高中數(shù)學(xué)必修一《函數(shù)模型及其應(yīng)用》優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)

1、人教版數(shù)學(xué)必修3.2 函數(shù)模型及其應(yīng)用【課時(shí)安排】 第 4 課時(shí)【教學(xué)對象】 高一學(xué)生【教材分析】 數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)新課程的新增內(nèi)容， 但標(biāo)準(zhǔn) 中沒有對數(shù)學(xué)建模的課時(shí) 和內(nèi)容作具體安排，只是建議將數(shù)學(xué)建模穿插在相關(guān)模塊的教學(xué)中。而 3.2 函數(shù)模型及其 應(yīng)用 一節(jié)只是通過六個(gè)例子介紹一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)在解 決實(shí)際問題中的作用， 為以后的數(shù)學(xué)建摸實(shí)踐打基礎(chǔ)， 還未能使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)建模的真 實(shí)全過程。本節(jié)課通過一個(gè)較為真實(shí)的數(shù)學(xué)建模案例，以彌補(bǔ)教材的這一不足。【學(xué)情分析】 高一學(xué)生在進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)之前， 需要熟悉前面已學(xué)過的二次函數(shù)與三角函 數(shù)的相關(guān)性質(zhì)?！窘虒W(xué)

2、目標(biāo)】知識與技能（1）初步理解數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模兩個(gè)概念；（2）掌握框圖 2數(shù)學(xué)建模的過程。過程與方法（1）經(jīng)歷解決實(shí)際問題的全過程，初步掌握函數(shù)模型的思想與方法；情感態(tài)度價(jià)值觀（1）體驗(yàn)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)化過程；（2）感受數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，增強(qiáng)應(yīng)用意識；（3）體會(huì)數(shù)學(xué)以不變應(yīng)萬變的魅力?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】 框圖 2數(shù)學(xué)建模的過程。【教學(xué)難點(diǎn)、關(guān)鍵】 方案二中答案的探究；關(guān)鍵是運(yùn)用合情推理?！窘虒W(xué)方法】 引導(dǎo)探究、討論交流。教學(xué)手段】 計(jì)算機(jī)、 PPT、幾何畫板。教學(xué)過程設(shè)計(jì)】、教學(xué)流程設(shè)計(jì)、教學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容 教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖（一）實(shí) 際問題化 為理想化 問題：預(yù) 計(jì)時(shí)

3、間 2 分鐘現(xiàn)有寬為的長方形板材，請將 它設(shè)計(jì)制成一直的開口的長 條形水槽，使水槽能通過的流 水量最大。教師引導(dǎo) 學(xué)生閱讀 理解問題，并將 其理想化學(xué)生聽講 思考與大學(xué)數(shù) 學(xué)建模相 比，過去 的中學(xué)數(shù) 學(xué)建模缺 少理想化 這一重要 的環(huán)節(jié)。 本環(huán)節(jié)意 在恢復(fù)數(shù) 學(xué)建模的 真實(shí)面目1、初步理想化 在單位時(shí)間內(nèi)，該水槽能 通過的流水量取決于水流速 度和它的橫截面積。我們將問 題理想化，假定水流速度是一 定的。那么，要在單位時(shí)間內(nèi) 獲得最大的流水量，就應(yīng)該將 水槽設(shè)計(jì)成橫截面積最大。于 是，問題化歸為： 現(xiàn)有寬為的長方形板材， 請將它設(shè)計(jì)制成一開口的長 條形水槽，使水槽的橫截面積 最大。2、進(jìn)一步理

4、想化 如果將水槽的橫截面設(shè) 計(jì)成矩形，那么這一實(shí)際問題 可以轉(zhuǎn)化為理想化問題： 如下圖所示，要建造一個(gè) 橫截面為矩形 ABCD的 水槽 , 并且 AB ,BC ,CD 的長度之和 等于. 問應(yīng)當(dāng)怎樣設(shè)計(jì)水槽的 深度和寬度 , 使水槽的橫截面、教學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)節(jié)環(huán) 教學(xué)內(nèi)容教活師動(dòng)活學(xué)動(dòng)生設(shè)意計(jì)圖(二) 將理想 化問題 轉(zhuǎn)化為 數(shù)學(xué)問 題：預(yù) 計(jì)時(shí)間 3 分鐘1、尋找變量以及變量之間的關(guān)系 在此問題中，水槽的深度是一個(gè)變 量，寬度是另一個(gè)變量，橫截面積也是一個(gè) 變量。設(shè) AB=x，BC=y.矩形 ABCD的面積為 S. 那么，這三個(gè)變量之間的關(guān)系是 S=xy.變量 S由兩個(gè)變量 x 和 y 確定

