高考數(shù)學(xué)各地模擬匯編-數(shù)學(xué)柯西不等式與排序不等式

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)2014年12月28日高中數(shù)學(xué)柯西不等式與排序不等式一解答題（共30小題）1（2014福建）已知定義域在R上的函數(shù)f（x）=|x+1|+|x2|的最小值為a（1）求a的值；（2）若p，q，r為正實(shí)數(shù)，且p+q+r=a，求證：p2+q2+r232（2014漳州三模）設(shè)函數(shù)f（x）=|x4|+|x3|，（）求f（x）的最小值m（）當(dāng)a+2b+3c=m（a，b，cR）時(shí)，求a2+b2+c2的最小值3（2014福建模擬）已知關(guān)于x的不等式：|2xm|1的整數(shù)解有且僅有一個(gè)值為2

2、（）求整數(shù)m的值；（）已知a，b，cR，若4a4+4b4+4c4=m，求a2+b2+c2的最大值4（2014泉州模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=+的最大值為M（）求實(shí)數(shù)M的值；（）求關(guān)于x的不等式|x1|+|x+2|M的解集5（2014河南模擬）已知a，b，cR，a2+b2+c2=1（）求證：|a+b+c|；（）若不等式|x1|+|x+1|（ab+c）2對一切實(shí)數(shù)a，b，c恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍6（2014泉州模擬）已知不等式|t+3|t2|6mm2對任意tR恒成立（）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（）若（）中實(shí)數(shù)m的最大值為，且3x+4y+5z=，其中x，y，zR，求x2+y2+z2的最小值7（2014福建

3、模擬）已知ab0，且m=a+（）試?yán)没静坏仁角髆的最小值t；（）若實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z=3且x2+4y2+z2=t，求證：|x+2y+z|38（2014徐州模擬）已知a，b，c均為正數(shù)，且a+2b+4c=3，求的最小值，并指出取得最小值時(shí)a，b，c的值9（2014南京三模）已知a，b，cR，a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最大值10（2014宿遷模擬）已知不等式|x+1|4的解集為A，記A中的最大元素為T，若正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2+b2+c2=T，求a+2b+c的最大值11（2014寧德模擬）已知函數(shù)f（x）=|x4|（）若f（x）2，求x的取值范圍；（）在（）的條件下，

4、求g（x）=2+的最大值12（2014廈門二模）已知a，b，cR，且a+b+c=3，a2+b2+c2的最小值為M（）求M的值；（）解關(guān)于x的不等式|x+4|x1|M13（2014鹽城三模）設(shè)x，y，zR，且滿足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=，求證：x+y+z=14（2014徐州三模）已知x，y，zR，且x+2y+3z+8=0求證：（x1）2+（y+2）2+（z3）21415（2014福建模擬）若a，b，cR+，且滿足a+b+c=2（）求abc的最大值；（）證明：+16（2014江蘇模擬）選修45：不等式選講若正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，求的最小值17（2014泰州模擬）若不等式

5、|a1|x+2y+2z對滿足x2+y2+z2=1的一切實(shí)數(shù)x、y、z恒成立，求a的取值范圍18（2014南通模擬）已知a、b、c均為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，求+的最大值19（2013福建一模）已知函數(shù)f（x）=2+（）求證：f（x）5，并說明等號成立的條件；（）若關(guān)于x的不等式f（x）|m2|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍20（2013廈門模擬）（）證明二維形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2（a，b，c，dR）；（）若實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2=3，求x+2y2z的取值范圍21（2013徐州三模）不等式選講：已知x，y，zR，且x2y3z=4，求x2+y2+z

6、2的最小值22（2013江蘇一模）（選修45：不等式選講）已知a，b，c都是正數(shù)，且a+2b+3c=6，求的最大值23（2012焦作一模）已知|x2y|=5，求證：x2+y2524（2012鹽城一模）已知x、y、z均為正數(shù)，求證：25（2012浙江模擬）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閍，b，且f（a）=f（b），對于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x1，x2（x1x2）都有|f（x1）f（x2）|x1x2|（1）設(shè)S=（x+y3）2+（1x）2+（62yx）2，當(dāng)且僅當(dāng)x=a，y=b時(shí)，S取得最小值，求a，b的值；（2）在（1）的條件下，證明：對任意x1，x2a，b，有|f（x1）f（x2）|成立26（2012

