靜力學(xué)題及答案

1、靜力學(xué)1-3試畫出圖示各Z構(gòu)中構(gòu)件AB的受力圖(a)FayFbyFcx1-8在四連桿機構(gòu)的ABCD的錢鏈B和C上分別作用有力Fi和F2,機構(gòu)在圖示位置平衡。試求二力Fi和F2之間的關(guān)系。解：桿AB,BC,CD為二力桿，受力方向分別沿著各桿端點連線的方向。解法1（解析法）假設(shè)各桿受壓，分別選取銷釘B和C為研究對象，受力如圖所示:由共點力系平衡方程，對B點有：Fx0F2Fbccos4500對C點有：Fx0FbcF1cos3000解以上二個方程可得：26F1F21.63F23解法2（幾何法）分別選取銷釘B和C為研究對象，根據(jù)匯交力系平衡條件，作用在B和C點上的力構(gòu)成封閉的力多邊形，如圖所示。對B點由

2、幾何關(guān)系可知：F2Fbccos450對C點由幾何關(guān)系可知：FbcF1cos300解以上兩式可得：F11-63F22-3在圖示結(jié)構(gòu)中，二曲桿重不計，曲桿AB上作用有主動力偶Ml試求A和C點處的約束力。解：BC為二力桿（受力如圖所示），故曲桿AB在B點處受到約束力的方向沿BC兩點連線的方向。曲桿AB受到主動力偶M的作用，A點和B點處的約束力必須構(gòu)成一個力偶才能使曲桿AB保持平衡。AB受力如圖所示，由力偶系作用下剛體的平衡方程有（設(shè)力偶逆時針為正）Fa .10asin(Fa0.354Ma450) M 0其中：tan1，-一。對BC桿有:3FbM “Fa 0.354。A,aC兩點約束力的方向如圖所示。

3、2-4四連桿機構(gòu)在圖示位置平衡，已知OA=60cm,BC=40cm（乍用在BC上力偶的力偶矩M=1N-m,試求彳用在OA上力偶的力偶矩大小M和AB所受的力FAB各桿重量不計。解：機構(gòu)中AB桿為二力桿，點A,B出的約束力方向即可確定。由力偶系作用下剛體的平衡條件,點O,C處的約束力方向也可確定，各桿的受力如圖所示。對BC桿有：M 0對AB桿有：FB FA 對OA桿有：M 0求解以上三式可得：M1Fb BC sin300 M2 0M1 Fa OA 03N m, Fab FO FC 5N，方向如圖所示。2-6等邊三角形板ABC邊長為a,今沿其邊作用大小均為F的力F1,F2,F3,方向如圖a,b所示。

4、試分別求其最簡簡化結(jié)果。解：2-6a坐標如圖所示，各力可表示為13Fi -Fi Fj ,221、3F2 % F3/ VFj先將力系向A點簡化得（紅色的）：FrFi愿Fj,MaFak2方向如左圖所示。由于FrMa,可進一步簡化為一個不過A點的力（綠色的），主矢不變,其作用線距A點的距離dW3a,位置如左圖所示。42-6b同理如右圖所示，可將該力系簡化為一個不過A點的力（綠色的），主矢為：FR2Fi其作用線距A點的距離dW3a,位置如右圖所示。4簡化中心的選取不同，是否影響最后的簡化結(jié)果？2-13圖示梁AB一端砌入墻內(nèi)，在自由端裝有滑輪，用以勻速吊起重物D。設(shè)重物重為P,AB長為1,斜繩與鉛垂方向

5、成角。試求固定端的約束力。法1解：整個結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)。選擇滑輪為研究對象，受力如圖，列平衡方程（坐標一般以水平向右為x軸正向，豎直向上為y軸正向，力偶以逆時針為正）：Fx0PsinFbx0Fy0FByPPcos0選梁AB為研究對象，受力如圖，列平衡方程：Fx0FaxFBx0Fy0MA0FAyFByMaFBy求解以上五個方程,可得五個未知量FAx,FAy,FBx,FBy,MA分別為:FaxFbxFAyFByPsin(與圖示方向相反)P(1cos)(與圖示方向相同)MaP(1cos)l(逆時針方向)法2 解：設(shè)滑輪半徑為R。Fx 0 XFy 0M A 0選擇梁和滑輪為研究對象，受力如圖，列平衡方

6、程：FAxPsin0FAyPPcos0MAP(lR)Pcos(lR)Psintan2求解以上三個方程，可得Fax,FAy,MA分別為:FAXPsin(與圖示方向相反)FAyP(1cos)(與圖示方向相同)MaP(1cos)l(逆時針方向)2-18均質(zhì)桿AB重G長l,放在寬度為a的光滑槽內(nèi)，桿的如圖所示。試求桿平衡時對水平面的傾角。解：選AB桿為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程：B端作用著鉛垂向下的力F,aNDcosG-cosFlcos2Fy0NDcosGF0求解以上兩個方程即可求得兩個未知量ND,，其中:1r2(FG)a；arccos3(2FG)l未知量不一定是力。2-27如圖所示，已知桿A

7、B長為住正好靠在光滑的墻上。圖中平面I,重為P,A端用一球較固定于地面上，B端用繩索CB拉AOB與Oyz夾角為，繩與軸Ox的平行線夾角為已知a0.7m,c0.4m,tan45o,P200N。試求繩子的拉力及墻的約束力。解：列平衡方程:選卞fAB為研究對象，受力如下圖所示。My-1P-ctan2FbccosFBCsinctan0Fbc60.6NMx,FB 100N-1LL.PaFBcFBCsin2由Fy0和Fz0可求出FAy，F(xiàn)AZo平衡方程Mx0可用來校核。思考題：對該剛體獨立的平衡方程數(shù)目是幾個?FF作用在平面2-29圖示正方形平板由六根不計重量的桿支撐，連接處皆為錢鏈。已知力BDEH內(nèi)，并

