出面法向量，面的法向量，再利用公式計算即可.【詳解】證明：（1）因為底面為正方形，所以又因為，滿足，所以又，面，面，所以面.又因為面，所以，面面.（2