7、焦作模擬）選修45：不等式選講已知|x2y|=5，求證：x2+y2527（2011遼寧二模）（選做題）已知x2+3y2+4z2=2，求證：|x+3y+4z|428（2010福建模擬）已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，求a的取值范圍29已知3x2+2y26，求2x+y的最大值30已知正實(shí)數(shù)a、b、c滿足條件a+b+c=3，（） 求證：；（）若c=ab，求c的最大值參考答案與試題解析一解答題（共30小題）1（2014福建）已知定義域在R上的函數(shù)f（x）=|x+1|+|x2|的最小值為a（1）求a的值；（2）若p，q，r為正實(shí)數(shù)，且p+q+r=a，求證：

8、p2+q2+r23考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式；絕對值不等式的解法專題：計(jì)算題；證明題；不等式的解法及應(yīng)用分析：（1）由絕對值不等式|a|+|b|ab|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0，取等號；（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）（ad+be+cf）2，即可證得解答：（1）解：|x+1|+|x2|（x+1）（x2）|=3，當(dāng)且僅當(dāng)1x2時(shí)，等號成立，f（x）的最小值為3，即a=3；（2）證明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r為正實(shí)數(shù)，由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）（p1+q1+r1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r23點(diǎn)評：本題主要考查絕

9、對值不等式、柯西不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想2（2014漳州三模）設(shè)函數(shù)f（x）=|x4|+|x3|，（）求f（x）的最小值m（）當(dāng)a+2b+3c=m（a，b，cR）時(shí)，求a2+b2+c2的最小值考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式；絕對值不等式的解法專題：選作題；不等式選講分析：（）法1：f（x）=|x4|+|x3|（x4）（x3）|=1，可得函數(shù)f（x）的最小值；法2：寫出分段函數(shù)，可得函數(shù)f（x）的最小值；（）由柯西不等式（a2+b2+c2）（12+22+32）（a+2b+3c）2=1解答：解：（）法1：f（x）=|x4|+|x3|（x4）（x3）|=1，故函數(shù)f（x）的

10、最小值為1m=1（4分）法2：（1分）x4時(shí)，f（x）1；x3時(shí)，f（x）1，3x4時(shí)，f（x）=1，（3分）故函數(shù)f（x）的最小值為1m=1（4分）（）由柯西不等式（a2+b2+c2）（12+22+32）（a+2b+3c）2=1（5分）故a2+b2+c2（6分）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號（7分）點(diǎn)評：本題考查絕對值不等式的解法，考查二維形式的柯西不等式，屬于中檔題3（2014福建模擬）已知關(guān)于x的不等式：|2xm|1的整數(shù)解有且僅有一個(gè)值為2（）求整數(shù)m的值；（）已知a，b，cR，若4a4+4b4+4c4=m，求a2+b2+c2的最大值考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式；絕對值不等式的解法專題：不等式的解法及

11、應(yīng)用分析：（I）由條件可得 ，求得3m5根據(jù)不等式僅有一個(gè)整數(shù)解2，可得整數(shù)m的值（2）根據(jù)a4+b4+c4=1，利用柯西不等式求得（a2+b2+c2）23，從而求得a2+b2+c2的最大值解答：解：（I）由|2xm|1，得 不等式的整數(shù)解為2，3m5又不等式僅有一個(gè)整數(shù)解2，m=4（2）由（1）知，m=4，故a4+b4+c4=1，由柯西不等式可知；（a2+b2+c2）2（12+12+12）（a2）2+（b2）2+（c2）2所以（a2+b2+c2）23，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，最大值為點(diǎn)評：本題主要考查絕對值不等式的解法，二維形式的柯西不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題4（2014泉州模擬）設(shè)函數(shù)f（x）