8、與對角線BD成45o角，OA=AD。試求各支撐桿所受的力。解：桿1,2,3,4,5,6均為二力桿，受力方向沿兩端點連線方向，假設(shè)各桿均受壓。選板ABCDM DE 0F2 cos450 0為研究對象，受力如圖所示，該力系為空間任意力系。采用六矩式平衡方程：M Ao0F6 cos450aF cos450 cos450a 0拉)M BH0F4 cos450aF6 cos450 a 0壓)M AD 0F1a F6 cos450 a F sin 450 a 0壓)MCD0F1aF3aF sin 450a0拉)M bc0F3aF5aF4 cos450a0F6F 2fF4 TF (FiF50但求解代數(shù)方程組

9、非常麻煩。類似本題保證一個方程求解一個未知量，避免本題也可以采用空間任意力系標準式平衡方程，的情況采用六矩式方程比較方便，適當(dāng)?shù)倪x擇六根軸求解聯(lián)立方程2-31如圖所示，欲轉(zhuǎn)動一置于V形槽中的棒料，需作用一力偶，力偶矩M1500Ncm。已知棒料重P400N,直徑D25cm。試求棒料與V形槽之間的靜摩擦因數(shù)fs。解：取棒料為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程：Fx0Fy0Mo 0Fipcos450N20F2psin450Ni0(FiF2)dM0補充方程：FifsN1F2fsN五個方程，五個未知量Fi，Ni，F(xiàn)2，N2，fs,可得方程:2Mf.22pDfS2M0解得fS10.223,fS24.491

10、。當(dāng)fS24.491時有:p(1fS2)NiS2A02(1f22)即棒料左側(cè)脫離V型槽，與題意不符，故摩擦系數(shù)fS0.2232-33均質(zhì)桿AB長40cm,其中A端靠在粗糙的鉛直墻上，并用繩子CD保持平衡，如圖所示。設(shè)BC15cm,AD25cm,平衡時角的最小值為45。試求均質(zhì)桿與墻之間的靜摩擦因數(shù)人。解：當(dāng)450時，取桿AB為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程：FxFyMaFNTsin00FSTcosp000TcosACCsinTsinACcosAB.psin2附加方程：FSfSFN四個方程，四個未知量FN，F(xiàn)S，T，fs,可求得fs0.646o2-35在粗糙的斜面上放著一個均質(zhì)棱柱體，A,B

11、為支點，如圖所示。若ABBCAC,A和B于斜面間的靜摩擦因數(shù)分別為fs1和fs2，試求物體平衡時斜面與水平面所形成的最大傾角。解：選棱柱體為研究對象，受力如圖所示。假設(shè)棱柱邊長為a,重為P,列平衡方程FNbaPcosMa0MB0Fx0FNaaPcosFba一Psin2aPsin2Psina2.3a2、30如果棱柱不滑動,則滿足補充方程FAfs1FNA時處于極限平衡狀態(tài)。FbGFnb解以上五個方程,tan可求解五個未知量3(fsifs2)FA,FNA,FB,FNB,其中：當(dāng)物體不翻倒時600fs2fsi23即斜面傾角必須同時滿足(1)式和(2)式,(2)棱柱才能保持平衡。3-10AB,AC和DE

12、三桿連接如圖所示。桿DE上有一插銷H套在桿AC的導(dǎo)槽內(nèi)。試求在水平桿DE的一端有一鉛垂力F作用時，桿AB所受的力。設(shè)ADDB,DHHE,BCDE,桿重不計。解:假設(shè)桿AB , DE長為2a。取整體為研究對象，受力如右圖所示,取桿DE為研究對象,M h 0FBy 2aFBy 0受力如圖所示,FDy a F列平衡方程：a 0FDy取桿AB為研究對象,FyMaMbFdx a F受力如圖所示,F AyF AyFDyF2a 0 Fdx列平衡方程:FBy 0(與假設(shè)方向相反2FFDxFBxFbx 2a 0FAyAFaxFax2a(與假設(shè)方向相反Fdx a 0(與假設(shè)方向相反F DyfaxfdxF By解得

13、FAC,命題得證。3-12AB，AC，AD和BC四桿連接如圖所示。在水平桿AB上作用有鉛垂向下的力F。接觸面和各校鏈均為光滑的，桿重不計，試求證不論力F的位置如何，桿AC總是受到大小等于F的壓力。解：取整體為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程：Mc0FDbFx0FDbF取桿AB為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程：Ma0FBbFx0FBxF構(gòu)成的組合體為研究對象，受力如圖所示,桿AB為二力桿，假設(shè)其受壓。取桿AB和AD列平衡方程：bbbME0(FBFD)2F(2x)FAC20注意：銷釘A和C聯(lián)接三個物體。A及B的約束力。3-14兩塊相同的長方板由錢鏈C彼此相連接，且由錢鏈A及B固定，如圖所示，

14、在每一平板內(nèi)都作用一力偶矩為M的力偶。如ab,忽略板重，試求錢鏈支座解：取整體為研究對象，由于平衡條件可知該力系對任一點之矩為零，因此有：MA0Ma（Fb）MM0即FB必過A點，同理可得FA必過B點。也就是FA和FB是大小相等,方向相反且共線的一對力，如圖所示。取板AC為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程：Mc0FAsin450aFAcos450bM0解得：FAW2M（方向如圖所示）ab3-20如圖所示結(jié)構(gòu)由橫梁AB,BC和三根支承桿組成，載荷及尺寸如圖所示。試求A處的約束力及桿1,2,3所受的力。解：支撐桿1,2,3為二力桿，假設(shè)各桿均受壓。選梁BC為研究對象，受力如圖所示。其中均布載荷可以

15、向梁的中點簡化為一個集中力，大小為2qa,作用在BC桿中點。列平衡方程：MB0F3sin450a2qaaM0一M一F3炎（一2qa）（受壓）a選支撐卞f銷釘D為研究對象，受力如右圖所示。列平衡方程:Fx0F1F3cos4500F12qa（受壓）aFy 0F2F3sin4500F2（2qa）（受拉）aFAy尸Ma討Fax卜之芳/選梁AB和BC為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程：FX0FAXF3cos4500FAX（M2qa）（與假設(shè)方向相反）aFy0FAyF2F3sin450P4qa0FAyP4qaMA0MaF2aP2a4qa2aF3sin4503aM0Ma4qa22PaM（逆時針）3-21二

