高中數(shù)學(xué)第一章集合與函數(shù)概念1.1.3集合的基本運算第二課時補集及綜合應(yīng)用學(xué)案(含解析)新人教A版

1、第二課時補集及綜合應(yīng)用層析教，人新穎無叱自通全集全集導(dǎo)入新知全集的定義及表示（1）定義：如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集.（2）符號表示：全集通常記作 U.化解疑難對全集概念的理解“全集”是一個相對的概念 ，并不是固定不變的，它是依據(jù)具體的問題來加以選擇的.例如：我們常把實數(shù)集 R看作全集，而當(dāng)我們在整數(shù)范圍內(nèi)研究問題時，就把整數(shù)集Z看作全集知識點士提出問題A= 高一（1）班參加足球隊的同學(xué) , B= 高一（1）班沒有參加足球隊的同學(xué) , U=高一（1）班的同學(xué).問題1:集合A, B, U有何關(guān)系？提示：U= AU Bo問題2:集合B中元素與集合U和A有何

2、關(guān)系？提示：集合B中元素在集合U中，不在集合 A中.導(dǎo)入新知補集的概念及性質(zhì)定義文字語百對于一個集合 A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合 A相對全集U的補集，簡稱為集合 A的補集，記作?_uA不語百? uA: x xC U,且 x? A圖形語言性質(zhì)(1) ? uA? U; (2) ? uU= ?_, ? u的補集，記作?_uA不語百? uA: x xC U,且 x? A圖形語言性質(zhì)(1) ? uA? U; (2) ? uU= ?_, ? u? =_U；? u ( ? uA) = AAU (? uA)=U； An (? A) =?化解疑難理解補集應(yīng)關(guān)注三點(1)補集既是集合之

3、間的一種關(guān)系，同時也是集合之間的一種運算.求集合A的補集的前提是A是全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也是不同的，因此,它們是互相依存、不可分割的兩個概念.(2) ? uA包含三層意思： A? U;？ uA是一個集合，且？ uA? U？uA是由U中所有不屬于A的元素構(gòu)成的集合.(3)若x e U,則x e A或x e ? uA,二者必居其一.補集的運1 1H J菅例定考向，考即千變不離其宗例 1(1)(全國內(nèi)卷)設(shè)集合 A= 0 , 2,4,6 ,8, 10, B= 4, 8,則？ aB=A. 4, 8B.0, 2,6C.0, 2,6 , 10D. 0,2,4,6,8, 102(2)

4、設(shè) U= x | - 5 x 2,或 2x5, x Z, A= x I x 2x15= 0 , B= - 3,3 ,4,則？4,則？ uA=,? uB=解析(1) .集合 A= 0, 2, 4,6,8 ,10, B=4,8 , . ? aB= 0,2 , 6, 10.(2)法一：在集合U中,xZ,則 x 的值為一5, 4, 3, 3,4 , 5,，U= -5, 4, -3, 3, 4,5 .2又. A= x | x 2x15=0 = 3, 5,. .? iA= 5, -4, 3,4 , ? uB= 5, 4,5 法二：可用 Venn圖表示.A的元素后,A的元素后,求集合B.3 x2,求則？ i

5、A= - 5, - 4,3,4 , ? uB= - 5, 4,5 .答案：(1)C(2) -5, - 4,3,45, 4, 5類題通法求補集的方法求給定集合 A的補集通常利用補集的定義去求，從全集 U中去掉屬于集合 由所有剩下的元素組成的集合即為A的補集.活學(xué)活用已知全集 U,集合 A= 1,3 , 5, 7 , ? uA= 2, 4,6 , ? uB= 1,4 , 6,解：.A= 1, 3,5 , 7, ? uA= 2,4,6,. U =1,2,3,4,5, 6,7.又 ？ uB= 1,4 , 6,. B= 2, 3, 5, 7.集合的交、并、補的綜合1運算例 2 已知全集 U= x|x04

6、，集合 A= x | 2x3 , B= x|An b, (? uA) u b, An( ? uB , ? u(au b).解如圖所示.JO1-12 3 4A= x|2x3, B= x I - 3 x 2,U= x| x4,. . ? uA= x| x0 2,或 3& x0 4,? uB= x | x 3,或 2x04,An B= x|2x02, AU B= x | -3 x3.故(？ uA) UB= x| x2,或 3 x u(AU B) = x| x一 3,或 3&x04.類題通法解決集合交、并、補運算的技巧(1)如果所給集合是有限集，則先把集合中的元素一一列舉出來，然后結(jié)合交集、并集、補集