12、=+的最大值為M（）求實(shí)數(shù)M的值；（）求關(guān)于x的不等式|x1|+|x+2|M的解集考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式；絕對值不等式專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：（）根據(jù)函數(shù)f（x）=+=+=3，求得實(shí)數(shù)M的值（）關(guān)于x的不等式即|x1|+|x+2|3，由絕對值三角不等式可得|x1|+|x+2|3，可得|x1|+|x+2|=3根據(jù)絕對值的意義可得x的范圍解答：解：（）函數(shù)f（x）=+=+=3，當(dāng)且僅當(dāng)=，即 x=4時(shí)，取等號，故實(shí)數(shù)M=3（）關(guān)于x的不等式|x1|+|x+2|M，即|x1|+|x+2|3由絕對值三角不等式可得|x1|+|x+2|（x1）（x+2）|=3，|x1|+|x+2|=3根據(jù)絕對值

13、的意義可得，當(dāng)且僅當(dāng)2x1時(shí)，|x1|+|x+2|=3，故不等式的解集為2，1點(diǎn)評：本題主要考查二維形式的柯西不等式的應(yīng)用，絕對值的意義，絕對值三角不等式，屬于基礎(chǔ)題5（2014河南模擬）已知a，b，cR，a2+b2+c2=1（）求證：|a+b+c|；（）若不等式|x1|+|x+1|（ab+c）2對一切實(shí)數(shù)a，b，c恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式；函數(shù)恒成立問題專題：選作題；不等式選講分析：（）利用柯西不等式得，（a+b+c）2（12+12+12）（a2+b2+c2）=3；（）同理，（ab+c）212+（1）2+12（a2+b2+c2）=3，問題等價(jià)于|x1|+|x+1|

14、3解答：解：（）由柯西不等式得，（a+b+c）2（12+12+12）（a2+b2+c2）=3所以a+b+c所以：|a+b+c|； （5分）（）同理，（ab+c）212+（1）2+12（a2+b2+c2）=3 （7分）若不等式|x1|+|x+1|（ab+c）2對一切實(shí)數(shù)a，b，c恒成立，則|x1|+|x+1|3，解集為（，+） （10分）點(diǎn)評：本題考查柯西不等式，考查恒成立問題，正確運(yùn)用柯西不等式是關(guān)鍵6（2014泉州模擬）已知不等式|t+3|t2|6mm2對任意tR恒成立（）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（）若（）中實(shí)數(shù)m的最大值為，且3x+4y+5z=，其中x，y，zR，求x2+y2+z2的最小值考點(diǎn)

15、：二維形式的柯西不等式；絕對值不等式的解法專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：（）由條件利用絕對值三角不等式求得|t+3|t2|的最大值，可得6mm25，由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍（）由題意可得 =5，3x+4y+5z=5，再根據(jù)（x2+y2+z2）（32+42+52）25，求得x2+y2+z2的最小值解答：解：（）|t+3|t2|（t+3）（t2）|=5，不等式|t+3|t2|6mm2對任意tR恒成立，可得6mm25，求得1m5，或m5，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為m|1m5（）由題意可得 =5，3x+4y+5z=5（x2+y2+z2）（32+42+52）（3x+4y+5z）2=25，當(dāng)期僅當(dāng)=時(shí)，等號成立

16、，即x=，y=，z= 時(shí)，取等號50（x2+y2+z2）25，x2+y2+z2，即x2+y2+z2的最小值為，點(diǎn)評：本題主要考查絕對值三角不等式，柯西不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題7（2014福建模擬）已知ab0，且m=a+（）試?yán)没静坏仁角髆的最小值t；（）若實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z=3且x2+4y2+z2=t，求證：|x+2y+z|3考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式；基本不等式專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：（）由條件根據(jù)m=a+=（ab）+b+，利用基本不等式求得m的最小值（）由條件利用柯西不等式求得當(dāng)且僅當(dāng)x=z=，y=時(shí)，9（x+2y+z）2 成立，從而證得結(jié)論解答：解：（）ab0，ab0