16、層三校拱由AB，BC，DG和EG四部分組成，彼此間用錢鏈連接，所受載荷如圖所示。試求支座A,B的約束力。解：選整體為研究對象，受力如右圖所示。列平衡方程:M a 0 FBy 2a F 2a 0 FBy F MB 0 FAy 2a F 2a 0 FAyFFx 0 Fax FBx F 0由題可知桿DG為二力桿，選 GE為研究對象,受力如圖所示，畫出力的三角形，由幾何關(guān)系可得:FE取CEB為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程:FBXMC 0FBX a FBy a代入公式（1）可得：0FE sin 45 aFAX3-24均質(zhì)桿AB可繞水平軸A轉(zhuǎn)動，并擱在半徑為r的光滑圓柱上，圓柱放在光滑的水平面上，用

17、不可伸長的繩子AC拉在銷釘A上，桿重16N,AB3r,AC2r。試求繩的拉力和桿AB對銷釘A的作用力。取桿AB為研究旗仔即砌力7?為如圖所示。列平衡方程:MA 0Fx 0 3r oN1 3r P cos600 02FAx N1sin 600 0NFAxFy 0取圓柱C為研究對象,FAy N1cos600 P 0受力如圖所示。列平衡方程：FAy6.93( N)6(N)12.5(N)Fx 0N1cos300 Tcos300 0 T注意：由于繩子也拴在銷釘上，因此以整體為研究對象求得的 銷釘?shù)淖饔昧Α?.93(N)A處的約束力不是桿 AB對3-27均質(zhì)桿AB和BC完全相同，A和B為錢鏈連接，C端靠在

18、粗糙的墻上，如圖所示。設(shè)靜摩擦因數(shù)解：fs0.353。試求平衡時角的范圍。取整體為研究對象，設(shè)桿長為L,重為P,受力如圖所示。列平衡方程:Ma 0FN 2Lsin2P Lcos 02FN2 tan取桿BC為研究對象,受力如圖所示。(2)Mb 0FN L sin列平衡方程:LP cos2L cosFS PFAyBPFNFAxP補充方程：FsFl將(1)式和(2)式代入有：tan3-30如圖所示機構(gòu)中，已知兩輪半徑量R10cm，各重P9N，桿AC和BC重量不計。輪與地面間的靜摩擦因數(shù)fs0.2,滾動摩擦系數(shù)0.1cmo今在BC桿中點加一垂直力F。試求：平衡時F的最大值Fmax；當(dāng)FFmax時，兩輪

19、在D和E點所受到的滑動摩擦力和滾動摩擦力偶矩。解：取整體為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程：Fx0FSDFSE0F ,以及B和C處的約束力FbFy0FNDFNEF2P0由題可知，桿AC為二力桿。作用在桿BC上的力有主動力1和FAC ,由三力平衡匯交，可確定約束力tan二，一FB和FAC的萬向如圖所不，其中：3,桿AC受壓。FacFAC的作用線與水平面交于0M D 0FB的作用線與水平面交于0F點，列平衡方程G點，列平衡方程: , 4_4minP,R R 3P fP 4fsP ,1 fs ,1 3fJ s s取輪A為研究對象，受力如圖所示，設(shè)MA0FSDRMDMF0(FNDP)R取輪B為研究對

20、象，受力如圖所示，設(shè)MB0MEFSERMG0ME(PFNE)Rtan0解以上六個方程，可得： TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark351 o Current Document 13FNDP-FFNEP3F4,4, HYPERLINK l bookmark860 o Current Document 11FSDFSEFMdMe-FR4,4若結(jié)構(gòu)保持平衡，則必須同時滿足：MDFNDMEFNEFSDfsFNDFSEfsFNE?即:因此平衡時F的最大值Fmax0.36,此時:FSD FSE 0.091(N)MD M E 0.91(N cm)3-35試用簡捷的方法計算圖中

21、所示桁架1,2,3桿的內(nèi)力。解：由圖可見桿桁架結(jié)構(gòu)中桿CF,FG,EH為零力桿。用剖面SS將該結(jié)構(gòu)分為兩部分，取上面部分為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程：OM C 0Fx 0F1sinF3 Fh0Fy 0F2F1 cosFg03-38如圖所示桁架中, 試求桿BC的內(nèi)力。ABCDEG為正八角形的一半,S I F2Fl 14.58（kN）（受拉）F331.3 （受拉）F2 41中（受壓）AD, ae，gc，gb各桿相交但不連接。解：假設(shè)各桿均受壓。取三角形BCG為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程:Fx 0 FFcd0FCDF （受壓）FbcFcgFcdFx0FBCCOS45FCDFCGcos

22、0Fy0Fbcsin450FCGsin012tan其中：22,解以上兩個方程可得：Fbc0.586F（受壓）3-40試求圖中所示桁架中桿1和2的內(nèi)力。解：取整體為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程:Ma0FB2aF2aF3a0FB2.5F用截面S-S將桁架結(jié)構(gòu)分為兩部分，假設(shè)各桿件受拉，取右邊部分為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程：Me0FbaFaF23a0F27F（受拉）6一，、Fx02FFiF20Fi-F（受拉）4-1力鉛垂地作用于桿AO,AO6BO,CO15DO1。在圖示位置上杠桿水平，桿DC與DE垂直。試求物體M所受的擠壓力FM的大小。解：.選定由桿OAOC,DE組成的系統(tǒng)為研究對象