5、. 如果我們 能使面積表達(dá)式只由一個(gè)變量確定，那么我 們研究的問題就可以簡化，這就需要尋找兩 個(gè)變量 x 和 y 之間的關(guān)系。顯然 ,2x+y=2a 2、建立數(shù)學(xué)模型 S=x(a-2x) 將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)純數(shù)學(xué)問題 當(dāng) X取何值時(shí)，函數(shù) S=x(a-2x )(0 x a/2) 有最大值？教師 引導(dǎo) 講解學(xué)生 聽講 思考展示 將理 想化 問題 轉(zhuǎn)化 為數(shù) 學(xué)問 題的 數(shù)學(xué) 化過 程。(三) 求解數(shù) 學(xué)模型 解釋數(shù) 學(xué)結(jié) 果：預(yù) 計(jì)時(shí)間 2 分鐘2 2 2因?yàn)?S=x(a-2x)=a /8-2(x-a/4) a /8 ，所 以，當(dāng) x=a/4 時(shí)， S有最大值 0.125a2. 此時(shí)， y=a

6、-2x=a/2 .當(dāng)水槽的橫截面設(shè)計(jì)成矩形時(shí)， 只要將深度、 寬度分別設(shè)計(jì)為 a/4 和 a/2 時(shí)，可得到最大 的橫截面積，從而可獲得最大的流水量。教師 引導(dǎo) 分析 講解學(xué)生 聽講 思考 求解 模型展示 解釋 模過 程(四)可將上述數(shù)學(xué)建模的過程概括為下面的框圖教師學(xué)生結(jié)合1：數(shù)學(xué)建模過 程：預(yù) 計(jì)時(shí)間2 分鐘引導(dǎo)分析講解聽講思考這一 實(shí)際 問題 的解 決過 程，概 括出 數(shù)學(xué) 建模 的基 本過 程，以 實(shí)現(xiàn) 由具 體到 抽象 的升 華。、教學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)節(jié)環(huán)教學(xué)內(nèi)容 教活師動(dòng)學(xué)活生動(dòng)設(shè)意計(jì)圖（五） 最優(yōu)解 的探 究：預(yù) 計(jì)時(shí)間 7 分鐘我們前面的設(shè)計(jì)是將橫截面設(shè)計(jì)成矩形， 將 深度、寬度分

7、別設(shè)計(jì)為 a/4 和 a/2 時(shí)，可得到 最大的橫截面積。如果將水槽的橫截面分別按照下圖中的 五種方案進(jìn)行設(shè)計(jì)，結(jié)果又如何呢？教 師將 學(xué)生 分成 五個(gè) 小 組， 并巡 視指 導(dǎo)學(xué) 生解 決問 題。 由于 缺少 導(dǎo)數(shù) 工學(xué)生 動(dòng)手 探究 各自 的設(shè) 計(jì)方 案1、讓 學(xué)生 經(jīng)歷 數(shù)學(xué) 建模 中的 優(yōu)化 過程；2、培 養(yǎng)學(xué) 生的 探究 意識。具， 教師 應(yīng)引 導(dǎo)學(xué) 生運(yùn) 用觀 察、 試算、 估算 來探 究方 案二 的答 案。下面，我們將全班分成 5 個(gè)小組，分別探 究五個(gè)方案的設(shè)計(jì)。 最后派代表報(bào)告本小組的 探究結(jié)果。方案一： S=1/2x(a-x)sin 1/2x(a-x)=a 2/8-1/2(