17、，m=a+=（ab）+b+=3（當(dāng)且僅當(dāng)ab=b=，即b=1，a=2時(shí)取“=”號），m的最小值t=3（）x+y+z=3，且x2+4y2+z2=t，由柯西不等式得：且x2+（2y）2+z2（1+1+1）（x+2y+z）2，（當(dāng)且僅當(dāng)=，即 x=z=，y=，時(shí)取“=”號）整理得：9（x+2y+z）2，：|x+2y+z|3點(diǎn)評：本題主要考查基本不等式、柯西不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題8（2014徐州模擬）已知a，b，c均為正數(shù)，且a+2b+4c=3，求的最小值，并指出取得最小值時(shí)a，b，c的值考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式專題：選作題；不等式選講分析：由a+2b+4

18、c=3，可得（a+1）+2（b+1）+4（c+1）=10，由柯西不等式可得（a+1）+2（b+1）+4（c+1）+（1+2）2，即可得出結(jié)論解答：解：a+2b+4c=3，（a+1）+2（b+1）+4（c+1）=10，a，b，c均為正數(shù)，由柯西不等式可得（a+1）+2（b+1）+4（c+1）+（1+2）2，當(dāng)且僅當(dāng)（a+1）2=2（b+1）2=4（c+1）2，等號成立，+，2（c+1）+2（c+1）+4（c+1）=10，c=，b=，a=點(diǎn)評：本題考查三元柯西不等式及應(yīng)用，考查基本的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題9（2014南京三模）已知a，b，cR，a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最大值考點(diǎn)：二

19、維形式的柯西不等式專題：計(jì)算題；不等式選講分析：考慮到柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）（ax+by+cz）2的應(yīng)用，構(gòu)造出柯西不等式求出（a+b+c）2的最大值開方即可得到答案解答：解：因?yàn)橐阎猘、b、c是實(shí)數(shù)，且a2+2b2+3c2=6，根據(jù)柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）（ax+by+cz）2故有（a2+2b2+3c2）（1+）（a+b+c）2故（a+b+c）211，即a+b+c的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c=時(shí)，等號成立點(diǎn)評：此題主要考查一般形式的柯西不等式的應(yīng)用，對于此類題目很多同學(xué)一開始就想到應(yīng)用參數(shù)方程求解，這個(gè)方法可行但是計(jì)算量較高，而應(yīng)用

20、柯西不等式求解較簡單，同學(xué)們需要很好的理解掌握10（2014宿遷模擬）已知不等式|x+1|4的解集為A，記A中的最大元素為T，若正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2+b2+c2=T，求a+2b+c的最大值考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式專題：計(jì)算題；不等式的解法及應(yīng)用分析：首先求出解集A，求出最大元素3，再運(yùn)用柯西不等式：（ad+be+cf）2（a2+b2+c2）（d2+e2+f2），注意等號成立的條件：解答：解：不等式|x+1|4的解集A是5，3，A中的最大元素為3，即T=3，a2+b2+c2=T=3，由柯西不等式得（a+2b+c）2（12+22+12）（a2+b2+c2）=18，a，b，c均為正數(shù)，a+2b

21、+3c3，當(dāng)且僅當(dāng)即a=，b=，c=時(shí)，a+2b+c的最大值為3點(diǎn)評：本題主要考查柯西不等式及運(yùn)用，注意等號成立的條件，同時(shí)考查絕對值不等式的解法，是一道基礎(chǔ)題11（2014寧德模擬）已知函數(shù)f（x）=|x4|（）若f（x）2，求x的取值范圍；（）在（）的條件下，求g（x）=2+的最大值考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式；絕對值不等式的解法專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：（）解絕對值不等式f（x）2，求得x的取值范圍（）由即2x6 可得 g（x）=2+，利用柯西不等式，求得g（x）的最大值解答：解：（）由已知得，|x4|2，即2x42，即2x6，即x的范圍為2，6（）由即2x6 可得 g（x）=2+，由