23、，該系統(tǒng)具有理想約束。作用在系統(tǒng)上的主動力為F，F(xiàn)MO.該系統(tǒng)的位置可通過桿OA與水平方向的夾角完全確定，有一個自由度。選參數(shù)為廣義坐標。.在圖示位置，不破壞約束的前提下，假定桿OA有一個微小的轉(zhuǎn)角，相應(yīng)的各點的虛位移如下：4-4如圖所示長為l的均質(zhì)桿AB,其A端連有套筒，又可沿鉛垂桿滑動。忽略摩擦及套筒重量，試求圖示兩種情況平衡時的角度。解：4a.選卞fAB為研究對象，該系統(tǒng)具有理想約束。設(shè)桿重為P,作用在桿上的主動力為重力。為廣義.該系統(tǒng)的位置可通過桿AB與z軸的夾角完全確定，有一個自由度。選參數(shù)坐標。由幾何關(guān)系可知：h桿的質(zhì)心坐標可表不為:atanzCatanlcos23.在平衡位置，不

24、破壞約束的前提下，假定桿AB逆時針旋轉(zhuǎn)一個微小的角度l . sin 2C的虛位移：azCsin.由虛位移原理W(Fi)0有:對任意0有:PZca2 sin-sin )2a_2 sin即桿AB平衡時：l .一 sin 2arcsin(P.P12 a 3P,作用在桿上的主動力為重力。解：4b1.選卞fAB為研究對象，該系統(tǒng)具有理想約束。設(shè)桿重為2.該系統(tǒng)的位置可通過桿坐標。由幾何關(guān)系可知：AB與z軸的夾角完全確定，有一個自由度。選參數(shù)為廣義zARsin桿的質(zhì)心坐標可表不為:zCsinl一cos23.在平衡位置，不破壞約束的前提下，假定桿C的虛位移：AB順時針旋轉(zhuǎn)一個微小的角度4.由虛位移原理zCs

25、in2W(Fi)R-cosl.一sin2有:PZcR2-cossin-sin)2對任意0有:即平衡時sin角滿足：2Rcosl.sin23lsin4-5被抬起的簡化臺式打字機如圖所示。打字機和擱板重P,彈簧原長為2,試求系統(tǒng)在角保持平衡時的彈簧剛度系數(shù)值。解:.選整個系統(tǒng)為研究對象，此系統(tǒng)包含彈簧。設(shè)彈簧力F1，F(xiàn)2,且F1F2,將彈簧力視為主動力。此時作用在系統(tǒng)上的主動力有F1，F(xiàn)2,以及重力P。.該系統(tǒng)只有一個自由度，選定為廣義坐標。由幾何關(guān)系可知：ZaZbasin.在平衡位置，不破壞約束的前提下，假定有一個微小的虛位移，則質(zhì)心的虛位移為： TOC o 1-5 h z zczazbacos

26、l2asin一彈簧的長度2,在微小虛位移下:lacos一2.由虛位移原理W(Fi)0有:PzcF2l(PacosF2acos)0F2k(2asin)其中22,代入上式整理可得：a2Pcoska(2sincos)0 HYPERLINK l bookmark58 o Current Document 22由于a0,對任意0可得平衡時彈簧剛度系數(shù)為：,2Pcoska(2sincos)24-6復(fù)合梁AD的一端砌入墻內(nèi)，B點為活動較鏈支座，C點為錢鏈，作用于梁上的力F15kn，F(xiàn)24knE3kN，以及力偶矩為m2kNm的力偶，如圖所示。試求固定端A處的約束力。3.在不破壞約束的前提下給定一組虛位移xA

27、0, yA 0,0,如上圖所示。解除A端的約束，代之以 FAx,FAy,M A ,并將其視為主動力，此外系統(tǒng)還受到主動力F Ax xA 0FAy yA Fiyi0y3M由幾何關(guān)系可得各點的虛位移如下：對任意xA0可得:FAy4(kN )，方向如圖所示。F1,F2,F3,M的作用。系統(tǒng)有三個自由度, 廣義坐標。選定A點的位移xA, yA和梁AC的轉(zhuǎn)角 為1.在不破壞約束的前提下給定一組虛位移0，如圖所示。由虛位移原理W(Fi)0 有:對任意 x A0可得： FAx 02.在不破壞約束的前提下給定一組虛位移0，如下圖所示。由虛位移原理W(Fi) 0 有:y3yAi3 yA3F2F31-M ) Ya

28、30 xa0,Ya0,xa0,Ya0,Y213 yC(FAyF1YiYcYc13 代入式：Ya13由虛位移原理W(Fi)0有：(2)MaFiyiF2y2F3ym有幾何關(guān)系可得各點的虛位移如下：y12y3yc3y2代入(2)式：(MA2F1F23F3M)0對任意可得：Ma7(kNm),逆時針方向。4-7圖示結(jié)構(gòu)上的載荷如下：q60o角；以及力偶，其力偶矩為 解：2kNm；力Fi4kN；力F212kN,其方向與水平成M18kNm。試求支座處的約束力。將均布載荷簡化為作用在CD中點的集中載荷F3,大小為6q。.求支座B處的約束力解除B點處的約束，代之以力FB,并將其視為主動力，系統(tǒng)還受到主動力F1,

29、F2,F3,M的作用，如圖所示。在不破壞約束的前提下，桿AC不動，梁CDBR能繞C點轉(zhuǎn)動。系統(tǒng)有一個自由度，選轉(zhuǎn)角 為廣義坐標。給定虛位移FB rB cos 45 0 MF2(1)各點的虛位移如下：rB6.2y29代入(1)式整理可得：,由虛位移原理y2 cos 150 0y3W(Fi)0 有F3 y 03(6Fb9 、 3M-F2 3F3)對任意0可得：FB18.6(kN),方向如圖所示。.求固定端A處的約束力解除A端的約束，代之以FAx，F(xiàn)Ay，MA,并將其視為主動力，系統(tǒng)還受到主動力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，M的作用。系統(tǒng)有三個自由度，選定A點的位移XA，yA和梁AC的轉(zhuǎn)角為廣義坐標。2a.求F