8、x-1/2a) 2 22a2/8=0.125a 2。當(dāng)=90且 x=1/2a 時(shí)， Smax=0.125a2、教學(xué)過程設(shè)計(jì)(五)方案二： S=1/2(2/3a+2 a/3 sin )a/3cos教學(xué)1、讓最優(yōu)解2)=a 2/9(1+sin )cos 師將生學(xué)生的探當(dāng)=30時(shí)， Smax 0.144a 2學(xué)生動(dòng)經(jīng)歷究：預(yù)方案三： (四個(gè)底角為 67.5 的等腰三角形 )分成手?jǐn)?shù)學(xué)計(jì)時(shí)間7 分鐘2S=41/2 a/4 a/8tan67.5 0.151a 2 方案四： （ 五個(gè)底角為 72的等腰三角形 ） S=51/2 a/5 a/10tan72 0.154a 2 方案五： r=a, S=1/2r

9、2=a2/2 0.159a 2 通過比較以上五種方案和橫截面設(shè)計(jì)為矩形時(shí)的 情況可以得出，方案五是這個(gè)實(shí)際問題的最優(yōu)解，即： 將水槽的橫截面設(shè)計(jì)為半徑為的半圓形時(shí)，從而 可獲得最大的流水量。五個(gè) 小 組， 并巡 視指 導(dǎo)學(xué) 生解 決問 題。 由于 缺少 導(dǎo)數(shù) 工 具， 教師 應(yīng)引 導(dǎo)學(xué) 生運(yùn) 用觀 察、 試 算、 估算 來探 究方 案二 的答 案。探 究 各 自 的 設(shè) 計(jì) 方 案建模 中的 優(yōu)化 過程；2、培 養(yǎng)學(xué) 生的 探究 意識。（六） 什么是 數(shù)學(xué)建 模：預(yù) 計(jì)時(shí)間 6 分鐘以上我們進(jìn)行了六種設(shè)計(jì)方案的探究后，才找到了該 問題的最優(yōu)解。這就表明，數(shù)學(xué)建模需要對所得到的 結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)評價(jià)

10、，以確認(rèn)結(jié)果是否合理，是否是較 好的結(jié)果。如果結(jié)果不滿意，就需要重新回到 理想化 問題這一環(huán)節(jié)。于是， 我們就可以概括出一個(gè)較為完 善的數(shù)學(xué)建模過程的框圖。框圖 2：教師 講解 概括學(xué) 生 聽 講 思 考1、使 學(xué)生 獲得 科學(xué) 的數(shù) 學(xué)建 模理 論： 數(shù)學(xué) 建模 與數(shù) 學(xué)模型的 概 念、 數(shù)學(xué) 建模 的具 體過 程； 2、體 會(huì)數(shù) 學(xué)以 不變 應(yīng)萬 變的 魅 力； 3、彌 補(bǔ)標(biāo) 準(zhǔn) 中數(shù) 學(xué)的 建模 理論 的不 足。、教學(xué)過程設(shè)計(jì)根據(jù)這個(gè)框圖，我們就可以來回答什么是 數(shù)學(xué)建模？數(shù)學(xué)建模 (Mathematical Modelling) ：就是運(yùn)用數(shù)學(xué)化的手段從實(shí)際問 題中提煉、抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)

11、模型，求出模型的 解，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?，從而使這一實(shí)際問題 得以解決的過程。數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)學(xué)語言符 號來描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué) 結(jié)構(gòu)表達(dá)式。例如，各種函數(shù)、方程、不等式、 不等式組等等都是比較常見的數(shù)學(xué)模型。、教學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)節(jié)環(huán)教學(xué)內(nèi)容教活師動(dòng)學(xué)活生動(dòng)設(shè)意計(jì)圖1、作為結(jié)果，她表示的是一個(gè)確定的數(shù)值，可以參與運(yùn)算； 2、作為過程，她表示的是一個(gè)變量： 可大可小；可正可負(fù)； 可 以是有理數(shù)也可以使無理數(shù)。 由于數(shù)學(xué)模型具有高度的抽象性、 概括性和 結(jié)構(gòu)的確定性，所以數(shù)學(xué)模型能以不變應(yīng)萬 變。不管是中文還是英文， 一個(gè)字所能表達(dá) 的意義十分有限，但我們的數(shù)學(xué)模型 卻可 以表示無窮無