22、柯西不等式，得g（x）=2當(dāng)且僅當(dāng) = 即x=時(shí)，g（x）的最大值為2點(diǎn)評：本小題主要考查絕對不等式、不等式證明等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想12（2014廈門二模）已知a，b，cR，且a+b+c=3，a2+b2+c2的最小值為M（）求M的值；（）解關(guān)于x的不等式|x+4|x1|M考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式；絕對值不等式的解法專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：（）由柯西不等式可得（a2+b2+c2）（1+1+1）（a+b+c）2=9，從而求得a2+b2+c2的最小值為M（）把不等式|x+4|x1|3等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求得每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求解答：

23、解：（）由柯西不等式可得（a2+b2+c2）（1+1+1）（a+b+c）2=9，故a2+b2+c2 3，即a2+b2+c2的最小值為M=3（）由不等式|x+4|x1|3，可得 ，或 ，或 解求得 x，解求得 0 x1，解求得x1，綜上可得，不等式的解集為0，+）點(diǎn)評：本題主要考查二維形式的柯西不等式的應(yīng)用，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題13（2014鹽城三模）設(shè)x，y，zR，且滿足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=，求證：x+y+z=考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：由條件利用二維形式的柯西不等式求得x、y、z的值，從而證得x+y

24、+z=解答：證明：14=（x+2y+3z）2（12+22+32）（x2+y2+z2）=14，z=3x，y=2x，又，x=，y=，z=，點(diǎn)評：本題主要考查二維形式的柯西不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題14（2014徐州三模）已知x，y，zR，且x+2y+3z+8=0求證：（x1）2+（y+2）2+（z3）214考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式專題：證明題；不等式選講分析：由柯西不等式，可得：（x1）2+（y+2）2+（z3）2（12+22+32）（x1）+（y+2）+（z3）2=（x+2y+3z6）2，即可得出結(jié)論解答：證明：因?yàn)椋海▁1）2+（y+2）2+（z3）2（12+22+32）（x1）+（y+2）+

25、（z3）2=（x+2y+3z6）2=142，（8分）當(dāng)且僅當(dāng)，即x=z=0，y=4時(shí)，取等號，所以：（x1）2+（y+2）2+（z3）214 （10分）點(diǎn)評：此題主要考查一般形式的柯西不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力15（2014福建模擬）若a，b，cR+，且滿足a+b+c=2（）求abc的最大值；（）證明：+考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式專題：選作題；不等式選講分析：（）利用基本不等式，可求abc的最大值；（）利用柯西不等式，即可證明解答：（）解：因?yàn)閍，b，cR+，所以2=a+b+c3，故abc（3分）當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)等號成立，所以abc的最大值為（4分）（）證明：因?yàn)閍，b，c

26、R+，且a+b+c=2，所以根據(jù)柯西不等式，可得+=（a+b+c）（+） （5分）=（+）2=所以+（7分）點(diǎn)評：本小題主要考查平均值不等式、柯西不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想16（2014江蘇模擬）選修45：不等式選講若正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，求的最小值考點(diǎn)：一般形式的柯西不等式專題：計(jì)算題分析：利用柯西不等式，即可求得的最小值解答：解：正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，（）（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）（1+1+1）2，即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)，取等號當(dāng)a=b=c=時(shí)，的最小值為1點(diǎn)評：本題考查求最小值，解題的關(guān)鍵是利用柯西不等式進(jìn)行求解，屬于中

27、檔題17（2014泰州模擬）若不等式|a1|x+2y+2z對滿足x2+y2+z2=1的一切實(shí)數(shù)x、y、z恒成立，求a的取值范圍考點(diǎn)：一般形式的柯西不等式專題：綜合題分析：不等式|a1|x+2y+2z恒成立，只要|a1|（x+2y+2z）max，利用柯西不等式9=（12+22+22）（x2+y2+z2）（1x+2y+2z）2求出x+2y+2z的最大值，再解關(guān)于a的絕對值不等式即可解答：解：由柯西不等式9=（12+22+22）（x2+y2+z2）（1x+2y+2z）2即x+2y+2z3，當(dāng)且僅當(dāng) 且x2+y2+z2=1取等號，即 x=，y=，z=時(shí)，x+2y+2z取得最大值3不等式|a1|x+2y