7、的定義來求解.在解答過程中常常借助于Venn圖來求解.這樣處理起來，相對來說比較直觀、形象且解答時不易出錯.(2)如果所給集合是無限集，則常借助數(shù)軸，把已知集合及全集分別表示在數(shù)軸上，然后進行交、并、補集的運算.解答過程中要注意邊界問題.活學(xué)活用已知全集U=x | x 10, x e N ,A=2,4, 5,8,B= 1 , 3,5,8,求？ u (AUB),?u(An B) , (? uA) n(? uB) , (? uA) u (? uB .解：= AU B= 1,2 , 3, 4,5,8 ,U= 1 , 2,3 , 4,5 , 6, 7,8 , 9,.? u (AU B) =6,7 ,

8、9. An B= 5,8 ,. .?u (AHB)=1 , 2,3 ,4,6, 7,9 . TOC o 1-5 h z ?cA= 1,3, 6,7, 9, ?uB=2,4,6,7,9,. (? uA) n (? uB) = 6,7,9,(?iA) U(?uB) = 1,2,3,4,6,7,9.說明：作出Venn圖，如圖所示，由圖形也可以直接觀察出來結(jié)果.補集的綜合應(yīng)補集的綜合應(yīng)例 3 設(shè)全集 U= R, W x|3 ax1, . M ? uP,.分M= ? , M ?兩種情況討論.w ?時，如圖可得j I 1_fl 1 .加2a+5 -21加加+5工錯誤！或錯誤！. a w 一錯誤！或錯誤！

9、w a2a+ 5, a a5.綜上可知，a的取值范圍是,或尼二H o類題通法利用補集求參數(shù)應(yīng)注意兩點(1)與集合的交、并、補運算有關(guān)的參數(shù)問題一般利用數(shù)軸求解，涉及集合間關(guān)系時不 要忘掉空集的情形.(2)不等式中的等號在補集中能否取到，要引起重視，還要注意補集是全集的子集.活學(xué)活用已知集合 A= x | xa, B= x| x 1,或x0.若An (? rB) =?,求實數(shù)a的取值 范圍.解：= B= x|x0, ? rB= x | - 1 w x0 0,因而要使An(? rB) =?,結(jié)合數(shù)軸分析(如圖)，可得aw 1。-1 I1_J0 -j03f即實數(shù)a的取值范圍是a|a01典例 （12

10、分）已知集合A= x |x2-4x+2m6=0,B=x|x0,若 AnBw?，求實數(shù)m的取值范圍.解題流程蟻范翻答名知批注先求Afi 時加的取值范闈.蟻范翻答名知批注先求Afi 時加的取值范闈.邕時上方程? 一4一A打+6=0無實根.所以 A=(-4)I-4(2m-Fe) 1.分)當(dāng)a#/，八門斤=0時，1方程廠一4上+ 2m+ 6- 0的根為非貝實根，(4 #) 設(shè)方程y 4 j+2in6 = 0的兩根為jti , 3i .則 (4)1 4(2in4-1 0*川+j? =40.n g =21“+60,(6 分)_，底 一 1， 一E八即1._解得一3Wt足一L48分I時或一31R= u |工

11、-3)= tjiI r 3).所以4n窗戶必時，“F的取值范圍是匕1 ,一?%, 12分)活學(xué)活用已知集合 A= x | 2mi-1 5,是否存在實數(shù)m 使An Bw ? ?若存在,求實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由.解：先求An B= ?,分A= ?和Aw ?討論： 若 A= ?，則 2m-13 m+ 2,解得 mK -3, 此時An B= ?.若A* ?,要使AH B= ?,則應(yīng)有錯誤！即錯誤！所以一錯誤！ & m 1.綜上，當(dāng)An 綜上，當(dāng)An B= ?時，m的取值范圍是又因為U= R,所以當(dāng)An Bw?時，m的取值范圍是所以An BW ?時，實數(shù) m的取值范圍是 初二二去自主演嫁

12、.百博方成羽隨堂即時演練.設(shè)全集 U= 1,2 , 3, 4,5 , 6, A=2,4,6 , B= 2 , 3,5 ,則(？ A) n B=()A. 3, 5B. 4,6C 1, 2,3,5D. 1,2,4,6解析：選 A .U= 1,2, 3, 4, 5, 6 , A= 2, 4,6,.? iA= 1,3 , 5.又.B= 2, 3, 5,. (? uA) n B= 3 , 5.如圖所示，U是全集，AB是U的子集，則陰影部分所表示的集合是()A. An BB. AU BC. BA ( ? ua)D. AH ( ? uB)解析：選c由題圖可知，陰影部分所表示的集合為Bn(?冏.已知集合 A=