12、盡的對象流動(dòng)的世界。又比如說勾股定理，這一模型可以用來 處理數(shù)以億計(jì)的實(shí)際問題。 從小到斜邊長為 一微米的直角三角形到大至斜邊長為十萬 八千里的直角三角形，只要是直角三角形， 它們居然都滿足同樣的結(jié)構(gòu)模型：斜邊的平方等于兩條直角邊的平方之 和。我不知道，這個(gè)世界上還有什么學(xué)科象 數(shù)學(xué)這樣如此簡潔，如此概括，如此統(tǒng)一。我只知道： 數(shù)學(xué)的魅力在于，她能以 穩(wěn)定的模式駕馭流動(dòng)的世界！ （七） 牛刀小 試預(yù)計(jì) 時(shí)間14 分 鐘如下圖，某房地產(chǎn)公司擁有一塊 缺角 矩形荒地 ABCD，E 邊長和方向如圖所示， 欲在這塊地上建一座地基為長方形東西走 向的公寓，請劃出這塊地基， 并求地基的最 大面積。教師 解

13、釋 說明 問題， 最后 演示 數(shù)學(xué) 實(shí)驗(yàn)。學(xué)生動(dòng) 手解決 問題1、根據(jù) 練習(xí)律 和強(qiáng)化 原理， 強(qiáng)化剛 剛獲得 的數(shù)學(xué) 建模理 論；2、培養(yǎng) 學(xué)生的 問題解 決能 力。、教學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)節(jié)環(huán)教學(xué)內(nèi)容教師動(dòng)活學(xué)生動(dòng)活設(shè)計(jì)圖意（小八結(jié)）與1、小結(jié)這節(jié)課，我們通過解決一個(gè)實(shí)際問題，教師講解點(diǎn)學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)1、小結(jié) 意在強(qiáng)課后思帶大家走進(jìn)了數(shù)學(xué)建模世界。數(shù)學(xué)建模化，教建模理化數(shù)學(xué)考：預(yù)就是；數(shù)學(xué)模型就是；數(shù)學(xué)建師呈現(xiàn)論學(xué)建模理計(jì)時(shí)間模的具體過程。我們還感受到了 問題生思考論，形2 分鐘數(shù)學(xué)的魅力在于，她能以穩(wěn)定的模式駕問題 1:準(zhǔn)備解成知識馭流動(dòng)的世界！ 是讓學(xué)決問題組塊；2、課后思考生探究問題 2:2

14、、設(shè)計(jì)（1）將各方案中的圖形沿虛線向上翻發(fā)現(xiàn)周讓學(xué)生四個(gè)課折，并觀察思考： 周長為 2 的凸多邊形，長一定通過動(dòng)后思考什么時(shí)候面積最大？的凸多手實(shí)踐問題，（2）家庭物理小實(shí)驗(yàn)： 先將一條長度固邊形發(fā)現(xiàn)周目的是定的柔軟絲線的兩頭連接起來，再將此中，正長一定培養(yǎng)學(xué)封閉的曲線輕輕放在一個(gè)蒙有肥皂膜的多邊形的圖形生的數(shù)正方形（邊長約 5cm）鐵絲框上的肥皂的面積中，圓學(xué)探究膜上（注意，別弄破肥皂膜?。詈笞畲?。的面積能力、用小釘將曲線內(nèi)的肥皂膜刺破。你觀察最大。動(dòng)手實(shí)到什么現(xiàn)象，說明了什么問題？踐能力（3）請你幫助吉東皇后解決問題： 吉東和數(shù)學(xué)是泰雅皇帝的女兒，歷經(jīng)周折，逃到非創(chuàng)新意洲，且成為迦太基的創(chuàng)始人和第一位神識。奇的皇后。剛到非洲時(shí)，吉東要在靠海問題 3：岸線的地方購買 一張獸皮 的土地：她是等周把獸皮剪成細(xì)條，結(jié)成長繩，剩下的問問題在題是：怎么圍，才會(huì)得到最多的土地呢？解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。問題 4：是將平（4）用數(shù)學(xué)家的眼光看世界： 音樂家關(guān)面內(nèi)的 等周問注聲