28、+2z，對滿足x2+y2+z2=1的一切實(shí)數(shù)x，y，z恒成立，只需|a1|3，解得a13或a13，a4或a2即實(shí)數(shù)的取值范圍是（，24，+）點(diǎn)評：本題考查柯西不等式的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力和運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力18（2014南通模擬）已知a、b、c均為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，求+的最大值考點(diǎn)：一般形式的柯西不等式專題：計(jì)算題；不等式選講分析：根據(jù)柯西不等式（x1y1+x2y2+x3y3）2（x12+x22+x32）（y12+y22+y32），將原式進(jìn)行配湊并結(jié)合已知條件a+b+c=1加以計(jì)算，即可得到+的最大值解答：解：因?yàn)閍、b、c0，所以（+）2=（1+1+1）2（a+1）+（b+1）

29、+（c+1）（1+1+1）=12，3分于是+2，當(dāng)且僅當(dāng)=，即a=b=c=時(shí)，取“=”所以，+的最大值為210分點(diǎn)評：本題給出三個(gè)正數(shù)滿足a+b+c=1，求+的最大值考查了利用柯西不等式求最值的方法，屬于中檔題19（2013福建一模）已知函數(shù)f（x）=2+（）求證：f（x）5，并說明等號成立的條件；（）若關(guān)于x的不等式f（x）|m2|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式；絕對值不等式專題：選作題；不等式選講分析：（）由柯西不等式可得（2+）2（22+12）（）2+（）2=25，即可得證；（）關(guān)于x的不等式f（x）|m2|恒成立，等價(jià)于|m2|5，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍解答：（

30、）證明：由柯西不等式可得（2+）2（22+12）（）2+（）2=25f（x）=2+5，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=4時(shí)等號成立；（）解：關(guān)于x的不等式f（x）|m2|恒成立，等價(jià)于|m2|5，m7或m3點(diǎn)評：本題考查柯西不等式，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題20（2013廈門模擬）（）證明二維形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2（a，b，c，dR）；（）若實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2=3，求x+2y2z的取值范圍考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：（I）用作差比較法證明（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2成立（II）利用柯

31、西不等式求得 （x+2y2z）227，可得x+2y2z的取值范圍解答：解：（I）證明：（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2 =a2d22adbc+b2c2=（adbc）20，（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2成立，當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)取得等號（II）（x+2y2z）2（x2+y2+z2）（12+22+（2）2） 39=27，點(diǎn)評：本題主要考查用作差比較法證明不等式，柯西不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題21（2013徐州三模）不等式選講：已知x，y，zR，且x2y3z=4，求x2+y2+z2的最小值考點(diǎn)：一般形式的柯西不等式專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：利用題中條件：“x2y3z=4”

32、構(gòu)造柯西不等式：x+（2）y+（3）z212+（2）2+（3）2（x2+y2+z2），利用這個(gè)條件進(jìn)行計(jì)算即可解答：解：由柯西不等式，得x+（2）y+（3）z212+（2）2+（3）2（x2+y2+z2），即（x2y3z）214（x2+y2+z2），（5分）即1614（x2+y2+z2）所以，即x2+y2+z2的最小值為（10分）點(diǎn)評：本題考查柯西不等式在函數(shù)極值中的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用：x+（2）y+（3）z212+（2）2+（3）2（x2+y2+z2）22（2013江蘇一模）（選修45：不等式選講）已知a，b，c都是正數(shù)，且a+2b+3c=6，求的最大值考點(diǎn)：一般形式的柯西不等式；平均值不等式

