課題學習最短路徑問題

1、課題學習最短路徑問題第1頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星期三為什么有的人會經(jīng)常踐踏草地呢？綠地里本沒有路，走的人多了 禁止踐踏愛護草坪兩點之間，線段最短第2頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星期三 如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？ 兩點之間,線段最短第3頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星期三 要在河邊修建一個泵站向張村引水，在何處修建才能使所用引水管道最短？為什么？ 垂線段最短張村河流泵站第4頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星期三前面我們研究過一些關于“兩點的所有連線中，線 段最

2、短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)?最短路徑問題現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題.本節(jié) 將利用數(shù)學知識探究數(shù)學史中著名的“將軍飲馬問題” 第5頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星期三將軍飲馬問題： 兩點之間線段最短這個問題早在古羅馬時代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學和物理的學者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題： 將軍每天騎馬從城堡A出發(fā)，到城堡B，途中 馬要到小溪邊飲水一次。將軍問怎樣走路程最短？ 這就是被稱為將軍飲馬而廣為流傳的問題。第6頁，共28頁，2022年，5月20日，8

3、點29分，星期三P兩點之間線段最短. 根據(jù)：BA(一)兩點在一條直線兩側例1.如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，途中 馬要到小溪邊飲水一次。問將軍怎樣走路程最短？ 最短路線：將軍飲馬：A -P- B.第7頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星期三 例2.如圖：一位將軍騎馬從城堡A到城堡B， 途中馬要到河邊飲水一次，問：這位將軍怎樣走路程最短？ AB河兩點在一條直線同側第8頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星期三C河邊BAB利用對稱：將兩條線段的和轉化到一條直線上，運用兩點之間線段最短求最小值將A，B 兩地抽象為兩個點，將河l 抽象為一條直線 前面的問題就轉

4、化為：當飲馬點C 在l 的什么位置時， AC 與CB 的和最小做法：（1）作點B關于直線l 的對稱點B；（2）連接AB，與直線l 相交于點C 則點C 即為所求 第9頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星期三證明：如圖，在直線l 上任取一點C（與點C 不重合），連接AC，BC，BC 由軸對稱的性質知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC 在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC即AC +BC 最短你能用所學的知識證明AC +BC最短嗎？ BlABCC第10頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星

5、期三若直線l 上任意一點（與點C 不重合）與A，B 兩點的距離和都大于AC +BC，就說明AC + BC 最小 BlABCC證明AC +BC 最短時，為什么要在直線l 上任取一點C（與點C 不重合），證明AC +BC AC+BC？這里的“C”的作用是什么？ 第11頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星期三回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？ BlABCC軸對稱第12頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星期三.兩點在一條直線同側(二)一次軸對稱：第13頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星期三活動一：甲、乙兩村之間隔一條河，如圖

6、所示現(xiàn)在要在小河上架一座橋，使得這兩村之間的行程最短，橋應修在何處？BA第14頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星期三BAB1cD活動一：甲、乙兩村之間隔一條河，如圖所示現(xiàn)在要在小河上架一座橋，使得這兩村之間的行程最短，橋應修在何處？利用平移：將折線和的最小值，轉化到一條直線上，用兩點之間線段最短求最小值第15頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星期三回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？ 平移第16頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星期三活動二 如圖，河流與公路所夾的角是一個銳角，某公司A在銳角內現(xiàn)在要在河邊建一個碼頭C，

7、在公路邊D修建一個倉庫，工人們從公司出發(fā)，先到 河邊的碼頭卸貨，再把貨物轉運到公路邊的倉庫里去，然后返回到A處，問倉庫、碼頭各應建在何處，使工人們所行的路程最短河流公路A公司BC第17頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星期三活動二 抽象成數(shù)學模型：點A在MON內，在邊MO和NO上各找一點B、C使AC+CB+BA（即ABC的周長）的距離最短。NMA公司BCO提示一：求三角形周長的最小值可轉化為一條直線上第18頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星期三河流公路A公司A1A2BC 活動二 抽象成數(shù)學模型：點A在MON內，在邊MO和NO上各找一點B、C使AC+CB+BA（

8、即ABC的周長）的距離最短。利用對稱：將三角形三邊和，轉化到一條直線上，用兩點之間線段最短求最小值第19頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星期三活動三：根據(jù)上述原理回答：在兩條互相垂直的公路a、b旁有兩個居民小區(qū)A、B，現(xiàn)要在這兩條公路旁建立兩奶站向兩居民區(qū)供奶，應建在何處，使得兩居民小區(qū)A、B與這兩個奶站所圍成的四邊形的周長最??？ 我思考,我進步變式思考 活躍思維BA公路a公路bCD第20頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星期三活動三 抽象成數(shù)學模型：在直線a和直線b上各找一點C、D，使AB+AD+CD+BC（即圍成的四邊形）的最小值。 我思考,我進步變式思考

9、 活躍思維BA公路a公路bCD提示一：AB為定值，只需求折線AD、CD、BC和的最小值。第21頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星期三 我思考,我進步變式思考 活躍思維BA公路a公路bB1A1CD利用對稱：三邊和轉化到一條直線上，用兩點之間線段最短求最小值活動四 抽象成數(shù)學模型：在直線a和直線b上各找一點C、D，使AB+AD+CD+BC（即圍成的四邊形）的最小值。第22頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星期三探究二：在河邊有A、B兩個村莊，要在河邊建立水泵站，要使它到兩個村莊的距離之差最大，請你確定水泵站的位置？AB兩點在一條直線同側C問：兩邊之差|CB CA|

10、是否存在最值問題？C當A、B、C三點共線時，|CBCA|最大第23頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星期三探究二：在河兩邊有A、B兩個村莊，要在河邊建立水泵站，要使它到兩個村莊的距離之差最大，請你確定水泵站的位置？BP1A兩點在一條直線兩側第24頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星期三抽象成數(shù)學模型：A、B兩點分別在直線L的兩側，在直線L上取一點P使PBPA最大。提示：BP1A作B的對稱點B1，將PB-PA轉化到同側探究二：兩點在一條直線兩側第25頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星期三BB1PP1A抽象成數(shù)學模型：A、B兩點分別在直線L的兩側，在直線L上取一點P使PBPA最大。利用對稱：將兩線段之差轉化到三角形中比較，當三點共線時求線段差的最大值探究二：第26頁，共28頁，2022年，5月20日，8點29分，星期三 小結（1）本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？ （2）軸對稱和平移在所研究問題中起什么作用？能利用軸對稱和平移解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉化思想利用軸對稱或平移實質是將折線段轉化為直線段，利用“兩點之間