30、Ax在不破壞約束的前提下給定一上圖所示。由虛位移原理 HYPERLINK l bookmark135 o Current Document FAxxA各點的虛位移如下：XiX2代入(2)式整理可得：(FAxF1對任意XA0可得：組虛位移XA0,yA0,W(Fi)。有：F1x1F2x2cos1200XA0.5F2)xA0FAX2(kN),方向如圖所示。0,此時整個結(jié)構(gòu)平移，如(2)2b.求FAy在不破壞約束的前提下給定一組虛位移XA0,yA0,0,此時梁AC向上平移，梁CDB繞D點轉(zhuǎn)動，如上圖所示。由虛位移原理FAyYaF3yF2y2cos300各點的虛位移如下：11Y2Y3yc二Ya22W(F

31、i)0有M0代入(3)式整理可得:Y216Ya TOC o 1-5 h z (FAy2F3-4-F26M)yA0對任意VA0可得：FAy3.8(kN),方向如圖所示。2c.求MA在不破壞約束的前提下給定一組虛位移xA0，yA0,0,此時梁AC繞A點轉(zhuǎn)動，梁CDB平移，如上圖所示。由虛位移原理W(Fi)0有： HYPERLINK l bookmark337 o Current Document MAF1x1F2x2cos12000(4)各點的虛位移如下：X13X2XC6代入(4)式整理可得：(MA3F13F2)0對任意0可得：MA24(kNm),順時針方向。4-8設(shè)桁架有水平力Fi及鉛垂力F2作

32、用其上，且ADDCCEBEDKKE,30o。試求桿1,2和3所受的力。解：假設(shè)各桿受拉，桿長均為a。.求桿1受力去掉桿1,代之以力P1,系統(tǒng)有一個自由度，選AK與水平方向的夾角為廣義坐標，如上圖所示。在不破壞約束的條件下給定一組虛位移，此時三角形ADK形狀不變，繞A點轉(zhuǎn)動，因此有dAD，kAK,且：rDa,rK.3a滑動支座B處只允許水平方向的位移，而桿BK上K點虛位移沿鉛垂方向，故B點不動。三角形BEK繞B點旋轉(zhuǎn)rerErDa對剛性桿CD和桿CE,由于rDCD,rECE,因此rc。由虛位移原理W(Fi)0有:(F1P1)rDcos600P1rEcos6000代入各點的虛位移整理可得：(F12

33、P1)a04/P12一對任意0可得：2(受壓)。.求桿2受力去掉桿2,代之以力P2,系統(tǒng)有一個自由度，選BK與水平方向的夾角為廣義坐標，如上圖所示。在不破壞約束的條件下給定一組虛位移，桿AK繞A點轉(zhuǎn)動，因此有rKAK,且：rK、3a同理可知B點不動，三角形BEK繞B點旋轉(zhuǎn)rEBE,且:rEa桿AD繞A點轉(zhuǎn)動rD所示，且：rErDaAD,由剛性桿DE上點E的虛位移可確定D點位移方向如圖cos 120 00rDrEa同理可知rc。由虛位移原理F1rDcos1200代入各點的虛位移整理可得：(F12、3P2)aW(Fi)0有：P2rDcos1500P2rK0對任意C口P20可得：、3F16(受壓)。

34、.求桿3受力ADK繞A點轉(zhuǎn)動,去掉桿3,代之以力P3,系統(tǒng)有一個自由度，選AK與水平方向的夾角為廣義坐標，如上圖所示。在不破壞約束的條件下給定一組虛位移，三角形rDrDAD,rKAK,且：rK、.3a同理可知B點不動，rErErDBE，且：arc00有:F1rD cos 60 0代入各點的虛位移整理可得：(Fi 2 J3P3) aP3rE cos 150 0 P3 rK cos 120 00P _2n P 3對任意 0可得：6 (受拉)。4-12桿長2b,重量不計，其一端作用鉛垂常力 F ,另一端在水平滑道上運動，中點連接彈 簧，如圖所示。彈簧剛度系數(shù)為 k,當(dāng)y 0時為原長。不計滑塊的重量和

35、摩擦，試求平衡 位置y,討論此平衡位置的穩(wěn)定性。解：F大小和方向不變，常力也是有勢力。取桿和彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對象。該系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，有一個自由度，選為廣義坐標，如圖所示。取位置的勢能為：V V 彈 V F0為零勢能位置，則系統(tǒng)在任意12k(b b cos ) F (2b 2b cos )2Lkb2(1 cos )2 2Fb (1 cos )2由平衡條件d 可得:b kb (1 cos ) 2 F sin有：sin 0 和 kb(1 cos ) 2F 0即： 0 和 cos 1 2Fkb2也就是：y 0和y 2 Jf (kb F)兩個平衡位置。k ，為判斷平衡的穩(wěn)定性，取勢能 V的二階導(dǎo)數(shù):

36、d 2V(kb 2F )b cos2kb cos 2由虛位移原理W(Fi)d0時,當(dāng)cosd2V2Fb時是不穩(wěn)定平衡。d2V由上式可知:.當(dāng) cos.當(dāng) COS工時,kb4-F (kb F) k文且kb kb之且kb kbf時，駕 o即y - JFTkbF)是穩(wěn)定平衡位置；d 2kf時，dV o即y 2 JFRbFT是不穩(wěn)定平衡位置。dk4-15半徑為r的半圓住在另一半徑為 R的半圓柱上保持平衡，如圖所示。試討論對無滑動 的滾動擾動的穩(wěn)定性。解:取半徑為r的半圓柱為研究對象，圓心為Co半圓柱作純滾動，有一個自由度，取兩個 半圓心連線與y軸夾角 為廣義坐標。作用在 半圓柱上的主動力為重力，系統(tǒng)為