33、專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：利用柯西不等式，結(jié)合a+2b+3c=6，即可求得的最大值解答：解：由柯西不等式可得（）212+12+12（）2+（）2+（）2=393，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號的最大值是3故最大值為3點(diǎn)評：本題考查最值問題，考查柯西不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題23（2012焦作一模）已知|x2y|=5，求證：x2+y25考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式專題：選作題；不等式選講分析：根據(jù)柯西不等式，得5（x2+y2）|x2y|2，結(jié)合已知等式|x2y|=5，得x2+y25，再利用不等式取等號的條件加以檢驗(yàn)即可解答：證明：由柯西不等式，得（x2+y2）12+（2）2（x2y）2即5

34、（x2+y2）（x2y）2=|x2y|2|x2y|=5，5（x2+y2）25，化簡得x2+y25當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時(shí)，即x=1，y=2時(shí)，x2+y2的最小值為5不等式x2+y25成立點(diǎn)評：本題給出條件等式，叫我們證明不等式恒成立，考查了運(yùn)用柯西不等式證明不等式恒成立和不等式的等價(jià)變形等知識，屬于基礎(chǔ)題24（2012鹽城一模）已知x、y、z均為正數(shù)，求證：考點(diǎn)：一般形式的柯西不等式專題：證明題分析：已知x、y、z均為正數(shù)，根據(jù)柯西不等式（a12+a22+a32）（b12+b22+b32）（a1b1+a2b2+a3b3）2，可得然后進(jìn)行化簡，從而進(jìn)行證明解答：證明：由柯西不等式得（5分）則，即（10

35、分）點(diǎn)評：此題主要是柯西不等式的應(yīng)用，只是進(jìn)行簡單的變形而已，此題比較簡單25（2012浙江模擬）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閍，b，且f（a）=f（b），對于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x1，x2（x1x2）都有|f（x1）f（x2）|x1x2|（1）設(shè)S=（x+y3）2+（1x）2+（62yx）2，當(dāng)且僅當(dāng)x=a，y=b時(shí)，S取得最小值，求a，b的值；（2）在（1）的條件下，證明：對任意x1，x2a，b，有|f（x1）f（x2）|成立考點(diǎn)：一般形式的柯西不等式；不等式的證明專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：（1）S=（x+y3）2+（1x）2+（62yx）2，利用柯西不等式求解S的最小值，當(dāng)且僅當(dāng)x=a，

36、y=b時(shí)，S取得最小值，直接求a，b的值；（2）在（1）的條件下，對任意x1，x2a，b，不妨設(shè)x2x1，通過的大小分類討論，證明|f（x1）f（x2）|成立解答：“數(shù)學(xué)史與不等式選講”模塊（10分）（1）解：由柯西不等式得（22+12+12）（x+y3）2+（1x）2+（62yx）2（2x+2y6+1x+62yx）2=1當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即（5分）（2）證明：不妨設(shè)x2x1，當(dāng)（7分）當(dāng)故|f（x1）f（x2）|=|（x1）f（a）+f（b）f（x2）|f（x1）f（a）|+|f（x2）f（b）|x1a|+|x2b|=x1ax2+b=故對任意成立 （10分）點(diǎn)評：本題考查不等式的證明，柯西不

37、等式的幾何意義，考查邏輯推理能力以及分類討論思想的應(yīng)用26（2012焦作模擬）選修45：不等式選講已知|x2y|=5，求證：x2+y25考點(diǎn)：柯西不等式的幾何意義專題：計(jì)算題；不等式的解法及應(yīng)用分析：根據(jù)柯西不等式，得5（x2+y2）|x2y|2，結(jié)合已知等式|x2y|=5，得x2+y25，再利用不等式取等號的條件加以檢驗(yàn)即可解答：解：由柯西不等式，得（x2+y2）12+（2）2（x2y）2即5（x2+y2）（x2y）2=|x2y|2|x2y|=5，5（x2+y2）25，化簡得x2+y25當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時(shí)，即x=1，y=2時(shí)，x2+y2的最小值為5不等式x2+y25成立點(diǎn)評：本題給出條件等式，叫我們證明不