13、 3, 4, n1,集合 B= 3, 4,若？ aB= 5,則實數(shù) .解析：= ？ aB= 5 ,5CA,且 5? B5.答案：54.已知全集U= R,M= x 1x 1 , ?uN=x | 0 x2,那么集合MUN=o解析：. U= R,? uN= x|0vxv2, . N= x| x2,. MU N= x | - 1 x1 U x| x2=x | x2.答案：x | x1,或 x25.設(shè) U= R,已知集合 A= x| -5x5 , B= x|0 x 7,求：(1 ) AH B; ( 2) AU B; (3) AU (?舊)；Bn (? lA) ; ( 5) (? uA) n(? uB)

14、.解：如圖(1) .An B= x | 0 x 5.AU B= x | 5 x7.如圖(2).? uB= x| x 7,.AU (? uB) = x| x 7.(4)如圖(3).Q.I豆-505 7 上(3)? uA= x|x0 5,或 x5,Bn (? uA) = x | 5 x7.(5)法一：？ uB= x|x7,? uA= x| x- 5,或x5,畫數(shù)軸如下圖，.(? UA) n(? uB = x|x7.法二：(？ uA) n ( ? uB) = ? U (AU B) =x | x7.課時達標(biāo)檢測一、選擇題1 .設(shè)全集 U= 1,2,3,4 , 5 ,A= 1, 3, 5 , B= 2,

15、4,5 ，則(？ uA) n ( ? uB)=)A. ?B. 4C 1,5D. 2,5解析：選 A =？ uA= 2, 4 , ? uB= 1,3,( ？ ua) n ( ? UB) = ?,故選 Ao2.若全集 U= 1,2 , 3, 4, 5 , ? uP= 4,5 ,則集合 P可以是()xC N | | x | 4xC N* | x6x N | x216xC N* | x31，則 AH ( ? uB)解析：.U= R, B= x|x1,. .? uB= x| x 0 n x|x01= x | 0 x 1.答案: x I 0 x1.已知集合 A=x|xa , B= x | 1x2 , AU

16、 (? rB) = R,則實數(shù)a的取值范圍是解析：: B= x|1 x2.又 AU (? rB) = R, A= x | x2 時，AU (? rB) = R。答案：a I a2.全集U=R,A= x I x 3 或 x2,B=x| 1x5,則集合C= x| 1 x2 = (用A, B或其補集表示).解析：如圖所示， 匚| 1-3 42 S *|由圖可知C? ? uA,且C? B,. C= Bn(? uA).答案：Bn(? uA)三、解答題.設(shè)全集 U= R, Mh x|3ax2a + 5 , P= x|20 x&1,若 M ? uP,求實數(shù) a 的取 值范圍.解：? uP= x|x1,. M

17、 ? uP,.分M= ? , M ?，兩種情況討論.(1 )俯？時，如圖可得錯誤！或錯誤！I 1 II 134 2a 卜5 T 1 3a 2ft+5 富 aW 錯誤！，或錯誤！ W av 5。(2)舊?時，應(yīng)有 3a2a+ 5? a5.綜上可知，aw 錯誤！，或a，錯誤! 0.已知集合A=x|2&x7,B=x|3x10,C=x|xa.(1 )求 AU B, (? n B;(2)若An Cw ?,求a的取值范圍.解：(1)因為 A= x|2 x7, B= x|3x10,所以 AU B= x|2 x10.因為 A= x|2x7,所以？ rA= x| x 7,WJ ( ?必 n B= x | 7 x

18、 10.(2)因為 A= x|2 x 2, 所以a的取值范圍為a | a2.設(shè)全集 I=R,已知集合 W x| (x+3)20 , N= x|x2+x6=0.(1)求(？ iM)nN(2)記集合 A= (? iM n N,已知集合 B= x | a-1x5- a, a R,若 BU A= A,求 實數(shù)a的取值范圍. 2一解:(1 ) . M= x| (x + 3) 5a, a3；當(dāng)B= 2時，錯誤！解得a=3,綜上所述，所求a的取值范圍為 a| a 3.已知全集U=小于 10 的正整數(shù) ,A?U,B?U,且(？uA)AB= 1,8 ,AnB=2,3 , (? uA) n ( ? uB) = 4,6,9 .(1)求集合A與B；(2)求(？ rU) U ?z(AA B)(其中R為實數(shù)集，Z為整數(shù)集).解：由(？ uA) n B= 1,8 ,知 1 e B,8 B;由(？ uA) n ( ? UB)= 4,6,9 ,知 4,6 , 9? A,且 4, 6, 9? B;由An B= 2, 3,知2,3是集合A與B的公共元素.因為 U= 1,2,3,4 , 5,6 , 7, 8,9 ,所以 5 A,7 Ao畫出Venn圖，如圖所示.(1)由圖可知 A= 2, 3, 5,7 , B=1 , 2, 3, 8.(2)