37、保守系統(tǒng)， 如圖所示，其中h 工。由于半圓柱作純滾3動，有：r R(1)取坐標原點為零勢能位置，則半圓柱在任意位 置的勢能為：V mgz c代入(1)式有：mg ( Rr) cos也 cos( 3)mg (r) cos由平衡條件V-0可得ddV dmg(R4r13R sin( 一R r _ cos()sin 0為平衡位置。勢能 V的二階導(dǎo)數(shù):d 2Vd 24(R r) , R r 、,mg ( R r) cos( ) cos 3 rr由上式可得當(dāng)R (31)r ,40是穩(wěn)定的。努力學(xué)習(xí)吧!動力學(xué)運動方程：y 1 tan ,其中 kt。將運動方程對時間求導(dǎo)并將300代入得41k1 6證明：質(zhì)點做

38、曲線運動，所以質(zhì)點的加速度為：a a at ncos上包，所以:aanvv avy將vy2一vc，an設(shè)質(zhì)點的速度為v ,由圖可知代入上式可得3 v a c11kv y2 HYPERLINK l bookmark436 o Current Document coscos21k2 sin8.31k2a y 3 HYPERLINK l bookmark472 o Current Document cos9證畢1-7證明：因為an所以:證畢an3a sin解：設(shè)初始時，繩索AB的長度為L，時刻t時的長度 為S,則有關(guān)系式： HYPERLINK l bookmark420 o Current Docu

39、ment s L v0t,并且 s212 x2將上面兩式對時間求導(dǎo)得：sv0, 2ss 2xx由此解得：x 也(a)x(a)式可寫成：xxv0s ,將該式對時間求導(dǎo)得: HYPERLINK l bookmark87 o Current Document 22 HYPERLINK l bookmark426 o Current Document xx x sv0 v0(b) HYPERLINK l bookmark345 o Current Document 222 2將(a)式代入(b)式可得：ax x v0 x絲_(負號說明滑塊 A的加速度向上) HYPERLINK l bookmark42

40、4 o Current Document x3x x取套筒A為研究對象，受力如圖所示，根據(jù)質(zhì)點矢量形式的運動微分方程有:ma F FN mg將該式在x，y軸上投影可得直角坐標形式的運動微分方程:mx mg F cosmy F sinFN其中：cos2. 2Vo1將其代入直角坐標形式的運動微分方程可得:V212112Fm(gR1(x)解：設(shè)B點是繩子AB與圓盤的切點，由于繩子相對圓盤無滑動，所以vBR,由于繩子始終處于拉直狀態(tài)，因此繩子上A、B兩點的速度在A、B兩點連線上的投影相等，即：VbVaCOS(a因為,x2R2cosx(b)將上式代入(a)式得到A點速度的大小為：Vax.x2R2(c)由

41、于Vax,(c)式可寫成：xjx2R22/22、x(xR)將上式兩邊對時間求導(dǎo)可得：2xx(x2R2)將上式消去2x后，可求得：2R4xx(x2R2)2由上式可知滑塊A的加速度方向向左，其大小為Rx,將該式兩邊平方可得:2xx322R2xxaA(d)2R4x(x2R2)2取套筒A為研究對象，受力如圖所示，根據(jù)質(zhì)點矢量形式的運動微分方程有：maFFNmg將該式在x,y軸上投影可得直角坐標形式的運動微分方程：mxFcosmyFsinFNmg其中:2R4xy2Z272(x R )2 4 2 m R x/2-2、5(x R )2由此可得：vcosve , OC桿的角速度為ve- , OA l,所以O(shè)A

42、 cos2vcosl當(dāng)450時，OC桿上C點速度的大小為: HYPERLINK l bookmark292 o Current Document 20 HYPERLINK l bookmark476 o Current Document avcos45av HYPERLINK l bookmark63 o Current Document a - HYPERLINK l bookmark186 o Current Document l2lRsin一,cosx將其代入直角坐標形式的運動微分方程可得 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark268 o Current D

43、ocument 25_mRxFnmg2-(x2R2)2113解：動點：套筒A;動系：OC桿；定系：機座；運動分析：絕對運動：直線運動;相對運動：直線運動;牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動。根據(jù)速度合成定理vvevraer有：vacosve,因為AB桿平動，所以vav，115解：動點：銷子M動系1:圓盤動系2:OA桿定系：機座；運動分析：絕對運動：曲線運動相對運動：直線運動牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動根據(jù)速度合成定理有va1ve1vr1Va2Ve2 Vr2由于動點M的絕對速度與動系的選取無關(guān)，即 va2 va1 ,由上兩式可得:Vel VrlVe2V2(a)將（a）式在向在x軸投影，可得:000ve1sin 30ve2

44、 sin 30vr2 cos30由此解得:vr2 tan300(ve2 ve1) OM tan300( 2i)bsin300277 (3 cos 309)0.4m/sVe2OM20.2,3VmVa2V22V220.529m/s1-17解：動點：圓盤上的C點；動系：OiA桿；定系：機座；運動分析：絕對運動：圓周運動；相對運動：直線運動（平行于OiA桿）；牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動。根據(jù)速度合成定理有(a)vavevrae將（a）式在垂直于OiA桿的軸上投影以及在OiC軸上投影得:VaCos300VeCos300Vasin300vrsin300vevaVeOC5oRR2根據(jù)加速度合成定理有taaaeaen

45、aearaCei(b)將（b）式在垂直于O1A桿的軸上投影得aasin30taecos30n0aesin30ac其中：aanae2Rac1vr由上式解得:tae2R,312119解：由于ABM所以有Vavm,aAaM?。簞狱c：滑塊M;動系：OC搖桿;定系：機座;vrve運動分析:絕對運動:圓周運動;va相對運動:直線運動;牽連運動:定軸轉(zhuǎn)動。根據(jù)速度合成定理va可求得：vevrvMvAva2ve22m/svrve2m/svAOiA1.5jad/s3根據(jù)加速度合成定理B一tae將上式沿由于aantntnaaaaaeaearac方向投影可得:aacos450aansin450l16m/s2，a；b

46、3taa1627.215.23m/s23actae21m/s,acactaalVr10.161-20解：取小環(huán)M為動點，OAB干為動系運動分析絕對運動:直線運動;相對運動:直線運動;牽連運動:定軸轉(zhuǎn)動。8m/s2,根據(jù)上式可得:2rad/sOeAVrBM由運動分析可知點的絕對速度、相對速度和牽連速度的方向如圖所示,其中:veOMCOs6002r根據(jù)速度合成定理:VaVe可以得到：VrvatanVe2rtan6002.3rVecos6004r加速度如圖所示，其中:aeOMcc0cos602r2ac2Vr8r2BOAXaeM根據(jù)加速度合成定理:aaaearac將上式在x軸上投影，可得：aacosa

47、ecosaC，由此求得：aa14r121解：求汽車B相對汽車A的速度是指以汽車A為參考系觀察汽車B的速度。?。簞狱c：汽車B;動系：汽車A（Oxy，；定系：路面。運動分析絕對運動：圓周運動；相對運動：圓周運動；牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動（汽車A繞O做定軸轉(zhuǎn)動）求相對速度，根據(jù)速度合成定理VaVeVr將上式沿絕對速度方向投影可得:VaVeVr因此VrVeVa其中：VaVb,VeRb,出Ra由此可得：VrRBVAVB380m/sRa9求相對加速度，由于相對運動為圓周運動，相對速度的大小為常值，因此有：2aran1.78m/s2Rb1-23質(zhì)量為m銷釘M由水平槽帶動，使其在半徑為V向上運動，不計摩擦。求圖示瞬

48、時，圓槽作用在銷釘r的固定圓槽內(nèi)運動。M上的約束力。設(shè)水平槽以勻速解：銷釘M上作用有水平槽的約束力F和圓槽的約束力FO（如圖所示）。由于銷釘M的運動是給定的，所以先求銷釘?shù)募铀俣?，在利用質(zhì)點運動微分方程求約束力。取銷釘為動點，水平槽為動系。由運動分析可知銷釘?shù)乃俣葓D如圖所示。coscosae 0 ,并且上式可寫成:2 v sin3 r cosmg由于絕對運動是圓周運動，牽連運動是勻速直線平移，所以tnaaaaar22因為a：v2,所以根據(jù)上式可求出：a：antanrrcos根據(jù)矢量形式的質(zhì)點運動微分方程有：m（a；an）FFomg將該式分別在水平軸上投影：m（a；sinancos）FOcos2

49、由此求出：FOmv4rcos1-24圖示所示吊車下掛一重物M繩索長為l,初始時吊車與重物靜止。若吊車從靜止以均加速度a沿水平滑道平移。試求重物M相對吊車的速度與擺角的關(guān)系式。解：由于要求重物相對吊車的速度，所以取吊車為動系，重物M為動點。根腦質(zhì)點相對運動微分方程有marFmgFe將上式在切向量方向投影有因為Femaema,ddt整理上式可得將上式積分:一t一marmlmgsinFecosmlddddt其中c為積分常數(shù)（由初始條件確定）2Vr2l初始時0,系統(tǒng)靜止，vave重物相對速度與擺角的關(guān)系式為：2Vr所以上式可寫成mgsinmacosgsindgcosacosasin,因為相對速度gco

50、sasinVrl,上式可寫成0,根據(jù)速度合成定理可知Vr0,由此確定c2lg(cos1)asin1-26水平板以勻角速度初始時小球相對靜止且到轉(zhuǎn)軸度。繞鉛垂軸。轉(zhuǎn)動，小球M可在板內(nèi)一光滑槽中運動（如圖7-8）,O的距離為Ro,求小球到轉(zhuǎn)軸的距離為RRo時的相對速FRoFcFe解：取小球為動點，板為動系,據(jù)質(zhì)點相對運動微分方程有：O小球在水平面的受力如圖所示（鉛垂方向的力未畫出）maFeFc將上式在vr上投影有ma；dvrmdtFecos因為FemR2,dvrdvrdRdRjT而不d?vrcos,所以上式可寫成整理該式可得:將該式積分有:初始時RRO,vr1-27重為P的小環(huán)mvrcosdvrv

51、rdR122Vr0,由此確定積分常數(shù)M套在彎成xydvrdRmR2cos2R22RO,因此得到相對速度為Jr2RO2、.一.一,一一.、c形狀的金屬絲上，該金屬絲繞鉛垂軸x以勻角速度轉(zhuǎn)動，如圖所示。試求小環(huán)M的相對平衡位置以及金屬絲作用在小環(huán)上的約束力。解：取小環(huán)為動點，金屬絲為動系，根據(jù)題意，線，所以vr0,因此在本題中相對平衡位置就是相對靜止位置。小環(huán)受力如圖所示。其中F,Fe,P分別為約束力、牽連慣性力和小環(huán)的重力。根據(jù)質(zhì)點相對運動微分方程有：FFeP0P其中：Fe-y2,將上式分別在x,y軸上投影有g(shù)PFsin0FeFcos0(a).2.2以為tany曳*,因此dxxdxxtan2c2

52、x(b)tan由（a）式可得Fe（c）公P將Fey2和式（b）代入式（c）,并利用xyc2,可得:gi423c3x,yg再由方程（a）中的第一式可得P1X4FX2P1c4P4一23c1g2-i解：當(dāng)摩擦系數(shù)f足夠大時，平臺AB相對地面無滑動，此時摩擦力FfFN取整體為研究對象，受力如圖,系統(tǒng)的動量：pm2vrvr將其在x軸上投影可得：pxm2Vrm2btmg”77777777777*mig根據(jù)動量定理有：dpxdTm2bFfFNf(mim2)g即：當(dāng)摩擦系數(shù)m2b(mim2)g時,平臺AB的加速度為零。當(dāng)摩擦系數(shù)fm2b(mim2)g時，平臺AB將向左滑動，此時系統(tǒng)的動量為:pm2(vvr)m

53、1v將上式在x軸投影有:Pxmb(vVr)mi(V)m2bt(mim2)v根據(jù)動量定理有:dpxdtm2b(mim2)aFfFNf(mimg由此解得平臺的加速度為：m2bamim2fg（方向向左）2-2取彈簧未變形時滑塊FnA的位置為x坐標原點，取整體為研究對象，受力如圖所示，其中F為作用在滑塊A上的彈簧拉力。系統(tǒng)的動量為:pmvm1Vlmvmi(vvr)將上式在x軸投影:pxmxmi(xlcos)根據(jù)動量定理有:dPxdt2.(mm1)xm1lsinFkx系統(tǒng)的運動微分方程為:2.(mm1)xkxm1lsin2-4 取提起部分為研究對象，受力如圖(a)所示，提起部分的質(zhì)量為mVt,提起部分的

54、速度為V,根據(jù)點的復(fù)合運動可知質(zhì)點并入的相對速度為Vr,方向向下，大小為V(如圖a所示)。F(t)(b)mgVr根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點動力學(xué)方程有:dVm一dt將上式在y軸上投影有：dVm 一dtF(t)由于空 0,所以由上式可求得: dt再取地面上的部分為研究對象,(a)一FnmgdmVr(vt)gF(t)dtVr(VgtF (t) ( Vt)g Vr VF(t) (Vgt V2)V2)。由于地面上的物體沒有運動,作用力，因此地面的支撐力就是未提起部分自身的重力，即:并起與提起部分沒有相互Fn (l Vt) g2-5將船視為變質(zhì)量質(zhì)點，取其為研究對象,受力如圖。根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點動力學(xué)方程有:dVm -

55、 F mg F dtdmN Vr dt1Frg - x船的質(zhì)量為：m m0qt ,水的阻力為Ffv將其代入上式可得:dv(m。 qt)- dtfV mg F N qVr將上式在x軸投影：（m0 qt）dvdtfv q（ vr）。應(yīng)用分離變量法可求得ln(qvrfv)fln(m0qt)q由初始條件確定積分常數(shù)：c in（qvjfln me并代入上式可得: q初始時,0 ,方板的角速度為零，求方板的角速度與角的關(guān)系。解：取方板和質(zhì)點為研究對象， z軸的動量矩守恒。下面分別計作用在研究對象上的外力對轉(zhuǎn)軸z的力矩為零，因此系統(tǒng)對算方板和質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸的動量矩。設(shè)方板對轉(zhuǎn)軸的動量矩為L1,其角速度為，于是有

56、L1 J設(shè)質(zhì)點M對轉(zhuǎn)軸的動量矩為L2,取方板為動系，質(zhì)點 別為Ve,Vr。相對速度沿相對軌跡M為動點，其牽連速度和相對速度分的切線方向，牽連速度垂直于OM連線。質(zhì)點 M相對慣性參考系的絕對速度 va ve vr ofv吆1(m0qt)gfm02-8圖a所示水平方板可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動，板對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J,質(zhì)量為m的質(zhì)點沿半徑為R的圓周運動，其相對方l。質(zhì)點在方板上的位置由 確定。板的速度大小為u（常量）。圓盤中心到轉(zhuǎn)軸的距離為它對轉(zhuǎn)軸的動量矩為L2L2(mva) L2(mve) L2(mvr)其中:222,L2(mve)mrm(lRcos)(Rsin)2Q0,vru ,此時系統(tǒng)對z軸的動L2(

57、mvr)m(lRcos)vrcosmRsinvr系統(tǒng)對z軸的動量矩為LL1L2。初始時,量矩為L0m(lR)u當(dāng)系統(tǒng)運動到圖8-12位置時，系統(tǒng)對z軸的動量矩為_2_L J m(l Rcos ) (Rsin2_2-J (l R 2lRcos )m、2) m(l Rcos )u cos(l cos R)mu2mRsin u由于系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的動量矩守恒。所以有L L0,因此可得:_2_2-m(l R)u J (l R 2lRcos )m(l cos R)mu由上式可計算出方板的角速度為ml (1 cos )u722J m(l R 2lR cos )2-11取鏈條和圓盤為研究對象，受力如圖(鏈條重力未

58、畫) 系統(tǒng)對。軸的動量矩為：,設(shè)圓盤的角速度為 ，則2LqJo i (2a r)r根據(jù)動量矩定理有:q2O Joi(2ar)r dti(a x)gri(a x)gr整理上式可得:Jq i(2a r)r2 i(2x)gr由運動學(xué)關(guān)系可知：rx,因此有：rxo上式可表示成:22Jqi(2ar)rx2grx22,上述微分方程可表示成:l(2ar)r22x0,該方程的通解為:根據(jù)初始條件:t0,xX0,x系統(tǒng)的動量在x軸上的投影為:系統(tǒng)的動量在y軸上的投影為:根據(jù)動量定理:由上式解得:2-14其中:txc1eqe0可以確定積分常數(shù)FoyClc2過，于是方程的解為:2PxPyPxPyFoxX0chrsi

59、ni(aF0F。x)2110Jd2lrxi(ax)r2ixr2ixxi(2ar)g2chl(2ar)g2x2ch(2t)取整體為研究對象，系統(tǒng)的動能為: HYPERLINK l bookmark343 o Current Document 1212 HYPERLINK l bookmark820 o Current Document TmvAmCvC HYPERLINK l bookmark388 o Current Document 22vA,VC分別是AB桿的速度和楔塊C的速度。若Vr是AB桿上的A點相對楔塊C的速度,則根據(jù)復(fù)合運動速度合成定理可知:VrVcVacot因此系統(tǒng)的動能可表示為

60、:T1mvA2,2cot21(Va2(m,2、2mCcot)vA系統(tǒng)在運動過程中,AB桿的重力作功。根據(jù)動能定理的微分形式有:系統(tǒng)的動力學(xué)方程可表示成: TOC o 1-5 h z ,1,2、2,2、，,d(mmCcot)vA(mmCcot)vAdvAmgvAdt2由上式解得: HYPERLINK l bookmark832 o Current Document dvAmg HYPERLINK l bookmark478 o Current Document aA-dtmmCcotacaAcot217質(zhì)量為mo的均質(zhì)物塊上有一半徑為R的半圓槽，放在光滑的水平面上如圖A所示。質(zhì)量為m(m03m)